CCINP Modélisation PC 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉPREUVE MUTUALISÉE AVEC E3A-POLYTECH ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MODÉLISATION DE SYSTÈMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES

RAPPEL DES CONSIGNES

• Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
• Ne pas utiliser de correcteur.
• Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de deux parties (pages 1 à 13)

et d'une annexe (pages 14 à 15).

Calcul de la contribution de la rotation interne du groupe méthyle à l'entropie de la molécule d'éthane

Présentation du problème

Figure 1 - Structure de la molécule d'éthane

Partie I - Étude des conformations de la molécule d'éthane

Figure 2 - Évolution de l'énergie potentielle associée à la rotation d'un groupe méthyle de la molécule d'éthane en fonction de l'angle de rotation

Partie II - Contribution de la rotation interne du groupe méthyle à l'entropie de la molécule d'éthane

• la rotation est libre. C'est le cas si l'énergie potentielle V_(max) (en joule par molécule) est inférieure au produit k_B × T où k_B est la constante de Boltzmann et T la température ;
• la rotation est empêchée. C'est le cas si V_(max) est supérieure au produit k_B × T.

II. 1 - Calcul de la contribution à l'entropie pour une rotation libre

• masse d'un atome d'hydrogène : 1, 6737 ⋅ 10^(− 27) kg
• longueur des liaisons C-H : 0, 1094 nm
• valeur des angles C-C-H : 111, 4^∘

II. 2 - Calcul de la contribution à l'entropie pour un oscillateur harmonique

Figure 3 - Approximation de la rotation interne du groupe méthyle par le modèle de l'oscillateur harmonique

Traitement quantique de l'oscillateur harmonique

Résolution numérique par la méthode de Numerov

Algorithme général de résolution du problème

Figure 4 - Allure des fonctions d'onde Ψ_n(x) associées aux premiers niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique quantique unidimensionnel

Figure 5 - Allures de la fonction d'onde Ψ_2(x) sur l'intervalle positif pour la valeur propre ε_2, pour une énergie réduite ε supérieure à ε_2 et pour une énergie réduite ε inférieure à ε_2. Les trois courbes se superposent jusque vers x = 5

• choix d'une valeur de n;
• choix de deux valeurs limites de ε(ε_(min) et ε_(max)) qui contiennent ε_n.

• résolution de l'équation : intégration de Ψ_n(x) en partant de x = 0 par valeurs croissantes à l'aide de la formule de récurrence (équation (12)) pour ε = (ε_(min) + ε_(max))/2;
• on compare le nombre de nœuds avec le nombre quantique n :
• si le nombre de nœuds est supérieur à n, alors ε > ε_n et dans ce cas on itère en affectant à ε_(max) la valeur de ε;
• sinon on itère en affectant à ε_(min) la valeur de ε;
• on calcule la différence entre ε_(max) et ε_(min). Si celle-ci est inférieure au critère de convergence choisi suffisamment petit, on arrête les itérations.

Codage de l'algorithme

• si n est impair, alors y_0 = 0 et y_1 peut prendre n'importe quelle valeur finie (on prendra pour le code y_1 = 1 );
• si n est pair, alors y_0 peut prendre n'importe quelle valeur finie (on prendra pour le code y_0 = 1 ) et y_1 est obtenu par la formule de Numerov (équation (12)): y_1 = ((12 − 10f_0)y_0)/(2f_1).

#Fonction ayant pour objet de calculer les valeurs de la fonction
d'onde et du nombre de nœuds
def calcul_y_noeuds(nodes,f):
    #Calcul des valeurs initiales y0 et y1
    #Initialisation de la variable y
    y =
    #Nombre pair de nœuds
    if ___-_-__ == nodes:
        y[0] =
        y[1] =
    #Nombre impair de nœuds
    else:
        y[0] =
        y[1] =
    #Intégration et comptage du nombre de nœuds
    #Initialisation de la valeur de ncross
    #Boucle de calcul des valeurs de y et du nombre de nœuds
    for i in range (__________):
        #Calcul la valeur de y[i]
        y[i] =
        #Calcul du nombre de nœuds
        -----------
        -----------
    #Arguments de sortie de la fonction calcul_y_noeuds
    return

• l'initialisation de la variable y;
• le calcul des valeurs initiales y [0] et y[1] avec la condition permettant de considérer le cas pair ;
• l'initialisation de la variable ncross ;
• les instructions de début et de fin pour la boucle de calcul des valeurs de y et du nombre de nœuds ;
• le calcul des valeurs y [i] ;
• le calcul du nombre de nœuds ;
• les arguments de sortie de la fonction calcul_y_noeuds.

II. 3 - Comparaison des différents traitements de la rotation interne du groupe méthyle

ANNEXE Fonctions de Python

Bibliothèque numpy de Python

np.array(liste)

np.zeros((n,m))

np.linspace(Min,Max,nbElements)

np.loadtxt('nom_fichier',delimiter='string',usecols=[n])