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CCINP Mathématiques PC 2020Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Intégrale de Dirichlet, extremums d'une forme quadratique et retour à l'origine d'une marche aléatoire
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L'épreuve de mathématiques CCINP PC 2020 (4 heures, calculatrice autorisée) comporte trois exercices indépendants. Le premier calcule l'intégrale de Dirichlet grâce à une intégrale à paramètre, le deuxième relie les extremums d'une forme quadratique sur la boule unité fermée aux valeurs propres de sa matrice symétrique, le troisième étudie le temps de retour à l'origine d'une marche aléatoire sur Z.

  1. 1Exercice 1 : calcul de l'intégrale de Dirichlet (Q1 à Q10)Intégration par parties, puis étude d'une intégrale à paramètre F par dérivation sous le signe intégrale, continuité en 0 et valeur de l'intégrale.
  2. 2Exercice 2 : extremums d'une forme quadratique sur la boule unité fermée (Q11 à Q22)Étude d'un exemple en dimension 2 par la frontière et les points critiques, puis cas général par le théorème spectral et applications.
  3. 3Exercice 3 : retour à l'origine d'une marche aléatoire sur Z (Q23 à Q38)Calcul des probabilités de retour, fonction génératrice par séries entières et produit de Cauchy, puis loi et espérance du temps de premier retour.

Difficulté moyenne. Le jury juge la longueur raisonnable ; l'exercice 1 et l'exercice 3 sont plutôt bien réussis, hors ses deux dernières questions, alors que les notes de l'exercice 2 sont relativement faibles.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,02 / 20 · écart-type 3,82 · 4 329 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,02/ 20
Écart-type
3,82
Présents
4 329
Coefficient
22
Durée
4 h
moyenne 10,0205101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 2 juillet 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Hypothèses de continuité et d'intégration par parties oubliées · Domination dépendant du paramètre · Extremums mal justifiés
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Le sujet couvre une large part du programme des deux années avec trois exercices indépendants de longueur raisonnable. L'exercice 1, grand classique, a permis aux candidats sérieux d'appliquer le cours ; l'exercice 2 a été faible faute de maîtrise des fonctions de plusieurs variables ; l'exercice 3 est globalement réussi. Le jury insiste sur la vérification des hypothèses des théorèmes, le respect du programme officiel et le soin de la copie.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Hypothèses de continuité et d'intégration par parties oubliéesQ1, Q2

    La continuité de la fonction sur l'intervalle ouvert est souvent omise. L'intégration par parties sur un intervalle non borné donne d'abord la même nature des intégrales, pas une égalité.

    « Une majorité de candidats oublie de préciser que la fonction f est continue par rapport à la variable t »
  2. 2
    Domination dépendant du paramètreQ5, Q7, Q9

    Dans les théorèmes sur les intégrales à paramètre, la fonction dominante ne doit dépendre que de la variable d'intégration. Les quantificateurs doivent être précis.

    « Nous rappelons que la fonction dominante ne doit pas dépendre du paramètre »
  3. 3
    Extremums mal justifiésQ11, Q12

    Montrer qu'une fonction est bornée ne prouve pas qu'elle atteint ses bornes. Étudier seulement les points où la dérivée s'annule ne suffit pas non plus à trouver minimum et maximum.

    « il ne suffit pas d'étudier les valeurs de la fonction aux points où la dérivée s'annule »
  4. 4
    Fonctions de plusieurs variables méconnuesQ13, Q14

    Être C1 par rapport à chaque variable n'implique pas d'être C1, la définition d'un point critique est oubliée et la méthode de recherche d'extremums, pourtant au programme, échoue.

    « Très peu de candidat ont réussi correctement cette question, bien que la méthode de résolution figure explicitement au programme »
  5. 5
    Théorème spectral sans hypothèseQ17

    Il faut préciser que la matrice symétrique est à coefficients réels avant d'invoquer le théorème spectral.

    « Il est fondamental de préciser que la matrice est à coefficients réels pour utiliser le théorème spectral »
  6. 6
    Probabilités et séries entières mal manipuléesQ29, Q33, Q34

    Certains appliquent la règle de d'Alembert pour les séries entières, hors programme, ou affirment que la somme des pn vaut 1. Le produit de Cauchy exige de vérifier ses hypothèses et de gérer le terme d'indice 0.

    « de nombreux candidats ont indiqué que la somme des pn est égale à 1, ce qui est faux »

Ce qui a été bien réussi

  • L'exercice 1 est traité de manière satisfaisante par une part importante des candidats, notamment la question 7.
  • Les questions 18 et 22 sont globalement bien traitées par ceux qui les abordent.
  • Dans l'exercice 3, les questions 23, 25, 28, 30 et 31 sont globalement bien traitées.

Conseils du jury

  • Citer précisément les théorèmes du cours et vérifier leurs hypothèses, par exemple sous forme de liste numérotée.
  • Indiquer le numéro de la question dont on réutilise le résultat.
  • Rester dans le programme officiel de PC : compacité, règle de d'Alembert pour les séries entières, espace L1 ou coefficients binomiaux généralisés n'en font pas partie.
  • Lire chaque question en entier pour répondre à toutes ses parties.
  • Utiliser un stylo foncé, aérer la copie, éviter les abréviations et mettre les résultats en valeur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Lundi 4 mai : 8 h-12 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1 Calcul de l'intégrale de Dirichlet

L'objectif de cet exercice est de démontrer la convergence de l'intégrale de Dirichlet :
I = ∫_0^(+ ∞)(sin(t))/t dt
et de calculer sa valeur. On considère la fonction f : [0, + ∞[ × ]0, + ∞[ → ℝ définie par :
∀(x, t) ∈ [0, + ∞[ × ]0, + ∞[, f(x, t) = (sin(t))/te^(− xt)
On définit également la fonction u : [0, + ∞[ × ]0, + ∞[ → ℝ par :
∀(x, t) ∈ [0, + ∞[ × ]0, + ∞[, u(x, t) = − (xsin(t) + cos(t))/(1 + x^2)e^(− xt)
Dans l'exercice, on pourra utiliser sans la démontrer l'inégalité |sin(t)| ⩽ |t| valable pour tout t ∈ ℝ.

Partie I - Préliminaires

Q1. Soit x > 0. Montrer que la fonction t ↦ f(x, t) est intégrable sur ]0, + ∞[.
Q2. En utilisant par exemple une intégration par parties, montrer que l'intégrale I est convergente si et seulement si l'intégrale :
∫_0^(+ ∞)(1 − cos(t))/(t^2) dt
est convergente. En déduire que l'intégrale I converge.
Q3. Soit x ⩾ 0. Montrer que t ↦ u(x, t) est une primitive de la fonction t ↦ sin(t)e^(− xt) sur ]0, + ∞[.
Dans la suite de l'exercice, on définit la fonction F : [0, + ∞[ → ℝ par :
∀x ∈ [0, + ∞[, F(x) = ∫_0^(+ ∞)f(x, t)dt

Partie II - Calcul de F sur ]0, + ∞[

Q4. Montrer que |F(x)| ⩽ 1/x pour tout x > 0. En déduire la limite de F en + ∞.
Q5. Soit a > 0. Montrer que la fonction F est dérivable sur [a, + ∞[ et que l'on a :
∀x ∈ [a, + ∞[, F^′(x) = − ∫_0^(+ ∞)sin(t)e^(− xt) dt
Q6. En déduire que la fonction F est dérivable sur ]0, + ∞[ et déterminer une expression de F^′(x) pour tout x ∈ ]0, + ∞[. Conclure que :
∀x > 0, F(x) = π/2 − Arctan(x)

Partie III - Conclusion

On considère les fonctions F_1 : [0, 1] → ℝ et F_2 : [0, 1] → ℝ définies par :
∀x ∈ [0, 1], F_1(x) = ∫_0^1 f(x, t)dt et F_2(x) = ∫_1^(+ ∞)f(x, t)dt
Q7. Montrer que la fonction F_1 est continue sur [0, 1].
Q8. Soit x ∈ [0, 1]. Montrer que la fonction t ↦ (u(x, t))/(t^2) est intégrable sur [1, + ∞[ et que :
F_2(x) = (xsin(1) + cos(1))/(1 + x^2)e^(− x) + ∫_1^(+ ∞)(u(x, t))/(t^2) dt.
Q9. Montrer que la fonction F_2 est continue sur [0, 1].
Q10. En déduire que la fonction F est continue en 0 , puis déterminer la valeur de l'intégrale I.

EXERCICE 2

Extremums d'une forme quadratique sur la boule unité fermée

On se donne un entier n ⩾ 2. On rappelle que la norme euclidienne usuelle ‖ ⋅ ‖ sur ℝ^n est définie par :
∀x ∈ ℝ^n, x = (x_1, …, x_n), ‖x‖ = √(∑_(k = 1)^n x_k^2⎷)
On note B_n = {x ∈ ℝ^n|‖x‖ ⩽ 1} la boule unité fermée de ℝ^n.
On fixe des réels a_(i, j) pour 1 ⩽ i ⩽ j ⩽ n et on considère l'application f : B_n → ℝ définie par :
∀(x_1, …, x_n) ∈ ℝ^n, f(x_1, …, x_n) = ∑_(i = 1)^n(∑_(j = i)^n a_(i, j)x_i x_j) = ∑_(1 ⩽ i ⩽ j ⩽ n)a_(i, j)x_i x_j.
L'objectif de cet exercice est d'étudier les extremums de la fonction f sur la partie B_n. On définit la matrice M_f ∈ M_n(ℝ) comme la matrice symétrique dont les coefficients ( m_(i, j) ) vérifient :
∀(i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, m_(i, j) = {a_(i, i), si, i = j; (a_(i, j))/2, si, i < j
Si M est une matrice à coefficients réels, on note M^T sa matrice transposée.

Partie I - Étude d'un exemple

Dans cette partie, on suppose que n = 2 et que l'application f : B_2 → ℝ est définie par :
∀(x_1, x_2) ∈ B_2, f(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2 + 4x_1 x_2.
Q11. Justifier que l'application f admet un maximum et un minimum sur B_2.
Q12. En étudiant la fonction t ↦ f(cos(t), sin(t)), déterminer les extremums de l'application f sur la frontière S_2 = {(x_1, x_2) ∈ ℝ^2|x_1^2 + x_2^2 = 1} de B_2.
Q13. Justifier que f est de classe C^1 et déterminer les points critiques de l'application f dans la boule unité ouverte B_2^′ = {(x_1, x_2) ∈ ℝ^2|x_1^2 + x_2^2 < 1} de ℝ^2.
Q14. En déduire que le maximum de f sur B_2 est 3 et que le minimum de f sur B_2 est -1 .
Q15. Vérifier que la plus grande valeur propre de M_f est égale au maximum de f sur B_2 et que la plus petite valeur propre de M_f est égale au minimum de f sur B_2.

Partie II - Le cas général

On ne suppose plus dans cette partie que n = 2.
On considère un vecteur x = (x_1, …, x_n) ∈ B_n et on note X = (x_1⋯x_n)^T ∈ M_(n, 1)(ℝ).
Q16. Montrer que f(x) = X^T M_f X.
Q17. Justifier que la matrice M_f est diagonalisable dans M_n(ℝ).
Dans la suite, on note λ_1, …, λ_n ∈ ℝ les valeurs propres de M_f comptées avec leur multiplicité et on suppose que λ_1 ⩽ ⋯ ⩽ λ_n.
On fixe une matrice orthogonale P ∈ GL_n(ℝ) telle que M_f = PDP^(− 1) où :
D = (λ_1, (0); ⋱; (0), λ_n) ∈ M_n(ℝ)
On note Y = P^(− 1)X ∈ M_(n, 1)(ℝ).
Q18. Montrer les égalités Y^T Y = X^T X = ‖x‖^2.
Q19. On suppose que λ_1 < 0 < λ_n. Montrer que λ_1 ⩽ Y^T DY ⩽ λ_n et en déduire que λ_1 ⩽ f(x) ⩽ λ_n.
Q20. En déduire que si λ_1 < 0 < λ_n, alors max_(B_n)(f) = λ_n et min_(B_n)(f) = λ_1.
Q21. Dans le cas où λ_1 ⩾ 0, déterminer le maximum et le minimum de f sur B_n.

Partie III - Application des résultats

Dans cette partie, on suppose que n ⩾ 3 et que l'application f : B_n → ℝ est définie par :
∀(x_1, …, x_n) ∈ B_n, f(x_1, …, x_n) = ∑_(k = 1)^n x_k^2 − ∑_(1 ⩽ i < j ⩽ n)2x_i x_j
Q22. Déterminer le maximum et le minimum de l'application f sur B_n (on pourra commencer par déterminer le rang de la matrice M_f − 2I_n où I_n désigne la matrice identité de M_n(ℝ) ).

EXERCICE 3

Retour à l'origine d'une marche aléatoire sur ℤ

Dans cet exercice, nous allons étudier le déplacement aléatoire d'un pion se déplaçant dans l'ensemble des entiers relatifs. À l'étape n = 0, on suppose que le pion se trouve en 0 . Ensuite, si le pion se trouve à l'étape n sur l'entier x ∈ ℤ, alors à l'étape n + 1, le pion a une chance sur deux de se trouver en x + 1 et une chance sur deux de se trouver en x − 1, ceci indépendamment des mouvements précédents.
Pour modéliser cette situation, on se place sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ) et on considère une suite (X_k)_(k ∈ ℕ^∗) de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes dont la loi est donnée par :
∀k ∈ ℕ^∗, P(X_k = 1) = P(X_k = − 1) = 1/2
On considère également la suite de variables aléatoires réelles (S_n)_(n ∈ ℕ) définie par S_0 = 0 et :
∀n ∈ ℕ^∗, S_n = ∑_(k = 1)^n X_k
L'objectif de cet exercice est de déterminer la loi de la variable aléatoire T définie de la façon suivante :
  1. si pour tout n ∈ ℕ^∗, on a S_n ≠ 0, on pose T = + ∞;
  2. sinon, on pose T = min{n ∈ ℕ^∗|S_n = 0}.
L'évènement ( T = + ∞ ) se réalise donc si et seulement si l'ensemble {n ∈ ℕ^∗|S_n = 0} est vide. Finalement, on définit les suites (p_n)_(n ∈ ℕ) et (q_n)_(n ∈ ℕ) par :
∀n ∈ ℕ, p_n = P(S_n = 0) et q_n = {0, si n = 0; P(T = n), si n > 0

Partie I - Calcul de p_n

On fixe un entier n ∈ ℕ.
Q23. Que représente la variable aléatoire S_n ?
Q24. Calculer p_0, p_1 et p_2.
Q25. Justifier que si n est impair, alors on a p_n = 0.
On considère pour tout k ∈ ℕ^∗ la variable aléatoire Y_k définie par Y_k = (X_k + 1)/2. On admet que (Y_k)_(k ∈ ℕ^∗) est une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes.
Q26. Soit k ∈ ℕ^∗. Montrer que Y_k suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/2.
Q27. Pour n > 0, donner la loi de Z_n = Y_1 + ⋯ + Y_n et exprimer S_n en fonction de Z_n.
Q28. On suppose que n = 2m avec m ∈ ℕ. Déduire de la question précédente que :
p_(2m) = ((2m)/m)1/(4^m)

Partie II - Fonction génératrice de la suite (p_n)_(n ∈ ℕ)

On note R_p le rayon de convergence de la série entière ∑_(n ⩾ 0)p_n x^n et f la somme de cette série entière sur son intervalle de convergence.
Q29. Montrer que R_p ⩾ 1.
Q30. Montrer que pour tout m ∈ ℕ^∗, on a :
p_(2m) = ((− 1)^m)/(m!)∏_(k = 1)^m(− 1/2 − k + 1)
Q31. Déterminer un nombre α ∈ ℝ tel que f(x) = (1 − x^2)^α pour tout x ∈ ] − 1, 1[.

Partie III - Loi de la variable aléatoire T

On note R_q le rayon de convergence de la série entière ∑_(n ⩾ 0)q_n x^n et g la somme de cette série entière sur son intervalle de convergence. Pour tout n ∈ ℕ, on considère également la fonction g_n : ℝ → ℝ définie par g_n(x) = q_n x^n pour tout x ∈ ℝ.
Q32. Calculer q_1 et q_2.
Q33. Montrer que la série ∑_(n ⩾ 0)g_n converge normalement sur [ − 1, 1]. En déduire que R_q ⩾ 1.
Dans la suite, on admet la relation :
∀n ∈ ℕ^∗, p_n = ∑_(k = 0)^n p_k q_(n − k)
Q34. En utilisant un produit de Cauchy et la relation admise ci-dessus, montrer que :
∀x ∈ ] − 1, 1[, f(x)g(x) = f(x) − 1
Q35. En déduire que g(x) = 1 − √(1 − x^2) pour tout x ∈ ] − 1, 1 [, puis calculer le développement en série entière de la fonction x ↦ 1 − √(1 − x^2) en précisant son rayon de convergence.
Q36. En déduire une expression de q_n pour tout n ∈ ℕ^∗.
Q37. En utilisant Q33 et Q35, déterminer la valeur de P(T = + ∞). Interpréter le résultat.
Q38. La variable aléatoire T admet-elle une espérance?

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths CCINP PC 2020 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths CCINP PC 2020 ?

Trois exercices indépendants : le calcul de l'intégrale de Dirichlet par une intégrale à paramètre, les extremums d'une forme quadratique sur la boule unité fermée et le retour à l'origine d'une marche aléatoire sur Z.

Quelles erreurs le jury de maths CCINP PC 2020 a-t-il le plus relevées ?

Hypothèses des théorèmes non vérifiées, domination dépendant du paramètre, extremums mal justifiés, méconnaissance des fonctions de plusieurs variables et affirmation erronée que la somme des pn vaut 1.

Quels chapitres réviser pour le sujet de maths CCINP PC 2020 ?

Les intégrales à paramètre, les fonctions de plusieurs variables, le théorème spectral, les séries entières et les variables aléatoires discrètes.

Quel exercice du sujet CCINP maths PC 2020 a été le moins réussi ?

L'exercice 2 sur la forme quadratique : selon le jury, les notes y sont relativement faibles car beaucoup ne maîtrisaient pas le cours sur les fonctions de plusieurs variables.

Pas de description pour le moment