E3A Mathématiques 1 PC 2018Sujet

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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 1 PC

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Exercices

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice 1

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On désigne la matrice identité de taille (

n, n

)

parI_n

Soit

ℝ^n

ℝ

-espace vectoriel de dimension

n

muni du produit scalaire canonique :
Pour tous

x⃗ = (x_1, \dots, x_n)

y⃗ = (y_1, \dots, y_n)

dans

ℝ^n

, on a :

< x⃗, y⃗>=\sum_(i = 1)^n x_i y_i

On note

u⃗ = (1, 1, \dots, 1)

le vecteur de

ℝ^n

dont toutes les composantes sont égales à 1 et

F

le sous-espace vectoriel formé par l'ensemble des vecteurs orthogonaux à

u⃗

Démontrer que $F$ est l'ensemble des vecteurs $x⃗ = (x_1, \dots, x_n)$ tels que $\sum_(i = 1)^n x_i = 0$ .
Quelle est la dimension de $F$ ?

On considère

A_n

la matrice de taille

(n, n)

définie par :

A_n = (0, 1, 1, \dots, 1; 1, 0, 1, \dots, 1; 1, 1, ⋱, ⋱, 1; 1, 1, ⋱, 0, 1; 1, 1, \dots, 1, 0)

Cette matrice a des 0 comme coefficients diagonaux et des 1 partout ailleurs.
3. Enoncer précisément le théorème spectral. Que peut-on en conclure pour la matrice

A_n

?
4. Soit

X = (x_1; ⋮; x_n)

tel que

x⃗ = (x_1, \dots, x_n)

est dans

F

. Calculer

A_n X

en fonction de

X

.
5. Déterminer les valeurs propres de

A_n

et, pour chacune de ses valeurs propres, le sousespace propre associé.
6. Calculer le déterminant de la matrice

A_n

On considère

B_n

la matrice de taille

(2n, 2n)

définie par blocs par :

B_n = (A_n, I_n; I_n, A_n)

La matrice $B_n$ est-elle diagonalisable ? Justifier votre réponse.
Soit $α$ une valeur propre de la matrice $B_n$ . Démontrer que $α$ est une valeur propre de ( $A_n + I_n$ ) ou ( $A_n - I_n$ ).
En déduire que les valeurs propres de $B_n$ sont dans l'ensemble ${ - 2, 0, n - 2, n}$ .
Déterminer l'ensemble des valeurs propres de $B_n$ .

Soit

M

une matrice de taille

(n, n)

. On lui associe

U_M

, la matrice de taille

(2n, 2n)

définie par

U_M = (M, I_n; I_n, M)

On suppose $M$ diagonalisable. On note $α_1, \dots, α_r$ les valeurs propres distinctes de $M$ . Déterminer les valeurs propres de $U_M$ en fonction de $α_1, \dots, α_r$ .
La matrice $U_M$ est-elle diagonalisable ?

Exercice 2

On admet l'égalité

\sum_(n \geq 1)1/(n^2) = (π^2)/6

.
On définit pour tout entier naturel non nul

n, h_n = \sum_(k = 1)^n 1/k

. On introduit les séries entières:

H(x) = \sum_(n \geq 1)h_n x^n, S(x) = \sum_(n \geq 1)1/(n^2)x^n et T(x) = \sum_(n \geq 1)(h_n)/nx^n

On note

I

l'intervalle (ouvert) de convergence de la série

H

Soit $n$ un entier naturel non nul. Justifier $h_(2n) - h_n \geq 1/2$ .
Démontrer que la suite $(h_n)_(n \in ℕ^*)$ diverge vers $+ \infty$ .
Déterminer le rayon de convergence de la série $H$ . En déduire $I$ .
Déterminer les rayons de convergence des séries $S$ et $T$ .
Quel est le développement en série entière de la fonction $(g : x \mapsto ln(1 - x))$ ? Préciser son rayon de convergence.
Justifier que la fonction $(G : x \mapsto ln(1 - x)/(1 - x))$ est développable en série entière sur l'intervalle ] - 1,1 [. Etablir une relation entre $G$ et $H$ .

Soit

L

la primitive de

H

sur l'intervalle

I

telle que

L(0) = 0

.
7. Exprimer

L

à l'aide de la fonction

(g : x \to ln(1 - x))

.
8. Justifier que

L

est développable en série entière et expliciter son développement en série entière. On énoncera précisément le théorème utilisé.
9. En déduire une relation entre

T - S

L

.
10. Soit

y

dans

]0, 1[

(a) Justifier que

\int_0^y(ln(1 - u))/u du

est une intégrale convergente et démontrer l'égalité :

\int_0^y(ln(1 - u))/u du + S(y) = 0

On pourra utiliser le développement en série entière de la fonction

(x \mapsto ln(1 - x))

.
(b) Justifier que

\int_0^1(ln(1 - u))/u du

est une intégrale convergente et démontrer l'égalité :

\int_0^1(ln(1 - u))/u du = - (π^2)/6

(π^2)/6 = S(y) + S(1 - y) + ln(y)ln(1 - y)

Exprimer la valeur de $T(1/2)$ en fonction de $π$ . Justifier votre réponse.

Exercice 3

On désigne par

ℕ^*

l'ensemble des entiers naturels non nuls. Pour tous

k, n

dans

ℕ^*

, on note

S_k(n) = \sum_(i = 1)^n i^k

On pourra utiliser le fait que :

S_2(n) = n(n + 1)(2n + 1)/6

Soit $k$ dans $ℕ^*$ . Justifier que la suite $(1/(n^(k + 1))S_k(n))_(n \in ℕ^*)$ converge vers $1/(k + 1)$ .

X

est une variable aléatoire à valeurs dans une partie finie de

ℕ

, on note

E(X)

son espérance et

V(X)

sa variance. Soit

N

un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
2. Soit

X

une variable aléatoire à valeurs dans

[ [1, N] ]

, Démontrer que

E(X) = \sum_(i = 1)^N P(X \geq i)

On dispose d'une boîte dans laquelle sont placés des jetons indiscernables au toucher numérotés de 1 à

N

. Soit

k

un entier naturel

\geq 2

. On tire

k

fois de suite un jeton dans cette boite. On note son numéro et on le remet dans la boîte. Les tirages sont indépendants les uns des autres. On note

X_i

la variable aléatoire qui prend comme valeur le numéro du jeton du

i

-ème tirage, pour

i

dans

[ [1, N] ]

. On suppose que la loi de

X_i

est uniforme sur

[ [1, N] ]

. On note

U_k

V_k

les variables aléatoires :

U_k = min(X_1, \dots, X_k) et V_k = max(X_1, \dots, X_k).

Exprimer $E(X_1), E(X_1^2)$ et $V(X_1)$ en fonction de $N$ .
On se propose de simuler en Python les variables $V_k$ pour $N = 10$ .
(a) Ecrire une fonction simulX qui renvoie une liste de longueur 100 de réalisations des variables $X_1, \dots, X_(100)$ . On pourra utiliser la fonction : random.randint L'instruction random.randint $(1, 10)$ fournit un nombre entier aléatoire dans $[ [1, 10] ]$ uniformément.
(b) En déduire une fonction REALIV qui renvoie une liste de longueur 100 de réalisations des variables $V_1, \dots, V_(100)$ .
Soit $k$ dans $ℕ^*$ supérieur à 2 .
(a) Soit $i \in [ [1, N] ]$ . Justifier que :

P(U_k \geq i) = ((N - i + 1)/N)^k

(b) On appelle plusieurs fois la fonction REALIV de la question 4b. On constate qu'à chaque fois, le résultat obtenu est une liste qui se termine par un grand nombre de 10. Justifier mathématiquement ce résultat.
(c) Exprimer

E(U_k)

en fonction de

N

à l'aide de la fonction

S_k

introduite au début de l'exercice. Donner un équivalent de

E(U_k)

lorsque

N

tend vers

+ \infty

.
6. (a) On introduit les variables

Y_i = N + 1 - X_i

, pour

i

dans

[ [1, N] ]

. Justifier que les variables

(Y_1, \dots, Y_n)

sont indépendantes et de même loi. Préciser cette loi.
(b) En déduire

E(V_k)

V(V_k)

en fonction de

E(U_k)

V(U_k)

.
7. On considère le couple de variables aléatoires (

U_2, V_2

).
(a) Exprimer

U_2 + V_2

U_2 V_2

en fonction de

X_1

X_2

.
(b) En déduire

V(U_2 + V_2)

E(U_2 V_2)

en fonction de

N

On peut déduire par un calcul la covariance de

U_2

V_2

, notée

Cov(U_2, V_2)

. On admet sa valeur :

Cov(U_2, V_2) = ((N^2 - 1)^2)/(36N^2)

V(U_2)

V(V_2)

en fonction de

N

.
(d) On note

ρ_2(N)

le coefficient de corrélation de

U_2

V_2

. Exprimer

ρ_2(N)

en fonction de

N

.
(e) Que peut on dire de la suite

(ρ_2(N))_(N ∈ ℕ∖{0, 1, 2})

lorsque

N

tend vers

+ \infty

?
8. (a) Si

X

est une variable aléatoire à valeurs dans une partie finie de

ℕ

, démontrer que

E(X^2) = \sum_(i = 1)^N(2i - 1)P(X \geq i)

.
(b) Exprimer

E(U_k^2)

en fonction de

N

à l'aide des fonctions

S_k

S_(k + 1)

introduites au début de l'exercice.
(c) Exprimer

V(U_k)

en fonction de

N

à l'aide des fonctions

S_k

S_(k + 1)

introduites au début de l'exercice.
(d) Donner un équivalent de

V(U_k)

lorsque

N

tend vers

+ \infty

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