Centrale Mathématiques 1 PC 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

Soit E un ℂ-espace vectoriel. On note Id l'application identité de E. Un nombre complexe λ est valeur propre d'un endomorphisme φ de E si Ker(φ − λId) ≠ {0}. On note VP(φ) l'ensemble des valeurs propres de φ. Pour tout λ ∈ VP(φ), Ker(φ − λId) est un sous-espace vectoriel de E, que l'on note E_λ(φ).
Si x = (x_1, x_2, …, x_N) est un élément de ℝ^N, on note ‖x‖ sa norme euclidienne canonique : ‖x‖ = √(∑_(i = 1)^N x_i^2).
On note M_N(ℝ) l'ensemble des matrices carrées de taille N à coefficients réels.
On note I_N la matrice identité de M_N(ℝ) et, si (α_1, …, α_N) ∈ ℝ^N, on note diag(α_1, …, α_N) la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont α_1, …, α_N.
L'ensemble des valeurs propres d'un élément A de M_N(ℝ) est noté Sp(A).
On note S_N(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques réelles de taille N. On note S_N^+(ℝ) (resp. S_N^(+ +)(ℝ) ) l'ensemble des matrices symétriques réelles positives (resp. définies positives) de taille N.

Dans cette partie, E désigne le ℂ-espace vectoriel C^∞(ℝ, ℂ) des fonctions de ℝ dans ℂ indéfiniment dérivables.

Q1. Pour tout f ∈ E, on pose ℓ(f) = − f^(′′). Montrer que l'on définit ainsi un endomorphisme ℓ de E.
Q2. Montrer que ℝ_+ ⊂ VP(ℓ). Pour tout réel λ ∈ ℝ_+, déterminer une base de E_λ(ℓ).

Pour tout a ∈ ℝ_+^∗, on définit G_a : {ℝ, ⟶ ℂ; t, ⟼ e^(− 1/2at^2) (gaussienne de paramètre a ). On admet la convergence et la valeur de l'intégrale suivante :

On fixe un réel a strictement positif.
Q3. Montrer pour tout réel ξ la convergence de l'intégrale ∫_(− ∞)^(+ ∞)G_a(t)e^(− iξt) dt.
On notera dans la suite Gˆ_a : {ℝ, ⟶ ℂ; ξ, ⟼ ∫_(− ∞)^(+ ∞)G_a(t)e^(− iξt) dt
Q4. Démontrer que l'application G_a ˆ est de classe C^1.
Q5. Démontrer que G_a ˆ est solution sur ℝ d'une équation différentielle du premier ordre que l'on explicitera.
En déduire que G_a ˆ = √((2π)/a)G_(1/a).

Q6. Démontrer que les intégrales ∫_(− ∞)^(+ ∞)G_a^2(u)du et ∫_(− ∞)^(+ ∞)u^2 G_a^2(u)du sont convergentes et déterminer leurs valeurs.
On définit le réel positif σ_F(G_a) (resp. σ_T(G_a) ) par la relation

Q7. Démontrer l'égalité σ_T^2(G_a) = γ(σ_F^2(G_a)), où γ : x ↦ 1/(4x).
Pour f un élément non nul d'une certaine classe de fonctions S, on a σ_T^2(f)σ_F^2(f) ⩾ 1/4 (inégalité d'Heisenberg). Si f représente un signal réel, σ_T^2(f) représente son étalement dans le domaine temporel et σ_F^2(f) son étalement dans le domaine fréquentiel. Le principe d'incertitude d'Heisenberg dit alors qu'on ne peut pas localiser précisément et simultanément un signal dans les deux domaines.
Les multiples des gaussiennes sont les seuls éléments de S qui réalisent l'égalité dans l'inégalité d'Heisenberg.
L'application γ : x ↦ 1/(4x) vérifie donc γ(x) = min_(f ∈ S∖{0}; σ_F^2(f) = x)σ_T^2(f), pour tout réel x strictement positif.
Le but du sujet dans la suite est d'établir pour des signaux discrets (éléments de ℝ^N ), un résultat semblable, relativement à une matrice A donnée (principe d'incertitude matriciel). Il s'agira en particulier de définir dans ce contexte les analogues de σ_T^2, σ_F^2 et γ et d'en étudier certaines propriétés.

Dans cette partie B, N désigne un entier supérieur ou égal à 2 .
On note G l'ensemble des matrices symétriques réelles de taille N, à coefficients dans {0, 1}, de diagonale nulle. Si A = (a_(i, j))_((i, j) ∈ [ [1, n] ]^2) est un élément de G on définit

Soit B = (0, 0, 0, 1; 0, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 0; 1, 0, 0, 0).
Q8. Déterminer la matrice L_B. Que vaut rg(L_B) ?
Q9. Calculer L_B^2. En déduire Sp(L_B) et pour tout réel λ ∈ Sp(L_B), déterminer dim(E_λ(L_B)).
Q10. La matrice L_B est-elle élément de S_N^+(ℝ) ? de S_N^(+ +)(ℝ) ?

Soit A un élément de G. On note 𝟙_N le vecteur colonne de taille N ne contenant que des 1 .
Q11. Montrer que Vect(𝟙_N) ⊂ Ker(L_A). A-t-on l'égalité?
Soit x = (x_1, x_2, …, x_N) ∈ ℝ^N.
On rappelle qu'on peut identifier les éléments de ℝ^N et les matrices colonnes de taille N. Ainsi, dans les questions suivantes, x est identifié à la matrice colonne de taille N dont les coefficients sont x_1, x_2, …, x_N, et sa transposée x^T est identifiée à la matrice ligne ( x_1, x_2, ⋯, x_N ).

Q12. Démontrer que : ∑_((i, j) ∈ [ [1, N] ]^2)a_(i, j)x_i^2 = x^T δ(A)x.
Q13. En déduire :

Q14. En déduire que L_A ∈ S_N^+(ℝ).
Q15. On dit qu'un élément A = (a_(i, j))_((i, j) ∈ [ [1, N] ]^2) de G vérifie la propriété ( Γ ) lorsque pour tout ( i, j ) ∈ [ [1, N] ]^2 tel que i ≠ j, il existe un entier n ⩾ 2 et des éléments deux à deux distincts i_1, i_2, …, i_n de [ [1, N] ], vérifiant :

Dans cette question, on suppose que A vérifie la propriété (Γ). Montrer que Ker(L_A) = Vect(𝟙_N).

Dans la partie C et la partie D , on suppose que N ⩾ 4 et on considère l'élément de M_N(ℝ) :

Q16. Montrer que A est un élément de G vérifiant la propriété ( Γ ) définie dans la question Q15, sous-partie B.II.
Q17. En utilisant la partie précédente, montrer qu'il existe (λ_1, λ_2, …, λ_N) ∈ (ℝ_+)^N tel que :

Q18. Déterminer L_A et rg(L_A − I_N). En déduire Sp(L_A). On vérifiera que dim(E_(λ_N)(L_A)) = 1.
On pose D = diag(0, 1, 1, …, 1). Pour tout x ∈ ℝ^N∖{0}, on définit :

Q19. Soit x ∈ ℝ^N∖{0}. Démontrer que λ_1 ⩽ σ_S^2(x) ⩽ λ_N.
Montrer que :
i) pour tout μ ∈ ℝ^∗, σ_S^2(μx) = σ_S^2(x);
ii) σ_S^2(x) = λ_1 si et seulement si x ∈ E_(λ_1)(L_A).

On admet dans la suite que σ_S^2(x) = λ_N si et seulement si x ∈ E_(λ_N)(L_A).

On rappelle que la matrice A a été définie au début de la partie C .
On définit la région de faisabilité de A et on note R l'ensemble

À titre indicatif, la figure ci-après représente R pour une certaine valeur de N. Le but de cette partie est de démontrer certaines propriétés observables sur cette figure.

Q20. Montrer que R ⊂ [0, λ_N] × [0, 1].
Q21. Soit x ∈ ℝ^N∖{0} tel que σ_S^2(x) = 0. Montrer que σ_M^2(x) = (N − 1)/N. En déduire que R intersecte la droite d'équation s = 0 en un unique point dont on précisera les coordonnées.

Q22. Démontrer de même que R intersecte en un unique point dont on déterminera les coordonnées chacune des deux droites suivantes : la droite d'équation s = λ_N et la droite d'équation m = 0.

Q23. Soient e_1 ∈ E_(λ_1)(L_A) et e_N ∈ E_(λ_N)(L_A) tels que ‖e_1‖ = 1 et ‖e_N‖ = 1. On considère x_t = (1 − t)e_1 + te_N où t ∈ [0, 1].
Justifier que l'application φ : t ↦ σ_S^2(x_t) est définie sur [0, 1]. Démontrer que, pour tout s ∈ [0, λ_N], il existe x ∈ ℝ^N∖{0} tel que σ_S^2(x) = s.

Q24. En déduire l'existence de la quantité min_(‖x‖ = 1; σ_S^2(x) = s)σ_M^2(x) pour tout s ∈ [0, λ_N].
La question Q24 permet de définir γ_− : {[0, λ_N], ⟶ ℝ_+; s, ⟼ min_(‖x‖ = 1)σ_M^2(x); σ_S^2(x) = s.
Q25. On admet que R est un ensemble convexe. Démontrer que γ_−est une fonction convexe sur [0, λ_N].

Pour tout α ∈ ℝ, on définit un élément M(α) de S_N(ℝ) par la relation M(α) = D − αL_A. On note

Q26. Soient α ∈ ℝ et y ∈ E_(μ_α^−)(M(α)) tel que ‖y‖ = 1. Démontrer que σ_M^2(y) = γ_−(σ_S^2(y)).
On fixe α ≠ 0.
Q27. Montrer que rg(M(α) − (1 − α)I_N) = 2. En déduire μ_α^− ⩽ 1 − α ⩽ μ_α^+.
Q28. Soient a, b et c trois réels vérifiant a ⩽ b.
On suppose que pour tout λ ∈ ℝ, les racines du trinôme du second degré x ↦ (x − a)(x − b) + λ(x − c) sont réelles. Démontrer que a ⩽ c ⩽ b.

Q29. On note E_(1, 1) l'élément de M_N(ℝ) dont tous les coefficients sont nuls excepté celui d'indice ( 1,1 ) qui vaut 1 . Pour tout λ ∈ ℝ, on note N(λ) = M(α) − λE_(1, 1). Donner une relation entre les polynômes caractéristiques de N(λ) et de M(α). En déduire μ_α^− < 1 − α < μ_α^+.

Q30. Soit V = {(v_1, …, v_N) ∈ ℝ^N, v_1 = 0 et ∑_(i = 2)^N v_i = 0}.
Montrer que V est un sous-espace vectoriel de ℝ^N dont on déterminera la dimension d et une base.
Q31. Montrer E_(μ_α^−)(M(α)) ⊕ E_(μ_α^+)(M(α)) = {(x_1, x_2, …, x_2) ∈ ℝ^N, x_1 ∈ ℝ, x_2 ∈ ℝ}.
Soient θ ∈ ℝ et x(θ) = (cos(θ), 1/(√(N − 1))sin(θ), …, 1/(√(N − 1))sin(θ)) un vecteur unitaire de E_(μ_α^−)(M(α)) ⊕ E_(μ_α^+)(M(α)).
Q32. À l'aide de la formule (*) établie à la question Q13 sous-partie B.II, démontrer l'égalité :

Q33. En déduire : − sin(2θ) = 1/(√(N − 1))[σ_S^2(x(θ)) + (N − 2)σ_M^2(x(θ)) − (N − 1)].
Q34. Démontrer

Q35. En déduire que :