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Centrale Mathématiques 1 PC 2023Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Théorème de Perron-Frobenius pour des matrices symétriques réelles positives, rayon spectral et théorème de Ky Fan
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Le sujet démontre le théorème de Perron-Frobenius pour des matrices symétriques réelles à coefficients positifs. Après des préliminaires sur les modules et l'inégalité de Cauchy-Schwarz, il traite le cas des matrices 2×2 strictement positives, puis étudie le rayon spectral et les normes sous-multiplicatives. La dernière partie établit le théorème et l'applique à un résultat de Ky Fan sur la localisation du spectre.

  1. 1Partie I : résultats préliminairesCoefficient d'un produit matriciel, inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité de l'inégalité triangulaire dans C.
  2. 2Partie II : matrices strictement positives de M2(R)Réduction d'une matrice 2×2 à coefficients strictement positifs et convergence de la suite de ses puissances.
  3. 3Partie III : normes sous-multiplicatives et rayon spectralExemples de normes sous-multiplicatives, comparaison entre rayon spectral et norme, puis caractérisation des matrices dont les puissances tendent vers 0.
  4. 4Partie IV : théorème de Perron-Frobenius et théorème de Ky FanThéorème spectral, étude de la forme quadratique associée, dimension de l'espace propre du rayon spectral, puis application à la localisation des valeurs propres.

Difficulté moyenne. Le rapport juge le sujet de longueur raisonnable, à difficulté progressive et presque sans question demandant une forte initiative, mais la moyenne n'atteint que 32,9 % du barème.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,27 / 20 · écart-type 4,01 · 3 501 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,27/ 20
Écart-type
4,01
Présents
3 501
Coefficient
15
Durée
4 h
1er quartile
6,4
Médiane
9,1
3e quartile
12
moyenne 9,2705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 9 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Cours élémentaire mal su · Partir de la conclusion · Équivalences traitées en bloc
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Le sujet a bien classé les candidats, surtout sur la connaissance précise du cours et la qualité du raisonnement plutôt que sur le nombre de questions traitées. Le jury relève des lacunes sur des résultats élémentaires, des raisonnements par équivalence mal tenus et des variables rarement déclarées. La fin du sujet, consacrée au théorème de Ky Fan, a été peu abordée.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Cours élémentaire mal suQ1, Q2, Q21

    Le coefficient d'un produit matriciel, l'inégalité de Cauchy-Schwarz et le théorème spectral sont trop souvent énoncés de façon imprécise. En Q21, moins d'un quart des candidats réussit, alors que presque tous l'abordent.

    « des résultats centraux encore connus avec trop peu de précision par les candidats »
  2. 2
    Partir de la conclusionQ3, Q4

    Beaucoup supposent ce qu'il faut démontrer, par exemple que z est un réel positif, pour le retrouver ensuite. Ce raisonnement est refusé.

    « beaucoup de candidats seront partis de la conclusion à démontrer, pour la démontrer »
  3. 3
    Équivalences traitées en blocQ8, Q24

    Démontrer directement une équivalence sur toute la chaîne de calcul conduit souvent à des erreurs. Il vaut mieux séparer les deux implications ou faire une disjonction de cas.

  4. 4
    Toute matrice complexe crue diagonalisableQ14, Q22

    Le jury relève souvent cette erreur. Une matrice complexe est trigonalisable, pas forcément diagonalisable, et une matrice nilpotente non nulle a un rayon spectral nul.

    « l’erreur consistant à penser que toute matrice complexe est diagonalisable »
  5. 5
    Notations non déclaréesQ23 à Q26

    Au début de la partie IV, les candidats doivent introduire leurs propres notations. Elles sont rarement mises en place proprement, ce qui fait échouer le calcul de X⊤AX.

    « Les variables utilisées par les candidats sont loin d’être systématiquement déclarées »
  6. 6
    Confusions sur les objets matricielsQ24, Q25, Q26

    XX⊤ est une matrice carrée et non le produit scalaire X⊤X. La matrice |X| n'a pas les propriétés de la valeur absolue réelle. La plus grande valeur propre ne doit pas être confondue avec le rayon spectral.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1 de calcul élémentaire est plutôt bien réussie.
  • Les questions 5 et 6 sur les matrices 2×2 sont globalement bien réussies.
  • Le calcul de la question 17 est globalement réussi.
  • Plusieurs candidats proposent des contre-exemples pertinents en Q31.

Conseils du jury

  • Connaître précisément les énoncés du cours : théorème spectral pour les matrices symétriques réelles, inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité de l'inégalité triangulaire.
  • Rédiger des phrases et ne pas remplacer le raisonnement par une suite de symboles logiques.
  • Déclarer chaque variable avant de l'utiliser.
  • Pour une norme, vérifier toutes les propriétés : positivité, séparation, homogénéité et inégalité triangulaire.
  • Vérifier les hypothèses avant de diviser ou d'appliquer un résultat antérieur, par exemple le caractère unitaire des vecteurs en Q25.
  • Soigner l'orthographe et la présentation, qui entrent dans la note.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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L'objectif de ce sujet est d'établir le théorème de Perron-Frobenius pour une certaine classe de matrices symétriques. Ce théorème étudie les espaces propres d'une matrice associés aux valeurs propres de module maximal. Une application, en conclusion, montre une ouverture à l'analyse spectrale des matrices à coefficients positifs.
  • La partie I permet d'obtenir des résultats préliminaires, utiles pour les parties suivantes.
  • La partie II examine, à titre d'exemple, le cas des matrices à coefficients strictement positifs de taille deux.
  • La partie III s'intéresse au lien entre le rayon spectral d'une matrice et le comportement asymptotique de la suite de ses puissances successives ; elle est indépendante de la partie II.
  • La partie IV donne une démonstration du théorème pour une classe de matrices symétriques à coefficients positifs ; elle est indépendante des parties II et III.

Notations et définitions

𝕂 désigne l'ensemble ℝ des réels ou l'ensemble ℂ des complexes.
Soit n et p deux entiers naturels non nuls.
  • On note M_(n, p)(𝕂) l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans 𝕂 et M_n(𝕂) = M_(n, n)(𝕂).
  • Si A = (A_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ n, 1 ⩽ j ⩽ p) est une matrice de M_(n, p)(𝕂), on note |A| la matrice de M_(n, p)(𝕂) dont les coefficients sont |A_(ij)|(1 ⩽ i ⩽ n et 1 ⩽ j ⩽ p).
  • Une matrice A de M_(n, p)(ℝ) est dite positive (respectivement strictement positive) lorsque tous ses coefficients sont positifs ou nuls (respectivement strictement positifs). La notation A ⩾ 0 (respectivement A > 0 ) signifie que la matrice A est positive (respectivement strictement positive).
  • Si A et B sont deux matrices de M_(n, p)(ℝ), la notation A ⩾ B (respectivement A > B ) signifie que la matrice A − B est positive (respectivement strictement positive). De même, la notation A ⩽ B (respectivement A < B ) signifie que la matrice B − A est positive (respectivement strictement positive).
  • Les propriétés suivantes pourront être librement utilisées (sous réserve que les opérations correspondantes puissent être envisagées) :
  • |A + B| ⩽ |A| + |B|;
  • |A^⊤| = |A|^⊤;
  • si γ ∈ 𝕂, alors |γA| = |γ||A|;
  • si A ⩾ 0 et B ⩾ 0, alors AB ⩾ 0.
  • On rappelle que le produit scalaire canonique de M_(n, 1)(ℝ) est défini, pour tous vecteurs X et Y de M_(n, 1)(ℝ), par
(X|Y) = X^⊤Y = ∑_(k = 1)^n X_k Y_k, où X = (X_1; ⋮; X_n) et Y = (Y_1; ⋮; Y_n).
La norme euclidienne (associée à ce produit scalaire) du vecteur X est alors donnée par
‖X‖ = √(X^⊤X) = (∑_(k = 1)^n X_k^2)^(1/2).
  • Le spectre d'une matrice A de M_n(𝕂) est noté sp(A).
  • Le rayon spectral d'une matrice A de M_n(𝕂), de spectre non vide, est le réel positif ou nul, noté ρ(A), défini par
ρ(A) = max{|λ||λ ∈ sp(A)}.
  • On dit qu'une norme N : M_n(𝕂) → ℝ est sous-multiplicative si, pour toutes matrices A et B de M_n(𝕂),
N(AB) ⩽ N(A)N(B).

I Résultats préliminaires

Q 1. Soit n un entier naturel, A et B deux matrices de M_n(ℝ) et X un vecteur de M_(n, 1)(ℝ). Montrer que
si A > 0, X ⩾ 0 et X ≠ 0, alors AX > 0,
et que
|AB| ⩽ |A||B|.
Q 2. Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour deux vecteurs X = (X_1; ⋮; X_n) et Y = (Y_1; ⋮; Y_n) de M_(n, 1)(ℝ). En déduire que si n est un entier naturel et z_1, …, z_n, w_1, …, w_n sont des nombres complexes, alors
∑_(k = 1)^n|z_k||w_k| ⩽ (∑_(k = 1)^n|z_k|^2)^(1/2)(∑_(k = 1)^n|w_k|^2)^(1/2)
Q 3. Soit z un nombre complexe tel que |1 + z| = 1 + |z|. Montrer que z ∈ ℝ_+. En déduire que, si z et z^′ sont deux nombres complexes vérifiant |z + z^′| = |z| + |z^′| et z ≠ 0, alors
∃α ∈ ℝ_+|z^′ = αz.
Q 4. Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et z_1, …, z_n des nombres complexes non tous nuls tels que
|∑_(k = 1)^n z_k| = ∑_(k = 1)^n|z_k|.
Montrer que
∃θ ∈ ℝ|∀k ∈ [ [1, n] ], z_k = e^(iθ)|z_k|.
Dans le cas où z_1 ≠ 0, on pourra appliquer le résultat de la question précédente aux couples ( z_1, z_k ) pour k ∈ [ [2, n] ].

II Matrices strictement positives de M_2(ℝ)

Soit a, b, c et d des nombres réels strictement positifs et A = (a, b; c, d).
Q 5. Exprimer le discriminant Δ du polynôme caractéristique de A en fonction de a, b, c et d.
Q 6. Montrer que Δ > 0. En déduire qu'il existe deux réels λ et μ, vérifiant λ < μ, tels que A soit semblable à la matrice (μ, 0; 0, λ).
Q 7. Montrer que |λ| < μ.
Q 8. Montrer que la suite (A^k)_(k ∈ ℕ^∗) converge vers une matrice L non nulle si et seulement si μ = 1. En cas de convergence, préciser le rang de L puis montrer que L est la matrice d'un projecteur de ℝ^2.
Q 9. Soit α et β deux réels de ]0, 1[ et B la matrice (1 − α, β; α, 1 − β). Montrer que B est semblable à la matrice D = (1, 0; 0, 1 − α − β) et donner une matrice S de M_2(ℝ), inversible, telle que B = SDS^(− 1).
Q 10. En déduire que la suite (B^k)_(k ∈ ℕ^∗) converge vers une matrice Λ que l'on explicitera.

III Normes sous-multiplicatives sur M_n(ℂ); rayon spectral

III.A - Exemples de normes sous-multiplicatives sur M_n(ℂ)
Pour toute matrice A = (A_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) de M_n(ℂ), on pose
‖A‖_∞ = max_(1 ⩽ i ⩽ n)(∑_(j = 1)^n|A_(ij)|) et ‖A‖_2 = (∑_(i = 1)^n∑_(j = 1)^n|A_(ij)|^2)^(1/2).
Q 11. Montrer que ‖ ⋅ ‖_∞ est une norme sous-multiplicative sur M_n(ℂ).
Q 12. On admet que ‖ ⋅ ‖_2 est une norme sur M_n(ℂ); montrer que cette norme est sous-multiplicative.
Q 13. Soit N une norme sous-multiplicative sur M_n(ℂ) et S une matrice inversible de M_n(ℂ). Montrer que l'on définit une norme sous-multiplicative ν sur M_n(ℂ) en posant ν(A) = N(S^(− 1)AS) pour toute A ∈ M_n(ℂ).

III.B - Rayon spectral

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et A une matrice de M_n(ℂ).

III.B.1)

Q 14. Soit S une matrice inversible de M_n(ℂ). Comparer ρ(A) et ρ(S^(− 1)AS).
Q 15. Justifier que A est trigonalisable. Comparer, pour k ∈ ℕ^∗, ρ(A^k) et ρ(A)^k et, pour α ∈ ℂ, ρ(αA) et ρ(A).
Q 16. Montrer que, pour toute norme N sous-multiplicative sur M_n(ℂ), on a ρ(A) ⩽ N(A).
On pourra fixer une valeur propre λ de A et mettre en évidence une matrice H ∈ M_n(ℂ), non nulle, telle que AH = λH.

III.B.2)

Le but de cette section est de montrer que, pour tout réel strictement positif ε > 0, il existe une norme N sur M_n(ℂ), sous-multiplicative (dépendant de A et de ε ), telle que
N(A) ⩽ ρ(A) + ε.
À cette fin, on introduit, pour tout réel strictement positif τ, la matrice diagonale
D_τ = diag(1, τ, …, τ^(n − 1))
et on considère une matrice T triangulaire supérieure de M_n(ℂ).
Q 17. Calculer le produit D_τ^(− 1)TD_τ en précisant, pour tout (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, l'expression du coefficient en position ( i, j ) de la matrice D_τ^(− 1)TD_τ en fonction de τ et des coefficients de la matrice T.
Q 18. Montrer qu'il existe δ > 0 tel que, pour tout τ ∈ ℝ vérifiant |τ| ⩽ δ, on a ‖D_τ^(− 1)TD_τ‖_∞ ⩽ ρ(T) + ε.
Q 19. Conclure.
III.B.3)
Q 20. Utiliser ce qui précède pour montrer que la suite (A^k)_(k ∈ ℕ^∗) converge vers la matrice nulle si et seulement si ρ(A) < 1.

IV Théorème de Perron-Frobenius pour une classe de matrices symétriques positives

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et A une matrice non nulle de M_n(ℝ), symétrique et positive (c'est-à-dire à coefficients positifs ou nuls). On pose r = ρ(A).

IV.A -

Q 21. Justifier que A est diagonalisable sur ℝ. Que peut-on dire des sous-espaces propres de A ?
Q 22. Montrer que r > 0.
On note μ la plus grande valeur propre de A.
Q 23. Montrer que, pour tout vecteur X ∈ M_(n, 1)(ℝ), unitaire pour la norme euclidienne canonique,
X^⊤AX ⩽ μ.
On pourra faire le calcul dans une base orthonormée convenablement choisie.
Q 24. Montrer que cette inégalité est une égalité si, et seulement si, X est un vecteur propre de A associé à la valeur propre μ.
Q 25. Montrer que, pour tout vecteur unitaire X,
|X^⊤AX| ⩽ |X|^⊤A|X| ⩽ μ.
Q 26. En déduire que, pour toute valeur propre λ de A, on a |λ| ⩽ μ, et que μ = r.

IV.B -

Dans cette sous-partie uniquement, on suppose en outre que A est strictement positive.
Q 27. Montrer que, si X est un vecteur propre de A, unitaire, associé à la valeur propre r, alors |X| est un vecteur propre de A, unitaire, associé à la valeur propre r, et que |X| > 0.
Q 28. Montrer que X = |X| ou X = − |X|.
Q 29. Montrer que le sous-espace propre ker(A − rI_n) est de dimension 1.
On pourra raisonner par l'absurde en considérant deux vecteurs propres de A orthogonaux associés à r.
Q 30. Montrer que la multiplicité de r, en tant que valeur propre, vaut 1 et en déduire que − r n'est pas valeur propre de A.
Ainsi, r est l'unique valeur propre de A de module égal à r.
Q 31. Montrer que cette propriété n'est pas forcément vérifiée si A est seulement supposée positive.
On pourra chercher des exemples dans M_2(ℝ).

IV.C -

On suppose dans cette sous-partie qu'il existe un entier p ⩾ 2 tel que A^p est strictement positive. D'après la question 26, r est une valeur propre de A.
Q 32. Montrer que l'espace propre ker(A − rI_n) est de dimension 1, engendré par un vecteur strictement positif.
Q 33. Montrer que r est l'unique valeur propre de A de module égal à r.
On pourra distinguer deux cas suivant la parité de p.

IV.D - Une application : un théorème de Ky Fan

On admet que les résultats obtenus pour les matrices symétriques strictement positives, ou positives admettant une puissance strictement positive, restent vrais pour une matrice strictement positive. Ainsi, si B est une matrice strictement positive, alors ρ(B) est l'unique valeur propre de B de module maximal, elle est de multiplicité 1 en tant que valeur propre et son espace propre est de dimension 1 .
Soit A = (A_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) une matrice quelconque de M_n(ℂ) et B = (B_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) une matrice strictement positive de M_n(ℝ).
Q 34. Montrer que
sp(A) ⊂ ⋃_(i = 1)^n{z ∈ ℂ||z − A_(ii)| ⩽ ∑_(j = 1, j ≠ i)^n|A_(ij)|}.
On suppose que, pour tout couple (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2 tel que i ≠ j, on a |A_(ij)| ⩽ B_(ij).
Q 35. Montrer que
sp(A) ⊂ ⋃_(i = 1)^n{z ∈ ℂ|z − A_(ii)| ⩽ ρ(B) − B_(ii)}.
On pourra considérer un vecteur propre X = (X_1; ⋮; X_n) de B, strictement positif, associé à la valeur propre ρ(B), et utiliser la matrice D^(− 1)AD, où D = diag(X_1, …, X_n).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 PC 2023 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 PC 2023 ?

Sur l'algèbre bilinéaire et la réduction des matrices symétriques réelles, avec une incursion dans la topologie des espaces vectoriels normés en partie III. Le fil conducteur est le théorème de Perron-Frobenius.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths 1 PC Centrale 2023 ?

Sur 3501 copies corrigées, la moyenne est de 32,9 % du barème, avec un écart-type de 15,1 %. La meilleure copie obtient 83,1 % des points.

Quelles erreurs le jury de Centrale maths 1 PC 2023 a-t-il le plus relevées ?

Un cours élémentaire mal su (produit matriciel, Cauchy-Schwarz, théorème spectral), des démonstrations qui partent de la conclusion en Q3 et Q4, des équivalences mal organisées en Q8 et Q24, et des variables non déclarées.

Faut-il traiter beaucoup de questions pour réussir Centrale maths 1 PC 2023 ?

Non. Le jury indique que le soin apporté aux réponses a davantage compté que la quantité de questions traitées.

Pas de description pour le moment