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Centrale Mathématiques 2 PC 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

Matrices directement orthogonalement semblables et cercle propre

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Présentation du sujet

Difficile
Matrices directement orthogonalement semblables et cercle propre d'une matrice réelle d'ordre 2
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Le sujet de mathématiques 2 Centrale PC 2013 porte sur le calcul matriciel en dimension 2. En remplaçant λ par la matrice d'un nombre complexe x + iy dans l'équation det(A - λI) = 0, on associe à toute matrice réelle d'ordre 2 un cercle du plan complexe, le cercle propre, qui la caractérise à un changement de base orthonormée directe près. Le sujet relie ensuite ce cercle à la réduction des matrices et termine sur une quadrique de l'espace.

  1. 1Partie I : le groupe orthogonal en dimension 2Rotations planes, matrices semblables et sous-espaces propres, réflexions planes.
  2. 2Partie II : matrices directement orthogonalement semblablesPropriétés de cette relation de similitude et comparaison avec la similitude usuelle et la similitude orthogonale.
  3. 3Partie III : cercle propre d'une matrice carrée réelle d'ordre 2Définition du cercle propre, cas particuliers, lien avec la similitude directement orthogonale, rectangle propre et décomposition orthogonale en similitudes directe et indirecte.
  4. 4Partie IV : cercle propre et réductionLecture de la réductibilité de la matrice selon que le cercle propre coupe, touche ou évite l'axe des abscisses.
  5. 5Partie V : quadrique propreÉtude d'un hyperboloïde associé à la matrice et lecture des valeurs propres sur ses sections planes.

Difficile. Le jury décrit des candidats déstabilisés par les raisonnements par condition nécessaire et suffisante et désorientés par la longueur de l'énoncé, avec une partie III.C jugée très difficile.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Implications non justifiées · Résultats antérieurs ignorés · Morphisme de groupes mal compris
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Le jury relève un manque de culture de la preuve : les raisonnements par condition nécessaire et suffisante ont déstabilisé les candidats, et les paraphrases ne remplacent pas un argument. La description d'ensembles de matrices obtenus par changement de base a posé de gros problèmes. Beaucoup ont survolé le sujet à la recherche de questions faciles, au prix de fautes d'étourderie, et ont négligé les considérations géométriques.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Implications non justifiéesI.A.1, I.C.3

    Le sens « seulement si » de la première question est très rarement justifié complètement, et la même difficulté revient en I.C.3 où il fallait multiplier A par K2 pour se ramener au cas déjà traité.

    « Bien peu de copies contiennent cet argument »
  2. 2
    Résultats antérieurs ignorésI.C.2, II.A.3

    Beaucoup refont des calculs de valeurs et sous-espaces propres ou de longs calculs risqués au lieu d'utiliser I.B.2 ou la commutativité des rotations vue en I.A.3.

  3. 3
    Morphisme de groupes mal comprisI.A.3

    La notion de morphisme entre un groupe noté multiplicativement et un autre est parfois mal maîtrisée : certains testent un noyau réduit à la matrice nulle.

  4. 4
    Calculs trop lourds pour la similitudeII.B.2, II.B.3

    Réécrire B = P^(-1)AP sous la forme PB = AP simplifiait beaucoup, et montrer qu'une matrice de passage donnée n'est pas dans SO(2) ne prouve pas qu'aucune ne convient.

  5. 5
    Formules de cours appliquées à tortIII.B.1

    Beaucoup déduisent l'égalité des cercles propres de A et de sa transposée du seul fait qu'elles ont même déterminant ou même polynôme caractéristique.

  6. 6
    Dessins du cercle propre fauxIII.D.1

    La position du cercle est souvent fausse, même quand son équation a été correctement établie en III.A.1.

    « Une majorité de dessins faux est à déplorer »

Ce qui a été bien réussi

  • La question II.B.1 est plutôt bien réussie : les candidats identifient la géométrie d'un endomorphisme dans des cas simples.
  • Le théorème sur les endomorphismes à polynôme caractéristique scindé à racines simples est bien connu (IV.A.1).
  • L'hyperboloïde de révolution à une nappe est relativement bien reconnu en V.A.1, avec quelques bonnes représentations graphiques.

Conseils du jury

  • Justifier chaque assertion par un véritable argument, même bref, en particulier dans les équivalences.
  • Réutiliser systématiquement les résultats des questions précédentes.
  • Privilégier la concision sur les questions faciles pour garder du temps.
  • Ne pas renoncer aux arguments géométriques (orthogonalité, norme, rotations) au profit du seul calcul.
  • Éviter de sauter d'une question à l'autre : la précipitation multiplie les fautes d'étourderie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Matrices directement orthogonalement semblables et cercle propre

Pour n entier supérieur ou égal à 2 , on note M_n(ℝ) l'espace vectoriel des matrices carrées à coefficients réels à n lignes, et GL_n(ℝ) l'ensemble des matrices inversibles de M_n(ℝ).
On rappelle qu'une matrice M de M_n(ℝ) est dite orthogonale si ^t MM = I_n où ^t M désigne la transposée de M et où I_n est la matrice identité. On note O(n) l'ensemble des matrices orthogonales de M_n(ℝ), et SO(n) le sous-ensemble de O(n) constitué des matrices orthogonales de déterminant 1 . On rappelle que ( O(n), × ) est un sous-groupe de (GL_n(ℝ), ×) et que ( SO(n), × ) est un sous-groupe de ( O(n), × ). Le premier est appelé groupe orthogonal, le second groupe spécial orthogonal.
Pour A ∈ M_n(ℝ), on note f_A l'endomorphisme canoniquement associé à A, c'est-à-dire l'unique endomorphisme de ℝ^n dont la matrice dans la base canonique de ℝ^n est A.
Si λ est une valeur propre de A, on notera respectivement E_λ(A) et E_λ(f_A) les sous-espaces propres associés à λ, pour A et f_A respectivement.
On munit ℝ^2 de sa structure euclidienne orientée canonique, de sorte que la base canonique est orthonormée directe. Le produit scalaire est noté ( ⋅ | ⋅ ) et la norme euclidienne associée est notée ‖ ⋅ ‖.
Pour tout couple (u, v) de vecteurs non nuls de ℝ^2, on dit que θ est une mesure de l'angle orienté ( u, vˆ ) lorsque cosθ = ((u|v))/(‖u‖‖v‖) et sinθ = ([u, v])/(‖u‖‖v‖), où [ ⋅, ⋅ ] désigne le produit mixte, c'est-à-dire le déterminant dans n'importe quelle base orthonormée directe.
On appelle similitude de rapport k tout endomorphisme f de ℝ^2 pour lequel il existe un réel k > 0 et une matrice M de O(2) tels que la matrice de f dans la base canonique de ℝ^2 soit égale à kM.

I Le groupe orthogonal en dimension 2

I.A - Les rotations planes

I.A.1) Montrer que A ∈ SO(2) si et seulement si il existe un réel t tel que A = R_t avec R_t = (cost, − sint; sint, cost).
I.A.2) Écrire une procédure ou une fonction dans le langage Maple ou Mathematica qui prend en entrée un quadruplet (a, b, c, d) de réels et qui renvoie, lorsque c'est possible, un réel t tel que (a, b; c, d) = R_t et un message d'erreur dans le cas contraire.
I.A.3) Vérifier que l'application qui, à tout réel t, associe la matrice R_t, est un morphisme surjectif du groupe (ℝ, +) sur le groupe ( SO(2), × ).
Ce morphisme est-il bijectif ?
I.A.4) Montrer que, pour tout t de ℝ et tout u non nul de ℝ^2, t est une mesure de l'angle orienté ( uρ_t(u)ˆ ), où ρ_t est l'endomorphisme (la rotation d'angle t ) f_(R_t) canoniquement associé à R_t.
Pour tout k ∈ ℝ_+^∗ et tout t ∈ ℝ, l'endomorphisme kρ_t est appelé similitude directe de rapport k et d'angle t.

I.B - Matrices semblables et sous-espaces propres

Soit A, B ∈ M_n(ℝ) et P ∈ GL_n(ℝ) telles que B = P^(− 1)AP.
I.B.1) Montrer que f_A et f_B ont les mêmes valeurs propres.
I.B.2) Montrer que si λ est une valeur propre de A, alors E_λ(f_A) = f_P(E_λ(f_B)).

I.C - Les réflexions planes

I.C.1) On note K_2 = (1, 0; 0, − 1).
Vérifier que l'endomorphisme σ_0 = f_(K_2) est une réflexion (symétrie orthogonale par rapport à une droite du plan) dont on précisera les éléments propres.
I.C.2) Pour tout réel t, préciser l'endomorphisme σ_t canoniquement associé à R_t^(− 1)K_2 R_t et en particulier ses éléments propres.
I.C.3) Montrer, que pour toute matrice A de O(2) telle que det(A) = − 1, il existe un réel t tel que
A = (cos(2t), sin(2t); sin(2t), − cos(2t))

II Matrices directement orthogonalement semblables

Pour A, B dans M_n(ℝ), on dit que A est orthogonalement semblable à B (ce que l'on pourra abréger en : A os B ) s'il existe une matrice P de O(n) telle que B = P^(− 1)AP et on dit que A est directement orthogonalement semblable à B (en abrégé : A dos B ) s'il existe une matrice P de SO(n) telle que B = P^(− 1)AP.

II.A - Propriétés fondamentales de la similitude

II.A.1) Montrer que pour toute A de M_n(ℝ) on a A dos A, que pour tout (A, B) de M_n(ℝ)^2 si A dos B alors B dos A et que pour tout (A, B, C) de M_n(ℝ)^3 si A dos B et B dos C alors A dos C.
On dira donc indifféremment que A est directement orthogonalement semblable à B ou que A et B sont directement orthogonalement semblables.
On a les mêmes propriétés pour la relation de similitude orthogonale entre deux matrices carrées de même taille et on ne demande pas de refaire ici les vérifications.
II.A.2) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables à αI_n pour α réel ?
II.A.3) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables à A si A appartient à SO(2) ?
II.A.4) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables à K_2 ?

II.B - Comparaison des relations de similitude.

Avec SO(n) ⊂ O(n) ⊂ GL_n(ℝ), si deux matrices sont directement orthogonalement semblables alors elles sont orthogonalement semblables et si deux matrices sont orthogonalement semblables alors elles sont semblables.
II.B.1) Montrer que (0, 0; 0, 2) et (1, 1; 1, 1) sont directement orthogonalement semblables.
II.B.2) Montrer que (1, 0; 0, 2) et (3, 2; − 1, 0) sont semblables mais ne sont pas orthogonalement semblables.
II.B.3) Montrer que (3, 2; − 1, 0) et sa transposée sont orthogonalement semblables mais ne sont pas directement orthogonalement semblables.

III Cercle propre d'une matrice carrée réelle d'ordre 2

III.A - Cercle propre

Pour A = (a, b; c, d) de M_2(ℝ) et (x, y) de ℝ^2, on note φ_A(x, y) le déterminant de la matrice A(x, y) = (a − x, b − y; c + y, d − x) et on considère CP_A la courbe de ℝ^2 définie par l'équation : φ_A(x, y) = 0.
III.A.1) Vérifier que CP_A est un cercle (on convient qu'un cercle peut être réduit à un point) ; on appellera CP_A cercle propre de A. Préciser son centre C_A et son rayon r_A.
III.A.2) Préciser, en fonction de A, le cardinal de l'intersection de CP_A avec l'axe des abscisses ℝ × {0}.
III.A.3) Que représentent les solutions de l'équation φ_A(x, 0) = 0 pour A ?
Préciser le nombre de valeurs propres réelles de A selon la valeur de Δ_A = (a − d)^2 + 4bc.

III.B - Deux cas particuliers

Soit A ∈ M_2(ℝ).
III.B.1) Comparer le cercle propre de A et celui de sa transposée.
III.B.2) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur CP_A pour que A soit symétrique.
III.B.3)
a) Déterminer les matrices dont le cercle propre est de rayon nul et caractériser géométriquement leur endomorphisme canoniquement associé.
b) Lorsque le cercle propre est réduit à son centre, préciser l'endomorphisme canoniquement associé, d'une part quand ce centre appartient au cercle trigonométrique (de centre l'origine O = (0, 0) et de rayon 1) et d'autre part quand ce centre appartient à l'axe des abscisses.
c) Que peut-on dire de la matrice A et de f_A quand le cercle propre CP_A est de rayon nul et de centre appartenant à l'axe des ordonnées {0} × ℝ ?

III.C - Cercle propre et matrices directement orthogonalement semblables

Montrer que deux matrices A et B de M_2(ℝ) sont directement orthogonalement semblables si et seulement si elles ont le même cercle propre.

III.D - Rectangle propre

Pour A = (a, b; c, d) dans M_2(ℝ) on considère les quatre points (éventuellement confondus) E = (d, − c), F = (a, b), G = (d, b) et H = (a, − c).
III.D.1) Dans le cas où A = (1, 7; − 1, 3), représenter le cercle et le quadrilatère EHFG.
III.D.2) Lorsque les quatre points E, F, G et H sont distincts montrer qu'ils sont les sommets d'un rectangle, que l'on appellera rectangle propre de A.
III.D.3) Préciser les matrices pour lesquelles certains de ces points sont confondus, c'est-à-dire lorsque le rectangle est aplati.

III.E - Décomposition orthogonale d'un endomorphisme

Soit A = (a, b; c, d) de M_2(ℝ).
III.E.1) Montrer qu'il existe un unique triplet ( α, β, γ ) de ℝ^2 × ℝ_+que l'on précisera, tel que A soit directement orthogonalement semblable à (α + γ, − β; β, α − γ).
III.E.2) Suivant les valeurs de ( α, β, γ ) préciser le nombre de valeurs propres réelles de A.
III.E.3) Montrer que pour tout endomorphisme f de ℝ^2, il existe des réels positifs ou nuls k et ℓ, une rotation plane ρ_t et une réflexion σ_(t^′) tels que f = kρ_t + ℓσ_(t^′).
III.E.4) Écrire une procédure ou une fonction dans le langage Maple ou Mathematica qui prend en entrée un quadruplet (a, b, c, d) de réels et qui renvoie un quadruplet (k, ℓ, t, t^′) tel que si A = (a, b; c, d) on ait f_A = kρ_t + ℓσ_(t^′).

IV Cercle propre et réduction

IV.A - Cercle propre sécant avec l'axe des abscisses

Dans cette section on considère un cercle C(Ω, r) de centre Ω et de rayon r non nul, sécant avec l'axe des abscisses.
On note L_1 et L_2, de coordonnées respectives ( λ_1, 0 ) et ( λ_2, 0 ), avec λ_1 < λ_2, les deux points d'intersection de C(Ω, r) avec l'axe des abscisses.
Soit A = (a, b; c, d) une matrice de cercle propre égal à C(Ω, r). On conserve les notations E, F, G, H de III.D.
IV.A.1) Montrer que A est diagonalisable.
IV.A.2) Montrer que si c ≠ 0, alors (L_1 E^(→−), L_2 E^(→−)) est une base de ℝ^2 constituée de vecteurs propres pour f_A.
IV.A.3) Lorsque c = 0, peut-on donner une base de vecteurs propres pour f_A à l'aide du cercle propre et du rectangle propre?
IV.A.4) Montrer que le carré du cosinus de l'angle de deux vecteurs propres de A associés à deux valeurs propres distinctes est déterminé par le cercle C(Ω, r), et ne dépend pas du choix d'une matrice A de cercle propre égal C(Ω, r) (on pourra, si on le juge utile, introduire la projection orthogonale de Ω sur l'axe des abscisses).
Qu'en est-il si A est symétrique?
IV.A.5) Caractériser géométriquement f_A lorsque Ω = O, avec O = (0, 0), et r = 1.
IV.A.6) Caractériser géométriquement f_A lorsque CP_A est le cercle de diamètre le segment [O, I] avec I = (1, 0).

IV.B - Cercle propre tangent à l'axe des abscisses

Dans cette section on considère un cercle C(Ω, r) de centre Ω et de rayon r non nul, tangent à l'axe des abscisses.
On appelle L, de coordonnées ( λ, 0 ), le point de contact de C(Ω, r) avec l'axe des abscisses.
Soit A une matrice de cercle propre égal à C(Ω, r).
IV.B.1) La matrice A est-elle diagonalisable ? Est-elle trigonalisable ?
IV.B.2) Peut-on donner un vecteur propre à l'aide des points L, E, F, G et H ?
IV.B.3) Que peut-on dire des matrices dont le cercle propre est tangent à l'axe des abscisses et de centre situé sur l'axe des ordonnées?
IV.B.4) Montrer qu'il existe un unique réel non nul α tel que A soit directement orthogonalement semblable à la matrice T_(λ, α) = (λ, α; 0, λ).
Préciser α à l'aide des éléments de la matrice A.
Où peut-on retrouver ce nombre sur le cercle propre ?
IV.B.5) Montrer qu'il existe une base orthonormée directe ( e_1, e_2 ) du plan telle que l'on ait, pour tout u de ℝ^2, f_A(u) = λu + α(e_2|u)e_1.

IV.C - Cercle propre disjoint de l'axe des abscisses

Dans cette section on considère un cercle C(Ω, r) de centre Ω et de rayon r ⩾ 0 disjoint de l'axe des abscisses. On note K le projeté orthogonal de Ω sur l'axe des abscisses.
Soit A une matrice de cercle propre égal à C(Ω, r).
IV.C.1) Existe-t-il une matrice P de GL_2(ℝ) telle que la matrice P^(− 1)AP soit diagonale ?
Existe-t-il une matrice P de GL_2(ℝ) telle que la matrice P^(− 1)AP soit triangulaire supérieure ?
IV.C.2) Déterminer les points de C(Ω, r) en lesquels la tangente à C(Ω, r) contient K.
IV.C.3) Si U est l'un de ces points, exprimer les valeurs propres de A, considérée comme élément de M_2(ℂ), à l'aide de l'abscisse de K et de la distance KU de K à U.

IV.D - Deux exemples

Dans cette section, on considère dans ℝ^2 un cercle C(Ω, r) de centre Ω et de rayon r et A = (a, b; c, d) une matrice de cercle propre égal à C(Ω, r).
IV.D.1) Dans cette question, Ω = (α, β) ∈ ℝ × ℝ^∗, r = |β| et E = (α + |β|, β).
Préciser les valeurs propres de A et donner une matrice B dont les termes non diagonaux sont opposés et qui soit directement orthogonalement semblable à A, ainsi qu'une décomposition orthogonale de l'endomorphisme canoniquement associé à B.
IV.D.2) Dans cette question Ω = (0, α) avec α > 0 et r = α/2.
Préciser les valeurs propres A et donner une matrice B dont les éléments non diagonaux sont opposés et qui soit directement orthogonalement semblable à A, ainsi qu'une décomposition orthogonale de l'endomorphisme canoniquement associé à B.
Faire un dessin dans le cas où α = 6 illustrant les questions IV.C. 2 et IV.C.3.

V Quadrique propre

Pour A = (a, b; c, d) de M_2(ℝ) et (x, y, z) de ℝ^3, on note ψ_A(x, y, z) la partie réelle du déterminant de la matrice (a − x − iz, b − y; c + y, d − x − iz), où i est l'affixe complexe du point J = (0, 1).
V.A −
V.A.1) Calculer ψ_A(x, y, z).
V.A.2) Préciser la nature de la quadrique H_A d'équation ψ_A(x, y, z) = 0.
V.B −
V.B.1) Préciser l'intersection de H_A avec le plan d'équation z = 0.
V.B.2) Préciser l'intersection Z_A de H_A avec le plan d'équation x = (a + d)/2.
V. C -
V.C.1) Si la matrice A a deux valeurs propres non réelles, comment voir les valeurs propres de A sur H_A ? (On pourra s'intéresser à l'intersection de Z_A avec le plan d'équation y = 0.)
Peut-on voir une base de vecteurs propres à l'aide de H_A ?
V.C.2) Dans le cas où A = (1, 7; − 1, 3) faire un dessin en perspective illustrant ce qui précède.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths 2 Centrale PC 2013 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths 2 Centrale PC 2013 ?

Sur les matrices réelles d'ordre 2 : rotations et réflexions, similitude par changement de base orthonormée directe, et cercle propre, un cercle du plan complexe qui caractérise la matrice et renseigne sur sa réduction.

Quelles erreurs le jury de maths 2 Centrale-Supélec PC 2013 a-t-il relevées ?

Des implications non justifiées, des résultats antérieurs non réutilisés, des calculs trop lourds pour la similitude, des formules de cours appliquées à tort et des dessins du cercle propre faux.

Quels chapitres réviser pour le sujet de maths 2 Centrale PC 2013 ?

Le groupe orthogonal en dimension 2, les matrices semblables, la réduction des endomorphismes et le théorème spectral, la géométrie du plan complexe et les quadriques.

Le sujet de maths 2 Centrale PC 2013 est-il long ?

Oui, selon le jury, la longueur et le grand nombre de questions ont désorienté certains candidats, qui ont survolé le sujet et commis des fautes d'étourderie.

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