Centrale Mathématiques 1 PC 2013Sujet et rapport du jury

Le problème se propose d'étudier par diverses méthodes une intégrale dépendant d'un paramètre. Cette intégrale provient de l'étude du « noyau de Poisson »

défini sur le disque unité ouvert du plan complexe. Elle permet d'établir un lien entre séries entières et séries de Fourier.
Les sous-parties III.B, III.C et III.D donnent des méthodes différentes en vue d'un même résultat. Elles doivent être traitées comme indépendantes entre elles.
On utilise les notations habituelles pour les ensembles ℕ, ℤ, ℝ et ℂ.

I.A - Soit (a_n)_(n ∈ ℕ^∗) une suite réelle décroissante qui converge vers 0 , et (b_n)_(n ∈ ℕ^∗) une suite complexe telle que la suite (B_n)_(n ∈ ℕ^∗) définie pour tout n ∈ ℕ^∗ par B_n = b_1 + ⋯ + b_n est bornée.
I.A.1) Montrer que, pour tout entier n ⩾ 2,

I.A.2) En déduire que la série ∑a_n b_n converge.
I.A.3) Application

Montrer que, pour tout θ ∈ ℝ∖2πℤ, la série ∑_(n ≥ 1)(e^(inθ))/n converge.
I.B - On considère la série de fonctions ∑_(n ≥ 1)(sin(nx))/(√n), où x est une variable réelle.
I.B.1) Montrer que cette série de fonctions converge simplement sur ℝ.
I.B.2) Montrer qu'elle ne peut pas être la série de Fourier d'une fonction 2π-périodique continue par morceaux.

On pourra commencer par rappeler la formule de Parseval.
I. C - Soit p la fonction de ℝ dans ℝ définie par

I.C.1) Montrer que p est bien définie, continue et 2π-périodique.
I.C.2) Déterminer la série de Fourier de p.
I.C.3) Montrer que la fonction p n'est pas de classe C^1.

II Étude de la série entière ∑(e^(inθ))/nx^n
II.A - Soit θ ∈ ℝ.
II.A.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑(e^(inθ))/nx^n.
II.A.2) Soit g la fonction de ] − 1, 1[ dans ℂ définie par

a) Montrer que g est de classe C^1 sur ] − 1, 1[ et que, pour tout x ∈ ] − 1, 1[,

b) Montrer que, si x ∈ ] − 1, 1[,

est bien défini et que h(x) = g(x).
II.B - Soit θ ∈ ℝ∖2πℤ.
II.B.1) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗,

II.B.2) En déduire que

On pourra utiliser le théorème de convergence dominée.
II.B.3) En déduire que

II.B.4) Montrer que, pour tout θ ∈ ]0, π[,

II. C - Soit r : ℝ → ℝ, une fonction 2π-périodique, impaire, telle que ∀θ ∈ ]0, π], r(θ) = (π − θ)/2.
II.C.1) Justifier l'existence et l'unicité de r.
II.C.2) Déterminer la série de Fourier de r.
II.C.3) En déduire que ∑_(n = 0)^(+ ∞)1/((2n + 1)^2) = (π^2)/8.

III Calcul de ∫_0^π ln(x^2 − 2xcosθ + 1)dθ

III.A.1) Montrer que si x est un réel différent de 1 et de -1 , alors x^2 − 2xcosθ + 1 > 0 pour tout θ ∈ ℝ.
III.A.2) Étudier la convergence des intégrales impropres

En déduire que, pour tout x ∈ ℝ, l'intégrale ∫_0^π ln(x^2 − 2xcosθ + 1)dθ converge.
III.A.3) Montrer que, quand x tend vers + ∞,

admet une limite, que l'on déterminera.
III.A.4) Montrer que x ↦ ∫_0^π ln(x^2 − 2xcosθ + 1)dθ est une fonction paire de la variable x ∈ ℝ.

III.B.1) Soit x ∈ ] − 1, 1[.

Déterminer la série de Fourier de la fonction h˜ : ℝ → ℝ définie par h˜(θ) = ln(x^2 − 2xcosθ + 1).
On pourra utiliser le résultat de la question II.A.2.
III.B.2) En déduire que, pour tout x ∈ ] − 1, 1[, on a ∫_0^π ln(x^2 − 2xcosθ + 1)dθ = 0.

En déduire la valeur de ∫_0^π ln(x^2 − 2xcosθ + 1)dθ dans le cas |x| > 1.
III.B.3) Montrer que l'intégrale impropre ∫_0^(π/2)ln(cosθ)dθ converge.
III.B.4) Montrer que ∫_0^π ln(sinθ)dθ = 2∫_0^(π/2)ln(sinθ)dθ = 2∫_0^(π/2)ln(cosθ)dθ.
III.B.5) En déduire que ∫_0^π ln(sinθ)dθ = − πln2.
III.B.6) En déduire que ∫_0^π ln(2 − 2cosθ)dθ = ∫_0^π ln(2 + 2cosθ)dθ = 0.

Soit f la fonction de ℝ dans ℝ définie par f(x) = ∫_0^π ln(x^2 − 2xcosθ + 1)dθ.
III.C.1) Montrer que f est dérivable sur ℝ∖{ − 1, 1} et que

III.C.2) En déduire que ∀x ∈ ℝ∖{ − 1, 1}

III.C.3) En déduire que

On déterminera d'abord des coefficients A et B fonctions de x tels que ((x + 1)T + (x − 1))/(((x + 1)^2 T + (x − 1)^2)(T + 1)) = A/((x + 1)^2 T + (x − 1)^2) + B/(T + 1) pour tout T ∈ ℝ tel que ces fractions soient définies.
III.C.4) Montrer que f est continue sur ℝ et que f(1) = f(− 1) = 0.

On pourra montrer que ∀x ∈ ℝ, x^2 − 2xcosθ + 1 ⩾ sin^2 θ et utiliser le théorème de la convergence dominée.

III.D.1) Montrer que ∀x ∈ ℝ∖{ − 1, 1}

III.D.2) Montrer que, pour tout x ∈ ℝ et pour tout n ∈ ℕ^∗,

III.D.3) En déduire que

III.D.4) En déduire ∫_0^π ln(x^2 − 2xcosθ + 1)dθ pour x ∈ ℝ∖{ − 1, 1}.
III.D.5) Montrer que ∀x ∈ ℝ et ∀n ∈ ℕ^∗

III.D.6) Montrer que ∏_(k = 1)^(n − 1)sin(kπ)/(2n) = (√n)/(2^(n − 1)).
III.D.7) En déduire que

Retrouver alors le résultat de la question III.B.6.

IV. A - Soit (a_n)_(n ∈ ℕ) une suite complexe. On suppose que la série ∑a_n converge. Pour n ∈ ℕ, on note r_n = ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)a_k et on définit les fonctions s_n et s de [0, 1] dans ℂ par s_n(x) = ∑_(k = 0)^n a_k x^k et s(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)a_k x^k.
IV.A.1) Justifier l'existence de s.
IV.A.2) Soit x ∈ [0, 1] et n ∈ ℕ^∗. Montrer

IV.A.3) Montrer que s est continue sur [0, 1].

Pour la continuité en 1 , fixer ε > 0 et montrer que si l'entier naturel N vérifie |r_n| ⩽ ε pour tout n ⩾ N, alors |s(x) − s_N(x)| ⩽ 2ε pour tout x ∈ [0, 1]. Majorer ensuite le module de s(x) − s(1) = (s(x) − s_N(x)) + (s_N(x) − s_N(1)) + (s_N(1) − s(1)).
IV.A.4) Application : retrouver le résultat de la question II.B.3.
IV.B - Soit θ ∈ ℝ. Déterminer le développement en série entière de la fonction

sur un intervalle que l'on précisera.
IV.C - Soit f : ℝ → ℝ une fonction 2π-périodique et de classe C^1. On considère la série de Fourier de f en cosinus et sinus, notée

IV.C.1) Montrer que, pour tout x ∈ ] − 1, 1[ et tout t ∈ ℝ,

IV.C.2) En déduire que, pour tout t ∈ ℝ,