Centrale Mathématiques 1 PC 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Fonctions de plusieurs variables : jacobien, divergence, matrices jacobiennes symétriques, antisymétriques et orthogonales

Le sujet étudie les fonctions de classe C1 de R^n dans R^n sous plusieurs angles. Il propose une interprétation géométrique du jacobien, puis relie la divergence d'une fonction linéaire plane à l'aire d'un parallélogramme solution d'un système différentiel. Il termine par l'étude des fonctions de classe C2 dont la jacobienne est en tout point symétrique, antisymétrique (avec une démonstration du théorème de Poincaré) ou orthogonale.

1Partie I : Une interprétation du jacobienDonner une interprétation géométrique du jacobien d'une fonction de classe C1 comme limite d'un rapport de déterminants.
2Partie II : Une interprétation de la divergence dans un cas particulierÉtudier, en dimension 2 pour une fonction linéaire, un système différentiel et relier la divergence à l'aire d'un parallélogramme.
3Partie III : Matrice jacobienne symétrique, antisymétriqueÉtudier les fonctions de classe C2 à jacobienne symétrique ou antisymétrique et démontrer le théorème de Poincaré.
4Partie IV : Matrice jacobienne orthogonaleÉtudier les fonctions de classe C2 dont la jacobienne est en tout point une matrice orthogonale.

Difficulté moyenne. Le rapport souligne une longueur très raisonnable et des notions dans l'ensemble plutôt bien comprises, mais aussi une dispersion assez forte des notes et des questions comme III.C ou IV.C réussies seulement par les meilleures copies.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion sur la notation de dérivée · Hypothèses du théorème de Schwarz omises · Justification manquante pour le terme négligeable

Le sujet, de longueur raisonnable, porte sur les fonctions de plusieurs variables et a permis à un nombre important de candidats de traiter l'ensemble des questions. Les notions de différentielle, jacobienne et dérivées partielles sont en général plutôt bien comprises, même si la rigueur n'est pas toujours au rendez-vous. L'épreuve a été globalement classante, avec une répartition équilibrée entre copies de niveau très faible et copies d'excellent niveau.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion sur la notation de dérivéeI.A
Certaines copies parlent de dérivée f'(x) alors que f dépend de plusieurs variables, ce qui montre une faiblesse sur le cadre des fonctions de plusieurs variables.
2
Hypothèses du théorème de Schwarz omisesIII.A
Le théorème de Schwarz est utilisé plusieurs fois sans que ses hypothèses soient citées, dans une copie sur deux seulement ; il est même parfois attribué à Cauchy, Fubini ou Fermat.
3
Justification manquante pour le terme négligeableI.C
Le terme o(t^n) sort systématiquement du déterminant sans aucune justification, les arguments de multilinéarité et de continuité étant fusionnés à tort.
4
Dérivée de fonctions composées mal maîtriséeIII.C
Le calcul formel de la dérivée demandée, le plus souvent faux, montre de réelles difficultés à expliciter la dérivée de fonctions composées sur une question réellement difficile.
5
Matrices de passage mal géréesII.D.2
Dans la méthode par diagonalisation, les candidats ont souvent eu du mal à se débarrasser des matrices de passage.
6
Propriété matricielle utilisée sans justificationIV.A.3
Une propriété du type « AB = 0 entraîne B = 0 » est souvent utilisée sans hypothèses complémentaires.

Ce qui a été bien réussi

Les notions de différentielle, jacobienne et dérivées partielles d'ordre 1 et 2 sont en général plutôt bien comprises par une majorité de candidats.
La résolution des systèmes linéaires de la partie II, qui ne présentait pas de réelles difficultés, est en général bien traitée.
La question II.B a été très bien traitée, y compris la correction d'une coquille de l'énoncé.
De nombreuses copies sont de bonne facture malgré l'originalité du sujet.

Conseils du jury

S'attarder sur certaines questions plutôt que de grappiller les points des questions faciles, sous peine de voir sa note plafonner.
Soigner la rédaction et les figures : ce sont des éléments pris en compte dans l'évaluation.
Toujours justifier son argumentation, les copies qui ne le font pas étant pénalisées.
Citer systématiquement les hypothèses des théorèmes utilisés, comme celui de Schwarz.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Mathématiques 1

Notations et conventions

Dans ce problème, $n$ désigne un entier supérieur ou égal à 2 .
On confond vecteur de $ℝ^n$ et matrice colonne correspondante, ce qui permet des écritures du type $Ax$ où $A$ est une matrice carrée réelle de taille $n$ et $x$ un élément de $ℝ^n$ .
Si $f$ est une fonction de classe $C^1$ de $ℝ^n$ dans $ℝ^n$ et si $x$ est un élément de $ℝ^n$ , on note

f(x) = (f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x))

ce qui, compte tenu de la convention précédente, s'écrit aussi

f(x) = (f_1(x); f_2(x); ⋮; f_n(x))

i

j

sont deux entiers de

[ [1, n] ]

, la

j

-ème dérivée partielle de

f_i

x

est notée

D_j f_i(x)

(\partialf_i)/(\partialx_j)(x)

Le déterminant d'une matrice carrée $A$ est noté $det(A)$ .
Avec les notations précédentes, on appelle matrice jacobienne de $f$ en $x$ et on note $J_f(x)$ la matrice carrée réelle de taille $n$ dont le terme situé sur la $i$ -ème ligne et la $j$ -ème colonne est $D_j f_i(x)$ .
On appelle jacobien de $f$ en $x$ et on note $jac_f(x)$ , le déterminant $det(J_f(x))$ de la matrice jacobienne $J_f(x)$ .
On appelle divergence de $f$ en $x$ et on note $div_f(x)$ , la trace de la matrice jacobienne $J_f(x)$ . On a donc

div_f(x) = tr(J_f(x)) = \sum_(i = 1)^n D_i f_i(x)

Les quatre parties sont pour une large part indépendantes les unes des autres.

I Une interprétation du jacobien

IA

Soit

A

une matrice carrée réelle de taille

n

b

un élément de

ℝ^n

. Soit

f

l'application de

ℝ^n

dans

ℝ^n

définie par

\forallx \in ℝ^n f(x) = Ax + b

Montrer que

f

est de classe

C^1

et préciser sa matrice jacobienne

J_f(x)

en tout point

x

ℝ^n

I.B

- Dans cette section,

g

désigne une fonction de classe

C^1

ℝ^n

dans

ℝ

.
On fixe un élément

a = (a_1, a_2, \dots, a_n)

ℝ^n

.
Soit

φ

la fonction de

ℝ

dans

ℝ

définie par

φ(t) = g(ta) = g(ta_1, ta_2, \dots, ta_n)

I.B.1) Justifier que

φ

est de classe

C^1

sur

ℝ

et, pour tout réel

t

, donner

φ^'(t)

.
I.B.2) En déduire qu'au voisinage de 0

g(ta) = g(0) + t(a_1 D_1 g(0) + a_2 D_2 g(0) + \dots + a_n D_n g(0)) + o(t)

I.C

- Dans cette section,

f

désigne une fonction de classe

C^1

ℝ^n

dans

ℝ^n

vérifiant

f(0) = 0

. Pour

t

réel et

j

entier de

[ [1, n] ]

, on note

t_j

l'élément (

0, \dots, 0, t, 0, \dots, 0

) de

ℝ^n

, le réel

t

étant situé au rang

j

.
I.C.1) On admettra que si des fonctions

φ_1, φ_2, \dots, φ_n

sont continues sur

ℝ

et à valeurs dans

ℝ^n

, alors la fonction

Φ

définie sur

ℝ

par :

Φ(t) = det(φ_1(t), φ_2(t), \dots, φ_n(t))

est continue sur

ℝ

En utilisant la question I.B. 2 et la multilinéarité du déterminant, montrer qu'au voisinage de 0

det(f(t_1), f(t_2), \dots, f(t_n)) = t^n jac_f(0) + o(t^n)

I.C.2) En déduire que

lim_(t \to 0)(det(f(t_1), \dots, f(t_n)))/(det(t_1, \dots, t_n)) = jac_f(0)

I.C.3) Dans le cas

n = 2

(respectivement

n = 3

), donner une interprétation géométrique de la valeur absolue du jacobien de

f

en 0 à l'aide d'aires de parallélogrammes (respectivement volumes de parallélépipèdes).

II Une interprétation de la divergence dans un cas particulier

On désigne par

A

une matrice réelle carrée de taille 2 et on pose, pour tout

x

dans

ℝ^2, f(x) = Ax

.
II.A - Pour

x

dans

ℝ^2

, exprimer

div_f(x)

à l'aide de

A

seulement.

Pour

a

dans

ℝ^2

, on note

u_a(t)

la solution sur

ℝ

du problème de Cauchy

X^' = AX, X(0) = a

Autrement dit,

u_a

est l'unique fonction

C^1

ℝ

dans

ℝ

telle que

u_a(0) = a

et, pour tout réel

t, u_a^'(t) = Au_a(t)

.
II.B - Dans cette section et la suivante, on suppose

A

diagonale de la forme

A = diag(λ_1, λ_2) = (λ_1, 0; 0, λ_2)

II.B.1) Que vaut

u_a(t)

?
II.B.2) Soit

a

b

deux éléments de

ℝ^2

et soit

t

un réel. Montrer que

det(u_a(t), u_b(t)) = exp(tdiv_f(a))det(u_a(0), u_b(0))

II.B.3) Utiliser le résultat précédent pour interpréter le signe de

div_f(a)

en termes de sens de variation de l'aire d'un certain parallélogramme comme fonction de

t

II.C - Exemple

On suppose toujours que

A = diag(λ_1, λ_2)

.
II.C.1) On pose

a = (a_1, a_2)

u_a(t) = (x_1(t), x_2(t))

. On suppose que

λ_1 \neq 0

a_1 > 0

. Déterminer une fonction

θ_a

telle que

x_2(t) = θ_a(x_1(t))

pour tout réel

t

.
II.C.2) Dans cette question,

a = (2, 1)

b = (1, 2)

Pour chacun des cas suivants, illustrer sur une même figure les courbes représentatives des fonctions

θ_a, θ_b

θ_(a + b)

, ainsi que les parallélogrammes de sommets

(0, 0), u_a(t), u_b(t)

u_a(t) + u_b(t)

pour

t = 0

et une valeur de

t

strictement positive.
a)

λ_1 = 1

λ_2 = 2

.
b)

λ_1 = 1

λ_2 = - 2

.
c)

λ_1 = 1

λ_2 = - 1

II.D -

II.D.1) Reprendre les questions II.B. 1 et II.B. 2 dans le cas où

A

est triangulaire de la forme

A = (λ, μ; 0, λ)

II.D.2) Montrer que la relation

det(u_a(t), u_b(t)) = exp(tdiv_f(a))det(u_a(0), u_b(0))

est valable lorsque la matrice

A

possède un polynôme caractéristique scindé sur

ℝ

.
II.D.3) Étendre ce résultat au cas d'une matrice réelle

2 \times 2

quelconque.

III Matrice jacobienne symétrique, antisymétrique

Dans le début de cette partie

f

est une fonction de classe

C^2

ℝ^n

dans lui-même.
Si

x

est un élément de

ℝ^n

, on note toujours

f(x) = (f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)) = (f_1(x); f_2(x); ⋮; f_n(x))

i, j

k

sont trois entiers de

[ [1, n] ]

, la dérivée partielle seconde de

f_k

x

par rapport aux variables

x_i

x_j

est notée

D_(i, j)f_k(x)

(\partial^2 f_k)/(\partialx_i\partialx_j)(x)

, ou encore

f_(i, j, k)(x)

.
III. A - Justifier que, pour tout

x

dans

ℝ^n

et tous

i, j

k

dans

[ [1, n] ]

, on a

f_(i, j, k)(x) = f_(j, i, k)(x)

.
III. B - Dans cette section, on suppose que la matrice jacobienne

J_f(x)

est antisymétrique pour tout

x

dans

ℝ^n

.
III.B.1) Montrer que pour tout

x

dans

ℝ^n

, et tous

i, j

k

dans

[ [1, n] ], f_(i, j, k)(x) = - f_(i, k, j)(x)

.
III.B.2) En déduire que, pour tout

x

dans

ℝ^n

et tous

i, j

k

dans

[ [1, n] ]

, on a

f_(i, j, k)(x) = 0

.
III.B.3) Montrer qu'il existe une matrice carrée réelle

A

de taille

n

et un élément

b

ℝ^n

tels que pour tout

x

dans

ℝ^n, f(x) = Ax + b

.
Justifier que

A

est antisymétrique.
III.B.4) Soit

f

une fonction de classe

C^2

ℝ^n

dans lui-même. À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur

f

, la matrice jacobienne

J_f(x)

est-elle antisymétrique pour tout

x

dans

ℝ^n

?
III.

C

- Maintenant

f

est une fonction de classe

C^1

ℝ^n

dans lui-même.

Montrer que la matrice jacobienne

J_f(x)

est symétrique pour tout

x

dans

ℝ^n

si et seulement si il existe

g

de classe

C^2

sur

ℝ^n

à valeurs dans

ℝ

telle que

\forallx \in ℝ^n, \foralli \in [ [1, n] ], f_i(x) = D_i g(x)

On pourra considérer l'application

g

définie par

g(x) = \sum_(i = 1)^n x_i\int_0^1 f_i(tx)dt

et on exprimera

D_i g(x)

sous forme d'une seule intégrale.

IV Matrice jacobienne orthogonale

Dans cette partie,

f

est une fonction de classe

C^2

ℝ^n

dans lui-même.
On considère la proposition
Pour tout

x

ℝ^n

, la matrice jacobienne

J_f(x)

f

est orthogonale.
Pour

x

dans

ℝ^n

i, j, k

dans

[ [1, n] ]

, on note

α_(i, j, k)(x) = \sum_(p = 1)^n(\partialf_p)/(\partialx_i)(x) \cdot (\partial^2 f_p)/(\partialx_j\partialx_k)(x)

IV.A

- On suppose (

P

).
IV.A.1) Montrer que pour tous

i, j

k

[ [1, n] ], α_(i, j, k) = α_(i, k, j) = - α_(k, j, i)

.
IV.A.2) En déduire que pour tous

i, j

k

[ [1, n] ], α_(i, j, k) = 0

.
IV.A.3) Montrer qu'il existe une matrice orthogonale

A

et un élément

b

ℝ^n

tels que, pour tout

x

ℝ^n

f(x) = Ax + b

On pourra interpréter les relations

α_(i, j, k) = 0

à l'aide de produits matriciels.
IV.B - Soit

f

une fonction de classe

C^2

ℝ^n

dans lui-même. À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur

f

, la proposition (

P

) est-elle réalisée ?

IV.C - Si g

est une fonction de classe

C^2

ℝ^n

dans

ℝ

, on note

Δ_g(x) = \sum_(i = 1)^n(\partial^2 g)/(\partialx_i^2)(x)

(laplacien de

g

x

). Montrer que (

P

) est équivalente à la proposition

Pour toute fonction

g

de classe

C^2

ℝ^n

dans

ℝ, Δ_(g \circ f) = (Δ_g) \circ f

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 PC 2014 ?

Il porte sur les fonctions de plusieurs variables : jacobien, différentielle, théorème de Schwarz, systèmes différentiels linéaires et calcul différentiel autour de matrices jacobiennes symétriques, antisymétriques ou orthogonales.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

L'omission des hypothèses du théorème de Schwarz, des justifications manquantes lors du passage à la limite dans un déterminant, et des difficultés à dériver des fonctions composées.

Ce sujet Centrale maths 1 PC 2014 est-il difficile ?

De longueur raisonnable et globalement plutôt bien compris, il reste classant : le rapport signale une dispersion assez forte des notes, avec des questions comme III.C ou IV.C réussies seulement par les meilleures copies.

Faut-il bien connaître le théorème de Schwarz pour ce sujet ?

Oui, il est utilisé à plusieurs reprises dans les parties III et IV, mais le rapport note que ses hypothèses ne sont citées que dans une copie sur deux.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Mathématiques 1 PC 2014

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