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Mines Mathématiques 1 PC 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

Le flot de Toda

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Le flot de Toda : tridiagonalisation de Householder, matrices de Jacobi et paires de Lax
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Le sujet étudie le flot de Toda, un système différentiel non linéaire vu comme une version continue de l'algorithme QR. Il part de l'algorithme de tridiagonalisation de Givens-Householder puis construit, à l'aide d'une paire de Lax, la convergence des matrices symétriques tridiagonales issues du flot vers une matrice diagonale.

  1. 11. TridiagonalisationÉtude des matrices de Householder et de l'algorithme de tridiagonalisation d'une matrice symétrique.
  2. 22. Matrices de JacobiÉtude des éléments propres des matrices symétriques tridiagonales obtenues.
  3. 33. Paires de LaxMise en place d'une paire de Lax pour montrer que les matrices du flot de Toda sont orthogonalement semblables.
  4. 44. Étude asymptotiqueDémonstration de la convergence exponentielle du flot de Toda vers une matrice diagonale.

Difficulté moyenne. Le rapport décrit un sujet de longueur raisonnable, quasiment fini par les meilleurs candidats, mais indique que les copies faibles restent très nombreuses.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Erreurs de typage dans les produits matriciels · Confusion matrice symétrique / matrice de symétrie · Interprétation géométrique manquée
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Le jury juge le sujet de longueur raisonnable, couvrant une part significative du programme d'algèbre linéaire, d'espaces euclidiens, d'intégrabilité et d'équations différentielles. L'épreuve a permis une bonne répartition des notes, mais beaucoup de candidats maîtrisent mal des objets et techniques de base.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Erreurs de typage dans les produits matricielsQ1

    Les candidats les plus faibles écrivent des produits matriciels mal typés.

    « Les plus faibles rencontrent cependant des problèmes de typage dans les produits matriciels »
  2. 2
    Confusion matrice symétrique / matrice de symétrieQ2

    Le jury relève une méconnaissance de la terminologie, même quand les deux notions coïncident dans ce cas précis.

  3. 3
    Interprétation géométrique manquéeQ4

    Beaucoup de candidats ne voient pas que les matrices de Householder sont des réflexions orthogonales, ce qui permettait une réponse immédiate.

  4. 4
    Question hors-programme en temps limitéQ9

    La justification de l'existence et l'unicité de la solution d'un problème de Cauchy linéaire était difficile à traiter avec le programme de PC ; le barème a été très indulgent.

    « Répondre à cette question en respectant le programme de PC était vraiment diffcile en temps limité. »
  5. 5
    Maîtrise superficielle de l'intégrabilitéQ13, Q14, Q15

    Les questions sur l'intégrabilité des fonctions révèlent une compréhension très superficielle du cours, avec des arguments fantaisistes.

    « cette question et les suivantes mettent en évidence, chez la plupart des candidats, une compréhension très superficielle du cours sur l'intégrabilité »
  6. 6
    Passages en force pénalisésQ16

    Certaines réponses tentent de dissimuler une incompréhension par un discours flou ; le jury les sanctionne lourdement.

    « Les correcteurs ont relevé ici de nombreuses réponses relevant de l'escroquerie pure et simple. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1, 2, 3 et 7, de facture classique, ont été bien traitées par une large majorité de candidats.
  • Le sujet a été quasiment fini par les meilleurs candidats.

Conseils du jury

  • Connaître précisément les notions et les énoncés des théorèmes pour éviter les confusions conceptuelles.
  • Comprendre les idées sur lesquelles repose le cours afin d'en identifier le champ d'application.
  • Savoir mener à bien avec efficacité des manipulations calculatoires simples sur tous les chapitres du programme.
  • Faire preuve d'honnêteté intellectuelle plutôt que de dissimuler une incompréhension par un discours filandreux.
  • Rédiger de manière claire et précise, en mettant en évidence les résultats, par exemple en les encadrant.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2013
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le flot de Toda

On note R l'ensemble des nombres réels, i la matrice unité d'ordre m et e_j le j-ème vecteur de la base canonique de R^m dont les composantes sont les δ_(ij), i = 1, m. On rappelle que δ_(ij) = 0 si j ≠ i et δ_(ij) = 1 si j = i.
On note ( u|v ) le produit scalaire des vecteurs u et v de R. Les vecteurs de R^m seront assimilés à des matrices colonnes; ^t u note le transposé du vecteur u.
L'expression : i = 1, m signifie "pour tout i entier tel que 1 ≤ i ≤ m."

1 Tridiagonalisation

Soit u un vecteur unitaire de R^m; la matrice
H = I − 2u^t u,
est la matrice de Householder d'ordre m associée au vecteur u.
Question 1 Montrer que Hu = − u et que Hv = v dès que v est orthogonal à u.
Question 2 Démontrer que H est symétrique et orthogonale.
Question 3 Soit g ∈ R^m, de composantes γ_i, 1 ≤ i ≤ m, un vecteur unitaire non colinéaire à e_1. On pose u = (g − e_1)/√(2(1 − γ_1)), montrer que u est unitaire et que Hg = e_1.
Question 4 En déduire que si x est un vecteur de R^m non colinéaire à e_1, il existe un vecteur unitaire u et une matrice de Householder associée H telle que Hx = ‖x‖e_1.
Soient c un réel, Q une matrice symétrique réelle d'ordre m − 1, q_(21) un vecteur de R^(m − 1) et Qˆ = (c, ^t q_(21); q_(21), Q) une matrice définie par blocs. Si H_1 est une matrice de Householder d'ordre m − 1; on pose H_1 ˆ = (1, ζ; ζ, H_1), où ζ note le vecteur nul dans R^(m − 1), ainsi que Sˆ = H_1 QˆH_1 ˆ = (σˆ_(ij))_(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ m).
Question 5 Montrer que Sˆ est semblable à Qˆ et qu'on peut choisir H_1 de telle sorte que σˆ_(i1) = σˆ_(1i) = 0 pour i = 3, m.
On dit qu'une matrice T = (τ_(ij))_(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ m) est tridiagonale si τ_(ij) = 0 dès que |i − j| > 1.
Question 6 En déduire un procédé permettant de déterminer une matrice tridiagonale symétrique semblable à Qˆ.

2 Matrices de Jacobi

Une matrice tridiagonale symétrique réelle est encore appelée matrice de Jacobi. Soit
T_0 = (b_1, a_1, 0, ⋯, 0; a_1, b_2, a_2, ⋱, ⋮; 0, a_2, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, a_(m − 1); 0, ⋯, 0, a_(m − 1), b_m)
une matrice de Jacobi d'ordre m. On pose a_0 = a_m = 0 et on suppose que a_i ≠ 0, i = 1, m − 1. On note σ(T_0) le spectre de T_0, c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres.
Question 7 Soit λ ∈ σ(T_0) et x un vecteur propre associé de composantes ξ_j, j = 1, m. En raisonnant par l'absurde, montrer que ξ_m ≠ 0.
Question 8 Démontrer que les sous-espaces propres de T_0 sont de dimension 1. Quel est le cardinal de σ(T_0) ?

3 Paires de Lax

On remplace désormais les a_i et les b_i par des fonctions à valeurs réelles α_i et β_i de la variable réelle t. On pose alors
T(t) = (β_1(t), α_1(t), 0, ⋯, 0; α_1(t), β_2(t), α_2(t), ⋱, ⋮; 0, α_2(t), ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, α_(m − 1)(t); 0, ⋯, 0, α_(m − 1)(t), β_m(t))
ainsi que
U(t) = (0, α_1(t), 0, ⋯, 0; − α_1(t), 0, α_2(t), ⋱, ⋮; 0, − α_2(t), ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, α_(m − 1)(t); 0, ⋯, 0, − α_(m − 1)(t), 0)
et on étudie le système différentiel non linéaire suivant :
{T^′(t) = U(t)T(t) − T(t)U(t), t ∈ R; T(0) = T_0 donné par (2)
dont on admettra qu'il possède une solution et une seule T(t) définie sur R. Le couple (T(t), U(t)) constitue une paire de Lax.
Question 9 Etant donnée T(t) solution de (5), et donc U(t), démontrer que le système différentiel
{v^′(t) = U(t)V(t), t ∈ R; V(0) = I,
admet une solution et une seule V(t) sur R.
Question 10 Montrer que pour tout t ∈ R, la matrice V(t) solution de (6) est orthogonale.
Question 11 Montrer que ^t V(t)T(t)V(t) est une matrice constante que l'on déterminera. Les valeurs propres de T(t) dépendent-elles de t ?
On montre facilement, et on admettra, que le système différentiel (5) peut s'écrire sous la forme suivante :
{α_i^′(t) = α_i(t)(β_(i + 1)(t) − β_i(t)), i = 1, m − 1; β_i^′(t) = 2(α_i^2(t) − α_(i − 1)^2(t)), i = 1, m
avec α_i(0) = a_i, i = 1, m − 1, β_i(0) = b_i, i = 1, m et α_0(t) = 0 = α_m(t)∀t ∈ R. C'est le système de Toda.

4 Etude asymptotique

Pour tout réel t, on pose
L(t) = ∑_(i = 1)^(m − 1)α_i^2(t) + 1/2∑_(i = 1)^m β_i^2(t)
Question 12 Montrer que la fonction L est constante. En déduire que les fonctions β_i sont bornées sur R, soit par D.
Question 13 Pour 1 ≤ i ≤ m − 1, montrer que 2∫_0^t α_i^2(t)dt = ∑_(j = 1, i)(β_j(t) − b_j) et en déduire que les α_i^2 sont intégrables sur R.
Question 14 En déduire que les β_i(t), i = 1, m possèdent une limite quand t → ± ∞.
Question 15 Déduire des résultats des questions précédentes que la fonction α_i α_i^′ est intégrable sur R. En déduire la limite de α_i(t) lorsque t → ± ∞.
On note χ_t(λ) = det(λI − T(t)) le polynôme caractéristique de la matrice T(t) et λ_i, i = 1, m les valeurs propres de T rangées dans l'ordre décroissant.
Les limites de β_i(t) pour t → + ∞ ou t → − ∞ seront respectivement notées β_i^+ et β_i^−; l'ensemble des β_i^+, i = 1, m sera noté B^+et celui des β_i^−sera noté B^−.
Question 16 Montrer que pour tout λ ∈ R, χ_t(λ) tend vers ∏_(i = 1, m)(λ − β_i^+)(respectivement vers ∏_(i = 1, m)(λ − β_i^−)) lorsque t → + ∞ (respectivement − ∞ ).
Question 17 En déduire que σ(T) = B^+ = B^−.
On rappelle que, par hypothèse, α_i(0) = a_i ≠ 0, i = 1, m − 1.
Pour i fixé compris entre 1 et m − 1, on note A^+ = {t > 0|α_i(t) = 0} et A^− = {t < 0|α_i(t) = 0}.
Question 18 On suppose que A^+n'est pas vide et on pose τ = inf{t|t ∈ A^+}. Déterminer la valeur de α_i(τ) et montrer que pour t ∈ ]0, τ[, α_i(t) est du même signe que a_i.
Question 19 En supposant toujours que A^+n'est pas vide, montrer que
∀t ∈ [0, τ[, |ln|α_i(t)| − ln|α_i(0)|| ≤ 2Dτ.
En déduire que nécessairement A^+ = ∅, puis que α_i ne s'annule en aucun point de R.
Question 20 En raisonnant par l'absurde, montrer que β_(i + 1)^+ < β_i^+, i = 1, m − 1; en déduire que β_i^+ = λ_i, i = 1, m.
Question 21 Montrer que si δ est choisi tel que 0 < δ < β_i^+ − β_(i + 1)^+, i = 1, m − 1, alors il existe S et C strictement positifs tels que ∀s > S, |α_i(s)| < Ce^(− δs), i = 1, m − 1. En déduire que pour t > S, ∃C^′ > 0 tel que |λ_i − β_i(t)| < C^′ e^(− 2δt), i = 1, m.

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques I Mines PC 2013 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques I Mines PC 2013 ?

Le sujet, centré sur le flot de Toda, mobilise l'algèbre linéaire (matrices par blocs, éléments propres), les espaces euclidiens (matrices orthogonales, théorème spectral), l'intégrabilité des fonctions d'une variable réelle, la dérivation des fonctions vectorielles et les équations différentielles linéaires.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le rapport pointe des erreurs de typage dans les produits matriciels, une confusion entre matrice symétrique et matrice de symétrie, une interprétation géométrique manquée des matrices de Householder, et une compréhension superficielle du cours sur l'intégrabilité.

Ce sujet Mines Maths 1 PC 2013 est-il faisable en temps limité ?

Le jury indique que le sujet était de longueur raisonnable et a été quasiment fini par les meilleurs candidats, même si une question sur les équations différentielles était difficile à traiter avec le seul programme de PC.

Le sujet Mines Maths 1 PC 2013 est-il un bon entraînement sur les matrices ?

Oui, il couvre en profondeur la tridiagonalisation de Householder, les matrices de Jacobi et les propriétés spectrales des matrices symétriques.

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