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E3A Mathématiques PC 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Jeudi 7 mai: 14h − 18h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Exercice 1.

Soient a ∈ ℝ et la matrice M_a = (1, a, 0; 0, 0, 1; 0, 1, 0).
  1. Pour quelles valeurs du réel a la matrice M_a est-elle diagonalisable ?
  2. Pour quelles valeurs du réel a la matrice M_a est-elle inversible ?
  3. Montrer que lorsqu'elle n'est pas diagonalisable, M_a est semblable à la matrice (− 1, 0, 0; 0, 1, 1; 0, 0, 1).

Exercice 2.

Soient x un réel positif ou nul et φ_x la fonction qui à un réel t ∈ ℝ_+, associe φ_x(t) = (e^(− t))/(1 + xt).
On pose alors, pour tout x ⩾ 0, f(x) = ∫_0^(+ ∞)φ_x(t)dt.
  1. Justifier que la fonction f est bien définie sur ℝ_+.
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur ℝ_+.
On pourra comparer f(x) et f(y) pour deux éléments x et y de ℝ_+tels que x < y.
3. Limite de f en l'infini
3.1. Démontrer que la suite (f(n))_(n ∈ ℕ) converge vers une limite ℓ.
3.2. Déterminer la valeur de ℓ.
3.3. En déduire lim_(x → + ∞)f(x).

Exercice 3.

On considère la suite (a_n)_(n ∈ ℕ) définie par a_0 = 1 et la relation de récurrence :
∀n ∈ ℕ, a_(n + 1) = 1/(n + 1)∑_(k = 0)^n(a_k)/(n − k + 2).
  1. En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que: ∀n ∈ ℕ, 0 < a_n ⩽ 1.
  2. On considère la série entière ∑_(n ⩾ 0)a_n x^n. Justifier que son rayon de convergence est supérieur ou égal à 1 .
    Pour x ∈ ] − 1, 1[, on pose f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n.
3.1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑_(n ⩾ 0)(x^n)/(n + 2).
3.2. Déterminer l'ensemble réel de définition de la fonction x ↦ ∑_(n = 0)^(+ ∞)(x^n)/(n + 2).
3.3. On pose, lorsque cela est possible, (∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n)(∑_(n = 0)^(+ ∞)(x^n)/(n + 2)) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)w_n x^n, produit de Cauchy réel des deux séries ∑_(n ⩾ 0)a_n x^n et ∑_(n ⩾ 0)(x^n)/(n + 2).
Justifier que le rayon de convergence de la série entière ∑_(n ⩾ 0)w_n x^n est supérieur ou égal à 1 et donner pour tout entier naturel n, une expression de w_n à l'aide de la suite (a_n).
3.4. En déduire que l'on a pour tout x ∈ ] − 1, 1[, f^′(x) = f(x)∑_(n = 0)^(+ ∞)(x^n)/(n + 2).
4. Démontrer alors que pour tout x ∈ [0, 1[, ln(f(x)) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(x^(n + 1))/((n + 1)(n + 2)).
5. En déduire, pour tout x ∈ [0, 1[, une expression de f(x) à l'aide de fonctions usuelles.
On utilisera sans le redémontrer que l'on a : 1/((n + 1)(n + 2)) = 1/(n + 1) − 1/(n + 2).
6. Justifier que la série ∑_(n ⩾ 0)(a_n)/(2^n) converge et calculer sa somme.

Exercice 4.

  1. Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et M ∈ ℳ_n(ℝ), M ≠ I_n et M ≠ 1/2I_n, vérifiant la relation :
2M^2 = 3M − I_n.
1.1. On note F = Vect(I_n, M, M^2). Prouver que ∀k ∈ ℕ, M^k ∈ F.
Déterminer la dimension de F et en donner une base.
1.2. Vérifier que F est stable pour la multiplication des matrices.
1.3. Soient A = M − I_n et B = M − 1/2I_n.
Justifier que ℬ = (A, B) constitue une base de F.
Déterminer les composantes des matrices AB, BA, A^2 et B^2 dans la base ℬ.
1.4. Déterminer toutes les matrices T de F vérifiant : T^2 = M.
2. Soit X une variable aléatoire réelle telle que l'on a:
X(Ω) = ℕ et ∀n ∈ ℕ, 2ℙ(X = n + 2) = 3ℙ(X = n + 1) − ℙ(X = n).
2.1. On note p_n = ℙ(X = n). Exprimer p_n en fonction de n.
En déduire la loi de la variable aléatoire X.
2.2. Justifier que la variable aléatoire X possède une espérance et une variance et les calculer.

Exercice 5.

Dans cet exercice, E désigne l'espace vectoriel ℝ_2[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et à coefficients réels et ℬ = (1, X, X^2) sa base canonique.
Pour tout couple ( P, Q ) d'éléments de E, on pose :
< P|Q>=P(1)Q(1) + P^′(1)Q^′(1) + P^(′′)(1)Q^(′′)(1).
  1. Vérifier que l'on définit ainsi un produit scalaire sur E.
  2. Déterminer une base orthonormale de E pour ce produit scalaire.
  3. Déterminer la distance du polynôme U = X^2 − 4 à ℝ_1[X].
  4. Soit H l'ensemble des polynômes P de E tels que P(1) = 0.
    4.1. Vérifier que H est un sous-espace vectoriel de E. Quelle est sa dimension?
    4.2. Soit φ la projection orthogonale sur H. Déterminer la matrice de φ dans la base ℬ.

FIN

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