E3A Mathématiques PC 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

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Annales E3A PC Mathématiques E3A PC 2021 PC Mathématiques Mathématiques 2021

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Présentation du sujet

Difficile

Quatre exercices indépendants : séries et fonction somme, endomorphisme lié à une équation différentielle, suite de type Fibonacci et exponentielle de matrice, produit scalaire et polynômes de Lagrange

Cette épreuve de mathématiques, filière PC, est composée de quatre exercices indépendants. Le premier étudie une série alternée puis la fonction somme d'une série entière associée. Le deuxième construit un endomorphisme lié à l'équation différentielle y'+y=f et en cherche les éléments propres. Le troisième relie une suite de type Fibonacci à une matrice et à son exponentielle. Le quatrième munit un espace de polynômes d'un produit scalaire construit à partir des polynômes de Lagrange.

1Exercice 1Convergence d'une série alternée, calcul de sa somme par intégration terme à terme, étude de la fonction somme d'une série entière associée.
2Exercice 2Étude d'un endomorphisme L sur un espace de polynômes défini à partir d'une primitive, lié à l'équation différentielle y'+y=f, et recherche de ses valeurs propres.
3Exercice 3Étude d'une suite de type Fibonacci liée au nombre d'or, associée à une matrice M diagonalisable, puis calcul de la limite d'une suite de matrices liée à l'exponentielle de M.
4Exercice 4Construction d'un produit scalaire sur un espace de polynômes à l'aide des polynômes de Lagrange, étude d'un sous-espace H et de sa projection orthogonale.

Difficile. Le jury indique avoir été déçu par le trop grand nombre d'étudiants ne maîtrisant pas les notions de base d'algèbre linéaire et d'analyse, et relève une rédaction souvent inadmissible et des calculs simples trop rapidement abandonnés.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Série entière non reconnue · Notion de primitive mal comprise · Confusion entre deux questions proches sur une équation différentielle

Le jury déplore un manque de maîtrise des notions de base d'algèbre linéaire et d'analyse chez de nombreux candidats, ainsi qu'une rédaction souvent inadmissible, avec des résultats non encadrés et des théorèmes cités de façon approximative. Certaines questions classiques, comme le calcul d'une somme de série géométrique, restent pourtant mal traitées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Série entière non reconnueExercice 1, question 3
Trop peu d'étudiants reconnaissent une série entière dans la fonction proposée ; beaucoup trouvent le bon ensemble de définition sans être capables de calculer sa valeur au bord de l'intervalle.
2
Notion de primitive mal compriseExercice 2, questions 1 et 2
Des questions faciles avec la notion de primitive sont ratées car cette notion semble mal comprise, certains candidats croyant qu'il s'agit d'une intégrale à paramètre.
3
Confusion entre deux questions proches sur une équation différentielleExercice 2, questions 5 et 6
Trop de candidats tentent de résoudre l'équation différentielle y'+y=f(x) alors qu'il fallait utiliser les résultats obtenus pour répondre à la question suivante, révélant une confusion entre les deux questions.
4
Relations coefficients-racines délaisséesExercice 3, question 1
Très peu de candidats utilisent les relations coefficients-racines du trinôme, ce qui entraîne des résolutions inutilement lourdes.
5
Sous-espace vectoriel et orthogonal mal établisExercice 4, questions 4.1 et 4.2
De nombreux étudiants ont du mal à montrer qu'un ensemble donné est un sous-espace vectoriel, et son orthogonal est rarement explicité clairement.

Ce qui a été bien réussi

La question 1 de l'exercice 1, sur la convergence de la série alternée, est en général traitée.
La question 4 de l'exercice 2 est en général bien traitée.
Les questions 2.1, 3, 4 et 5 de l'exercice 3 sont en général bien traitées.
La question 1 de l'exercice 4 est en général bien traitée, sous réserve de quelques imprécisions sur le caractère défini du produit scalaire.

Conseils du jury

Bien identifier la nature d'un objet (série entière, primitive, intégrale à paramètre) avant d'appliquer une méthode.
Ne pas confondre deux questions proches et réutiliser explicitement les résultats déjà établis.
Connaître et utiliser les résultats classiques comme les relations coefficients-racines pour éviter des calculs inutilement longs.
Rédiger avec rigueur : citer précisément les théorèmes utilisés, encadrer les résultats, éviter les flèches et abréviations en guise de phrases.
Justifier explicitement qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel avant de l'utiliser comme tel.
Ne pas abandonner trop vite un calcul simple par manque de persévérance.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

Exercice 1

Justifier que la série $\sum_(n ⩾ 1)((- 1)^(n + 1))/n$ converge.

2.1. Démontrer que l'on a :

\sum_(n = 0)^(+ \infty)(\int_0^1 x^(2n)(1 - x)dx) = \int_0^1(dx)/(1 + x)

. On pourra utiliser un théorème d'intégration terme à terme.
2.2. En déduire la valeur de :

\sum_(n = 1)^(+ \infty)((- 1)^(n + 1))/n

.
3. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction

φ : x \mapsto \sum_(n = 1)^(+ \infty)(- 1)^(n + 1)(x^n)/n

. Calculer

φ(1)

.
4.
4.1. Calculer l'intégrale :

\int_0^1(1 - x)/(1 + x^2) dx

.
4.2. En calculant de deux façons différentes

\sum_(n = 0)^(+ \infty)(- 1)^n(\int_0^1 x^(2n)(1 - x)dx)

, déterminer la valeur de la somme

: S = \sum_(n = 0)^(+ \infty)((- 1)^n)/((2n + 1)(2n + 2))

, après en avoir justifié l'existence.

Exercice 2

Question de cours
Soit

f

une fonction continue sur

ℝ

et intégrable sur

] - \infty, - 1]

Soient $a \in ℝ$ et $F_1$ la fonction qui à tout $x$ de $ℝ$ associe $\int_a^x f(t)dt$ .

Justifier que

F_1

est de classe

C^1

sur

ℝ

et déterminer l'expression de

F_1^'(x)

pour tout

x

ℝ

.
2. Justifier que la fonction

F

qui à tout

x

ℝ

associe

\int_(- \infty)^x f(t)dt

est de classe

C^1

sur

ℝ

et déterminer l'expression de

F^'(x)

pour tout

x

ℝ

Pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à 2 , on note

E_n

l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à

n

.
Pour tout

k \in [ [0, n] ]

, on note

e_k

la fonction réelle de la variable réelle

t \mapsto t^k

ℬ = (e_k)_(k \in [ [0, n] ])

la base canonique de

E_n

.
On note

D

l'endomorphisme dérivation de

E_n

et Id l'endomorphisme identité de

E_n

.
3. Soit

k \in ℕ

. Montrer que la fonction

f_k : t \mapsto t^k e^t

est intégrable sur

] - \infty, - 1]

.
4. Soit

f \in E_n

. Montrer que l'on définit sur

E_n

une application linéaire

L

en posant

g = L(f)

avec :

\forallx \in ℝ, g(x) = e^(- x)\int_(- \infty)^x f(t)e^t dt

Soit $g \in E_n$ tel que $g = L(f)$ .

Montrer que

g

est solution sur

ℝ

de l'équation différentielle :

y^' + y = f(x)

.
6. En déduire

Ker(L)

.
7.
7.1. Calculer

L(e_0)

.
7.2. Montrer que pour tout entier naturel

k \in [ [0, n - 1] ], L(e_(k + 1)) = e_(k + 1) - (k + 1)L(e_k)

.
7.3. En déduire que

L

est un endomorphisme de

E_n

.
8. Prouver que

L

est un automorphisme de

E_n

.
9. Recherche des sous-espaces propres de

L

Soient

λ

une valeur propre de

L

f

un vecteur propre associé.
9.1. Justifier que

λ \neq 0

.
9.2. Montrer que

f

est solution sur

ℝ

de l'équation différentielle :

λy^' + (λ - 1)y = 0(*)

.
9.3. Résoudre dans

ℝ

l'équation différentielle ().
9.4. Déterminer les solutions polynomiales de l'équation différentielle ().
9.5. En déduire les valeurs propres de l'endomorphisme

L

et déterminer les vecteurs propres associés.
L'endomorphisme

L

est-il diagonalisable?
10. Comparer

L^(- 1)

D + Id

.
11. Déterminer la matrice

M

L^(- 1)

dans la base

ℬ

.
12. Déterminer les valeurs propres de

L^(- 1)

. Retrouver alors les valeurs propres de

L

Exercice 3

On note $γ$ la racine positive du trinôme $x^2 - x - 1$ . Justifier que $γ > 1$ et que la deuxième racine est $- 1/γ$ .
Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ définies par $b_0 = 0, b_1 = 1$ et les relations de récurrence: $∀n ∈ ℕ, {a_(n + 1) = b_n; b_(n + 1) = a_n + b_n$ .
2.1. Montrer que pour tout entier $n$ strictement positif : $b_(n + 1) = b_n + b_(n - 1)$ .
2.2 Parmi les réponses proposées, une seule est l'expression correcte de $b_n$ valable pour tout entier naturel $n$ . Laquelle?
(1) $(γ^n)/(\sqrt5) + ((- 1)^(n + 1))/(γ^(n + 1)\sqrt5)$ ;
(2) $((- 1)^(n + 1)γ^n)/(\sqrt5) + 1/(γ^n\sqrt5)$ ;
(3) $(γ^n)/(\sqrt5) + ((- 1)^(n + 1))/(γ^n\sqrt5)$ .
2.3. Exprimer, pour tout $n \in ℕ, a_n$ en fonction de $n$ .
2.4. Démontrer que pour $n \in ℕ, γ^n = a_n + b_n γ$ .
On pose, pour tout $n \in ℕ, V_n = ((a_n)/(b_n))$ .

Déterminer une unique matrice

M \in ℳ_2(ℝ)

telle que :

V_(n + 1) = MV_n

.
4. Justifier que la matrice

M

est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.
5. Montrer que l'on a:

\foralln \in ℕ, M^n = a_n I_2 + b_n M

.
6. Pour tout

n \in ℕ

, on pose :

C_n = \sum_(k = 0)^n(M^k)/(k!)

Montrer que la suite

(C_n)_(n \in ℕ)

converge et déterminer sa limite

C

à l'aide de

γ

et des matrices

I_2

M

.
7. Démontrer que la matrice

C

est semblable à la matrice

Δ = (e^γ, 0; 0, e^(- 1/γ))

Exercice 4

Soient

n \in ℕ^*

E = ℝ_n[X]

. On note (

P_0(X) = 1, P_1(X) = X, \dots, P_n(X) = X^n

) la base canonique de

E

. Soit

(a_j)_(j \in [ [0, n] ])

une famille de réels distincts deux à deux.
Pour tout couple

(P, Q)

d'éléments de

E

, on pose :

(P|Q) = \sum_(j = 0)^n P(a_j)Q(a_j)

Vérifier que l'on définit ainsi un produit scalaire sur $E$ .
Soit $P$ un polynôme de $E$ , calculer $(P|P_0)$ .
Pour tout $j \in [ [0, n] ]$ , on considère le polynôme $L_j(X) = \prod_(k = 0; k \neq j)^n(X - a_k)/(a_j - a_k)$ .
3.1. Démontrer que, pour tout couple $(i, j) ∈ [ [0, n] ]^2, L_j(a_i) = {1 si i = j; 0 sinon$ .
3.2. Prouver que la famille $ℬ = (L_j)_(j \in [ [0, n] ])$ est une famille orthogonale pour le produit scalaire ( $|$ ).
3.3. En déduire que $ℬ$ est une base de $E$ et qu'elle est orthonormale.
3.4. Déterminer les composantes d'un polynôme $P$ de $E$ dans la base $ℬ$ .
3.5. Déterminer $\sum_(j = 0)^n L_j$ .
Soit $H$ l'ensemble des polynômes $P$ de $E$ tels que $\sum_(j = 0)^n P(a_j) = 0$ .
4.1. Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .
4.2. Déterminer $H^⊥$ et en déduire la dimension de $H$ .
Soit $Q$ un polynôme de $E$ .
5.1. Déterminer le projeté orthogonal de $Q$ sur $H^⊥$ .
5.2. Déterminer la distance de $Q$ au sous-espace vectoriel $H$ .

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques d'e3a PC 2021 ?

Elle porte sur les séries numériques et entières, un endomorphisme lié à une équation différentielle, une suite de type Fibonacci associée à une matrice et son exponentielle, et un produit scalaire construit avec les polynômes de Lagrange.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de maths e3a PC ?

Le jury signale une méconnaissance des notions de base d'algèbre linéaire et d'analyse, une confusion entre plusieurs questions proches, et une rédaction souvent jugée inadmissible, avec des résultats non encadrés.

Ce sujet de mathématiques e3a PC 2021 est-il difficile ?

Le jury indique avoir été déçu par le niveau d'un grand nombre de candidats sur les notions de base, ce qui en fait un sujet exigeant malgré des exercices classiques du programme.

Faut-il bien maîtriser la réduction des matrices pour ce sujet e3a PC 2021 ?

Oui, l'exercice 3 repose sur la diagonalisation d'une matrice liée à une suite de type Fibonacci et sur le calcul de son exponentielle, des notions que le jury juge globalement bien traitées.

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