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Centrale Mathématiques 1 PC 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Méthode de Héron d'Alexandrie et racines carrées de matrices
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Le sujet adapte la méthode de Héron d'Alexandrie au calcul d'une racine carrée de matrice. Après deux approximations de √2, par série entière puis par la méthode de Héron, il traite les matrices symétriques positives, étudie la méthode de Newton-Raphson, puis un algorithme menant à la décomposition de Dunford pour obtenir une racine carrée d'une matrice trigonalisable à spectre strictement positif.

  1. 1Partie I : quelques approximations de √2Développement en série entière de √(1+x), puis suite de Héron, vitesse de convergence et programme Python.
  2. 2Partie II : racine carrée d'une matrice symétrique positiveRacines carrées de I2 dans O(2), existence et unicité de la racine carrée symétrique positive, puis méthode de Héron matricielle.
  3. 3Partie III : méthode de Newton numériqueConvergence quadratique de la méthode de Newton-Raphson grâce à l'inégalité de Taylor-Lagrange, et implémentation en Python.
  4. 4Partie IV : décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford et calcul de racine carréeMéthode de Newton matricielle aboutissant à la décomposition de Dunford, puis racine carrée d'une matrice réelle trigonalisable à spectre strictement positif.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,33 / 20 · écart-type 4,08 · 3 604 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,33/ 20
Écart-type
4,08
Présents
3 604
Coefficient
15
Durée
4 h
1er quartile
6,4
Médiane
9,2
3e quartile
12
moyenne 9,3305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 2 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Restitution du cours défaillante · Condition nécessaire et suffisante mal formulée · Diagonalisation sans matrice de passage orthogonale
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La sélection s'est faite surtout sur la connaissance du cours, parfois basique, et sur la qualité du raisonnement, bien plus que sur le volume traité. Le jury relève des faiblesses répandues sur des points de cours élémentaires, un maniement approximatif des implications et équivalences et des variables non déclarées. Les questions Q32 à Q36 ont été peu traitées et très peu réussies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Restitution du cours défaillanteQ2, Q13

    Q13 n'a été réussie que par 47 % des candidats, les symétries étant oubliées au profit des seules rotations ; le développement en série entière de (1+x)^α a échappé à plus d'un quart des candidats en Q2.

  2. 2
    Condition nécessaire et suffisante mal formuléeQ15

    Près de la moitié des candidats n'ont donné qu'une condition nécessaire ou suffisante de positivité, et beaucoup confondent inclusion et appartenance pour le spectre.

    « Le spectre d'une matrice réelle peut éventuellement être inclus dans R+, mais ne peut certainement pas lui appartenir. »
  3. 3
    Diagonalisation sans matrice de passage orthogonaleQ16, Q17

    Sans base orthonormée, la racine carrée proposée n'est pas forcément symétrique ; deux matrices diagonalisables ne le sont pas forcément avec la même matrice de passage.

  4. 4
    Récurrences mal rédigéesQ7, Q8, Q18

    Hérédité mal introduite, initialisation au mauvais rang, positivité confondue avec stricte positivité ; une récurrence immédiate n'est pas une preuve.

  5. 5
    Théorèmes d'analyse mal articulésQ20, Q21, Q23

    La continuité de f' est l'argument le plus souvent oublié en Q20 ; le théorème des bornes atteintes exige un intervalle fermé et borné ; l'inégalité de Taylor-Lagrange est confondue avec d'autres formules de Taylor.

  6. 6
    Polynômes de matrices mal manipulésQ26, Q27

    Des erreurs lourdes sur le formalisme des polynômes de matrices, et le théorème de Rolle utilisé pour des fonctions de variable complexe.

    « Le théorème de Rolle est également inutilisable dans un contexte de fonctions de la variable complexe. »

Ce qui a été bien réussi

  • Le calcul de Q3, dont le résultat était donné, a été plutôt bien mené.
  • Q24 a été plutôt réussie par les quelques candidats qui l'ont abordée.
  • Le code Python de Q25 est mieux réussi que celui de Q12.
  • En Q31, la commutation de A et N a été traitée avec un relatif succès.

Conseils du jury

  • Connaître précisément les points de cours élémentaires, en particulier ceux à restituer sans démonstration.
  • Rédiger un texte construit au lieu d'enchaîner calculs et symboles logiques.
  • Déclarer toutes les variables utilisées.
  • Éviter les sigles et abréviations non universels.
  • Présenter correctement le code Python, indentation comprise, et rester attentif à la complexité.
  • Privilégier le soin et la rigueur plutôt que le nombre de questions traitées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Ce sujet comporte quatre parties, qui peuvent être traitées indépendamment :
  • La partie I étudie deux façons d'approcher le réel √2.
  • La partie II généralise la méthode de Héron d'Alexandrie étudiée en sous-partie I.B au cadre des matrices symétriques positives.
  • La partie III traite le cas général de la méthode de Newton numérique réelle.
  • La partie IV s'inspire de la méthode de Newton abordée en partie III pour établir l'existence de la décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford, par une approche algorithmique et en donne une application à la détermination de la racine carrée de certaines matrices.

Notations

Dans tout le sujet, 𝕂 désigne ℝ ou ℂ et q est un entier naturel non nul.
On note M_q(𝕂) l'ensemble des matrices carrées de taille q à coefficients dans 𝕂; on note I_q la matrice identité dans M_q(𝕂) et P^T la transposée d'une matrice P. On note S_q(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques appartenant à M_q(ℝ). On note O(q) le sous-ensemble de M_q(ℝ) constitué des matrices orthogonales, c'est-à-dire des matrices P ∈ M_q(ℝ) vérifiant P^T P = I_q.
Pour toute matrice M ∈ M_q(𝕂) et pour tous 1 ⩽ i, j ⩽ q, on note [M]_(i, j) le coefficient d'indice (i, j) de M.
Pour a_1, …, a_q ∈ 𝕂, on note diag(a_1, …, a_q) la matrice A de M_q(𝕂) telle que, pour tous 1 ⩽ i, j ⩽ q :
[A]_(i, j) = {a_i si i = j; 0 sinon.
On munit l'ensemble M_q(𝕂) d'une norme ‖ ⋅ ‖. On rappelle que, par l'équivalence des normes en dimension finie, la notion de convergence d'une suite (M_n)_(n ∈ ℕ) à valeurs dans M_q(𝕂) ne dépend pas du choix de la norme ‖ ⋅ ‖. On pourra alors utiliser librement et sans démonstration dans tout le sujet les deux résultats suivants : pour toute suite (M_n)_(n ∈ ℕ) à valeurs dans M_q(𝕂) et pour toute matrice M ∈ M_q(𝕂),
  • la suite (M_n)_(n ∈ ℕ) converge vers M si et seulement si, pour tous 1 ⩽ i, j ⩽ q, la suite ([M_n]_(i, j))_(n ∈ ℕ) converge vers [M]_(i, j);
  • si A ∈ M_q(𝕂) et si la suite (M_n)_(n ∈ ℕ) converge vers M, alors les suites (AM_n)_(n ∈ ℕ) et (M_n A)_(n ∈ ℕ) convergent respectivement vers AM et MA.

I Quelques approximations de √2.

I.A - Via un développement en série entière.

Soit α ∈ ℝ. On pose a_0 = 1 et, pour tout n ∈ ℕ^∗,
a_n = (α(α − 1)⋯(α − n + 1))/(n!) = 1/(n!)∏_(k = 0)^(n − 1)(α − k).
Q1. Montrer que le rayon de convergence R de la série entière ∑_(n ∈ ℕ)a_n x^n vaut:
R = {1 si α ∉ ℕ; + ∞ sinon.
Q 2. Donner, sans justification supplémentaire, l'expression de la fonction somme de la série entière ∑_(n ∈ ℕ)a_n x^n sur ] − R, R[.
Q 3. Pour tout n ∈ ℕ, on pose b_n = ((2n)!)/(2^(2n)(2n − 1)(n!)^2). Montrer que, pour tout x ∈ ] − 1, 1[,
√(1 + x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^(n + 1)b_n x^n.
Q 4. Déterminer un équivalent simple de la suite (b_n)_(n ∈ ℕ). En déduire la nature de la série ∑_(n ∈ ℕ)(− 1)^(n + 1)b_n.
Q 5. Montrer que la série entière ∑_(n ∈ ℕ)(− 1)^(n + 1)b_n x^n converge uniformément sur [ − 1, 1] et en déduire la valeur de ∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^(n + 1)b_n.
Q 6. Montrer que
√2 = ∑_(k = 0)^n(− 1)^(k + 1)b_k + O_(n → + ∞)(1/(n^(3/2)))
I.B - Via la méthode de Héron d'Alexandrie.
Soit a ∈ ℝ_+. On définit la suite (c_n(a))_(n ∈ ℕ) par :
{c_0(a) = 1; ∀n ∈ ℕ, c_(n + 1)(a) = 1/2(c_n(a) + a/(c_n(a))).
Q 7. Montrer, par récurrence sur n ∈ ℕ, que, pour tout n ∈ ℕ, c_n(a) est bien défini et que c_n(a) > 0.
Q 8. Pour tout n ∈ ℕ, donner une expression de c_(n + 1)(a)^2 − a faisant intervenir (c_n(a)^2 − a)^2. En déduire que, pour tout n ⩾ 1, c_n(a) ⩾ √a.
Q 9. Montrer que (c_n(a))_(n ∈ ℕ) converge vers √a.
Q 10. Calculer c_1(2). À l'aide de la question Q 8, montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗,
c_n(2)^2 − 2 ⩽ 8(1/(32))^(2^(n − 1))
En déduire que
√2 = c_n(2) + O_(n → + ∞)((1/(32))^(2^(n − 1)))
I. C − Comparaison des différentes approximations de √2 : vitesses de convergence.
Q 11. Parmi les deux suites (1/(n^(3/2))) et ((1/(32))^(2^(n − 1))), déterminer celle qui converge le plus vite vers zéro. Dans la question suivante, on s'interdit d'utiliser une valeur approchée de √2 stockée dans Python. En particulier, on s'interdit l'utilisation de 2∗∗(1/2), math.sqrt(2) ou numpy.sqrt(2).
Q 12. Écrire une suite d'instructions en Python permettant, grâce à la méthode de la question Q10, d'obtenir une approximation de √2 avec 10 décimales correctes.

II Racine carrée d'une matrice symétrique positive.

On note S_q^+(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques positives de M_q(ℝ), c'est-à-dire des matrices M ∈ S_q(ℝ) vérifiant X^T MX ⩾ 0 pour toute matrice colonne X ∈ M_(q, 1)(ℝ).
Dans toute cette partie, étant donnée une matrice M ∈ M_q(ℝ), on appelle racine carrée de M toute matrice B ∈ M_q(ℝ) telle que B^2 = M.

II.A - Racines carrées de la matrice I_2.

Q 13. Rappeler sans démonstration la description des matrices de O(2).
On décrira leurs coefficients en fonction d'un paramètre θ ∈ ℝ.
Q 14. Déterminer les racines carrées de I_2 appartenant à O(2). Que peut-on conclure quant au nombre de racines carrées de I_2 ?

II.B - Existence et unicité d'une racine carrée symétrique positive.

Q 15. Rappeler sans démonstration la condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre d'une matrice symétrique pour qu'elle soit positive.
Q 16. Soit M ∈ S_q^+(ℝ). Déterminer une matrice B ∈ S_q^+(ℝ) telle que B^2 = M.
Q 17. Montrer que B est la seule racine carrée de M appartenant à S_q^+(ℝ). On note alors √M l'unique racine carrée symétrique positive de M.
II.C - Une méthode de Héron d'Alexandrie matricielle.
Soit M ∈ S_q^+(ℝ). On note λ_1, …, λ_q les valeurs propres de M comptées avec multiplicité. On rappelle que, d'après le théorème spectral, il existe une matrice P ∈ O(q) telle que
M = Pdiag(λ_1, …, λ_q)P^T
On rappelle de plus que, pour tout réel a ⩾ 0, la suite (c_n(a))_(n ∈ ℕ) définie en sous-partie I.B, est à valeurs strictement positives et converge vers √a. On pose alors:
{M_0 = I_q; ∀n ∈ ℕ, M_(n + 1) = 1/2(M_n + MM_n^(− 1))
Q 18. Montrer, par récurrence sur n ∈ ℕ que, pour tout n ∈ ℕ, M_n est bien définie et que
M_n = Pdiag(c_n(λ_1), …, c_n(λ_q))P^T
Q 19. En déduire que la suite (M_n)_(n ∈ ℕ) converge vers √M.

III Méthode de Newton numérique.

Soit I un intervalle ouvert non vide de ℝ et f : I → ℝ une fonction de classe C^2 sur I telle que f^′ ne s'annule pas sur I.
III.A - Convergence de la méthode de Newton.
Q 20. Que dire du nombre du nombre de points d'annulation de f sur I ?
On suppose qu'il existe c ∈ I tel que f(c) = 0. Pour tout r > 0, on pose J_r = [c − r, c + r].
Soit (c_n)_(n ∈ ℕ) une suite telle que
{c_0 ∈ I; ∀n ∈ ℕ, c_(n + 1) = c_n − (f(c_n))/(f^′(c_n))
L'objectif de cette sous-partie III.A est de montrer qu'il existe r > 0 tel que J_r ⊂ I et tel que, si c_0 ∈ J_r, alors (c_n)_(n ∈ ℕ) converge vers c.
Q 21. Soit r > 0 tel que J_r ⊂ I. Justifier que s_r = sup_(J_r)|f^(′′)| et i_r = inf_(J_r)|f^′| sont bien définis et que i_r > 0.
On note K_r = (s_r)/(2i_r).
Q 22. Justifier qu'il existe r > 0 tel que 0 ⩽ rK_r < 1.
Dans la suite de cette sous-partie III.A, on fixe r > 0 tel que rK_r < 1.
Q 23. On suppose que n ∈ ℕ et c_n ∈ J_r. À l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que
|c_(n + 1) − c| ⩽ K_r|c_n − c|^2
puis en déduire que c_(n + 1) ∈ J_r.
Q 24. Montrer que, si c_0 ∈ J_r, alors, pour tout n ∈ ℕ, |c_n − c| ⩽ ((K_r|c_0 − c|)^(2^n))/(K_r) et conclure.

III.B - Une implémentation en Python.

Q 25. On désigne dans cette question par df la fonction Python représentant f^′. Écrire une fonction Python newton ( c0, f, df ) prenant en arguments le réel c_0 et les fonctions f et f^′ et renvoyant, si la suite (c_n)_(n ∈ ℕ) converge, une valeur approchée de c et la valeur None si (c_n)_(n ∈ ℕ) diverge.
On pourra convenir ici que la suite (c_n)_(n ∈ ℕ) converge si on trouve un n ⩽ 50 tel que |f(c_n)| < 10^(− 10), et qu'elle diverge sinon.

IV Décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford et calcul de racine carrée.

On dit qu'une matrice N ∈ M_q(ℂ) est nilpotente s'il existe k ∈ ℕ^∗ tel que N^k = 0.
Dans toute cette partie IV, on fixe M ∈ M_q(ℂ). On note λ_1, …, λ_s les valeurs propres deux à deux distinctes de M (avec s ∈ ℕ^∗ ). On définit alors
P(X) = ∏_(i = 1)^s(X − λ_i)
On note P^′ le polynôme dérivé de P.
Pour tout polynôme Q = ∑_(k = 0)^d γ_k X^k ∈ ℂ[X], on note Q(M) = ∑_(k = 0)^d γ_k M^k ∈ M_q(ℂ) et on pose
ℂ[M] = {Q(M)|Q ∈ ℂ[X]}.
On admet alors et on pourra utiliser librement que :
  • si A, B ∈ ℂ[M], alors A et B commutent, et A + B et AB appartiennent à ℂ[M];
  • si Q ∈ ℂ[X] et si A ∈ ℂ[M], alors Q(A) ∈ ℂ[M].

IV.A - Une méthode de Newton matricielle.

Q 26. Montrer que, pour toute racine complexe μ de P^′, la matrice M − μI_q est inversible. En déduire que P^′(M) est inversible.
Q 27. Montrer que le polynôme caractéristique χ_M de M divise P^q. En déduire que P(M) est nilpotente. Grâce à ces résultats, on peut définir la suite de matrices (M_n)_(n ∈ ℕ) en posant:
{M_0 = M; ∀n ∈ ℕ, M_(n + 1) = M_n − P(M_n)P^′(M_n)^(− 1)
On admet que, pour tout n ∈ ℕ :
  • M_n est bien définie et appartient à M_q(ℂ);
  • il existe B_n ∈ ℂ[M] telle que P(M_n) = (P(M))^(2^n)B_n;
  • la matrice P^′(M_n) est inversible.
Q 28. Montrer que la suite (M_n)_(n ∈ ℕ) est stationnaire.
Q 29. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, les matrices M et M_n commutent.
Q 30. On note A la limite de (M_n)_(n ∈ ℕ). Montrer que A est diagonalisable.
Q 31. On pose N = M − A. Justifier que A et N commutent et que N est nilpotente.

IV.B - Un calcul de racine carrée pour certaines matrices réelles trigonalisables

Q 32. En utilisant le développement limité en 0 de la fonction x ↦ √(1 + x), montrer qu'il existe un polynôme R_q ∈ ℝ[X] tel que X^q divise 1 + X − R_q(X)^2.
Q 33. En déduire l'expression d'une racine carrée de I_q + N lorsque N est une matrice nilpotente.
Pour les questions suivantes, on suppose que M est à coefficients réels et trigonalisable dans M_q(ℝ) et que le spectre de M est inclus dans ℝ_+^∗.
On considère alors les matrices A et N introduites dans la sous-partie IV.A.
Q 34. Justifier que A et N sont à coefficients réels et que A est diagonalisable dans M_q(ℝ).
Q 35. Montrer que le spectre de A est inclus dans ℝ_+^∗.
Q 36. Justifier que la méthode de Héron d'Alexandrie de la sous-partie II.C peut être appliquée à la matrice A afin d'obtenir une racine carrée A^′ de A. En déduire l'expression d'une racine carrée de M.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 PC 2024 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 PC 2024 ?

Le sujet mobilise les séries entières et numériques, les suites récurrentes, la réduction des matrices symétriques et des polynômes de matrices, les formules de Taylor et la programmation en Python.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale maths 1 PC 2024 ?

Des oublis de cours élémentaires (Q2, Q13, Q15, Q23), des conditions nécessaires et suffisantes mal formulées, des récurrences mal rédigées, des diagonalisations sans matrice de passage orthogonale et des variables non déclarées.

Faut-il traiter beaucoup de questions en Centrale maths 1 PC 2024 pour avoir une bonne note ?

Non. Le jury indique que le soin apporté aux réponses compte davantage que la quantité de questions traitées, et que les bonnes copies sont presque toutes rigoureuses et précises.

Quelles questions de Centrale maths 1 PC 2024 ont été les moins réussies ?

Q17 a été réussie par moins de 3 % des copies, Q20 correctement articulée dans moins de 15 % d'entre elles, et Q32 à Q36 ont été très peu réussies.

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