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L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,06 / 20 · écart-type 3,51 · 4 148 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,06/ 20
Écart-type
3,51
Présents
4 148
Coefficient
12
Durée
4 h
moyenne 9,0605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 22 avril 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

Racine cubique d'une matrice

Présentation générale

Dans tout l'exercice, on considère un entier n ∈ ℕ^∗.
On dit qu'une matrice A ∈ M_n(ℝ) admet une racine cubique s'il existe B ∈ M_n(ℝ) telle que A = B^3. Dans ce cas, on dit que B est une racine cubique de A.

Partie I - Étude d'un exemple

Dans cette partie, on considère la matrice :
A = (4, − 12; − 1, 5) ∈ M_2(ℝ).
Nous allons déterminer toutes les racines cubiques de la matrice A.
Q1. Justifier qu'il existe une matrice inversible P ∈ M_2(ℝ), qu'il n'est pas nécessaire de déterminer explicitement, telle que A = PDP^(− 1) avec :
D = (1, 0; 0, 8) ∈ M_2(ℝ).
Q2. Montrer qu'une matrice B ∈ M_2(ℝ) est une racine cubique de A si et seulement si Δ = P^(− 1)BP est une racine cubique de D.
Q3. Soit Δ ∈ M_2(ℝ) une racine cubique de D. Montrer que les matrices D et Δ commutent, puis en déduire que la matrice Δ est diagonale.
Q4. Déterminer l'ensemble des racines cubiques de D, puis l'ensemble des racines cubiques de A. On pourra se contenter de décrire ce dernier ensemble en fonction de P et de Δ.

Partie II - Dans un plan euclidien

Dans cette partie, on considère un plan euclidien orienté E muni d'une base orthonormée directe B. On fixe également un réel θ ∈ ℝ et on note :
M = (cos(θ), − sin(θ); sin(θ), cos(θ)) ∈ M_2(ℝ).
Q5. Quelle est la nature de l'endomorphisme u ∈ L(E) dont la matrice dans la base B est M ?
Q6. En déduire une racine cubique de la matrice M.
Q7. Soit N ∈ M_2(ℝ) une matrice orthogonale de déterminant -1 . Montrer que N admet une racine cubique.

Partie III - Racines cubiques et diagonalisation

Dans toute cette partie, on considère une matrice diagonalisable A ∈ M_n(ℝ). On note λ_1, …, λ_d ∈ ℝ les valeurs propres deux à deux distinctes de la matrice A.

III. 1 - Existence d'une racine cubique polynomiale

Q8. Soient λ ∈ ℝ et p ∈ ℕ^∗. Déterminer une racine cubique de la matrice :
H_p(λ) = (λ, 0, ⋯, 0; 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, ⋯, 0, λ) ∈ M_p(ℝ)
Q9. Déduire de la question précédente que la matrice A admet une racine cubique. On pourra remarquer que A est semblable à une matrice diagonale par blocs où les blocs sur la diagonale sont de la forme H_p(λ) avec (p, λ) ∈ ℕ^∗ × ℝ.

III. 2 - Réduction d'une racine cubique

Dans cette sous-partie, on suppose de plus que la matrice A est inversible et on considère le polynôme :
Q(X) = ∏_(k = 1)^d(X^3 − λ_k)
Q10. Montrer que les nombres λ_1, …, λ_d sont non nuls.
Q11. Soit λ ∈ ℂ^∗ que l'on écrit sous la forme λ = ρe^(iθ) avec ρ > 0 et θ ∈ ℝ. Montrer que l'équation z^3 = λ d'inconnue z ∈ ℂ admet exactement trois solutions.
Q12. En déduire que le polynôme Q est scindé à racines simples sur ℂ.
Q13. Déduire des questions précédentes que si B est une racine cubique de A, alors la matrice B est diagonalisable dans M_n(ℂ).

EXERCICE 2

La fonction ln(Γ)

Présentation générale

Dans cet exercice, on souhaite déterminer les fonctions f : ]0, + ∞[ → ℝ vérifiant :
(i) la fonction f est de classe C^1,
(ii) pour tout x ∈ ]0, + ∞[, on a f(x + 1) − f(x) = ln(x),
(iii) la fonction f^′ est croissante,
(iv) la fonction f s'annule en 1 , c'est-à-dire f(1) = 0.
Dans la suite, on note (C) l'ensemble de ces quatre conditions.

Partie I - Existence de la solution du problème étudié

Dans cette partie, on construit une fonction vérifiant les conditions de (C).
Pour tout n ∈ ℕ^∗, on définit la fonction u_n : ]0, + ∞[ → ℝ par :
∀x ∈ ]0, + ∞[, u_n(x) = xln(1 + 1/n) − ln(1 + x/n)
Q14. Montrer que la série de fonctions ∑_(n ⩾ 1)u_n converge simplement sur ]0, + ∞[.
Dans tout le reste de cet exercice, on note φ : ]0, + ∞[ → ℝ la fonction définie par :
∀x ∈ ]0, + ∞[, φ(x) = − ln(x) + ∑_(n = 1)^(+ ∞)u_n(x)
Q15. Justifier que (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) est une suite de fonctions de classe C^1 sur ]0, + ∞[, puis montrer qu'il existe une suite (ε_n)_(n ∈ ℕ^∗) telle que la série ∑_(n ⩾ 1)ε_n converge absolument et que :
∀(n, x) ∈ ℕ^∗ × ]0, + ∞[, u_n^′(x) = x/(n(n + x)) + ε_n
Q16. En déduire que la série de fonctions ∑_(n ⩾ 1)u_n^′ converge normalement sur tout segment [a, b] inclus dans ]0, + ∞[.
Q17. Montrer que la fonction φ vérifie les conditions de (C).

Partie II - Unicité de la solution

Dans cette partie, on montre que φ est l'unique fonction vérifiant les conditions de ( C ). On considère une fonction g : ]0, + ∞[ → ℝ vérifiant les conditions de (C) et on pose h = φ − g.
Les questions Q18 et Q19 sont indépendantes.
Q18. Montrer que pour tout x > 0, on a h(x + 1) = h(x) et h^′(x + 1) = h^′(x).
Q19. Soient x ∈ ]0, 1] et p ∈ ℕ^∗. Montrer successivement que :
φ^′(p) − g^′(1 + p) ⩽ h^′(x + p) ⩽ φ^′(1 + p) − g^′(p), φ^′(p) − g^′(1 + p) = h^′(p) − 1/p
En déduire que :
|h^′(x + p) − h^′(p)| ⩽ 1/p
Q20. Déduire des deux questions précédentes que la fonction h^′ est constante sur ]0, + ∞[.
Q21. Conclure que φ = g.

Partie III - La formule de duplication

Dans cette partie, on considère la fonction ψ : ]0, + ∞[ → ℝ définie par :
∀x ∈ ]0, + ∞[, ψ(x) = (x − 1)ln(2) + φ(x/2) + φ((x + 1)/2) − 1/2ln(π).
Q22. Montrer que pour tout N ∈ ℕ^∗, on a la relation :
exp(∑_(n = 1)^N u_n(1/2)) = (√(N + 1))/(2N + 1)((2^N N!)^2)/((2N)!)
Q23. Déduire de la question précédente et de la formule de Stirling que ψ(1) = 0.
Q24. Montrer que pour tout x ∈ ]0, + ∞[, on a :
(x − 1)ln(2) + φ(x/2) + φ((x + 1)/2) = φ(x) + 1/2ln(π)

EXERCICE 3

Temps d'attente avant une collision

Présentation générale

On considère un entier n ∈ ℕ^∗. On dispose d'une urne contenant n boules numérotées par les entiers de 1 à n. On procède à une succession de tirages avec remise dans cette urne. On s'intéresse au nombre de tirages nécessaires pour tirer pour la seconde fois une boule déjà tirée auparavant.
Pour modéliser cette situation, on se place sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ) et on considère une suite (X_k)_(k ∈ ℕ^∗) de variables aléatoires réelles indépendantes de loi uniforme sur [ [1, n] ]. On considère la variable aléatoire T_n définie de la façon suivante :
T_n = min{j ∈ [ [2, n + 1] ]|∃i ∈ [ [1, j − 1] ], X_i = X_j}.
Par exemple, si on suppose que n = 4 et que l'évènement :
(x_1 = 1) ∩ (x_2 = 3) ∩ (x_3 = 2) ∩ (x_4 = 3) ∩ (x_5 = 4)
est réalisé, alors on a T_n = 4, car c'est au quatrième tirage que pour la première fois réapparait un résultat déjà obtenu.
L'objectif de cet exercice est de déterminer un équivalent de l'espérance de la variable aléatoire T_n lorsque n → + ∞.

Partie I - Une expression de l'espérance de T_n

Q25. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire T_n.
Dans la suite de cette partie, on considère un entier k ∈ [ [1, n] ] et la variable aléatoire Z = (X_1, …, X_k).
Q26. Justifier que Z suit la loi uniforme sur [ [[1, n] ]^k.
Q27. Dans cette question, on considère l'évènement:
A = {(a_1, …, a_k) ∈ [ [1, n] ]^k| les éléments a_1, …, a_k sont deux à deux distincts }.
Exprimer le cardinal de A en fonction de n et de k, puis en déduire que :
P(T_n > k) = P(Z ∈ A) = (n!)/((n − k)!)1/(n^k).
On remarque que le résultat de la question précédente est encore valable pour k = 0.
Q28. Justifier que la variable aléatoire T_n est d'espérance finie et que l'on a:
E(T_n) = ∑_(ℓ = 0)^n(n!)/((n − ℓ)!)1/(n^ℓ).

Partie II - Une expression intégrale de l'espérance

Dans cette partie, on détermine une expression de l'espérance de T_n sous la forme d'une intégrale.
Pour tout k ∈ ℕ, on considère l'intégrale :
I_k = ∫_0^(+ ∞)t^k e^(− t) dt
Q29. Soit k ∈ ℕ. Montrer que l'intégrale I_k est convergente.
Q30. Montrer que pour tout k ∈ ℕ, on a I_k = k!.
Q31. En déduire que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(1 + t/n)^n e^(− t) dt converge, puis que :
E(T_n) = ∫_0^(+ ∞)(1 + t/n)^n e^(− t) dt

Partie III - Un équivalent de l'espérance

Dans cette partie, on détermine un équivalent de l'intégrale obtenue à la question Q31 lorsque n → + ∞. Pour tout entier n ∈ ℕ^∗, on considère les intégrales :
I_n = ∫_0^n(1 + t/n)^n e^(− t) dt et J_n = ∫_n^(+ ∞)(1 + t/n)^n e^(− t) dt
Les résultats de la partie précédente impliquent la convergence de ces deux intégrales.

III. 1 - Étude de la suite (J_n)_(n ∈ ℕ^∗)

Q32. Soit n ∈ ℕ^∗. En utilisant un changement de variable, établir que :
J_n = e^(− n)∫_0^(+ ∞)(2 + v/n)^n e^(− v) dv
Q33. Montrer que la suite (K_n)_(n ∈ ℕ^∗) définie par :
∀n ∈ ℕ^∗, K_n = ∫_0^(+ ∞)(1 + v/(2n))^n e^(− v) dv
est bornée. On pourra utiliser librement l'inégalité 1 + x ⩽ e^x valable pour tout x ∈ ℝ.
Q34. En déduire que la suite (J_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge et préciser sa limite.

III. 2 - Étude de la suite (I_n)_(n ∈ ℕ^∗)

Dans cette sous-partie, on définit la fonction f_n : ]0, + ∞[ → ℝ par :
∀u ∈ ]0, + ∞[, f_n(u) = {(1 + u/(√n))^n e^(− u√n), si u < √n; 0, si u ⩾ √n
Q35. Montrer que :
I_n = √n∫_0^(√n)(1 + u/(√n))^n e^(− u√n) du = √n∫_0^(+ ∞)f_n(u)du
Q36. Montrer que pour tout u ∈ ]0, √n[, on a l'égalité :
ln(f_n(u)) = ∑_(k = 2)^(+ ∞)((− 1)^(k − 1))/k(u^k)/(n^(k/2 − 1))
Q37. En déduire que pour tout u ∈ ]0, √n[, on a les inégalités :
|ln(f_n(u)) + (u^2)/2| ⩽ (u^3)/(3√n), ln(f_n(u)) ⩽ − (u^2)/6
Q38. Justifier que la fonction u ↦ e^(− u^2/2) est intégrable sur [0, + ∞[, puis établir que :
lim_(n → + ∞)(∫_0^(+ ∞)f_n(u)du) = ∫_0^(+ ∞)e^(− u^2/2) du

III. 3 - Conclusion

Q39. En admettant que ∫_0^(+ ∞)e^(− u^2/2) du = √(π/2), déterminer un équivalent de E(T_n) lorsque n → + ∞.

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