CCINP Mathématiques PC 2026Sujet et rapport du jury

3,4(9 votes)

Explorer les annales

BanqueCCINP Année2026 FilièrePC MatièreMathématiques

Annales CCINP PC Mathématiques CCINP PC 2026 PC Mathématiques Mathématiques 2026

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Corrigé : pas encore disponible

Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Matrices par blocs, maximum de lois géométriques et équation différentielle f'(x) = f(λx)

Le sujet comporte trois exercices indépendants. Le premier réduit deux formes de matrices par blocs construites à partir d'une matrice A. Le deuxième étudie la somme et le maximum de variables géométriques indépendantes, jusqu'à un équivalent de l'espérance du maximum. Le troisième résout l'équation f'(x) = f(λx) à l'aide des séries entières.

1Exercice 1, partie I : matrice par blocs (A A ; A A) (Q1 à Q8)Après un exemple en taille 2, on montre que M est semblable à une matrice diagonale par blocs, on relie les polynômes caractéristiques et on établit que M est diagonalisable si et seulement si A l'est.
2Exercice 1, partie II : matrice par blocs (A A ; 0 A) (Q9 à Q12)On calcule les puissances et les polynômes de M, puis on cherche une condition nécessaire et suffisante sur A pour que M soit diagonalisable.
3Exercice 2 : autour de la loi géométrique (Q13 à Q25)Loi de la somme S_n par fonctions génératrices et développement en série entière, loi et espérance du maximum V_n, puis équivalent de E(V_n) par comparaison série-intégrale et changement de variable.
4Exercice 3 : équation différentielle non ordinaire (Q26 à Q37)Cas particuliers λ = 1, 0 et -1, recherche des solutions développables en série entière, puis preuve par la formule de Taylor avec reste intégral que toute solution est développable en série entière.

Difficulté moyenne. Le jury qualifie la longueur de raisonnable et note que de nombreuses questions étaient du cours ou une application directe, mais leur réussite reste modérée.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,8 / 20 · écart-type 3,82 · 4 827 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,8/ 20
Écart-type: 3,82
Présents: 4 827
Coefficient: 12
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 20 avril 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion sur la nature des objets · Spectre de M mal déduit de celui de A · Applications directes du cours manquées

Le sujet visait une large part du programme des deux années avec trois exercices indépendants de longueur raisonnable. Le jury regrette une présentation peu soignée, beaucoup de réponses sans justification et une réussite modérée sur les questions de cours. Les questions demandant de l'initiative ont été peu abordées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion sur la nature des objetsQ4, Q7
Des candidats traitent les blocs comme des scalaires et proposent des matrices comme valeurs propres ou comme déterminant.
« de nombreuses réponses proposaient des matrices comme valeurs propres ou comme déterminant. »
2
Spectre de M mal déduit de celui de AQ6
La valeur propre 0 est souvent oubliée, et certains divisent les valeurs propres de A par 2 au lieu de les multiplier.
3
Applications directes du cours manquéesQ11, Q13
Peu de candidats justifient que A est diagonalisable en Q11 ou donnent correctement les valeurs prises par S_n en Q13, alors que le cours suffisait.
4
Hypothèses des théorèmes non vérifiéesQ23, Q24, Q30
Le changement de variable est appliqué sans vérifier toutes ses hypothèses, la convergence est éludée dans la comparaison série-intégrale et les valeurs absolues disparaissent dans la règle de d'Alembert.
« Toutes les hypothèses du théorème du changement de variable sont très rarement vérifiées. »
5
Réciproque oubliéeQ28, Q29, Q33
En résolution d'équations, beaucoup montrent qu'une solution a une certaine forme sans vérifier que les fonctions de cette forme conviennent. En Q33, a_0 est souvent pris égal à 1 à tort.
« presque aucun n’a pensé à étudier la réciproque. »
6
Récurrences mal initialiséesQ9, Q34
Les récurrences doivent partir du bon indice (k = 0, n = 0) et l'hérédité doit justifier le caractère C¹ de f^(n).

Ce qui a été bien réussi

Les questions Q3, Q5 et Q10 sur les matrices par blocs ont été globalement bien traitées.
Certains candidats ont eu la bonne idée de comparer V_n et S_n pour établir l'existence de l'espérance (Q20).
Q26 et Q37 ont été bien traitées, cette dernière par les candidats capables de rassembler les résultats précédents.

Conseils du jury

Citer explicitement le résultat du cours utilisé et vérifier chacune de ses hypothèses, sous forme de liste quand elles sont nombreuses.
Mentionner le numéro de la question dont on réutilise le résultat.
Lire attentivement l'énoncé pour ne pas confondre les objets (ici les matrices A et M).
Effectuer des opérations sur les lignes ou colonnes avant de développer un déterminant pour éviter des calculs longs.
Soigner la copie : encre foncée, ratures propres, réponses aérées, résultats mis en valeur, pas d'abréviations.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
-Ne pas utiliser de correcteur.
-Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

Réduction de matrices par blocs

Présentation générale
Dans tout l'exercice, on considère un entier

n \in ℕ^*

et une matrice

A \in M_n(ℝ)

.
L'objectif de cet exercice est d'étudier les propriétés de certaines matrices par blocs de la forme :

M = (αA, βA; γA, δA) \in M_(2n)(ℝ) avec (α, β, γ, δ) \in ℝ^4.

On rappelle que les opérations sur les matrices par blocs s'effectuent de la même manière que sur les matrices classiques du moment que les tailles des blocs sont compatibles. Par exemple, pour tout élément

(A_(1, 1), A_(1, 2), A_(2, 1), A_(2, 2), B_(1, 1), B_(1, 2), B_(2, 1), B_(2, 2)) \in M_n(ℝ)^8

, on a :

(A_(1, 1), A_(1, 2); A_(2, 1), A_(2, 2))(B_(1, 1), B_(1, 2); B_(2, 1), B_(2, 2)) = (A_(1, 1)B_(1, 1) + A_(1, 2)B_(2, 1), A_(1, 1)B_(1, 2) + A_(1, 2)B_(2, 2); A_(2, 1)B_(1, 1) + A_(2, 2)B_(2, 1), A_(2, 1)B_(1, 2) + A_(2, 2)B_(2, 2)).

On note

I_n

la matrice identité de

M_n(ℝ)

O_n

la matrice nulle de

M_n(ℝ)

.
Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I - Étude d'une première forme

Dans cette partie, on étudie la matrice par blocs définie par :

M = (A, A; A, A) \in M_(2n)(ℝ).

I. 1 - Étude d'un exemple

Dans cette sous-partie uniquement, on suppose que

n = 2

et que :

A = (1, 0; 0, 2) \in M_2(ℝ).

Q1. Justifier que la matrice

M

est diagonalisable.
Q2. Déterminer les valeurs propres de la matrice

M

.
Q3. Montrer que

M

est une matrice symétrique positive. Est-elle définie positive?
I. 2 - Réduction de la matrice

M

Dans cette sous-partie, on revient au cas général où l'entier

n \in ℕ^*

et la matrice

A \in M_n(ℝ)

sont quelconques. On considère la matrice :

P = (I_n, I_n; - I_n, I_n) \in M_(2n)(ℝ).

Q4.Montrer que la matrice $P$ est inversible et que :
$P^(- 1) = 1/2(I_n, - I_n; I_n, I_n).$
Q5.En utilisant la matrice $P$ définie précédemment, montrer que $M$ est semblable à la matrice :
$D = (O_n, O_n; O_n, 2A).$
Q6.On note $χ_A$ le polynôme caractéristique de $A$ et $χ_M$ le polynôme caractéristique de $M$ .
Montrer pour tout $λ \in ℝ$ que $χ_M(λ) = λ^n 2^n χ_A(λ/2)$ . En déduire le spectre de la matrice $M$ en fonction du spectre de $A$ .
Q7.Soit un polynôme $Q = \sum_(k = 0)^d q_k X^k \in ℝ[X]$ avec $d \in ℕ$ et $(q_0, \dots, q_d) \in ℝ^(d + 1)$ . Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes.
- (i)Le polynôme $Q$ est annulateur de la matrice $A$ et on a $Q(0) = 0$ .
- (ii)Le polynôme $Q(X/2)$ est annulateur de $D$ .
Q8.En déduire que $M$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable.

Partie II - Étude d'une seconde forme

Dans cette partie, on étudie la matrice par blocs définie par :

M = (A, A; O_n, A) \in M_(2n)(ℝ).

Q9.Montrer que pour tout $k \in ℕ$ , on a :
$M^k = (A^k, kA^k; O_n, A^k).$
Q10.En déduire que pour tout polynôme $Q \in ℝ[X]$ , on a :
$Q(M) = (Q(A), AQ^'(A); O_n, Q(A)).$
Jusqu'à la fin de l'exercice, on suppose que la matrice $M$ est diagonalisable et on note $S \in ℝ[X]$ un polynôme annulateur de $M$ scindé à racines simples sur $ℝ$ .
Q11.Établir que la matrice $S^'(A)$ est diagonalisable, puis exprimer son spectre en fonction de celui de la matrice $A$ et du polynôme $S^'$ .
Q12.Montrer que $S^'(A)$ est une matrice inversible. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que la matrice $M$ soit diagonalisable.

EXERCICE 2

Autour de la loi géométrique

Présentation générale
Dans cet exercice, on fixe un réel

p \in ]0, 1[

et on note

q = 1 - p

. On considère une suite

(X_k)_(k \in ℕ^*)

de variables aléatoires réelles indépendantes définies sur un espace probabilisé (

Ω, A, P

) et suivant la loi géométrique de paramètre

p

Pour tout

n \in ℕ^*

, on considère les variables aléatoires définies par :

S_n = \sum_(k = 1)^n X_k, V_n = max(X_1, \dots, X_n)

L'objectif de cet exercice est d'étudier les lois des variables aléatoires

S_n

V_n

pour

n \in ℕ^*

.
La partie I est indépendante des parties II et III. La partie III peut se traiter en admettant les résultats de la partie II.

Partie I - Étude de la variable aléatoire $S_n$

Dans cette partie, on considère un entier

n \in ℕ^*

. Nous allons déterminer la loi de

S_n

.
Q13. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire

S_n

.
Q14. Rappeler l'espérance et la variance de la variable aléatoire

X_1

, puis déterminer l'espérance et la variance de la variable aléatoire

S_n

Soit

Y

une variable aléatoire sur

Ω

à valeurs dans

ℕ

. On rappelle que la fonction génératrice d'une telle variable aléatoire est la fonction d'une variable réelle définie par :

G_Y : t \mapsto E(t^Y) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)P(Y = k)t^k

Q15. Montrer que la série entière

\sum_(k ⩾ 0)P(Y = k)t^k

a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1.
Q16. Soit

t \in ] - 1, 1[

. Exprimer

G_(S_n)(t)

en fonction de

G_(X_1)(t), \dots, G_(X_n)(t)

, puis en déduire que :

G_(S_n)(t) = ((pt)/(1 - qt))^n.

Q17. Déterminer le développement en série entière de la fonction

t \mapsto (pt)^n(1 - qt)^(- n)

sur

] - 1, 1[

, puis en déduire une expression de

P(S_n = k)

pour tout entier

k \in S_n(Ω)

Partie II - Loi de la variable aléatoire $V_n$

Dans cette partie, nous allons déterminer la loi de

V_n

où

n \in ℕ^*

est un entier.
Q18. Montrer pour tout

k \in ℕ^*

que

P(X_1 > k) = q^k

.
Q19. En déduire pour tout

k \in ℕ^*

que

P(V_n ⩽ k) = (1 - q^k)^n

.
Les questions Q20 et Q21 peuvent se traiter de manière indépendante.
Q20. Montrer que

V_n

est d'espérance finie et que :

E(V_n) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)(1 - (1 - q^k)^n).

Q21. Déterminer la loi de la variable aléatoire

V_n

. On commencera par déterminer, pour tout

k \in ℕ^*

, une relation entre les évènements

(V_n = k), (V_n ⩽ k)

(V_n ⩽ k - 1)

Partie III - Équivalent de l'espérance de $V_n$

Dans cette partie, on considère un entier

n \in ℕ^*

. Nous allons déterminer un équivalent simple de l'espérance de

V_n

lorsque

n \to + \infty

On considère la fonction

φ_n : [0, + \infty[ \to ℝ

définie par

φ_n : x \mapsto 1 - (1 - q^x)^n

.
Q22. Montrer que la fonction

φ_n

est décroissante et intégrable sur

[0, + \infty[

.
Q23. En utilisant la méthode de comparaison série-intégrale, montrer que :

\int_0^(+ \infty)φ_n(x)dx ⩽ E(V_n) ⩽ 1 + \int_0^(+ \infty)φ_n(x)dx

Q24. En utilisant le changement de variable

u = 1 - q^x

, montrer que l'intégrale

\int_0^1(1 - u^n)/(1 - u) du

converge et que :

\int_0^1(1 - u^n)/(1 - u) du = - ln(q)\int_0^(+ \infty)φ_n(x)dx

Dans la suite, on admet que :

\sum_(k = 1)^n 1/k \sim _(n \to + \infty)ln(n)

Cette relation admise pourra être utilisée librement dans la question suivante.
Q25. Déduire des questions précédentes un équivalent simple de

E(V_n)

lorsque

n \to + \infty

EXERCICE 3
Résolution d'une équation différentielle non ordinaire

Présentation générale
Dans cet exercice, on considère un réel

λ \in [ - 1, 1]

. On souhaite déterminer les fonctions

f : ℝ \to ℝ

dérivables telles que :

\forallx \in ℝ, f^'(x) = f(λx).

On note

S_λ

l'ensemble des fonctions dérivables

f : ℝ \to ℝ

vérifiant l'équation

(E_λ)

.
Les trois parties de cet exercice peuvent se traiter de manière indépendante, à l'exception de la Q37 qui nécessite l'utilisation des résultats des parties II et III.

Partie I - Généralités

Q26.On note $D(ℝ, ℝ)$ l'espace vectoriel des fonctions dérivables de $ℝ$ dans $ℝ$ . Montrer que $S_λ$ est un sous-espace vectoriel de $D(ℝ, ℝ)$ .
Q27.Déterminer l'ensemble $S_1$ .
Q28.Montrer que si $f : ℝ \to ℝ$ est une fonction vérifiant $(E_0)$ , alors $f$ est une fonction affine. En déduire l'ensemble $S_0$ .
Q29.Montrer que si $f : ℝ \to ℝ$ est une fonction vérifiant $(E_(- 1))$ , alors la fonction $f$ est deux fois dérivable et on a $f^('') + f = 0$ . En déduire l'ensemble $S_(- 1)$ .

Partie II - Solutions développables en série entière

Dans cette partie, on suppose que

λ \neq 0

. Nous allons déterminer les solutions de

(E_λ)

développables en série entière sur

ℝ

Q30. Déterminer le rayon de convergence de la série entière

\sum_(n ⩾ 0)λ^((n(n - 1))/2)(x^n)/(n!)

.
Dans la suite de cette partie, on note

φ : ℝ \to ℝ

la somme de la série entière étudiée dans la question précédente.

Q31. Montrer que

φ \in S_λ

.
Dans la suite, on considère une suite

(a_n)_(n \in ℕ)

de nombres réels telle que la série entière

\sum_(n ⩾ 0)a_n x^n

admet un rayon de convergence infini. On note

f : ℝ \to ℝ

la somme de la série entière

\sum_(n ⩾ 0)a_n x^n

Q32. Montrer que si

f

est solution de

(E_λ)

, alors on a

(n + 1)a_(n + 1) = λ^n a_n

pour tout

n \in ℕ

.
Q33. En déduire que

f

est solution de

(E_λ)

si et seulement si

f \in Vect(φ)

Partie III - Détermination de toutes les solutions

Dans cette partie, on suppose que

λ \neq 0

et on considère une fonction

f \in S_λ

. Nous allons montrer que la fonction

f

est développable en série entière sur

ℝ

On admet et on pourra utiliser librement dans la suite la formule de Taylor suivante : si

h : ℝ \to ℝ

est une fonction de classe

C^\infty

sur

ℝ

, alors on a :

\forallx \in ℝ, \foralln \in ℕ, h(x) = \sum_(k = 0)^n(h^((k))(0))/(k!)x^k + \int_0^x((x - t)^n)/(n!)h^((n + 1))(t)dt.

Q34. Montrer par récurrence pour tout

n \in ℕ

que

f

est

C^n

sur

ℝ

et que :

\forallt \in ℝ, f^((n))(t) = λ^((n(n - 1))/2)f(λ^n t).

Dans la suite, on considère un réel

a > 0

et un réel

x \in [ - a, a]

. Pour tout

n \in ℕ

, on définit la fonction :

g_n : t \mapsto ((x - t)^n)/(n!)f^((n + 1))(t).

Q35. Montrer que la suite de fonctions

(g_n)_(n \in ℕ)

converge uniformément vers la fonction nulle sur

[ - a, a]

.
Q36. Montrer que

f

est développable en série entière sur

ℝ

.
Q37. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel

S_λ

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths CCINP PC 2026 ?

Sur la réduction de matrices par blocs, les variables aléatoires de loi géométrique avec fonctions génératrices et comparaison série-intégrale, et sur les séries entières appliquées à l'équation f'(x) = f(λx).

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths CCINP PC 2026 ?

Des confusions entre matrices et scalaires, des hypothèses de théorèmes non vérifiées (changement de variable, dérivabilité), l'oubli de la réciproque dans les résolutions d'équations et des justifications absentes.

Le sujet de maths CCINP PC 2026 était-il long ?

Non, le jury le décrit comme de longueur raisonnable, avec trois exercices indépendants permettant de commencer par les thèmes les mieux maîtrisés.

Comment réussir l'épreuve de maths CCINP PC d'après le rapport 2026 ?

Maîtriser les résultats de cours, citer chaque théorème avec ses hypothèses, faire référence aux questions précédentes utilisées et présenter une copie claire et soignée.

Pas de description pour le moment

Commentaires• CCINP Mathématiques PC 2026

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Présentation du sujet

L'épreuve en chiffres

Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

Conseils du jury

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

EXERCICE 1

Réduction de matrices par blocs

Partie I - Étude d'une première forme

Partie II - Étude d'une seconde forme

EXERCICE 2

Autour de la loi géométrique

Partie I - Étude de la variable aléatoire S_n

Partie II - Loi de la variable aléatoire V_n

Partie III - Équivalent de l'espérance de V_n

EXERCICE 3 Résolution d'une équation différentielle non ordinaire

Partie I - Généralités

Partie II - Solutions développables en série entière

Partie III - Détermination de toutes les solutions

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de maths CCINP PC 2026 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths CCINP PC 2026 ?

Le sujet de maths CCINP PC 2026 était-il long ?

Comment réussir l'épreuve de maths CCINP PC d'après le rapport 2026 ?

Commentaires• CCINP Mathématiques PC 2026

Commentaires• CCINP Mathématiques PC 2026

Partie I - Étude de la variable aléatoire $S_n$

Partie II - Loi de la variable aléatoire $V_n$

Partie III - Équivalent de l'espérance de $V_n$

EXERCICE 3
Résolution d'une équation différentielle non ordinaire