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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Endomorphismes cycliques, fonction dilogarithme et durée d'un jeu de société
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Le sujet comporte trois exercices indépendants. Le premier étudie les endomorphismes cycliques sur des exemples, puis caractérise les endomorphismes diagonalisables cycliques. Le deuxième définit la fonction dilogarithme par une intégrale à paramètre et établit son développement en série entière et quelques propriétés. Le troisième modélise la durée d'une partie d'un jeu de société par une variable aléatoire dont on calcule l'espérance dans deux cas.

  1. 1Exercice 1 : endomorphisme cycliquepremière et deuxième annéeTrois exemples (en dimension 2, en dimension 3, opérateur de différence sur R_n[X]) puis condition nécessaire et suffisante de cyclicité pour un endomorphisme diagonalisable via un déterminant de Vandermonde.
  2. 2Exercice 2 : la fonction dilogarithmedeuxième annéeDéfinition par une intégrale généralisée, continuité par le théorème des intégrales à paramètre, développement en série entière par intégration terme à terme, puis une relation fonctionnelle.
  3. 3Exercice 3 : un jeu de sociétédeuxième annéeModélisation par une somme de variables indépendantes, loi binomiale, fonction génératrice et espérance du nombre de tours, puis second cas traité par la formule des probabilités totales et une récurrence.

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet d'une longueur raisonnable et indique que les exercices 1 et 2 ont été traités de manière satisfaisante par une majorité, tandis que l'exercice 3 a posé le plus de difficultés.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,37 / 20 · écart-type 4,06 · 4 216 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,37/ 20
Écart-type
4,06
Présents
4 216
Coefficient
12
Durée
4 h
moyenne 9,3705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 24 avril 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Quantificateurs mal manipulés · Matrice d'un endomorphisme et théorème spectral · Intégration par parties généralisée mal rédigée
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Les correcteurs notent une amélioration de la présentation des copies par rapport à la session précédente, en particulier dans la vérification des hypothèses des théorèmes. Les exercices 1 et 2 ont été abordés de manière satisfaisante par une majorité de candidats, avec des progrès en analyse. L'exercice 3, et surtout ses questions de probabilités, a posé le plus de difficultés.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Quantificateurs mal manipulésQ6, Q13

    La définition d'endomorphisme cyclique a donné lieu à des confusions entre quantificateur universel et existentiel, surtout dans les parties III et IV de l'exercice 1.

    « Les réponses des candidats contenaient beaucoup de problèmes de logique »
  2. 2
    Matrice d'un endomorphisme et théorème spectralQ2, Q5

    Beaucoup obtiennent une matrice erronée pour f dans la base canonique. En Q5, il faut préciser que la matrice est réelle pour appliquer le théorème spectral.

    « il ne faut pas oublier de préciser que la matrice est à coefficients réels »
  3. 3
    Intégration par parties généralisée mal rédigéeQ17, Q18

    Il faut vérifier les limites aux bornes et la convergence d'au moins une des intégrales avant d'écrire l'égalité. En Q17, la domination est souvent mal établie.

    « Le théorème d’intégration par parties pour les intégrales généralisées est rarement correctement rédigé. »
  4. 4
    Séries entières : bords et intégration terme à termeQ19, Q20

    Après avoir trouvé un rayon égal à 1, beaucoup n'étudient pas les bornes, et les hypothèses de l'intégration terme à terme sont omises ou mal formulées.

    « ils oublient d’étudier la convergence en x = -1 et en x = 1 »
  5. 5
    Dérivation d'une composéeQ24, Q25

    La dérivabilité de h sur ]0,1[ est mal justifiée et h' est souvent fausse.

    « beaucoup de candidats se sont trompés pour dériver la composée »
  6. 6
    Probabilités sans rigueurQ31, Q37, Q38

    Événement et probabilité sont confondus, l'indépendance des X_k n'est pas mentionnée et les initialisations de récurrence sont rarement justifiées.

    « Peu de candidats ont été capables d’appliquer simplement la formule des probabilités totales. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions Q3, Q4 et Q8 de l'exercice 1 ont été globalement bien traitées.
  • Des progrès ont été constatés dans la manipulation des outils de l'analyse ; Q21 et Q22 ont été globalement bien traitées.
  • La plupart des candidats reconnaissent la série géométrique en Q19.
  • Les questions Q28, Q30, Q33 et Q36 de l'exercice 3 ont été globalement bien traitées.

Conseils du jury

  • Citer et vérifier toutes les hypothèses des théorèmes, en les présentant par exemple sous forme de liste numérotée.
  • Indiquer le numéro de la question dont on utilise le résultat et introduire correctement notations et objets.
  • Lire l'énoncé attentivement pour ne manquer aucune information ni aucune partie de la question.
  • Commencer par l'exercice le mieux maîtrisé : leur indépendance le permet.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

Endomorphisme cyclique

Présentation générale

Dans cet exercice, nous allons étudier la notion d'endomorphisme cyclique dont la définition est donnée ci-dessous. Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie n ∈ ℕ^∗. On rappelle que pour tout entier p ∈ ℕ^∗, on note :
f^0 = ld_E, f^1 = f, f^2 = f ∘ f, f^p = f ∘ ⋯ ∘ f_()_(p fois).
On dit que l'endomorphisme f est cyclique s'il existe un vecteur v ∈ E tel que la famille (v, f(v), …, f^(n − 1)(v)) soit une base de l'espace vectoriel E.
Cet exercice est composé de quatre parties indépendantes. Les trois premières sont consacrées à l'étude de différents exemples. Dans la dernière partie, on détermine une condition nécessaire et suffisante pour qu'un endomorphisme diagonalisable soit cyclique.

Partie I - Étude d'un premier exemple

Dans cette partie, on considère l'endomorphisme f : ℝ^2 → ℝ^2 défini par :
∀(x, y) ∈ ℝ^2, f(x, y) = (4x − 2y, x + y)
Q1. En considérant v = (1, 0) ∈ ℝ^2, montrer que f est un endomorphisme cyclique de ℝ^2.
Q2. Déterminer les valeurs propres de f et donner une base de chaque sous-espace propre de f.
Q3. Existe-t-il un vecteur w ∈ ℝ^2 non nul tel que la famille (w, f(w)) ne soit pas une base de ℝ^2 ?

Partie II - Étude d'un deuxième exemple

Dans cette partie, on considère l'endomorphisme g : ℝ^3 → ℝ^3 dont la matrice dans la base canonique est :
M = (0, − 1, 1; − 1, 0, − 1; 1, − 1, 0) ∈ M_3(ℝ)
Q4. Montrer que l'on a la relation g^2 = g + 2I d_(ℝ^3).
Q5. Montrer que la matrice M est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres.
Q6. L'endomorphisme g est-il cyclique?

Partie III - Étude d'un troisième exemple

Dans cette partie, on fixe un entier n ∈ ℕ∖{0, 1} et on considère l'application Δ définie sur ℝ_n[X] par :
∀P ∈ ℝ_n[X], Δ(P) = P(X + 1) − P(X)
Par exemple, on a Δ(X^2) = (X + 1)^2 − X^2 = 2X + 1.
Q7. Montrer que Δ est un endomorphisme de ℝ_n[X].
Q8. Soit k ∈ [ [0, n] ]. Calculer Δ(X^k) sous une forme développée.
Q9. En déduire que si P ∈ ℝ_n[X] est un polynôme non constant, alors deg(Δ(P)) = deg(P) − 1.
Q10. Montrer que l'endomorphisme Δ est cyclique.

Partie IV - Cas d'un endomorphisme diagonalisable

Dans cette partie, on considère un endomorphisme diagonalisable h d'un ℂ-espace vectoriel E de dimension finie n ∈ ℕ^∗. On souhaite déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les valeurs propres de h pour que cet endomorphisme soit cyclique.
Comme l'endomorphisme h est diagonalisable, il existe une base B = (v_1, …, v_n) de l'espace vectoriel E composée de vecteurs propres de h. Pour tout k ∈ [ [1, n] ], on note λ_k ∈ ℂ la valeur propre associée au vecteur propre v_k.
Soit v ∈ E. Comme B est une base de E, il existe (α_1, …, α_n) ∈ ℂ^n tel que :
v = α_1 v_1 + ⋯ + α_n v_n
Q11. Montrer que pour tout p ∈ ℕ^∗, on a :
h^p(v) = α_1 λ_1^p v_1 + ⋯ + α_n λ_n^p v_n
Q12. Montrer que le déterminant de la famille F = (v, h(v), …, h^(n − 1)(v)) dans la base B est égal à :
det_B(F) = α_1⋯α_n∏_(1 ⩽ i < j ⩽ n)(λ_j − λ_i).
Q13. Conclure que h est cyclique si et seulement si il admet n valeurs propres distinctes.

EXERCICE 2
La fonction dilogarithme

Présentation générale

Dans cet exercice, on commence par définir la fonction dilogarithme dans la première partie, puis on étudie quelques-unes de ses propriétés dans les parties suivantes.
On admet et on pourra utiliser librement l'égalité :
∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2) = (π^2)/6

Partie I - Existence et premières propriétés de la fonction dilogarithme

Dans cette partie, on considère la fonction f : ]0, + ∞[ × ] − ∞, 1] → ℝ définie par :
∀(t, x) ∈ ]0, + ∞[X] − ∞, 1], f(t, x) = t/(e^t − x).
Q14. Justifier que la fonction f est bien définie sur ]0, + ∞[ × ] − ∞, 1].
Q15. Montrer que la fonction t ↦ f(t, 1) est intégrable sur ]0, + ∞[.
Q16. Soit x ∈ ] − ∞, 1]. En comparant les fonctions t ↦ f(t, x) et t ↦ f(t, 1), montrer que t ↦ f(t, x) est intégrable sur ]0, + ∞[.
D'après les résultats précédents, on peut définir la fonction L : ] − ∞, 1] → ℝ par :
∀x ∈ ] − ∞, 1], L(x) = x∫_0^(+ ∞)f(t, x)dt
Cette dernière est appelée fonction dilogarithme.
Q17. Montrer que la fonction L est continue sur ] − ∞, 1].

Partie II - Développement en série entière

Dans cette partie, on montre que la fonction L est développable en série entière. On considère un nombre réel x ∈ [ − 1, 1]. Pour tout n ∈ ℕ, on définit la fonction s_n : ]0, + ∞[ → ℝ par
∀t ∈ ]0, + ∞[, s_n(t) = te^(− (n + 1)t)x^n.
Q18. Soit n ∈ ℕ. Montrer que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)s_n(t)dt converge et que ∫_0^(+ ∞)s_n(t)dt = (x^n)/((n + 1)^2).
Q19. Montrer que la série de fonctions ∑_(n ⩾ 0)s_n converge simplement sur ]0, + ∞[ et que :
∀t ∈ ]0, + ∞[, ∑_(n = 0)^(+ ∞)s_n(t) = f(t, x).
Q20. Montrer que la série ∑_(n ⩾ 1)(x^n)/(n^2) converge et déduire des questions précédentes que L(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(x^n)/(n^2).
Q21. Montrer que pour tout x ∈ [ − 1, 1], on a L(x) + L(− x) = 1/2L(x^2).
Q22. Déduire des questions précédentes les valeurs de L(1) et L(− 1).

Partie III - Une autre propriété

Dans cette partie, on considère la fonction h : ]0, 1[ → ℝ définie par :
∀x ∈ ]0, 1[, h(x) = L(x) + L(1 − x) + ln(x)ln(1 − x).
Q23. Justifier que la fonction L est dérivable sur ] − 1, 1[ et montrer que l'on a :
∀x ∈ ] − 1, 1[, L^′(x) = {− (ln(1 − x))/x, si, x ≠ 0; 1, si, x = 0
Q24. Montrer que la fonction h est constante sur ]0, 1[.
Q25. Montrer que h(x) = L(1) pour tout x ∈ ]0, 1 [. En déduire la valeur de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)t/(2e^t − 1) dt.

EXERCICE 3

Un jeu de société

Présentation générale

On considère deux entiers M ∈ ℕ∖{0, 1} et A ∈ ℕ^∗. On dispose d'un plateau de jeu infini sur lequel se trouve un parcours composé de cases numérotées par les entiers naturels. Un pion se trouve initialement sur la case numérotée 0 et il doit atteindre ou dépasser la case numérotée A pour terminer le jeu. À chaque tour de jeu, le joueur utilise un ordinateur qui génère aléatoirement et uniformément un élément de l'ensemble [ [0, M − 1] ] : le pion est avancé d'autant de cases que le nombre généré.
Dans la suite, on s'intéresse tout particulièrement au nombre de tours de jeu nécessaire pour que le pion atteigne ou dépasse la case numérotée A.
Pour modéliser cette situation, on se place sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ) et on considère une suite (X_k)_(k ∈ ℕ^∗) de variables aléatoires réelles indépendantes de loi uniforme sur [ [0, M − 1] ]. On considère également la suite de variables aléatoires réelles (S_n)_(n ∈ ℕ) définie par S_0 = 0 et :
∀n ∈ ℕ^∗, S_n = ∑_(k = 1)^n X_k
On considère la variable aléatoire T définie de la façon suivante :
  1. si pour tout n ∈ ℕ^∗, on a S_n < A, alors on pose T = 0;
  2. sinon, on pose T = min{n ∈ ℕ^∗|S_n ⩾ A}.
L'objectif de cet exercice est de déterminer l'espérance de la variable aléatoire T dans deux cas particuliers.

Partie I - Préliminaires

I. 1 - Modélisation

Dans cette sous-partie, on effectue le lien entre la situation présentée dans l'introduction et le modèle considéré ci-dessus.
Q26. Soit n ∈ ℕ^∗. Que représentent les variables aléatoires X_n et S_n dans le contexte de la situation présentée?
Q27. Que représente la variable aléatoire T ?

I. 2 - Calcul de la somme d'une série entière

On considère la fonction f : ] − 1, 1[ → ℝ définie par :
∀x ∈ ] − 1, 1[, f(x) = 1/(1 − x)
Q28. Montrer que la fonction f est de classe C^∞ sur ] − 1, 1[ et que :
∀p ∈ ℕ, ∀x ∈ ] − 1, 1[, f^((p))(x) = (p!)/((1 − x)^(p + 1))
Q29. Soit p ∈ ℕ. Montrer que le rayon de convergence de la série entière ∑_(n ⩾ p)(n/p)x^n est égal à 1 .
Q30. Soit p ∈ ℕ. En développant la fonction f en série entière, déduire des questions précédentes l'égalité suivante:
∀x ∈ ] − 1, 1[, ∑_(n = p)^(+ ∞)(n/p)x^n = (x^p)/((1 − x)^(p + 1))

Partie II - Étude d'un premier cas

Dans cette partie uniquement, on suppose que M = 2.

II. 1 - Loi des variables aléatoires S_n et T

Q31. Soit n ∈ ℕ^∗. Démontrer que S_n suit une loi binomiale de paramètres n et 1/2.
Q32. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire T ?
Q33. Soit k ∈ ℕ avec k ⩾ A. Exprimer l'évènement ( T = k ) en fonction des évènements ( S_(k − 1) = A − 1 ) et (X_k = 1). En déduire que :
P(T = k) = ((k − 1)/(A − 1))1/(2^k).
Q34. Calculer P(T = 0).

II. 2 - Espérance de la variable aléatoire T

On déduit des résultats précédents que la fonction génératrice G_T de la variable aléatoire T est égale à la somme de la série entière ∑_(k ⩾ A)P(T = k)x^k sur son intervalle de convergence.
Q35. Déterminer la rayon de convergence R_T de la série entière ∑_(k ⩾ A)P(T = k)x^k et montrer que :
∀x ∈ ] − R_T, R_T[, G_T(x) = (x/(2 − x))^A.
Q36. En déduire le nombre moyen de tours de jeu pour terminer notre partie.

Partie III - Étude d'un second cas

Dans cette partie uniquement, on suppose que A ⩽ M.

III. 1 - Calcul de la probabilité P(S_n ⩽ k)

Dans cette sous-partie, on pourra librement utiliser la formule suivante :
∀(k, n) ∈ ℕ^2, ∑_(ℓ = 0)^k((n + k − ℓ)/n) = ((n + 1 + k)/(n + 1)).
Q37. Soit n ∈ ℕ^∗. En considérant le système complet d'évènements ((X_(n + 1) = 0), …, (X_(n + 1) = M − 1)), montrer que :
∀k ∈ [ [0, A − 1] ], P(S_(n + 1) ⩽ k) = 1/M∑_(ℓ = 0)^k P(S_n ⩽ k − ℓ)
Q38. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ^∗, on a :
∀k ∈ [ [0, A − 1] ], P(S_n ⩽ k) = 1/(M^n)((n + k)/n)

III. 2 - Espérance de la variable aléatoire T

On rappelle le résultat suivant qui pourra être utilisé librement dans la suite : si Z est une variable aléatoire à valeurs dans ℕ telle que la série numérique ∑_(n ⩾ 0)P(Z > n) converge, alors Z admet une espérance et on a l'égalité :
E(Z) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)P(Z > n)
Q39. Que peut-on dire des évènements (T > n) et (S_n < A) pour tout n ∈ ℕ ? En déduire que la variable aléatoire T admet une espérance et calculer sa valeur.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet CCINP Maths PC 2023 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet CCINP Maths PC 2023 ?

Il porte sur la réduction des endomorphismes et les déterminants (exercice 1), les intégrales à paramètre et les séries entières (exercice 2), et les variables aléatoires discrètes avec fonctions génératrices (exercice 3).

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en CCINP Maths PC 2023 ?

Des confusions entre quantificateurs, une intégration par parties généralisée mal rédigée, l'oubli de l'étude aux bornes d'une série entière et un manque de rigueur en probabilités.

Quel exercice du CCINP Maths PC 2023 a été le plus difficile ?

Selon le jury, l'exercice 3 sur le jeu de société a posé le plus de difficultés, notamment ses questions de probabilités. La question 39 a été très peu traitée.

Le sujet CCINP Maths PC 2023 était-il long ?

Le jury le juge d'une longueur raisonnable, pour permettre de traiter l'ensemble des questions. Les trois exercices étant indépendants, on pouvait commencer par le thème le mieux maîtrisé.

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