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CCINP Mathématiques PC 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Trois exercices indépendants : endomorphisme matriciel, polynômes de Hermite, succession de tirages dans une urne
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Le sujet comporte trois exercices entièrement indépendants. Le premier étudie les propriétés de l'endomorphisme de multiplication matricielle associé à une matrice A, notamment sa diagonalisabilité. Le deuxième introduit la famille des polynômes de Hermite et établit leurs propriétés (produit scalaire, calcul de l'intégrale de Gauss, série génératrice exponentielle). Le troisième analyse une suite de tirages dans une urne dont la composition évolue, pour déterminer quand la probabilité de ne tirer que des boules blanches indéfiniment est nulle.

  1. 1Exercice 1, Partie I : GénéralitésMontrer que l'application de multiplication par A est un endomorphisme et relier son inversibilité à celle de A.
  2. 2Exercice 1, Partie II : Étude d'un exempleÉtude en dimension 2 des valeurs propres et de la diagonalisabilité de l'endomorphisme associé à une matrice particulière.
  3. 3Exercice 1, Partie III : Réduction de l'endomorphisme si A est diagonalisableLien entre les éléments propres de A et ceux de l'endomorphisme associé, déterminant et trace.
  4. 4Exercice 2, Partie I : PréliminairesConstruction d'un produit scalaire sur les polynômes et calcul de l'intégrale de Gauss.
  5. 5Exercice 2, Partie II : Propriétés des polynômes de HermiteDegré, coefficient dominant et orthogonalité des polynômes de Hermite.
  6. 6Exercice 2, Partie III : Série génératrice exponentielle des polynômes de HermiteDéveloppement en série entière et expression intégrale des polynômes de Hermite.
  7. 7Exercice 3, Partie I : Probabilité de l'évènement EÉtude de la décroissance et de la convergence de la suite des probabilités de tirer uniquement des boules blanches.
  8. 8Exercice 3, Partie II : Caractérisation de la propriété P(E)=0Lien entre la nullité de cette probabilité et la divergence d'une série associée à la composition de l'urne.

Difficulté moyenne. Le rapport indique un sujet de longueur raisonnable donnant une réelle possibilité de traiter l'ensemble des questions, mais souligne une réussite modérée sur de nombreuses questions de cours ou d'application directe.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,96 / 20 · écart-type 3,97 · 4 303 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,96/ 20
Écart-type
3,97
Présents
4 303
Coefficient
12
Durée
4 h
moyenne 9,9605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 5 mai 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Égalité entre applications mal rédigée (Q2, Q9) · Récurrences bâclées (Q8, Q21, Q22) · Hypothèse de domination mal vérifiée (Q18)
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Le sujet visait à évaluer les candidats sur une vaste partie du programme des deux années et sur les six grandes compétences du programme de PC, via trois exercices indépendants permettant de choisir un ordre de traitement. Le jury constate une augmentation significative de la proportion de copies dont la présentation et le soin ne sont pas satisfaisants, ainsi qu'un nombre préoccupant de réponses dénuées d'explications ou de justifications.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Égalité entre applications mal rédigée (Q2, Q9)Q2, Q9

    Démontrer l'égalité entre deux applications a souvent posé des difficultés de rédaction, sur deux questions distinctes de l'exercice 1.

    « Il s’agissait de démontrer l’égalité entre deux applications, ce qui a souvent posé des difficultés de rédaction. »
  2. 2
    Récurrences bâclées (Q8, Q21, Q22)Q8, Q21, Q22

    Le jury demande de soigner la rédaction des récurrences et de bien vérifier l'initialisation.

    « Il ne faut pas bâcler la rédaction de la récurrence. Attention à bien initialiser la récurrence à l’indice k=0. »
  3. 3
    Hypothèse de domination mal vérifiée (Q18)Q18

    Dans le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre, l'hypothèse de domination est fréquemment insuffisamment justifiée.

    « L’hypothèse de domination dans le théorème de dérivation d’une intégrale à paramètre est fréquemment mal vérifiée. »
  4. 4
    Inégalités entre nombres complexes (Q29)Q29

    Certains candidats écrivent des inégalités entre nombres complexes, ce qui n'a pas de sens, et peu gèrent correctement les valeurs absolues pour étudier la convergence normale.

    « certains candidats écrivent des inégalités entre nombres complexes, ce qui n’a aucun sens »
  5. 5
    Présentation et soin des copies en baisse

    Le jury constate une hausse notable des copies mal présentées, avec une écriture parfois trop claire ou l'usage non autorisé d'un effaceur.

    « L’ensemble des correcteurs a constaté une augmentation significative de la proportion de copies dont la présentation et le soin ne sont pas satisfaisants »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1, 12, 19, 24, 26, 32 et 37 ont été globalement bien traitées par les candidats.
  • La question 25, qui exploitait un résultat de la question 23, a été correctement abordée par une part importante des candidats, malgré des erreurs de calcul.

Conseils du jury

  • Citer explicitement tout résultat de cours invoqué et vérifier attentivement que ses hypothèses sont réunies.
  • Structurer la présentation, par exemple sous forme de liste, pour les théorèmes comportant de nombreuses hypothèses à vérifier.
  • Indiquer clairement le numéro de la question précédente lorsqu'on réutilise un résultat déjà établi.
  • Utiliser un stylo de couleur suffisamment foncée et ne pas utiliser d'effaceur pour garder une copie lisible.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

Étude d'un endomorphisme matriciel

Présentation générale

Dans tout l'exercice, on considère un entier n ∈ ℕ^∗.
Pour toute matrice A ∈ M_n(ℂ), on note φ_A : M_n(ℂ) → M_n(ℂ) définie par φ_A : M ↦ AM. En particulier, on remarque qu'en notant O_n la matrice nulle de M_n(ℂ) et I_n la matrice d'identité de M_n(ℂ), alors φ_(O_n) est l'application nulle de M_n(ℂ) et φ_(I_n) est l'application identité de M_n(ℂ).
L'objectif de cet exercice est d'étudier quelques propriétés de l'application φ_A.

Partie I - Généralités

Q1. Montrer pour tout A ∈ M_n(ℂ) que l'application φ_A est un endomorphisme de M_n(ℂ).
Q2. Montrer pour tout (A, B) ∈ M_n(ℂ)^2 que φ_A ∘ φ_B = φ_(AB).
Q3. Soit A ∈ M_n(ℂ). Déduire de la question précédente que φ_A est un isomorphisme si et seulement si la matrice A est inversible. Indication : si φ_A est un isomorphisme, on pourra considérer un antécédent par φ_A de la matrice identité de M_n(ℂ).

Partie II - Étude d'un exemple

Dans cette partie uniquement, on suppose que n = 2. On considère un nombre a ∈ ℂ et la matrice :
A = (1, 1; 0, a) ∈ M_2(ℂ).
Q4. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur le nombre a ∈ ℂ pour que la matrice A soit diagonalisable.
Q5. Déterminer la matrice de φ_A dans la base C = ((1, 0; 0, 0), (0, 1; 0, 0), (0, 0; 1, 0), (0, 0; 0, 1)) de M_2(ℂ).
Q6. En déduire les valeurs propres de φ_A, puis déterminer la dimension de chaque sous-espace propre de φ_A en fonction de a ∈ ℂ.
Q7. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a ∈ ℂ pour que φ_A soit diagonalisable.

Partie III - Réduction de φ_A si A est diagonalisable

Dans cette partie, on considère une matrice A ∈ M_n(ℂ). Nous allons étudier les propriétés liant les éléments propres de la matrice A et ceux de l'endomorphisme φ_A.
Q8. Montrer pour tout k ∈ ℕ que φ_A^k = φ_(A^k).
Q9. En déduire pour tout polynôme P ∈ ℂ[X] que P(φ_A) = φ_(P(A)).
Q10. Rappeler la caractérisation de la diagonalisabilité d'une matrice ou d'un endomorphisme à l'aide d'un polynôme annulateur. En déduire que la matrice A est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme φ_A est diagonalisable.
Q11. On note χ_A le polynôme caractéristique de A. Montrer que χ_A(φ_A) est l'endomorphisme nul. En déduire une inclusion entre l'ensemble des valeurs propres de A et l'ensemble des valeurs propres de φ_A, puis que la matrice A et l'endomorphisme φ_A ont les mêmes valeurs propres.
Q12. Soit λ ∈ ℂ une valeur propre de A. Montrer qu'une matrice M ∈ M_n(ℂ) est dans le sous-espace propre E_λ(φ_A) de φ_A pour la valeur propre λ si et seulement si chaque colonne de la matrice M est dans le sous-espace propre E_λ(A) de la matrice A pour la valeur propre λ.
On déduit directement de la question précédente que pour toute valeur propre λ ∈ ℂ de la matrice A, l'application Ψ qui à toute matrice de M_n(ℂ) associe le n-uplet de ses colonnes :
Ψ : (m_(1, 1), ⋯, m_(1, n); ⋮, ⋮; m_(n, 1), ⋯, m_(n, n)) ↦ ((m_(1, 1); ⋮; m_(n, 1)), …, (m_(1, n); ⋮; m_(n, n)))
est un isomorphisme du sous-espace propre de E_λ(φ_A) sur E_λ(A)^n.
Q13. Dans le cas où la matrice A est diagonalisable, déduire des résultats de cette partie une expression du déterminant et de la trace de φ_A en fonction du déterminant et de la trace de A.

EXERCICE 2

Les polynômes de Hermite

Présentation générale

On définit la suite des polynômes de Hermite dans ℝ[X] par H_0 = 1 et la relation de récurrence :
∀n ∈ ℕ, H_(n + 1) = 2XH_n − H_n^′.
L'objectif de ce problème est d'établir quelques propriétés de cette famille de polynômes.

Partie I - Préliminaires

Les deux sous-parties suivantes peuvent être traitées de manière indépendante.

I. 1 - Un produit scalaire sur l'espace des polynômes

Dans cette sous-partie, on introduit un produit scalaire sur ℝ[X].
Q14. Soit n ∈ ℕ. Montrer que la fonction t ↦ t^n e^(− t^2) est intégrable sur [0, + ∞[, puis en déduire que cette fonction est intégrable sur ℝ.
Q15. En déduire pour tout polynôme R ∈ ℝ[X] que la fonction t ↦ R(t)e^(− t^2) est intégrable sur ℝ.
On déduit de la question précédente que l'on peut définir l'application φ : ℝ[X]^2 → ℝ par :
∀(P, Q) ∈ ℝ[X]^2, φ(P, Q) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)P(t)Q(t)e^(− t^2) dt.
Q16. Montrer que φ est un produit scalaire sur ℝ[X].

I. 2 - Calcul de l'intégrale de Gauss

Dans cette sous-partie, on détermine la valeur de l'intégrale ∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− t^2) dt dont on a prouvé la convergence dans la sous-partie précédente.
On considère les fonctions u : ℝ → ℝ et v : ℝ → ℝ définies pour tout x ∈ ℝ par :
u(x) = ∫_0^x e^(− t^2) dt et v(x) = ∫_0^1(e^(− (1 + t^2)x^2))/(1 + t^2) dt.
Q17. Justifier que u est de classe C^1 sur ℝ et donner une expression de sa dérivée.
Q18. Justifier que v est de classe C^1 sur ℝ et donner une expression de sa dérivée.
Q19. Montrer que la fonction x ↦ u(x)^2 + v(x) est constante sur ℝ, puis que sa valeur est π/4.
Q20. En déduire que la valeur de l'intégrale ∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− t^2) dt est √π.

Partie II - Quelques propriétés des polynômes de Hermite

Dans cette partie, on établit quelques propriétés sur la famille des polynômes de Hermite. On rappelle que la suite (H_n)_(n ∈ ℕ) est définie dans la présentation générale de l'exercice.
On considère la fonction f : x ↦ e^(− x^2).
Q21. Pour tout n ∈ ℕ, montrer que H_n est de degré n et que son coefficient dominant est 2^n.
Q22. Montrer pour tout n ∈ ℕ et tout x ∈ ℝ qu'on a f^((n))(x) = (− 1)^n H_n(x)f(x).
On rappelle que le produit scalaire φ sur ℝ[X] est défini dans la sous-partie I.1.
Q23. Soit (p, q) ∈ ℕ^2 avec p ⩽ q. Montrer pour tout entier k ∈ [ [0, q] ] que :
φ(H_p, H_q) = (− 1)^(q − k)∫_(− ∞)^(+ ∞)H_p^((k))(t)f^((q − k))(t)dt
Q24. Soit d ∈ ℕ. Montrer que la famille (H_0, …, H_d) est une base orthogonale de ℝ_d[X].
Q25. Pour tout entier p ∈ ℕ, calculer la norme du polynôme H_p.

Partie III - Série génératrice exponentielle des polynômes de Hermite

Dans cette partie, on considère un nombre x ∈ ℝ.

III. 1 - Expression de la série génératrice

L'objectif de cette première sous-partie est de démontrer que la série entière ∑_(n ⩾ 0)(H_n(x))/(n!)z^n de la variable complexe z admet un rayon de convergence infini et on calcule sa somme.
Q26. Donner les développements en série entière des fonctions z ↦ exp(2xz) et z ↦ exp(− z^2) sur ℂ en précisant leur rayon de convergence respectif.
Q27. Montrer qu'il existe une suite de nombres complexes (c_n)_(n ∈ ℕ), qu'on ne cherchera pas à déterminer explicitement, telle que la série entière ∑_(n ⩾ 0)c_n z^n ait un rayon de convergence infini et que :
∀z ∈ ℂ, exp(− (x − z)^2) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)c_n z^n
En considérant la fonction f : t ↦ e^(− t^2) introduite dans la partie II, on déduit du résultat de la question ci-dessus que l'on a l'égalité :
∀t ∈ ℝ, f(x − t) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)c_n t^n
Q28. En utilisant la relation ci-dessus et la question Q22, en déduire que la série entière ∑_(n ⩾ 0)(H_n(x))/(n!)z^n admet un rayon de convergence infini et que :
∀z ∈ ℂ, exp(2xz − z^2) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(H_n(x))/(n!)z^n

III. 2 - Expression intégrale des polynômes de Hermite

Dans cette seconde sous-partie, on exploite les résultats de la sous-partie précédente afin d'établir une expression intégrale pour les polynômes de Hermite.
On considère un entier p ∈ ℕ et la fonction G_x : z ↦ exp(2xz − z^2). On définit également pour tout n ∈ ℕ la fonction g_n : θ ↦ (H_n(x))/(n!)e^(i(n − p)θ).
Q29. Montrer que la série ∑_(n ⩾ 0)g_n converge normalement sur l'intervalle [0, 2π].
Q30. Montrer que :
H_p(x) = (p!)/(2π)∫_0^(2π)G_x(e^(iθ))e^(− ipθ) dθ

EXERCICE 3

Succession de tirages dans une urne

Présentation générale

On fixe une suite (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) d'entiers naturels non nuls. On suppose que l'on dispose d'un stock illimité de boules blanches et on considère une urne contenant initialement une boule blanche et une boule rouge indiscernables au toucher. On procède à des tirages successifs dans cette urne en respectant à chaque fois le protocole suivant pour tout k ∈ ℕ^∗ :
  1. si la boule tirée est de couleur blanche lors du k-ème tirage, on la replace dans l'urne et on ajoute u_k boules blanches supplémentaires;
  2. si la boule tirée est de couleur rouge lors du k-ème tirage, on la replace dans l'urne.
Pour tout n ∈ ℕ^∗, on désigne par B_n l'évènement «la boule tirée lors du n-ième tirage est blanche» et on note :
E = ⋂_(n ∈ ℕ^∗)B_n.
L'objectif principal de cet exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) pour que la probabilité de l'évènement E soit nulle.
On considère également la suite (S_n)_(n ∈ ℕ) définie par :
S_0 = 1 et ∀n ∈ ℕ^∗, S_n = 1 + ∑_(k = 1)^n u_k.
On rappelle que si A et C sont deux évènements avec P(C) > 0, on note P(A|C) ou P_C(A) la probabilité conditionnelle de A sachant C.

Partie I - Probabilité de l'évènement E

Dans cette partie, on considère la suite (p_n)_(n ∈ ℕ^∗) définie par p_n = P(⋂_(k = 1)^n B_k) pour tout n ∈ ℕ^∗.
Q31. Montrer que la suite (p_n)_(n ∈ ℕ^∗) est décroissante. En déduire que cette suite est convergente, puis justifier que P(E) = lim_(n → + ∞)p_n.
Q32. Soit k ∈ ℕ^∗. Si l'évènement ⋂_(i = 1)^k B_i est réalisé, décrire la composition de l'urne en fonction de S_k juste avant d'effectuer le (k + 1)-ième tirage. En déduire la probabilité P(B_(k + 1)|⋂_(i = 1)^k B_i).
Q33. Montrer pour tout n ∈ ℕ^∗ que :
p_n = ∏_(k = 0)^(n − 1)(S_k)/(S_k + 1).

Partie II - Caractérisation de la propriété P(E) = 0

Q34. Montrer que la suite (S_n)_(n ∈ ℕ) diverge vers + ∞.
Q35. Montrer que les séries ∑ln((S_k)/(S_k + 1)) et ∑1/(S_k) sont de même nature.
Q36. Montrer que P(E) = 0 si et seulement si la série ∑1/(S_k) est divergente.
Q37. Dans cette question, on suppose que u_n = 1 pour tout n ∈ ℕ^∗. Déterminer P(E).
Q38. Proposer une suite (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) telle que P(E) ≠ 0 en justifiant votre réponse.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques PC du CCINP 2025 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques PC du CCINP 2025 ?

Le sujet comporte trois exercices indépendants : réduction et diagonalisation d'un endomorphisme matriciel, produit scalaire et séries entières autour des polynômes de Hermite, et probabilités sur une suite de tirages dans une urne.

Le sujet de mathématiques PC CCINP 2025 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme de longueur raisonnable, permettant de traiter l'ensemble des questions, mais note une réussite modérée sur de nombreuses questions de cours.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury signale des difficultés de rédaction sur les égalités entre applications, des récurrences mal initialisées, une hypothèse de domination mal vérifiée, des inégalités écrites entre nombres complexes, ainsi qu'une baisse du soin apporté aux copies.

Quels sont les exercices du sujet de mathématiques PC CCINP 2025 ?

L'exercice 1 porte sur un endomorphisme matriciel, l'exercice 2 sur les polynômes de Hermite, et l'exercice 3 sur une succession de tirages dans une urne.

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