Le sujet porte entièrement sur les générateurs thermoélectriques, dispositifs qui convertissent de la chaleur en électricité. La première partie présente et interprète l'effet Seebeck puis analyse l'expérience historique de Seebeck. La deuxième partie étudie le principe énergétique d'un générateur thermoélectrique et son rendement. La troisième partie, indépendante des deux premières, détaille le principe de l'assistance gravitationnelle utilisée par les sondes spatiales équipées de ces générateurs.

1Partie I : l'effet SeebeckPrésentation et interprétation microscopique de l'effet Seebeck, puis analyse de l'expérience historique de Seebeck (résistances, champ magnétique créé par le cadre).
2Partie II : principe d'un générateur thermoélectriqueÉtude énergétique d'un module thermoélectrique vu comme une machine ditherme, calcul de son rendement et généralisation des lois d'Ohm et de Fourier aux effets thermoélectriques.
3Partie III : l'assistance gravitationnelleMouvement à force centrale d'une sonde autour de Jupiter, sphère de Hill, puis calcul du gain de vitesse obtenu par assistance gravitationnelle.

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Source : document officiel du concours, épreuve du 5 mai 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Résistance électrique établie sans rigueur · Résultats numériques aberrants non questionnés · Théorème d'Ampère mal appliqué

La grande majorité des candidats a abordé le sujet dans l'ordre et traité des questions dans chacune des trois parties. La seconde partie, conceptuellement plus délicate car faisant appel à des lois inconnues, a été la moins bien réussie, et le début de la troisième partie, pourtant classique, a mis en évidence une maîtrise insuffisante des outils de mécanique.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Résistance électrique établie sans rigueurQ1
À la question 1, la démonstration de l'expression de la résistance électrique est rarement effectuée de façon rigoureuse, la différence de potentiel U étant rarement définie ou définie avec une erreur de signe.
2
Résultats numériques aberrants non questionnésQ9, Q31
Certains candidats montrent un manque de recul face à des résultats visiblement aberrants, comme des intensités ou des vitesses irréalistes, sans s'interroger sur leur cohérence.
« des intensités de l’ordre de 1210 A (Q9) ou bien des vitesses supérieures à 8110 m s »
3
Théorème d'Ampère mal appliquéQ10
À la question 10, très mal traitée bien que classique, l'analyse des invariances et symétries porte à tort sur le champ inconnu plutôt que sur la distribution de courant, et le contour d'Ampère n'est pas toujours clairement spécifié.
« ceci relève d’une confusion entre la cause et la conséquence »
4
Rendement de Carnot mal redémontréQ14
À la question 14, de nombreux candidats reproduisent la démonstration classique du rendement de Carnot apprise en première année au lieu de raisonner en puissances comme le demande l'énoncé, avec des écritures dimensionnellement incorrectes.
5
Caractère plan du mouvement mal justifiéQ27
À la question 27, classique de cours, l'expression vectorielle du théorème du moment cinétique et le caractère plan du mouvement sont rarement correctement justifiés, avec des confusions entre moment cinétique et moment d'une force.
6
Développement limité de la sphère de Hill mal maîtriséQ34
À la question 34, le développement limité à des ordres différents de chaque côté de l'égalité a dérouté beaucoup de candidats, qui n'ont pu aboutir à l'expression attendue du rayon de la sphère de Hill.

Ce qui a été bien réussi

La question 18 a été plutôt bien réussie par les candidats ayant un résultat juste à la question 17.
La question 19, calculatoire, a été bien traitée.
Les questions 32 et 37 ont été bien traitées.

Conseils du jury

Respecter scrupuleusement les notations imposées par l'énoncé et justifier chaque relation utilisée, notamment le sens des champs et le signe des grandeurs.
Toujours vérifier la cohérence physique des résultats numériques obtenus, en particulier leur ordre de grandeur.
Illustrer les raisonnements par un schéma, notamment pour le théorème d'Ampère ou les constructions vectorielles.
Soigner la présentation de la copie en numérotant les questions et en entourant les résultats, une copie illisible ne pouvant être notée.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

41 questions

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Description

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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

PHYSIQUE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le problème est composé de trois parties. Les résultats établis et donnés dans la partie I seront utiles dans la partie II.

La partie III est indépendante des deux autres.

Autour des générateurs thermoélectriques

En 2017, un rapport de l'agence de l'environnement et de la maîtrise de l'énergie (ADEME) estimait à 3,6 milliards de kWh l'énergie thermique perdue uniquement par les Data Center en France. Dans une logique de réduction de nos consommations énergétiques, on cherche aujourd'hui à récupérer et à valoriser cette énergie, appelée " chaleur fatale ", issue principalement de l'industrie et des transports.

Ce sujet s'intéresse au générateur thermoélectrique, dispositif capable de convertir la chaleur fatale en travail électrique.
Dans la partie I, on étudie l'effet Seebeck à la base du fonctionnement de ces générateurs avec en sous-partie

I.1

la présentation et une interprétation microscopique de cet effet, puis en souspartie 1.2 une analyse de l'expérience historique à l'origine de sa découverte.
Dans la partie II, on décrit le principe de fonctionnement d'un générateur thermoélectrique et on calcule son rendement.
L'utilisation première des générateurs thermoélectriques a été l'alimentation, sur des périodes de plusieurs dizaines d'années, de sondes spatiales. Pour arriver jusqu'aux confins de notre système solaire avec une quantité limitée de carburant, ces sondes ont utilisé l'assistance gravitationnelle dont on propose une présentation dans la partie III. Après quelques généralités de mécanique céleste en sous-partie III.1, puis le calcul en sous-partie III. 2 du rayon d'influence de la planète Jupiter, on évalue l'économie d'énergie réalisée grâce à cette assistance en sous-partie III.3.

Données

Perméabilité magnétique du vide : $μ_0 = 1, 3 \cdot 10^(- 6)H \cdot m^(- 1)$
Constante de gravitation universelle : $G = 6, 7 \cdot 10^(- 11) m^3 \cdot kg^(- 1) \cdot s^(- 2)$
Masse du Soleil : $M_S = 2, 0 \cdot 10^(30) kg$
Masse de Jupiter : $M_J = 1, 9 \cdot 10^(27) kg$

Partie I - L'effet Seebeck

1.1 - Découverte du phénomène

On considère un matériau conducteur électrique, homogène et isotrope, occupant un cylindre droit d'axe (

O, u⃗_x

), de section

S

et de longueur

L

(figure 1). Les deux sections droites qui limitent le cylindre sont portées aux potentiels électriques

V(x = 0) = V_1

V(x = L) = V_2

avec

V_1 > V_2

. Le régime étant supposé stationnaire, le matériau est parcouru par un courant électrique de densité volumique

j⃗_(el˙) = j_(el˙)u⃗_x

uniforme. On note

σ

la conductivité électrique du matériau.

Figure 1 - Conducteur électrique soumis à une différence de potentiel

Q1. Rappeler la loi d'Ohm locale reliant le vecteur densité volumique de courant électrique

j⃗_(el˙)

au champ électrique

E⃗

. Préciser, en justifiant, le sens du champ électrique dans le conducteur. Établir l'expression de la résistance électrique

R_(el)

du cylindre :

R_(el) = L/(σS)

Le matériau considéré est également un conducteur thermique, de conductivité thermique

λ

. Par contact avec deux sources idéales, les deux sections droites qui limitent le cylindre sont portées aux températures

T(x = 0) = T_1

T(x = L) = T_2

avec

T_1 > T_2

. Le régime étant toujours supposé stationnaire, le matériau est parcouru par un flux de chaleur de densité volumique

j⃗_(th) = j_(th)u⃗_x

uniforme.

Q2. Rappeler la loi locale de Fourier reliant le vecteur densité volumique de courant thermique

j⃗_(th)

au gradient de température

grad^(\to-)(T)

. En précisant les analogies avec le résultat précédent, donner l'expression de la résistance thermique

R_(th)

du cylindre.

Lorsque le matériau conducteur est uniquement soumis à un gradient de température, ce gradient est aussi source d'un champ électrique qui s'écrit en régime stationnaire :

E⃗ = αgrad^(\to-)(T)

. Cet effet est appelé effet Seebeck.

α

est le coefficient Seebeck du matériau.

On considèrera dans toute la suite du sujet que les coefficients

σ, λ

α

sont indépendants de la température.

Q3. Déduire de la relation entre le champ électrique

E⃗

et le potentiel

V

dont il dérive que le gradient de température induit une tension ou force électromotrice (f.é.m.)

e = V(x = 0) - V(x = L) = V_1 - V_2

qu'on exprimera en fonction de

α

et de l'écart de température

T_1 - T_2

On souhaite interpréter qualitativement l'effet Seebeck. On suppose pour cela que le matériau est un métal et que les porteurs de charges mobiles forment un " gaz " d'électrons libres.

Q4. On sépare tout d'abord fictivement le matériau en deux compartiments

A

B

de températures uniformes

T_A

T_B

, avec

T_A > T_B

. Dans quel compartiment la vitesse moyenne des électrons est-elle la plus élevée?
Partant d'une situation où la densité volumique en électrons libres est supposée identique dans les deux compartiments, comment vont évoluer les densités des compartiments par passage des électrons d'un compartiment à l'autre? En transposant désormais cette analyse à une variation continue de la température dans le matériau, indiquer comment va évoluer la densité d'électrons libres sous le seul effet de ce gradient de température.

Q5. L'inhomogénéité de la densité d'électrons libres dans le matériau cause l'apparition d'un champ électrique. Déterminer qualitativement le sens de ce champ. En déduire le signe du coefficient Seebeck que prévoit cette analyse physique.

Q6. La mesure des coefficients Seebeck du cuivre et de l'aluminium donne respectivement:

α_(Cu) = + 1, 2μ V \cdot K^(- 1)

α_(Al) = - 2, 2μ V \cdot K^(- 1)

. L'analyse qualitative précédente (question Q5) est-elle conforme aux données expérimentales ? Justifier brièvement.

l. 2 - Étude de l'expérience historique de Seebeck

La figure 2.a représente le dispositif expérimental qui permit à Seebeck en 1821 de mettre en évidence l'effet qui porte aujourd'hui son nom. On modélise l'ensemble par un cadre rectangulaire

CDD^' C^'

(figure 2.b). La portion

C^' C

est en bismuth, de coefficient Seebeck

α_(Bi) = - 72, 0μ V \cdot K^(- 1)

et de conductivité électrique

σ_(Bi) = 8, 7 \cdot 10^5 S \cdot m^(- 1)

. Le reste est en cuivre de coefficient Seebeck

α_(Cu) = + 1, 2μ V \cdot K^(- 1)

et de conductivité électrique

σ_(Cu) = 6, 0 \cdot 10^7 S \cdot m^(- 1)

. On suppose que la longueur

L

des portions

C^' C

D^' D

est très grande devant la longueur

d

des portions

CD

C^' D^'

. La portion

C^' D^'

est laissée à la température ambiante

T_0

et la portion

CD

est portée à la température

T > T_0

Figure 2 - Expérience de Seebeck
a. Dispositif expérimental b. Modélisation du dispositif

Q7. En circuit ouvert, donner les expressions des forces électromotrices

e_(Bi) = V_C - V_(C^')

e_(Cu) = V_D - V_(D^')

dans les portions respectivement en bismuth et en cuivre en fonction des coefficients

α_(Bi), α_(Cu)

et de l'écart de température

T - T_0

(question Q3).

En circuit fermé, il faut en outre tenir compte des résistances électriques

R_(el˙, Bi)

R_(el˙, Cu)

des portions respectivement en bismuth et en cuivre (question

Q1

). On donne dans ces conditions le schéma électrique équivalent du cadre

CDD^' C^'

(figure 3).

Figure 3 - Schéma électrique équivalent du cadre

Q8. Préciser le sens du courant d'intensité

I > 0

dans le cadre.
Q9. La portion

C^' C

en bismuth est une tige rectangulaire de longueur

L = 40 cm

et de section

S = 10 cm^2

. En négligeant

R_(e˙l, Cu)

devant

R_(e˙l, Bi)

, calculer l'intensité

I

du courant pour

T - T_0 = 40 K

Le cadre

CDD^' C^'

est situé dans le plan (

O, u⃗_y, u⃗_z

) où l'axe (

O, u⃗_y

) est selon la verticale ascendante. On assimile les deux portions

C^' C

D^' D

à deux fils conducteurs rectilignes infinis, parallèles à l'axe (

O, u⃗_z

) et distants de

d

, parcourus par un courant d'intensité

I

dans des sens opposés (figure 4). Le milieu dans lequel est plongé le cadre est assimilé au vide.

Figure 4 - Modélisation du cadre pour le calcul du champ magnétique

Q10. On repère tout point

M

de l'espace par ses coordonnées cylindriques (

r, θ, z

) dans la base locale (

u⃗_r, u⃗_θ, u⃗_z

). Exprimer en fonction de

μ_0, I

et de

r

le champ magnétique

B⃗_(f, Bi)(M)

créé par le fil en bismuth confondu avec l'axe (

O, u⃗_z

Q11. En déduire l'expression du champ magnétique total

B⃗_f(M)

créé par les deux fils en un point

M

situé dans le plan vertical (

O, u⃗_y, u⃗_z

), à égale distance

d/2

de ces deux fils.

En l'absence de courant (donc d'une différence de température), le cadre est orienté de sorte qu'une petite aiguille aimantée située en son centre et libre de tourner sur un axe vertical s'oriente dans le plan du cadre. On note

B⃗_(T, h) = B_(T, h)u⃗_z

la composante horizontale du champ magnétique terrestre. En présence de courant (donc d'une différence de température), on constate que l'aiguille tourne d'un angle

β < π/2

dans le plan horizontal (

M, u⃗_x, u⃗_z

Q12. Exprimer l'angle

β

en fonction de la norme des champs

B⃗_f

B⃗_(T, h)

. Calculer

β

sachant que

B_(T, h) = 2 \cdot 10^(- 5) T

. On prendra

d = 5 cm

I = 6 A

Partie II - Principe d'un générateur thermoélectrique

L'étude de l'effet Seebeck dans la partie I suggère la possibilité aux matériaux de convertir de l'énergie thermique en énergie électrique. C'est ce qui est réalisé dans les générateurs thermoélectriques.
Un module élémentaire d'un tel convertisseur est constitué de l'assemblage de deux matériaux semi-conducteurs (SC), l'un de dopage de type

p

(les porteurs de charges majoritaires sont des lacunes électroniques ou " trous " de charge

+ e

), l'autre de dopage de type

n

(les porteurs de charges majoritaires sont des électrons de charge

- e

). Ces matériaux constituent les " jambes " du module qui sont montées électriquement en série et thermiquement en parallèle (figure 5). À l'une des extrémités du module, les matériaux sont reliés entre eux par une connexion métallique mise en contact avec une plaque céramique électriquement isolée et maintenue à une température

T_C

(source chaude). À l'autre extrémité du module, les deux matériaux sont mis en contact avec une plaque céramique identique maintenue à une température

T_F

(source froide) et reliés entre eux par l'intermédiaire d'une charge de résistance électrique

R_c

. Chaque jambe occupe un cylindre droit d'axe (

O, u⃗_x

), de longueur

L

et de section

S

, de surface latérale isolée thermiquement.
Les matériaux semi-conducteurs ont des coefficients Seebeck

α_p > 0

α_n < 0

pour des dopages de type respectivement

p

n

Figure 5 - Schéma de principe d'un générateur thermoélectrique

Ce module fonctionne comme une machine thermique ditherme. On note

P_C

P_F

les puissances thermiques algébriques fournies au module par les sources respectivement chaude et froide, et

P_(el)

la puissance électrique algébrique reçue par le module.

Q13. Préciser les signes de

P_C, P_F

P_(el)

. Définir le rendement

η

du module.
Q14. En régime stationnaire, que dire des variations élémentaires d'énergie interne

dU

et d'entropie

dS

du module entre les instants

t

t + dt

?
On assimile le module à une phase condensée incompressible indilatable. Déduire alors des principes de la thermodynamique que son rendement

η

a une limite supérieure, appelée rendement de Carnot. Exprimer le rendement de Carnot

η_(Carnot)

en fonction de

T_C

et de

T_F

. À quelle condition sur le fonctionnement du module ce rendement limite pourrait-il être atteint ?

Q15. Avec l'orientation choisie pour la définir (figure 5), l'intensité

I

du courant qui circule dans le module en régime stationnaire est positive. Préciser les sens de déplacement des trous dans le semi-conducteur de dopage de type

p

et des électrons dans le semi-conducteur de dopage de type

n

. Aurait-on pu imaginer faire fonctionner un module avec des jambes constituées de semi-conducteurs de dopage de même type ? Justifier.

On s'intéresse tout d'abord à l'unique jambe constituée du semi-conducteur de dopage de type

p

. On note

σ_p

λ_p

respectivement la conductivité électrique et la conductivité thermique de ce matériau. En régime stationnaire, la jambe est parcourue par un courant électrique de densité volumique

j⃗_(el˙) = j_(el˙)u⃗_x

uniforme et d'intensité

I > 0

. La température en tout point

M

dans la jambe est alors de la forme

T(M) = T(x)

. On néglige les résistances de contact (électriques et thermiques) aux interfaces entre le semi-conducteur et les connexions métalliques. On pourra ainsi considérer que

T(x = 0) = T_C

T(x = L) = T_F

Q16. Exprimer

j⃗_(e˙l)

en fonction notamment de

I

.
Le champ électrique

E⃗

au sein de la jambe cède aux porteurs de charges la puissance volumique

p_v = j⃗_(e˙l) \cdot E⃗

Q17. En effectuant, en régime stationnaire, un bilan thermique entre les instants

t

t + dt

pour la portion de jambe comprise entre les abscisses

x

x + dx

, établir l'équation différentielle vérifiée par

j_(th)

, où

j⃗_(th) = j_(th)u⃗_x

est le vecteur densité volumique de courant thermique dans la jambe. On fera apparaître explicitement la puissance volumique

p_v

En fait, un gradient de potentiel au sein du semi-conducteur n'engendre pas seulement un courant électrique, mais aussi un flux de chaleur. Cet effet découvert quelques années après l'effet Seebeck est appelé effet Peltier. On admet que la prise en compte de ces effets thermoélectriques conduit à la généralisation suivante des lois locales d'Ohm et de Fourier (questions Q1 et Q2) :

{E⃗ = (j⃗_(el˙))/σ + αgrad^(→−)(T); j⃗_(th) = αTj⃗_(el˙) − λgrad^(→−)(T)

Q18. Déduire de l'équation différentielle précédente que

(d^2 T)/(dx^2) = - k

, où

k

est une constante positive qu'on exprimera en fonction de

I, σ_p, λ_p

et de

S

Q19. Compte tenu des conditions aux limites, établir l'expression de

T(x)

en fonction de

k, L

T_C

et de

ΔT = T_C - T_F

Q20. En faisant apparaître les résistances électrique

R_(e˙l, p)

et thermique

R_(th, p)

de la jambe (questions

Q1

Q2

), montrer que la puissance thermique

P_(th, p)(x = 0)

fournie par la source chaude à la jambe a pour expression :

P_(th, p)(x = 0) = α_p IT_C + (ΔT)/(R_(th, p)) - 1/2R_(el˙, p)I^2

On montre de façon analogue que la puissance thermique

P_(th, n)(x = 0)

fournie par la source chaude à la jambe constituée du semi-conducteur de dopage de type

n

a pour expression :

P_(th, n)(x = 0) = - α_n IT_C + (ΔT)/(R_(th, n)) - 1/2R_(e˙l, n)I^2

, où

R_(e˙l, n)

R_(th, n)

sont les résistances respectivement électrique et thermique de la jambe.

Q21. Déduire des résultats précédents l'expression de la puissance thermique algébrique

P_C

fournie par la source chaude au module. On introduira le coefficient Seebeck global du module

α = α_p - α_n

et les résistances équivalentes électrique

R_(e˙l)

et thermique

R_(th)

du module, à exprimer en fonction de

R_(e˙l, p), R_(e˙l, n), R_(th, p)

et de

R_(th, n)

Q22. On montre de façon analogue que la puissance thermique algébrique

P_F

fournie par la source froide au module s'écrit :

P_F = - αIT_F - (ΔT)/(R_(th)) - 1/2R_(e˙l)I^2

. En déduire l'expression de la puissance électrique algébrique

P_(e˙l)

reçue par le module.

Q23. Sachant que la charge de résistance

R_c

reçoit la puissance électrique

- P_(e˙l)

, exprimer l'intensité

I

du courant en fonction de

α, ΔT, R_(e˙l)

et de

R_c

Q24. Montrer que la puissance électrique reçue par la charge est maximale lorsque

R_c = R_(e˙l), R_(e˙l)

ΔT

étant fixés. On évoque l'adaptation d'impédance. Exprimer cette puissance

|P_(el)|_(max)

en fonction de

α, ΔT

et de

R_(e˙l)

Q25. Le module est destiné à alimenter une montre. Il fonctionne grâce à l'écart de température entre la peau en contact avec la montre et l'air ambiant, typiquement

ΔT = 1 K

. Estimer à l'aide des données suivantes le nombre

N

de modules nécessaires à associer sachant que la puissance de fonctionnement de la montre est

P_m = 15μ W

. On pourra considérer qu'un module fournit la puissance maximale déterminée dans la question Q24.

Semi-conducteur	Dopage type $p$	Dopage type $n$
$α(μV \cdot K^(- 1))$	162	- 240
$σ(S \cdot m^(- 1))$	$1, 8 \cdot 10^5$	$9, 9 \cdot 10^4$
$L(μ m)$	600	600
$S(μ m^2)$	$6, 4 \cdot 10^3$	$6, 4 \cdot 10^3$

On peut montrer que le rendement maximal d'un module dépend du produit

Z_(pn)T_m

, appelé facteur de mérite, avec

T_m = (T_C + T_F)/2

Z_(pn)

une fonction des propriétés de transport (

α, σ, λ

) des semiconducteurs. La figure 6 indique l'évolution du rendement maximal

η_(max)

du module en fonction de la température de la source chaude pour plusieurs valeurs du facteur de mérite. La température de la source froide est fixée à 300 K . Dans l'état actuel des technologies, le facteur de mérite n'excède pas 1.

Figure 6 - Rendement maximal d'un générateur thermoélectrique élémentaire
Source: Techniques de l'Ingénieur

Q26. Pourquoi cherche-t-on à maximiser le facteur de mérite ?
Estimer le rendement d'un générateur thermoélectrique qui fonctionnerait avec les gaz d'échappement d'une turbine à combustion (centrale thermique destinée à produire de l'électricité) de température de l'ordre de

500^\circC

. Commenter par comparaison aux rendements usuels des machines dithermes.

Partie III - L'assistance gravitationnelle

Du fait de leur faible rendement, les générateurs thermoélectriques restent aujourd'hui confinés à des applications de niches. Ils sont par exemple utilisés dans la plupart des sondes spatiales, avec du combustible radioactif comme source chaude et l'espace environnant comme source froide (générateur thermoélectrique à radioisotope ou GTR). Les GTR assurent une production électrique stable, permettant de maintenir opérationnels pendant plusieurs années les instruments embarqués dans les sondes au-delà de l'orbite de Mars, où les panneaux solaires ne sont plus efficaces. Lancées par la NASA en 1977, les deux sondes Voyager continuent encore aujourd'hui d'envoyer des informations sur Terre, à plus de 20 milliards de kilomètres de distance. Ces sondes ont collecté d'inestimables données scientifiques sur les planètes extérieures Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune, en tirant profit d'une conjonction exceptionnelle de ces planètes qui a permis aux sondes leur survol pratiquement sans dépense de carburant, grâce à l'assistance gravitationnelle.

III. 1 - Généralités

On considère une sonde du programme Voyager, assimilée à un point matériel

P

de masse

m

. La sonde est en mouvement dans un champ gravitationnel qu'on supposera uniquement dû ici à Jupiter, relativement au référentiel d'étude " jupiterocentrique "

R_j

considéré galiléen.
La planète est assimilée à une boule à répartition sphérique de masse, de sorte qu'elle se comporte d'un point de vue gravitationnel comme un point matériel fictif de même masse

M_J

que cette dernière et situé en son centre

J

Q27. Justifier à l'aide du théorème du moment cinétique que le moment cinétique

L⃗_J

par rapport au point

J

de la sonde se conserve. En déduire que le mouvement de la sonde est plan. On repère la sonde par ses coordonnées cylindriques (

r, θ, z = 0

) de centre

J

. On choisit l'axe (

J, u⃗_z

) de sorte que

L⃗_J = ‖L⃗_J‖u⃗_z

. Montrer que la quantité

C = r^2 θ˙

est constante.

Q28. Établir l'expression de l'énergie potentielle

E_p(r)

dont dérive la force gravitationnelle subie par la sonde. On prendra

E_p(r \to + \infty) = 0

Q29. Justifier que l'énergie mécanique

E_m

de la sonde se conserve. Établir son équation radiale sous la forme :

E_m = 1/2mr˙^2 + E_(p, eff)(r)

, où

E_(p, eff)(r)

désigne une énergie potentielle effective dont on donnera l'expression en fonction de

m, C, r

et de

E_p(r)

.
Représenter qualitativement

E_(p, eff)(r)

. Expliciter les différents états possibles de la sonde en précisant la forme de sa trajectoire selon la valeur de son énergie mécanique

E_m

Q30. Donner l'expression de la vitesse minimale

v_ℓ

qu'il faudrait communiquer à la sonde à la distance

r

du centre

J

de Jupiter pour qu'elle se libère de l'attraction gravitationnelle de Jupiter. Cette vitesse est appelée vitesse de libération de la sonde.

III. 2 - Sphère de Hill de Jupiter

Dans la sous-partie précédente, seule l'influence de l'attraction gravitationnelle de Jupiter sur le mouvement de la sonde a été considérée. On se propose dans cette sous-partie d'établir une condition quantitative pour négliger l'influence de l'attraction gravitationnelle du Soleil devant celle de Jupiter.

On considère pour cela que le centre

J

de Jupiter décrit une trajectoire circulaire de rayon

d = 7, 8 \cdot 10^8 km

autour du centre

S

du Soleil dans le plan orbital (

S, u⃗_x, u⃗_y

), relativement au référentiel héliocentrique

R_h

considéré galiléen. On note

Ω

la vitesse angulaire à laquelle tourne le point

J

dans le sens direct de l'axe (

S, u⃗_z

) dans ce référentiel (figure 7). On suppose, comme pour Jupiter, que le Soleil se comporte d'un point de vue gravitationnel comme un point matériel fictif de même masse

M_S

que ce dernier et situé en son centre

S

Figure 7 - Position considérée de la sonde dans le plan orbital de Jupiter

Q31. Établir, à partir de la 2 e loi de Newton, les expressions de

Ω

et de la vitesse

V_(J, h)

de Jupiter dans le référentiel héliocentrique

R_h

en fonction de

G, M_S

et de

d

. Calculer

V_(J, h)

On raisonne dans la suite de cette sous-partie dans le référentiel

R^'

auquel est lié un repère de centre

S

dont les axes (

S, u⃗_(x^')

) et (

S, u⃗_(y^')

) tournent autour de l'axe (

S, u⃗_z

), dans le sens direct et à la vitesse angulaire

Ω

dans le référentiel héliocentrique

R_h

, avec

u⃗_(x^') = SJ^(\to-)/d

Q32. Le référentiel

R

' est-il galiléen ? Justifier.
Q33. On considère la configuration où la sonde

P

est située dans le plan orbital (

S, u⃗_x, u⃗_y

) de Jupiter et telle que

S, P

J

soient alignés dans cet ordre (figure 7). On cherche la distance

r

de la sonde au centre

J

de Jupiter à laquelle elle est en équilibre dans le référentiel

R^'

. Donner les expressions des forces s'exerçant sur la sonde

P

en fonction de

m, M_J, M_S, Ω, G, d

et de

r

. On se limitera pour les forces d'origine gravitationnelle à celles dues au Soleil et à Jupiter.

Q34. Montrer que la condition d'équilibre conduit à :

M_J d^3(d - r)^2 = - M_S r^2((d - r)^3 - d^3)

.
On suppose que

r≪d

. En effectuant un développement limité à l'ordre le plus bas possible en

r/d

de chaque terme de l'égalité précédente, établir l'expression de la distance

r = r_H

en fonction de

M_J, M_S

et de

d

.
On admet que cette expression reste valide en première approximation pour toute valeur de l'angle

θ

repérant la position de la sonde depuis le centre de Jupiter. L'ensemble des points de l'espace tels que la sonde

P

soit en équilibre dans le référentiel

R

' est donc approximativement une sphère centrée en

J

, de rayon

r_H

, appelée sphère de Hill. Calculer

r_H

Désormais, nous négligerons donc l'influence du Soleil devant celle de Jupiter sur la sonde dès lors que cette dernière se trouve dans la sphère de Hill.

III. 3 - Principe de l'assistance gravitationnelle

On considère dans cette dernière sous-partie que la sonde arrive à l'entrée de la sphère de Hill de Jupiter avec une vitesse

v⃗_(e, j) = v_(e, j)u⃗_x

relativement au référentiel " jupiterocentrique "

R_j

. Elle passe " derrière " Jupiter, puis sort de la sphère de Hill avec une vitesse

v⃗_(s, j)

. On note

D

l'angle entre

v⃗_(s, j)

v⃗_(e, j)

(figure 8).

Figure 8 - Déviation de la sonde dans le référentiel " jupiterocentrique "

On suppose la durée de passage dans la sphère de Hill suffisamment courte pour pouvoir considérer d'une part le référentiel " jupiterocentrique "

R_j

galiléen, et d'autre part la vitesse

V⃗_(J, h)

du centre

J

de Jupiter dans le référentiel héliocentrique

R_h

constante et selon

+ u⃗_y

pendant cette durée. On suppose enfin que le plan orbital de la sonde dans le référentiel " jupiterocentrique "

R_j

est confondu avec le plan orbital (

S, u⃗_x, u⃗_y

) de Jupiter dans le référentiel héliocentrique

R_h

Q35. En traduisant la conservation de l'énergie mécanique de la sonde, montrer que

v_(e, j) = v_(s, j)

On notera simplement par la suite

v_j = v_(e, j) = v_(s, j)

. On prendra pour les applications numériques

v_j = 10 km \cdot s^(- 1)

Q36. Pourquoi la vitesse

v_j

de la sonde est-elle nécessairement supérieure ou égale à sa vitesse de libération

v_ℓ

à la distance

r_H

(question Q30) ? Vérifier par une application numérique que c'est bien le cas.

Q37. On note

v⃗_(e, h)

v⃗_(s, h)

les vitesses de la sonde dans le référentiel héliocentrique

R_h

respectivement à l'entrée et à la sortie de la sphère de Hill. Déduire de la loi de composition des vitesses les expressions de

v⃗_(e, h)

v⃗_(s, h)

en fonction de

v⃗_(e, j), v⃗_(s, j)

et de

V⃗_(J, h)

Q38. Reproduire la figure 8 sur la copie et y représenter les vitesses

v⃗_(e, h)

v⃗_(s, h)

. Vérifier qualitativement que la norme de la vitesse de la sonde a bien augmenté dans le référentiel héliocentrique à la sortie de la sphère de Hill. Dans quelle configuration l'augmentation de vitesse serait-elle maximale?

Q39. Exprimer

v_(e, h)

v_(s, h)

en fonction de

v_j, V_(J, h)

et de

D

.
Q40. Sachant que

D = 60^\circ

, calculer

v_(e, h)

v_(s, h)

en prenant la valeur de

V_(J, h)

calculée à la question Q31. En déduire les valeurs numériques de la variation

Δv_h = v_(s, h) - v_(e, h)

de la vitesse de la sonde relativement au référentiel héliocentrique à l'issue de son passage à proximité de Jupiter, puis de l'économie d'énergie

ΔE_(c, h) = 1/2mv_(s, h)^2 - 1/2mv_(e, h)^2

réalisée grâce à l'assistance gravitationnelle de Jupiter. On prendra

m = 7, 2 \cdot 10^2 kg

. D'où vient le gain d'énergie cinétique de la sonde?

Q41. La sonde Voyager dispose de 16 petits propulseurs identiques brûlant des ergols liquides et utilisés à la fois pour les modifications de trajectoire et pour les changements ou corrections d'orientation. En brûlant

50%

de sa quantité d'ergols liquides embarquée, on estime que l'accroissement de vitesse correspondant de la sonde serait de

60 m \cdot s^(- 1)

. Comparer à l'accroissement de vitesse obtenu grâce à l'assistance gravitationnelle et conclure.

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique CCINP PC 2025 ?

Il porte sur l'électrocinétique et la thermodynamique de l'effet Seebeck, la magnétostatique de l'expérience historique de Seebeck, et la mécanique du point (force centrale, référentiel non galiléen) pour l'assistance gravitationnelle.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet CCINP physique PC 2025 ?

Le jury signale une rigueur d'écriture mathématique souvent défectueuse (égalités entre vecteurs et scalaires, relations inhomogènes), un manque de recul face à des résultats numériques aberrants, et une maîtrise insuffisante des outils de mécanique du point en début de troisième partie.

La partie III du sujet CCINP physique PC 2025 est-elle indépendante des deux autres ?

Oui, l'énoncé précise que la partie III, sur l'assistance gravitationnelle, est indépendante des parties I et II sur l'effet Seebeck et le générateur thermoélectrique.

Quelle partie du sujet CCINP physique PC 2025 a été la moins bien réussie ?

D'après le rapport, la seconde partie a été la moins bien réussie car conceptuellement plus délicate, faisant appel à une généralisation inconnue des lois d'Ohm et de Fourier prenant en compte les effets thermoélectriques.

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