Mesures de la vitesse d'un fluide : anémomètres mécaniques, anémomètre à fil chaud et vélocimétrie laser à franges
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Le sujet compare plusieurs méthodes de mesure de la vitesse d'un fluide en 41 questions. Il étudie d'abord les anémomètres à plaque et à coupelles par la mécanique du solide, puis l'anémomètre à fil chaud par des bilans électriques et thermiques, et enfin la vélocimétrie laser à franges par l'optique ondulatoire, jusqu'à la détermination du sens de l'écoulement.
1Partie I : anémomètres mécaniquespremière annéeÉquilibre d'une plaque en rotation autour d'un axe fixe, moments des forces aérodynamiques sur un anémomètre à coupelles et analyse de documents, avec une question ouverte sur l'induction.
2Partie II : anémomètre à fil chaudRésistance du fil, loi de King par le premier principe, étalonnage, influence de la convection naturelle et profil de température le long du fil par diffusion thermique avec source interne.
3Partie III : vélocimétrie laser à frangesdeuxième annéePolarisation, figure d'interférences et interfrange, résolution spatiale liée à la diffraction, puis sens de l'écoulement grâce à une cellule acousto-optique et aux relations de Planck-Einstein et de de Broglie.
Difficulté moyenne. Le jury juge la longueur adaptée, la majorité des candidats ayant abordé tout le sujet, mais note des résultats globaux en baisse et une première partie très discriminante.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours, épreuve du 9 mai 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Mécanique du point au lieu du solide · Premier principe mal écrit · Résultat donné forcé
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Le sujet a permis un classement efficace, mais l'écart entre les meilleures copies et les plus faibles se creuse, et la proportion de copies très faibles augmente. Le jury relève des lacunes sur le moment d'une force, sur les bilans énergétiques locaux et sur des notions d'optique de base. Il insiste surtout sur la construction d'un raisonnement clair, car le barème récompense les étapes intermédiaires.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Mécanique du point au lieu du solideQ3, Q4, Q7
Beaucoup ne reconnaissent pas une situation de mécanique du solide : moments mal écrits, réaction de l'axe oubliée, principe fondamental de la dynamique utilisé pour un équilibre en rotation.
« une fraction notable des candidats ne maîtrise ni la définition du moment d’une force, ni le sens physique qui lui est associé. »
2
Premier principe mal écritQ14, Q23, Q25
Termes d'énergie interne et de transfert thermique mal attribués, confusion entre reçu et cédé, flux sur un volume élémentaire rarement justes.
« Les erreurs dans le premier principe sont légion »
3
Résultat donné forcéQ26
Pour l'équation du profil de température, des candidats oublient la solution particulière ou se trompent de conditions initiales, puis maquillent leurs calculs pour retrouver l'expression de l'énoncé.
« Le résultat étant donné, certains candidats trafiquent leurs calculs pour essayer d’aboutir à la forme de l’énoncé. »
4
Résistance d'un fil cylindrique inconnueQ13
L'expression de la résistance d'un barreau est souvent fausse ; une erreur d'énoncé (une résistivité présentée comme une conductivité) a été prise en compte au barème.
« la majorité des candidats ne connaît pas l’expression de la résistance d’un barreau cylindrique »
5
Ondes et polarisationQ28
Le caractère transversal de l'onde laser et son état de polarisation sont souvent ignorés ou mal justifiés.
« Les notions d’ondes transversales, longitudinales et de polarisation doivent impérativement être mieux comprises des candidats. »
6
Géométrie sans schémaQ33, Q37
La résolution spatiale et la différence de marche exigent un schéma soigné ; sans lui, les raisonnements géométriques échouent presque toujours.
« les raisonnements géométriques restant une difficulté majeure pour les candidats, faute d’un schéma adapté pour les étayer. »
Ce qui a été bien réussi
Q1, Q15, Q16 et Q24 sont bien réussies dans l'ensemble.
Les candidats qui utilisent le bras de levier réussissent le mieux Q3.
La loi des gaz parfaits en grandeurs intensives (Q19) est très souvent correcte.
Q29 et Q32 sont correctement traitées par une bonne partie de ceux qui les abordent.
La relation de Planck-Einstein a permis d'obtenir les points de Q38.
Conseils du jury
Commencer chaque calcul en nommant la loi physique appliquée et les hypothèses utilisées (régime stationnaire, système étudié).
Respecter les notations de l'énoncé et définir clairement toute nouvelle grandeur.
Tracer des schémas soignés et nommer les points et angles utilisés.
Extraire d'un document uniquement l'information utile et la citer.
Signaler honnêtement un résultat incohérent plutôt que de forcer un calcul vers le résultat donné.
Consolider les bases du cours des deux années, suffisantes pour obtenir une note convenable.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Corrigé détaillé
41 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.
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41 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.
Le sujet compare plusieurs méthodes de mesure de la vitesse d'un fluide en 41 questions. Il étudie d'abord les anémomètres à plaque et à coupelles par la mécanique du solide, puis l'anémomètre à fil chaud par des bilans électriques et thermiques, et enfin la vélocimétrie laser à franges par l'optique ondulatoire, jusqu'à la détermination du sens de l'écoulement.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont autorisées.
Le sujet est composé de trois parties, toutes indépendantes.
Leurs poids respectifs sont approximativement de :
30 % pour la partie I
36 % pour la partie II
34 % pour la partie III
Mesures de la vitesse d'un fluide
Présentation générale
Mesurer la vitesse d'un fluide est nécessaire dans nombre de contextes : météorologie (relevé de la vitesse du vent), énergie (détermination d'un potentiel d'exploitation éolien), aéronautique (test de nouveaux avions en soufflerie), confort thermique (réglage d'un système de ventilation) ...
Dans ce sujet, on se propose d'étudier quelques-uns des dispositifs de mesure de la vitesse d'un fluide. Dans la partie I, on étudiera le fonctionnement de deux anémomètres mécaniques: l'anémomètre à plaque (sous-partie I.1), puis l'anémomètre à coupelles (sous-partie I.2). Dans la partie II, on détaillera le principe de la mesure d'un anémomètre à fil chaud (sous-partie II.1), puis on se penchera sur les perturbations liées à la convection naturelle (sous-partie ll.2) et les conditions pour obtenir un profil de température uniforme dans le fil (sous-partie II.3). Enfin, on explorera dans la partie III une méthode de mesure plus récente : la vélocimétrie laser à franges. Après en avoir décrit le principe (sous-partie III.1), on montrera comment l'utilisation judicieuse d'une cellule de Bragg permet de déterminer le sens de l'écoulement (sous-partie III.2).
Données numériques
Accélération de la pesanteur : g = 9, 81 m ⋅ s^(− 2)
Masse volumique de l'air à température et pression ambiantes : ρ_(air) = 1, 3 kg ⋅ m^(− 3)
Masse molaire de l'air: M_(air) = 29 g ⋅ mol^(− 1)
Viscosité dynamique de l'air à 300 K : η_(air) = 1, 85 ⋅ 10^(− 5)Pl
Célérité de la lumière dans le vide : c = 3, 00 ⋅ 10^8 m ⋅ s^(− 1)
Formulaire
Fonction cosinus hyperbolique: ∀x ∈ ℝ, ch(x) = (e^x + e^(− x))/2 ∀(a, b) ∈ ℝ^2, cosacosb = 1/2(cos(a + b) + cos(a − b))
Partie I - Anémomètres mécaniques
On appelle anémomètre un instrument de mesure de la vitesse du vent. Les anémomètres mécaniques utilisent la mise en mouvement d'un objet sous l'effet du vent pour en déduire sa vitesse.
I. 1 - Anémomètre à plaque
Le premier anémomètre dont l'histoire des sciences a gardé une trace a été conçu dans les années 1450 par l'architecte italien Leon Battista Alberti. Il repose sur la déviation d'une plaque attachée au bout d'une tige pouvant pivoter autour d'un axe horizontal. Le vent arrivant sur la plaque soulève cette dernière. L'inclinaison de la plaque permet de déduire la vitesse du vent.
Le schéma d'un anémomètre à plaque est représenté sur la figure 1. La plaque circulaire homogène, de masse m = 30 g et de rayon R = 5 cm est attachée en son centre à une tige de longueur L = 15 cm et de masse négligeable. Le système {plaque + tige} peut tourner sans frottements autour d'un axe horizontal ( Δ ) orienté par le vecteur unitaire e_Δ^(→−). Le vent arrive horizontalement, perpendiculairement à l'axe ( Δ ), avec une vitesse U supposée constante, de l'ordre de quelques m ⋅ s^(− 1). On note J_Δ le moment d'inertie du système {plaque + tige} par rapport à l'axe ( Δ ), et θ l'angle de la tige par rapport à la verticale.
On considère que pour des angles d'inclinaison faibles, la résultante des forces aérodynamiques s'exerçant sur la plaque en raison du vent est de la forme F⃗ = μUU⃗ avec μ = 1 ⋅ 10^(− 2) dans les unités du Système International (SI).
Figure 1 - Anémomètre à plaque
Q1. Déterminer l'unité SI de μ en utilisant les unités des grandeurs de base.
Q2. Justifier le choix d'une force aérodynamique proportionnelle à U^2 dans cette situation.
Q3. On suppose que le point d'application de la résultante des forces aérodynamiques se situe au centre de la plaque circulaire. Exprimer les moments scalaires par rapport à l'axe ( Δ ) des forces s'exerçant sur le système {plaque + tige}.
Q4. Lorsque le système est à l'équilibre mécanique, on mesure l'angle θ_(eq) = 8^∘ à l'aide d'un rapporteur. Déterminer l'expression de la vitesse U du vent, en fonction de μ, m, g et θ_(eq). Faire l'application numérique. La valeur obtenue vous paraît-elle cohérente?
1.2 - Anémomètre à coupelles
Document 1 - Description de l'anémomètre à coupelles
L'anémomètre à coupelles, inventé en 1846 par John Thomas Romney Robinson, est composé de trois ou quatre coupelles creuses de forme hémisphérique ou conique, reliées à un axe de rotation vertical. En régime permanent, l'anémomètre tourne à une fréquence f (nombre de tours par seconde) dépendant de la vitesse horizontale U du vent loin de l'anémomètre selon la relation :
U = ℓ_0 f + U_0
avec ℓ_0 la distance d'étalonnage et U_0 la vitesse de démarrage. Ces deux constantes dépendent des caractéristiques de chaque anémomètre et sont déterminées par le constructeur préalablement à la mise en place de l'anémomètre sur site.
L'anémomètre à coupelles est aujourd'hui l'instrument de référence pour mesurer la vitesse du vent dans le domaine de la météorologie.
Document 2 - Force aérodynamique sur une coupelle conique immobile
Pour étudier l'effet du vent sur une coupelle conique, on effectue des tests en soufflerie. La coupelle étant maintenue immobile, on relève la force aérodynamique s'exerçant sur la coupelle. On fait pivoter la coupelle dans un plan horizontal pour tester différents angles d'incidence β par rapport au vent de vitesse U = 16 m ⋅ s^(− 1). La force aérodynamique s'exerçant au centre de la coupelle se décompose en une force F_N^(→−) normale à la surface A = 1dm^2 de la base du cône, et une force F_T^(→−) tangentielle à cette même surface. Ces forces ont pour expression :
Document 3 - Couple s'exerçant sur l'anémomètre à coupelles
Le couple aérodynamique Γ (moyenné sur un tour complet) qu'exerce le vent sur un anémomètre à coupelles peut être mesuré en régime permanent en fonction de la fréquence f de rotation de l'anémomètre, pour un vent de vitesse U = 8, 0 m ⋅ s^(− 1).
Source : Norme IEC 61400-12-1-Annexe J (2005)
Q5. On représente sur la figure 2 un anémomètre composé de 4 coupelles coniques décalées de 90^∘ les unes par rapport aux autres et soumises à un vent de vitesse U⃗.
Reproduire ce schéma sur votre copie. En supposant que l'anémomètre est initialement immobile, représenter, en vous aidant du document 2, les forces F_N^(→−) s'exerçant sur chaque coupelle. On comparera les normes de ces forces les unes par rapport aux autres.
Figure 2 - Position initiale de l'anémomètre soumis au vent
Q6. Expliquer à partir de votre schéma pourquoi l'anémomètre va se mettre en mouvement, et représenter le sens de rotation sur le schéma.
Q7. Justifier que la force tangentielle F_T^(→−) est sans importance pour l'étude du mouvement de rotation de l'anémomètre.
Q8. Rappeler la définition d'un couple de forces. Le terme de "couple" aérodynamique utilisé dans le document 3 vous paraît-il bien choisi ?
Q9. Proposer une interprétation qualitative au fait que le couple aérodynamique Γ diminue avec la fréquence de rotation de l'anémomètre, comme constaté dans le document 3.
Q10. Lorsque la vitesse U du vent est inférieure à la vitesse de démarrage U_0 (document 1), l'anémomètre est immobile. Quel phénomène peut expliquer l'existence de cette vitesse de démarrage ?
Q11. En négligeant la vitesse de démarrage U_0, estimer la distance d'étalonnage ℓ_0 de l'anémomètre étudié dans le document 3.
Dans le cadre d'une expérience de Travaux Pratiques, on désire mesurer la fréquence de rotation d'un anémomètre à coupelles pour remonter à la vitesse du souffle produit par un sèche-cheveux. Pour cela, on fixe un aimant droit permanent sur l'axe de rotation, puis on place au voisinage de l'aimant tournant une bobine de 500 spires, d'inductance propre égale à 11 mH , et d'axe perpendiculaire à celui de l'anémomètre. On mesure la tension aux bornes de la bobine grâce à un oscilloscope de résistance d'entrée R_(osc) = 1MΩ : on observe un signal quasi-sinusoïdal d'une fréquence de 38 Hz , dont l'amplitude est de 32 V .
La question suivante nécessite une prise d'initiative en modélisant la situation proposée. II est attendu de préciser chaque notation introduite, d'expliciter les hypothèses effectuées, de mener de bout en bout un calcul littéral, puis d'effectuer l'application numérique et la commenter.
Q12. Estimer le couple mécanique résistant s'exerçant en moyenne sur l'anémomètre du fait de la présence de la bobine au voisinage de l'aimant. Cela est-il de nature à perturber le fonctionnement de l'anémomètre ?
Partie II - Anémomètre à fil chaud
Lorsqu'on veut mesurer la vitesse de l'air à l'intérieur des habitations, par exemple pour contrôler le bon fonctionnement d'un système de ventilation, on utilise préférentiellement un anémomètre à fil chaud. Son principe est le suivant : un fil électrique parcouru par un courant s'échauffe par effet Joule, tandis qu'il est refroidi par l'air circulant autour du fil. Plus l'air a une vitesse élevée, plus l'effet de refroidissement est important.
II. 1 - Principe de la mesure
L'anémomètre à fil chaud est représenté sur la figure 3. Un fil électrique, de diamètre d = 1μ m et de longueur ℓ = 1 mm, est parcouru par un courant continu d'intensité I. Sa résistance R_f dépend de la température T_f du fil, supposée uniforme dans tout le fil : R_f = R(T_f) = R_0(1 + γ(T_f − T_0)), où T_0 est la température de l'air loin du fil, R_0 la résistance du fil à T_0, et γ = 5 ⋅ 10^(− 3) K^(− 1) une constante caractéristique du matériau dont est constitué le fil.
Figure 3 - Anémomètre à fil chaud
L'air s'écoule à la vitesse U perpendiculairement au fil. Sur l'ensemble des modes de transfert thermique possibles entre le fil et son environnement, c'est la convection forcée par l'écoulement de l'air qui est le mode prédominant. Ainsi, le transfert thermique cédé par le fil à son environnement pendant la durée dt est donné par la loi de Newton :
δQ_(cédé) = h(T_f − T_0)S_(lat)dt
avec S_(lat) la surface latérale du fil en contact avec l'air et h le coefficient de transfert thermique de surface. On traduit l'efficacité de la convection forcée avec la vitesse U de l'écoulement par la relation :
h = a_0 + b_0√U
où a_0 et b_0 sont deux constantes.
Q13. Le fil est en platine, de conductivité ρ_(Pt) = 1, 11 ⋅ 10^(− 7)Ω ⋅ m à T_0 = 300 K. Calculer R_0.
Q14. On se place en régime permanent: le fil est à la température T_f constante. En appliquant le premier principe de la thermodynamique sur le fil, établir la loi de King :
(R_f I^2)/(R_f − R_0) = K(a_0 + b_0√U)
dans laquelle K est à exprimer en fonction de γ, ℓ, d et R_0.
Q15. L'anémomètre à fil chaud est utilisé en maintenant la température T_f constante. Pour permettre cela, un système de rétroaction adapte l'intensité dans le fil en fonction des variations de vitesse de l'écoulement. Comment doit varier l'intensité lorsque la vitesse de l'écoulement augmente ? Justifier brièvement.
Q16. On mesure la tension E_f aux bornes du fil (en convention récepteur). Établir la relation entre E_f et U, en fonction de R_f, R_0, K, a_0 et b_0.
Q17. Les paramètres K, a_0 et b_0 n'étant pas connus précisément, il est nécessaire de réaliser un étalonnage de l'anémomètre à fil chaud. Un exemple de courbe d'étalonnage est donné sur la figure 4. Expliquer pourquoi les mesures de vitesse réalisées avec cet anémomètre seront moins précises à grande vitesse qu'à petite vitesse.
Figure 4 - Courbe d'étalonnage d'un anémomètre à fil chaud
II. 2 - Perturbation liée à la convection naturelle
Dans le modèle précédent, le seul mode de transfert thermique retenu entre le fil et l'air environnant était la convection forcée. Lorsque la vitesse de l'écoulement U devient faible, les effets de convection naturelle peuvent perturber la mesure : le fil chauffe l'air à son voisinage qui devient moins dense et s'élève. On a donc un mouvement vertical qui s'ajoute au mouvement principal d'écoulement de l'air à la vitesse U. Le but de cette sous-partie est d'estimer la vitesse u de déplacement vertical de l'air liée à cette convection naturelle, à l'aide d'un raisonnement en ordres de grandeur.
Pour modéliser de manière simplifiée l'effet de convection naturelle (figure 5), on va considérer une portion d'air au voisinage du fil, échauffée par le fil. Les dimensions caractéristiques de cette portion d'air sont donc celles du fil : longueur ℓ et diamètre d.
Afin de faciliter les calculs, on adoptera une géométrie cartésienne : l'air est compris dans un parallélépipède de volume δτ = ℓd^2, de masse volumique ρ_f, de température T_f, en mouvement à la vitesse verticale u⃗ = ue_z→ dans un fluide environnant au repos de masse volumique ρ_0 et de température T_0. L'air est assimilé à un fluide newtonien ; les masses volumiques et les températures sont supposées constantes au cours du mouvement.
Figure 5 - Portion d'air en mouvement vertical par convection naturelle
Q18. Déterminer la force δF_f^(→−), dite force de flottaison, s'exerçant sur le volume δτ, définie comme la résultante du poids et de la poussée d'Archimède, en fonction notamment de l'écart de masse volumique ρ_0 − ρ_f.
Q19. On assimile l'air à un gaz parfait. En supposant dans cette question que la pression dans le volume δτ est la même que celle du fluide environnant, réécrire la force de flottaison en fonction notamment de l'écart de température T_f − T_0.
On rappelle que les forces de viscosité s'exerçant sur une particule de fluide newtonien de volume δτ dans un écoulement incompressible ont pour expression δF_v^(→−) = ηΔv⃗δτ, où η est la viscosité dynamique du fluide et Δv⃗ le laplacien vectoriel du champ de vitesses du fluide.
Q20. À l'aide d'un raisonnement faisant appel aux ordres de grandeurs des échelles caractéristiques, estimer les forces de viscosité δF_v^(→−) s'exerçant sur la portion d'air en mouvement, en fonction de η_(air), u, ℓ, d et d'un vecteur unitaire. Simplifier cette expression sachant que d≪ℓ.
Q21. On suppose que la force de flottaison et les forces de viscosité sont du même ordre de grandeur. En déduire que :
u ≈ (ρ_0(T_f − T_0)gd^2)/(T_f η_(air)).
Q22. Faire l'application numérique avec ρ_0 = ρ_(air), T_0 = 300 K, T_f = 500 K. La convection naturelle induit-elle une perturbation notable sur l'anémomètre à fil chaud ?
II. 3 - Profil de température le long du fil
Dans le modèle de la sous-partie ll.1, on a supposé que la température du fil était uniforme sur toute la longueur du fil. Le but de cette sous-partie est de voir à quelle condition une telle hypothèse est acceptable. On considère donc maintenant que la température du fil en régime stationnaire est une fonction de la position x dans le fil (avec − ℓ/2 ≤ x ≤ ℓ/2 ), qu'on note T_f(x). Pour déterminer ce profil de température, on va effectuer un bilan énergétique sur une portion élémentaire de fil Σ(x) comprise entre les abscisses x et x + dx (figure 6). Les transferts thermiques pris en compte sur cette portion élémentaire de fil seront :
la conduction thermique au sein du fil ;
la convection forcée entre le fil et l'air environnant : le transfert thermique cédé par Σ(x) à l'air pendant la durée élémentaire dt a pour expression δQ_(conv) = h(T_f(x) − T_0)dS_(lat)dt, où dS_(lat) désigne la surface latérale élémentaire de Σ(x) en contact avec l'air.
Tous les autres transferts thermiques sont négligés.
Figure 6 - Portion élémentaire de fil comprise entre x et x + dx
Q23. On note λ_f la conductivité thermique du fil. Exprimer le transfert thermique δQ_(cond) algébriquement reçu par conduction par Σ(x) pendant la durée élémentaire dt.
Q24. La résistance élémentaire de Σ(x) est dR = (R_0)/ℓ(1 + γ(T_f(x) − T_0))dx. Le fil étant traversé par un courant I, exprimer le travail électrique δW_e reçu pendant dt par Σ(x).
Q25. En utilisant l'hypothèse de régime stationnaire, montrer que :
(d^2 θ_f)/(dx^2) − K_1 θ_f = K_2
avec θ_f(x) = T_f(x) − T_0, et K_1 et K_2 deux constantes à exprimer en fonction de ℓ, d, h, λ_f, γ, R_0 et I.
Q26. On admet que K_1 > 0 et on pose ℓ_r = 1/(√(K_1)). En considérant que les températures aux deux extrémités du fil sont égales à T_0, montrer que :
θ_f(x) = θ_0(1 − (ch(x/(ℓ_r)))/(ch(ℓ/(2ℓ_r))))
où θ_0 sera exprimée en fonction de K_2 et ℓ_r.
Q27. À partir de la figure 7, déterminer comment choisir ℓ_r pour avoir une température quasiuniforme sur l'ensemble du fil. ℓ_r est la "longueur de refroidissement": donner un sens physique qualitatif à ce terme.
Figure 7 - Représentation de θ_f/θ_0 le long du fil pour plusieurs valeurs de ℓ_r
Partie III - Vélocimétrie laser à franges
Les anémomètres étudiés dans les deux premières parties nécessitent de placer l'appareil de mesure au sein de l'écoulement, ce qui est susceptible de perturber ce dernier. En outre, la résolution spatiale est limitée par la taille de l'anémomètre. Ces inconvénients ont conduit à développer des méthodes optiques pour mesurer la vitesse locale d'un fluide: ces méthodes ne nécessitent pas d'introduire de capteur susceptible de perturber l'écoulement et présentent de meilleures résolutions spatiales. Elles sont donc actuellement utilisées dans le domaine de la recherche, par exemple pour étudier les phénomènes de turbulence.
On s'intéresse dans cette dernière partie à une de ces méthodes : la vélocimétrie laser à franges. Le principe consiste à croiser deux faisceaux issus d'une même source laser dans une zone de l'écoulement afin de créer des franges d'interférences lumineuses (figure 8). On introduit dans le fluide des particules d'ensemencement (gouttelettes d'huile, microbilles d'aluminium ou de polystyrène...) qui suivent l'écoulement du fluide. Lorsqu'une de ces particules traverse les franges d'interférences, elle diffuse la lumière du laser. L'intensité diffusée est proportionnelle à l'intensité lumineuse du laser. Ainsi, en mesurant l'intensité de la lumière diffusée par la particule au cours du temps, on peut accéder à la vitesse à laquelle celle-ci traverse les franges, ce qui permet de déduire la vitesse du fluide.
Figure 8 - Franges d'interférences créées par les faisceaux laser. Une particule suivant le mouvement du fluide passe à travers les franges (source : ONERA)
III. 1 - Production de la figure d'interférences et résolution spatiale
Figure 9 - Croisement des faisceaux laser : la zone d'interférences est représentée en gris
La configuration d'étude de la vélocimétrie laser à franges est représentée à la figure 9. Les deux faisceaux laser issus d'une même source de fréquence f_L et de pulsation ω_L = 2πf_L se croisent dans un écoulement d'air dont on veut mesurer la vitesse. Le centre O de la figure d'interférences est l'origine d'un repère ( Oxyz ), tel que les directions des deux faisceaux sont inclinées d'un angle α = 6, 0^∘ par rapport à l'axe ( Ox ). La longueur d'onde du laser dans l'air est assimilable à celle dans le vide λ_0 = 514, 5 nm, les vecteurs d'onde k_1^(→−) et k_2^(→−) des deux faisceaux ont des normes égales, telles que ‖k_1^(→−)‖ = ‖k_2^(→−)‖ = (2π)/(λ_0). Les champs électriques E_1^(→−) et E_2^(→−) associés aux deux faisceaux, de même amplitude E_0, ont pour expression, en un point quelconque M(x, y) appartenant à l'un ou l'autre des faisceaux :
{E_1^(→−)(M, t) = E_0 cos(ω_L t − k_1^(→−) ⋅ OM^(→−))u_z^(→−); E_2^(→−)(M, t) = E_0 cos(ω_L t − k_2^(→−) ⋅ OM^(→−))u_z^(→−).
Q28. Les ondes laser sont-elles longitudinales ou transversales ? Quel est l'état de polarisation de ces ondes? Justifier brièvement.
Q29. L'éclairement ε est défini comme la moyenne temporelle du carré du champ électrique. Montrer que dans la zone d'interférences :
avecε_0 = (E_0^2)/2.
Q30. Montrer que les franges brillantes sont des droites d'équations y_p = (pλ_0)/(2sinα), avec p un entier relatif. Déterminer l'expression de l'interfrange Δy et faire l'application numérique.
Q31. On suppose qu'une particule en mouvement avec le fluide passe à travers la zone d'interférences avec une vitesse v_y selon u_y^(→−). On mesure l'intensité lumineuse diffusée par la particule au cours du temps et on obtient un signal de fréquence f_d = 2, 45MHz. Déterminer la valeur numérique de v_y.
Les faisceaux laser ont une extension spatiale latérale limitée dont la taille typique au niveau de la zone d'interférences est 2w_0 (supposée constante à l'échelle de la zone d'interférences). Chaque faisceau est obtenu à partir d'un faisceau quasi-cylindrique, d'extension typique 2W_0, que l'on fait converger à l'aide d'une lentille convergente de distance focale image f^′ (figure 10). La zone d'interférences se trouve au niveau des foyers principaux image de chaque lentille, ces deux foyers étant confondus.
Figure 10 - Focalisation d'un faisceau laser cylindrique par une lentille convergente
Q32. Reproduire le schéma de la figure 10 sur votre copie et le compléter en représentant l'allure de l'enveloppe du faisceau laser après traversée de la lentille. On prendra soin de tracer ce faisceau avant et après le foyer principal image F^′ et de faire figurer la distance w_0.
Q33. Donner une expression approchée de w_0 à partir de λ_0, W_0 et de f^′. En fonction de w_0 et α, exprimer la résolution spatiale δ_x de la mesure de vitesse par vélocimétrie laser à franges (figure 9). En déduire une estimation numérique de δ_x en prenant W_0 = 1 mm et f^′ = 16 cm. Proposer un moyen d'augmenter cette résolution spatiale.
Q34. La concentration en particules d'ensemencement dans le fluide doit être précisément définie. Quels problèmes poseraient une concentration trop faible ou une concentration trop élevée ?
Le dispositif présenté ici ne permet en fait de connaître que la composante de la vitesse du fluide selon l'axe (Oy). Pour déterminer les deux autres composantes de la vitesse, on réalise simultanément le même type de franges d'interférences dans les deux autres directions de l'espace, en utilisant des paires de faisceaux laser ayant chacun une longueur d'onde distincte des autres paires de faisceaux. La lumière diffusée par une particule est donc composée des trois longueurs d'onde utilisées pour chaque laser.
Q35. Citer un dispositif optique permettant de sélectionner une des longueurs d'onde dans la lumière diffusée par la particule, afin d'effectuer la mesure d'une des composantes de vitesse.
III. 2 - Détermination du sens d'écoulement du fluide
La mesure de l'intensité de la lumière diffusée par la particule permet certes de déterminer la norme de la composante de sa vitesse selon la direction perpendiculaire aux franges, mais pas son signe. En effet, quel que soit le sens de parcours de la particule à travers les franges, le signal mesuré a toujours la même fréquence et ne permet donc pas de discriminer le sens de parcours. Lorsqu'on a besoin de déterminer ce sens, on modifie le dispositif étudié dans la sous-partie III.1, en insérant sur le trajet d'un des deux faisceaux laser une cellule de Bragg. L'objectif de cette sous-partie est d'étudier le principe de fonctionnement de la cellule de Bragg et de voir comment son insertion sur le trajet d'un des deux faisceaux permet in fine de déterminer le sens de parcours de la particule.
Une cellule de Bragg (figure 11) est constituée d'une céramique piézoélectrique qui émet des ondes planes acoustiques de fréquence f_S = 40MHz, se propageant à la célérité c_S = 4130 m ⋅ s^(− 1) dans un cristal de phosphure de gallium GaP. La périodicité de l'onde acoustique forme un réseau de pas Λ, longueur d'onde de l'onde acoustique, sur lequel le faisceau laser peut venir se diffracter par un effet acousto-optique.
Figure 11 - Cellule de Bragg
Pour modéliser la diffraction du faisceau laser par l'onde acoustique, on considère que les plans d'ondes de l'onde acoustique se comportent comme des miroirs semi-réfléchissants. On assimile le faisceau laser à un ensemble de rayons parallèles se réfléchissant sur ces plans, en négligeant les réflexions multiples (figure 12).
Figure 12 - Réflexion sur le réseau acoustique
Q36. L'indice optique du phosphure de gallium GaP est n_(GaP) = 3, 32. Calculer la longueur d'onde λ du laser dans le phosphure de gallium en fonction de λ_0.
Q37. L'ordre 1 du réseau correspond à un angle d'incidence θ_B, appelé angle de Bragg, tel que deux rayons se réfléchissant sur des plans successifs ont une différence de marche égale à une longueur d'onde dans le vide λ_0. Déterminer l'expression de l'angle de Bragg en fonction de λ, c_S et f_S. Faire l'application numérique.
La propriété remarquable d'une cellule de Bragg est qu'elle modifie la fréquence de l'onde laser lors de sa réflexion sur le réseau acoustique. Cet effet s'interprète en introduisant la notion de phonon, qui est une particule associée à l'onde acoustique, au même titre que le photon est une particule associée à une onde lumineuse. Les expressions de l'énergie et de la quantité de mouvement d'un phonon en fonction de la fréquence et de la longueur d'onde de l'onde acoustique ont la même forme que celles du photon.
La réflexion du laser sur le réseau à l'angle de Bragg s'envisage alors de la façon suivante : un photon du laser d'énergie E_L et de quantité de mouvement p⃗_L absorbe un phonon de l'onde acoustique, d'énergie E_S et de quantité de mouvement p⃗_S : après absorption, le photon du laser a acquis une énergie E^′_L et une quantité de mouvement p^′→_L (figure 13).
Figure 13 - Absorption d'un phonon par un photon
Q38. En traduisant la conservation de l'énergie lors de l'absorption du phonon par le photon du laser, montrer que la fréquence f_L^′ du laser après réflexion est égale à f_L + f_S.
Q39. En traduisant la conservation du vecteur quantité de mouvement lors de l'absorption du phonon, montrer qu'on peut retrouver l'expression de l'angle de Bragg établie à la question Q37. Comme f_S≪f_L, on négligera la variation de longueur d'onde du photon avant et après absorption du phonon.
En introduisant une cellule de Bragg sur le trajet du premier faisceau laser, on modifie la fréquence de ce faisceau. Ainsi, deux ondes lumineuses de fréquences f_L^′ et f_L interfèrent au croisement des deux faisceaux (figure 9). Un calcul analogue à celui de la question Q29 permet de montrer que l'éclairement en un point M de la zone d'interférences a pour expression:
Q40. Montrer que les franges défilent à une vitesse v_(franges) dont on donnera l'expression. Préciser dans quel sens ces franges défilent.
Q41. Expliquer comment le défilement de ces franges permet de déterminer le sens de parcours d'une particule d'ensemencement à travers la zone d'interférences.
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