Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2022

D'après l'énoncé, la force aérodynamique s'écrit \vec{F} = \mu U \vec{U}, où U = \|\vec{U}\| désigne la vitesse du vent. La norme de cette force s'exprime donc sous la forme :

Par analyse dimensionnelle, en appliquant le principe fondamental de la dynamique ([F] = \mathrm{M \cdot L \cdot T^{-2}}) :

Dans le Système International (SI), les unités de base associées à la masse et à la longueur sont respectivement le kilogramme (\mathrm{kg}) et le mètre (\mathrm{m}).

L'unité de \mu exprimée à l'aide des grandeurs de base est donc :

Le régime d'écoulement d'un fluide autour d'un obstacle de dimension caractéristique D (ici le diamètre de la plaque, D = 2R = 0{,}10\text{ m}) est gouverné par le nombre de Reynolds :

Pour une vitesse typique du vent de quelques mètres par seconde, prenons U \sim 1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Puisque \mathrm{Re} \gg 1, les forces d'inertie prédominent largement devant les forces de viscosité (régime inertiel).

L'écoulement présente un décollement de couche limite et un sillage turbulent à l'arrière de la plaque, générant une dépression motrice. La force aérodynamique est alors dominée par la traînée de forme (ou de pression), modélisée par la formule usuelle de traînée :

où S = \pi R^2 est la section droite de la plaque et C_x son coefficient de traînée.

On étudie le système \{\text{plaque} + \text{tige}\} dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On note O l'intersection de la tige avec l'axe horizontal (\Delta), et C le centre de la plaque circulaire, situé à la distance OC = L de O.

On définit un repère orthonormé direct (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) tel que :

• \vec{e}_x est le vecteur unitaire horizontal colinéaire et de même sens que la vitesse du vent \vec{U} ;
• \vec{e}_z est le vecteur unitaire vertical descendant, colinéaire et de même sens que \vec{g} ;
• \vec{e}_\Delta = \vec{e}_z \wedge \vec{e}_x est le vecteur unitaire orientant l'axe (\Delta), de sorte qu'une rotation dans le sens direct autour de \vec{e}_\Delta corresponde à une augmentation de l'angle \theta.

Le vecteur position du point C s'écrit alors :

Les actions mécaniques extérieures appliquées au système sont :

1. L'action de la liaison pivot en O : modélisée par une résultante \vec{R}. Sa droite d'action coupant l'axe (\Delta), son moment scalaire par rapport à (\Delta) est nul :

   \boxed{\mathcal{M}_\Delta(\vec{R}) = 0}

2. Le poids du système : la tige étant de masse négligeable et la plaque homogène, il se réduit au poids de la plaque \vec{P} = m\vec{g} = mg\,\vec{e}_z, appliqué au centre de masse C. Son moment par rapport à (\Delta) vaut :

   \begin{aligned} \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{P}) &= \vec{OC} \wedge \vec{P} = (L \sin\theta\,\vec{e}_x + L \cos\theta\,\vec{e}_z) \wedge (mg\,\vec{e}_z) \\ &= - mg L \sin\theta\,(\vec{e}_z \wedge \vec{e}_x) = - mg L \sin\theta\,\vec{e}_\Delta \end{aligned}

   D'où le moment scalaire :

   \boxed{\mathcal{M}_\Delta(\vec{P}) = - mg L \sin\theta}

3. La résultante des forces aérodynamiques : \vec{F} = \mu U \vec{U} = \mu U^2 \vec{e}_x, appliquée en C. Son moment par rapport à (\Delta) vaut :

   \begin{aligned} \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{F}) &= \vec{OC} \wedge \vec{F} = (L \sin\theta\,\vec{e}_x + L \cos\theta\,\vec{e}_z) \wedge (\mu U^2 \vec{e}_x) \\ &= \mu U^2 L \cos\theta\,(\vec{e}_z \wedge \vec{e}_x) = \mu U^2 L \cos\theta\,\vec{e}_\Delta \end{aligned}

   D'où le moment scalaire :

   \boxed{\mathcal{M}_\Delta(\vec{F}) = \mu U^2 L \cos\theta}

À l'équilibre mécanique dans le référentiel d'étude galiléen, la somme des moments scalaires des forces appliquées au système {plaque + tige} par rapport à l'axe (\Delta) est nulle :

En utilisant les expressions obtenues à la question précédente (Q3) pour \theta = \theta_{\text{eq}} :

La longueur L se simplifie (puisqu'elle est non nulle), ce qui conduit à :

La vitesse du vent U étant positive, on en déduit :

Application numérique :

• m = 30\text{ g} = 30 \cdot 10^{-3}\text{ kg}
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}
• \mu = 1 \cdot 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-1}
• \theta_{\text{eq}} = 8^\circ

Commentaire sur la cohérence :

• Cette valeur est de l'ordre de « quelques \text{m}\cdot\text{s}^{-1} » (environ 7{,}3\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, ce qui correspond à une légère brise), en parfait accord avec l'ordre de grandeur annoncé dans l'introduction de la sous-partie I.1.
• L'angle \theta_{\text{eq}} = 8^\circ \approx 0{,}14\text{ rad} reste faible devant 1\text{ rad}, ce qui valide a posteriori l'hypothèse de faibles inclinaisons formulée pour l'expression de la traînée \vec{F}.

Le vent incident se propage horizontalement de gauche à droite à la vitesse \vec{U}.

Identification des angles d'incidence et des coefficients C_{\mathrm{N}} :

• Coupelles inférieures : le vent arrive dans la concavité (creux de la coupelle). L'angle d'incidence entre le vent et l'axe de la coupelle est \beta = \pm 45^\circ. D'après la courbe du document 2 :

  C_{\mathrm{N}}(45^\circ) \approx 1{,}6 > 0.

  La force normale est dirigée selon +\vec{u}_{\mathrm{N}} (vers l'aval du vent, vers la droite).

• Coupelles supérieures : le vent frappe la face convexe (la pointe du cône). L'angle d'incidence est \beta = \pm (180^\circ - 45^\circ) = \pm 135^\circ. D'après la courbe du document 2 :

  C_{\mathrm{N}}(135^\circ) \approx -0{,}35 < 0.

  La force normale est dirigée selon -\vec{u}_{\mathrm{N}} (également orientée globalement vers l'aval, vers la droite).

Comparaison des normes des forces : La norme de la force normale s'écrit \|\vec{F}_{\mathrm{N}}\| = \frac{1}{2}\rho_{\mathrm{air}}\mathcal{A}\,|C_{\mathrm{N}}|\,U^2. Par symétrie de la configuration (\|\vec{F}_{\mathrm{N}}(-\beta)\| = \|\vec{F}_{\mathrm{N}}(\beta)\|), les deux coupelles inférieures subissent une force de même norme, notée F_{\mathrm{N, bas}}, et les deux coupelles supérieures subissent une force de même norme, notée F_{\mathrm{N, haut}} :

Le rapport des normes vaut donc :

Les forces normales sur les coupelles inférieures sont ainsi environ quatre à cinq fois plus intenses que celles s'exerçant sur les coupelles supérieures.

Représentation schématique : Sur le schéma ci-dessous, les forces \vec{F}_{\mathrm{N}} normales aux bases des cônes sont tracées : des flèches de grande longueur pour les deux coupelles inférieures, et de faible longueur pour les deux coupelles supérieures.

Soit (\Delta) l'axe vertical de rotation de l'anémomètre, orienté vers le haut (vers l'observateur). Les quatre coupelles sont situées à égale distance R_{\text{bras}} de cet axe.

• Les forces tangentielles \vec{F}_{\mathrm{T}} étant portées par les bras, leur droite d'action coupe l'axe (\Delta) : leur moment par rapport à (\Delta) est nul.
• Les forces normales \vec{F}_{\mathrm{N}} sont orthogonales aux bras ; leur bras de levier par rapport à l'axe (\Delta) est donc maximal et égal à la longueur du bras R_{\text{bras}}.
• D'après l'étude menée à la question précédente, les coupelles inférieures présentent leur face creuse (concave) face au vent et subissent des forces \vec{F}_{\mathrm{N}} motrices de grande norme (C_{\mathrm{N}} \approx 1{,}6). À l'inverse, les coupelles supérieures présentent leur pointe (convexe) face au vent et subissent des forces résistantes de norme nettement plus faible (|C_{\mathrm{N}}| \approx 0{,}35, soit un rapport d'environ 4{,}5).

Le moment résultant par rapport à l'axe vertical (\Delta) n'est donc pas nul :

Le couple moteur exercé sur les coupelles inférieures l'emporte largement sur le couple résistant exercé sur les coupelles supérieures. D'après le théorème du moment cinétique appliqué à l'anémomètre autour de l'axe (\Delta), cette dissymétrie induit une accélération angulaire non nulle : l'anémomètre se met en rotation.

Sens de rotation : Les coupelles inférieures étant poussées vers la droite (dans le sens du vent) avec une force prépondérante, l'anémomètre se met à tourner dans le sens anti-horaire (sens trigonométrique).

Le mouvement de rotation de l'anémomètre autour de son axe vertical (\Delta) orienté par \vec{u}_z est régi par le théorème du moment cinétique scalaire, dans lequel n'interviennent que les moments des forces extérieures par rapport à cet axe.

Pour une coupelle dont le centre est repéré par le point M à l'extrémité du bras de rayon R_{\text{bras}} issu de l'axe (\Delta) en un point O :

car le bras radial reliant l'axe au centre de la base de la coupelle est colinéaire au vecteur tangentiel \vec{u}_{\mathrm{T}} défini dans le document 2.

La force tangentielle s'écrit :

Le moment scalaire de cette force par rapport à l'axe (\Delta) vaut donc :

puisque le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul.

La droite d'action de \vec{F}_{\mathrm{T}} coupe l'axe de rotation : son bras de levier est nul. Elle n'engendre aucun couple moteur ou résistant et est donc sans influence sur la rotation de l'anémomètre.

1. Définition d'un couple de forces :

En mécanique du solide, un couple de forces est un système de forces dont la résultante est nulle :

En particulier, un couple élémentaire est constitué de deux forces de directions parallèles, de sens opposés et de même norme, portées par des droites d'action distinctes.

Une conséquence fondamentale est que le moment résultant d'un couple est indépendant du point de référence choisi :

2. Discussion sur l'appellation « couple aérodynamique » :

• Au sens strict de la mécanique : l'expression est impropre (abus de langage). En effet, la résultante des actions aérodynamiques exercées par le vent sur l'anémomètre n'est pas nulle (\vec{R}_{\text{aéro}} \neq \vec{0}) : le vent exerce une force de traînée globale non nulle sur le dispositif, reprise par la fixation de l'axe. Le torseur des actions aérodynamiques n'est donc pas un torseur couple.
• Dans l'usage courant en sciences pour l'ingénieur : le terme « couple » est très souvent employé par métonymie pour désigner le moment scalaire des forces par rapport à l'axe de rotation (\Gamma = \mathcal{M}_{\Delta}), qui traduit la capacité du vent à entraîner l'anémomètre en rotation (analogue à la notion anglo-saxonne de torque). En ce sens pratique, le terme permet d'identifier immédiatement l'action motrice agissant sur la rotation.

Les forces aérodynamiques exercées par l'écoulement d'air sur une coupelle dépendent non pas de la vitesse absolue \vec{U} du vent, mais de la vitesse relative \vec{U}_{\text{rel}} = \vec{U} - \vec{v} du vent par rapport à cette coupelle, où \vec{v} est la vitesse de déplacement de la coupelle (de norme v = 2\pi f R, avec R le rayon du bras de l'anémomètre) :

• Pour les coupelles motrices (creux face au vent, qui se déplacent dans le sens du vent) : la vitesse relative a pour norme U_{\text{rel}} \approx U - v. Lorsque la fréquence de rotation f augmente, v augmente, donc la vitesse relative diminue : la force motrice et le couple moteur associé diminuent.
• Pour les coupelles résistantes (pointes face au vent, qui remontent le vent) : la vitesse relative a pour norme U_{\text{rel}} \approx U + v. Lorsque f augmente, cette vitesse relative augmente, ce qui accroît la force résistante et donc le couple résistant.

Par conséquent, la résultante de ces deux effets conduit à une diminution globale du couple aérodynamique moyen \Gamma lorsque la fréquence de rotation f augmente.

L'existence d'une vitesse de démarrage U_0 s'explique par la présence de frottements mécaniques solides (secs) au niveau de l'axe de rotation (liaison pivot, roulements ou paliers).

D'après les lois de Coulomb sur le frottement sec, le système reste immobile tant que le couple moteur d'origine aérodynamique \Gamma_{\text{aéro}}(U) n'excède pas le couple de frottement statique maximal \Gamma_{\text{s,max}} opposé par les contacts mécaniques :

Le couple aérodynamique exercé sur l'anémomètre à l'arrêt étant une fonction croissante de la vitesse du vent U (proportionnel à U^2), il n'atteint la valeur critique \Gamma_{\text{s,max}} qu'à partir d'une vitesse seuil non nulle, notée U_0. Pour toute vitesse U < U_0, le rotor ne peut pas démarrer.

En régime permanent et en l'absence de couple résistant de frottement (ce qui correspond à U_0 = 0), l'accélération angulaire moyenne de l'anémomètre est nulle. D'après le théorème du moment cinétique projeté sur l'axe vertical, le couple moyen résultant s'exerçant sur le rotor doit être nul :

D'après le document 3, le vent souffle à une vitesse U = 8{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Sur l'axe des abscisses, les graduations principales indiquent un pas de 1\text{ Hz} par grand carreau (comme en attestent les repères 9\text{ Hz} et 10\text{ Hz}). L'intersection de la courbe \Gamma(f) avec l'axe \Gamma = 0 se situe entre la 6e et la 7e division, ce qui donne une fréquence de rotation d'équilibre :

En utilisant la loi d'étalonnage du document 1 avec U_0 = 0 :

Soit numériquement :

1. Hypothèses et modélisation :

• Modèle mécanique : Un aimant droit comporte un pôle Nord et un pôle Sud (une paire de pôles). Une rotation complète de l'anémomètre induit donc une période temporelle complète de flux magnétique dans la bobine. La fréquence de rotation de l'axe est ainsi égale à la fréquence électrique observée :

  f_{\text{rot}} = f = 38\text{ Hz}, \quad \text{soit une vitesse angulaire } \Omega = 2\pi f \approx 239\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

• Modèle électrique : Le circuit est modélisé par une f.é.m. d'induction e(t), en série avec la bobine (d'inductance L = 11\text{ mH} et de résistance interne r_{\text{b}}) et l'oscilloscope de résistance d'entrée R_{\text{osc}} = 1\text{ M}\Omega. L'impédance inductive vaut :

  L\Omega = 11\cdot 10^{-3} \times 239 \approx 2{,}6\,\Omega \ll R_{\text{osc}}

  La résistance interne du fil de la bobine vérifie également r_{\text{b}} \ll R_{\text{osc}}. L'impédance totale du circuit se réduit donc à la résistance de l'oscilloscope R_{\text{osc}}.

• Les pertes par hystérésis magnétique et par courants de Foucault dans les pièces métalliques sont négligées.

2. Bilan de puissance : La tension mesurée aux bornes de l'oscilloscope est sinusoïdale d'amplitude U_m = 32\text{ V}. Le courant induit instantané est i(t) = \frac{u(t)}{R_{\text{osc}}}. La puissance électrique moyenne dissipée par effet Joule s'écrit :

Par conservation de l'énergie, cette puissance dissipée est intégralement fournie par le travail des forces de Laplace s'exerçant sur l'aimant tournant, qui développe un couple résistant moyen \Gamma_{\text{res}} :

On en déduit l'expression du couple résistant moyen :

3. Application numérique :

4. Commentaire : D'après le document 3, le couple aérodynamique s'exerçant sur l'anémomètre est de l'ordre de quelques \text{mN}\cdot\text{m} (environ 5\text{ mN}\cdot\text{m} au démarrage). Le couple de freinage électromagnétique induit par le capteur (\Gamma_{\text{res}} \approx 2\cdot 10^{-3}\text{ mN}\cdot\text{m}) est environ un millier de fois plus faible :

La présence de la bobine n'est donc absolument pas de nature à perturber le fonctionnement et la mesure de la vitesse par l'anémomètre.