Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2022 (page 2/3 : Partie II)

La résistance électrique R_0 d'un conducteur cylindrique homogène de longueur \ell, de section droite constante S et de résistivité électrique \rho_{\mathrm{Pt}} à la température T_0 est donnée par la loi de Pouillet :

La section du fil de diamètre d étant un disque d'aire S = \dfrac{\pi d^2}{4}, il vient :

Avec les données numériques :

• \rho_{\mathrm{Pt}} = 1{,}11 \cdot 10^{-7}\ \Omega\cdot\mathrm{m} ;
• \ell = 1\ \mathrm{mm} = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m} ;
• d = 1\ \mu\mathrm{m} = 1{,}0 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m}.

On obtient :

Considérons comme système fermé le fil conducteur de longueur \ell et de diamètre d. En régime permanent, la température T_{\mathrm{f}} du fil est stationnaire, de sorte que son énergie interne est constante :

Pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t, le fil reçoit :

• un travail électrique lié à l'effet Joule :

  \delta W_{\mathrm{e}} = R_{\mathrm{f}} I^2 \,\mathrm{d}t

• un transfert thermique avec l'air ambiant, dominé par la convection forcée :

  \delta Q_{\text{reçu}} = - \delta Q_{\text{cédé}} = - h (T_{\mathrm{f}} - T_0) S_{\mathrm{lat}} \,\mathrm{d}t

  où la surface latérale d'échange vaut S_{\mathrm{lat}} = \pi d \ell.

D'après le premier principe de la thermodynamique, \mathrm{d}U = \delta W_{\mathrm{e}} + \delta Q_{\text{reçu}} = 0, ce qui conduit au bilan de puissance :

Par ailleurs, la relation donnant la résistance du fil en fonction de la température s'écrit :

En substituant cette expression et la loi d'échange h = a_0 + b_0 \sqrt{U} dans le bilan de puissance, on obtient :

On retrouve la loi de King demandée :

avec :

La température du fil T_{\mathrm{f}} étant maintenue constante, la résistance électrique R_{\mathrm{f}} = R_0(1 + \gamma(T_{\mathrm{f}} - T_0)) reste également constante.

D'après la loi de King établie à la question Q14 :

Lorsque la vitesse de l'écoulement U augmente, le membre de droite augmente strictement. Par conséquent, l'intensité I doit augmenter.

En convention récepteur, la loi d'Ohm appliquée au fil conducteur de résistance R_{\mathrm{f}} traversé par le courant continu I s'écrit :

En injectant cette relation dans la loi de King établie à la question Q14, il vient :

On en déduit l'expression du carré de la tension :

La tension E_{\mathrm{f}} étant positive, on obtient :

La sensibilité d'un capteur correspond au taux de variation du signal mesuré en fonction de la grandeur d'intérêt :

D'après la courbe d'étalonnage de la figure 4, la pente de la tangente à la courbe, c'est-à-dire la dérivée \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}U}, est une fonction strictement décroissante de la vitesse U : la courbe présente une concavité tournée vers le bas et s'aplatit aux vitesses élevées.

Si le voltmètre (ou la chaîne d'acquisition) présente une incertitude de mesure \Delta E_{\mathrm{f}} fixée, l'incertitude induite sur la vitesse déduite s'exprime au premier ordre par :

• À faible vitesse, la pente \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}U} est grande : une variation donnée de E_{\mathrm{f}} correspond à un intervalle très étroit de vitesse U, assurant une bonne précision.
• À grande vitesse, la pente \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}U} devient faible : une faible incertitude sur la tension mesurée se répercute en une grande incertitude sur la vitesse U.

Les mesures sont donc moins précises à grande vitesse qu'à faible vitesse.

L'axe vertical étant orienté par le vecteur unitaire \vec{e}_z ascendant (figure 5), le champ de pesanteur s'écrit :

Le système constitué par la portion d'air de volume \delta \tau et de masse volumique \rho_{\mathrm{f}} est soumis à :

• son propre poids :

  \vec{\delta P} = \rho_{\mathrm{f}}\,\delta\tau\,\vec{g} = -\rho_{\mathrm{f}}\,\delta\tau\,g\,\vec{e}_z

• la poussée d'Archimède exercée par le fluide environnant non perturbé (de masse volumique \rho_0), égale à l'opposé du poids du fluide déplacé :

  \vec{\delta \Pi} = -\rho_0\,\delta\tau\,\vec{g} = +\rho_0\,\delta\tau\,g\,\vec{e}_z

Par définition, la force de flottaison \vec{\delta F_{\mathrm{f}}} est la résultante de ces deux forces :

Comme le volume de la portion d'air est modélisé par \delta\tau = \ell d^2, on obtient finalement :

L'équation d'état du gaz parfait pour une masse m occupant un volume V sous la pression P et à la température T s'écrit :

La masse volumique s'exprime donc selon :

La pression étant identique dans la portion d'air \delta\tau et dans le fluide environnant (P_{\mathrm{f}} = P_0 = P), on a :

Il en résulte :

En réinjectant ce résultat dans l'expression de la force de flottaison établie à la question Q18 (\overrightarrow{\delta F_{\mathrm{f}}} = (\rho_0 - \rho_{\mathrm{f}})\,\ell d^2 g\,\vec{e}_z), on obtient :

Le champ de vitesse est vertical et dirigé selon \vec{e}_z : \vec{v} = v_z(x,y,z)\,\vec{e}_z. L'écoulement étant supposé incompressible, l'équation de continuité \mathrm{div}\,\vec{v} = \frac{\partial v_z}{\partial z} = 0 implique que v_z ne dépend pas de z : \vec{v} = v_z(x,y)\,\vec{e}_z.

Le laplacien vectoriel du champ de vitesse s'écrit alors :

La portion d'air se déplace à la vitesse u au voisinage du fil, alors que le fluide environnant est au repos à l'extérieur. La vitesse varie donc de u à 0 sur les distances caractéristiques du parallélépipède :

• sur une échelle de longueur d selon la direction transverse horizontale (Ox) ;
• sur une échelle de longueur \ell le long du fil selon (Oy).

Puisque le profil de vitesse présente un maximum au centre du volume et décroît vers les bords, les dérivées secondes sont négatives. Les ordres de grandeur des dérivées secondes sont ainsi :

La force visqueuse s'opposant au mouvement (force de frottement résistante), elle est dirigée selon -\vec{e}_z :

La force de viscosité s'exerçant sur le volume \delta\tau = \ell d^2 s'estime donc par :

Comme d \ll \ell, on a \frac{1}{\ell^2} \ll \frac{1}{d^2} (soit \frac{d^2}{\ell} \ll \ell), ce qui permet de négliger les variations le long du fil devant les gradients transverses :

D'après la question Q19, la norme de la force de flottaison motrice s'exerçant sur le volume \delta\tau = \ell d^2 est :

D'après la question Q20, l'ordre de grandeur de la norme de la force de frottement visqueux s'opposant au mouvement est :

En régime permanent d'ascension, la vitesse verticale u s'établit à une valeur limite pour laquelle la force de flottaison compense les frottements visqueux. En traduisant que ces deux forces sont du même ordre de grandeur :

En simplifiant par la longueur \ell du fil, on en déduit l'ordre de grandeur de la vitesse d'ascension verticale due à la convection naturelle :

D'après le résultat de la question précédente (Q21), la vitesse d'ascension par convection naturelle s'exprime sous la forme :

Effectuons l'application numérique avec les grandeurs fournies :

• \rho_0 = \rho_{\mathrm{air}} = 1{,}3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• T_0 = 300\text{ K},
• T_{\mathrm{f}} = 500\text{ K}, d'où T_{\mathrm{f}} - T_0 = 200\text{ K},
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2},
• d = 1\ \mu\text{m} = 1{,}0\cdot 10^{-6}\text{ m},
• \eta_{\mathrm{air}} = 1{,}85\cdot 10^{-5}\text{ Pl}.

On obtient :

Les vitesses d'écoulement mesurées en pratique avec un anémomètre à fil chaud sont typiquement de l'ordre de U \sim 0{,}1\text{ à }10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (comme l'illustre la courbe d'étalonnage de la figure 4).

La vitesse induite par la convection naturelle vérifie u \ll U avec un écart de plus de six ordres de grandeur. Par conséquent, la convection naturelle n'induit aucune perturbation notable sur le fonctionnement de l'anémomètre à fil chaud dans son domaine usuel d'utilisation.

Le fil étant assimilé à un cylindre d'axe (Ox) et de diamètre d, sa section droite transverse vaut :

D'après la loi de Fourier, le transfert de chaleur par conduction au sein du fil est décrit par le vecteur densité de flux thermique :

La portion de fil \Sigma(x) échange de la chaleur par conduction à travers :

• la face d'entrée en x, orientée vers l'extérieur par -\vec{e}_x, d'où un flux entrant algébrique :

  \Phi_{\mathrm{cond}}(x) = \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}(x)\cdot (\vec{e}_x S) = -\lambda_{\mathrm{f}} S \frac{\mathrm{d}T_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}x}(x)

• la face de sortie en x+\mathrm{d}x, de vecteur normal sortant +\vec{e}_x, d'où un flux sortant :

  \Phi_{\mathrm{cond}}(x+\mathrm{d}x) = -\lambda_{\mathrm{f}} S \frac{\mathrm{d}T_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}x}(x+\mathrm{d}x)

Le flux net reçu par conduction par la portion \Sigma(x) s'écrit alors :

Le transfert thermique reçu pendant la durée \mathrm{d}t est donc :

La tranche élémentaire de fil \Sigma(x) se comporte comme un conducteur ohmique de résistance \mathrm{d}R, parcouru par un courant d'intensité I. En convention récepteur, la puissance électrique reçue par effet Joule s'écrit :

Le travail électrique \delta W_{\mathrm{e}} reçu par le système \Sigma(x) pendant la durée élémentaire \mathrm{d}t est donc :

En remplaçant la résistance élémentaire \mathrm{d}R par l'expression fournie par l'énoncé, on obtient :

Considérons le système fermé constitué par la tranche de fil élémentaire \Sigma(x) de section S = \frac{\pi d^2}{4} et de longueur \mathrm{d}x, entre les instants t et t + \mathrm{d}t.

En régime stationnaire, l'énergie interne du système est constante, soit \mathrm{d}U = 0. Le bilan énergétique du premier principe s'écrit :

où :

• d'après la question Q24, le travail électrique reçu par effet Joule vaut :

  \delta W_{\mathrm{e}} = \frac{R_0}{\ell} \left(1 + \gamma \theta_{\mathrm{f}}(x)\right) I^2 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t

  en notant \theta_{\mathrm{f}}(x) = T_{\mathrm{f}}(x) - T_0 ;

• d'après la question Q23, le transfert thermique net reçu par conduction s'écrit :

  \delta Q_{\mathrm{cond}} = \lambda_{\mathrm{f}} \frac{\pi d^2}{4} \frac{\mathrm{d}^2 T_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}x^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t = \lambda_{\mathrm{f}} \frac{\pi d^2}{4} \frac{\mathrm{d}^2 \theta_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}x^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t

• le transfert thermique cédé par convection à l'air sur la surface latérale \mathrm{d}S_{\mathrm{lat}} = \pi d \, \mathrm{d}x est :

  \delta Q_{\mathrm{conv}} = h \left(T_{\mathrm{f}}(x) - T_0\right) \mathrm{d}S_{\mathrm{lat}} \, \mathrm{d}t = h \pi d \, \theta_{\mathrm{f}}(x) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t

En injectant ces trois expressions dans le bilan et en divisant par \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t \neq 0 :

En divisant l'ensemble par le facteur \lambda_{\mathrm{f}} \frac{\pi d^2}{4} devant la dérivée seconde, on obtient :

Cette relation correspond bien à l'équation différentielle demandée :

avec les constantes :

et

D'après la question Q25, la grandeur \theta_{\mathrm{f}}(x) vérifie l'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants :

où \ell_{\mathrm{r}} = \frac{1}{\sqrt{K_1}}.

Une solution particulière constante de cette équation est :

On pose donc :

La solution générale de l'équation différentielle s'écrit comme la somme de la solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène associée :

où A et B sont deux constantes réelles.

Les conditions aux limites aux deux extrémités du fil (en x = -\frac{\ell}{2} et x = +\frac{\ell}{2}) imposent T_{\mathrm{f}}(\pm \ell/2) = T_0, soit :

Le dispositif et les conditions aux limites étant pairs par rapport à x = 0, la fonction \theta_{\mathrm{f}}(x) est paire, ce qui impose B = 0.

La condition en x = \frac{\ell}{2} donne alors :

On en déduit l'expression du profil de température dans le fil :

D'après la figure 7, l'allure du profil de température adimensionné \theta_{\mathrm{f}}(x)/\theta_0 dépend fortement du rapport \ell_{\mathrm{r}}/\ell :

• pour \ell_{\mathrm{r}} = \ell/2 ou \ell_{\mathrm{r}} = \ell/4, le profil est parabolique et fortement bombé, la température variant continûment entre le centre et les extrémités sans présenter de zone uniforme ;
• pour \ell_{\mathrm{r}} = \ell/20, la température atteint un palier quasi-constant (\theta_{\mathrm{f}} \approx \theta_0) sur une grande partie centrale du fil (environ 80\,\% de sa longueur), et ne chute vers zéro que très brutalement aux abords des extrémités.

Pour que la température soit quasi-uniforme sur l'essentiel du fil, il faut donc choisir une longueur de refroidissement très inférieure à la longueur du fil :

Sens physique de la longueur de refroidissement \ell_{\mathrm{r}} :

Les deux extrémités du fil sont maintenues à la température ambiante T_0 par les broches de fixation métalliques massives, qui agissent comme des puits thermiques. La longueur \ell_{\mathrm{r}} représente la distance caractéristique de pénétration de cet effet de bord depuis chaque extrémité. Sur une épaisseur de l'ordre de quelques \ell_{\mathrm{r}} près des attaches, la conduction axiale évacue efficacement l'énergie vers les broches, refroidissant ainsi le fil. À une distance supérieure à quelques \ell_{\mathrm{r}} des bords, l'influence des supports devient négligeable : la conduction axiale s'annule et la température atteint la valeur d'équilibre uniforme \theta_0 pour laquelle l'effet Joule compense exactement la convection latérale.