Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2022 (page 3/3 : Partie III)

• Caractère transversal ou longitudinal :
  Les vecteurs d'onde \vec{k}_1 et \vec{k}_2 appartiennent au plan (Oxy), tandis que les champs électriques \vec{E}_1 et \vec{E}_2 sont portés par le vecteur unitaire \vec{u}_z. Le champ électrique est donc orthogonal à la direction de propagation :

  \vec{E}_i \cdot \vec{k}_i = 0 \quad (i \in \{1, 2\})

  Il s'agit donc d'ondes transversales (propriété générale des ondes électromagnétiques planes dans le vide ou dans l'air).

• État de polarisation :
  Pour chaque faisceau, la direction du champ électrique reste constante au cours du temps et alignée selon l'axe (Oz) (portée par \vec{u}_z). Les ondes sont donc polarisées rectilignement (ou linéairement) selon la direction de \vec{u}_z.

D'après le principe de superposition, le champ électrique total en un point M de la zone de croisement est :

L'éclairement \mathcal{E}(M) est défini comme la moyenne temporelle du carré de la norme du champ électrique :

Calculons séparément chacun des termes :

• Pour le premier faisceau :

  \left\langle E_1^2(M, t) \right\rangle = E_0^2 \left\langle \cos^2(\omega_{\mathrm{L}} t - \vec{k}_1 \cdot \vec{OM}) \right\rangle = \frac{E_0^2}{2} = \mathcal{E}_0

• De même, pour le second faisceau :

  \left\langle E_2^2(M, t) \right\rangle = \frac{E_0^2}{2} = \mathcal{E}_0

• Pour le terme d'interférence, en utilisant l'identité trigonométrique du formulaire \cos a \cos b = \frac{1}{2}(\cos(a+b) + \cos(a-b)) avec a = \omega_{\mathrm{L}} t - \vec{k}_1 \cdot \vec{OM} et b = \omega_{\mathrm{L}} t - \vec{k}_2 \cdot \vec{OM} :

  \begin{aligned} 2\left\langle E_1(M, t) E_2(M, t) \right\rangle &= 2 E_0^2 \left\langle \cos(\omega_{\mathrm{L}} t - \vec{k}_1 \cdot \vec{OM}) \cos(\omega_{\mathrm{L}} t - \vec{k}_2 \cdot \vec{OM}) \right\rangle \\ &= E_0^2 \left\langle \cos(2\omega_{\mathrm{L}} t - (\vec{k}_1 + \vec{k}_2)\cdot\vec{OM}) + \cos((\vec{k}_1 - \vec{k}_2)\cdot\vec{OM}) \right\rangle \end{aligned}

  Le terme oscillant à la pulsation 2\omega_{\mathrm{L}} est de moyenne temporelle nulle, tandis que le second terme est indépendant du temps :

  2\left\langle E_1(M, t) E_2(M, t) \right\rangle = E_0^2 \cos\left((\vec{k}_1 - \vec{k}_2)\cdot\vec{OM}\right) = 2\mathcal{E}_0 \cos\left((\vec{k}_1 - \vec{k}_2)\cdot\vec{OM}\right)

En sommant ces trois contributions, on obtient bien :

D'après la figure 9, les deux faisceaux se propagent vers les x croissants avec une inclinaison d'angle \alpha par rapport à l'axe (Ox). Les vecteurs d'onde s'écrivent :

La différence des vecteurs d'onde vaut donc :

Pour un point M(x,y,z) repéré par \vec{OM} = x\,\vec{u}_x + y\,\vec{u}_y + z\,\vec{u}_z, le produit scalaire intervenant dans l'éclairement vaut :

D'après le résultat de la question Q29, l'éclairement dans la zone d'interférences s'écrit, par parité de la fonction cosinus :

Les franges brillantes correspondent aux maxima d'éclairement (\mathcal{E}(M) = 4\mathcal{E}_0), obtenus lorsque le cosinus vaut 1 :

Dans le plan (x,y), les franges brillantes sont donc des droites parallèles à l'axe (Ox) d'équations :

L'interfrange \Delta y est la distance séparant deux franges brillantes consécutives :

Application numérique :

• \lambda_0 = 514{,}5\text{ nm} = 514{,}5 \cdot 10^{-9}\text{ m}
• \alpha = 6{,}0^\circ

Compte tenu des deux chiffres significatifs sur l'angle \alpha :

La particule traverse le réseau de franges selon l'axe (Oy) avec une vitesse v_y. Sa position à l'instant t s'écrit :

L'éclairement lumineux \mathcal{E}(y) au point occupé par la particule varie selon l'axe (Oy) avec une période spatiale égale à l'interfrange \Delta y. La lumière diffusée, de puissance proportionnelle à cet éclairement, présente donc une modulation périodique au cours du temps :

La pulsation correspondante est \omega_{\mathrm{d}} = 2\pi f_{\mathrm{d}} = \frac{2\pi |v_y|}{\Delta y}, ce qui donne pour la fréquence du signal détecté :

En supposant un mouvement dans le sens des y croissants (v_y > 0) :

Avec les valeurs numériques :

• f_{\mathrm{d}} = 2{,}45\cdot 10^6\text{ Hz}
• \lambda_0 = 514{,}5\cdot 10^{-9}\text{ m}
• \alpha = 6{,}0^\circ (d'où \Delta y \approx 2{,}461\cdot 10^{-6}\text{ m}, d'après la question Q30)

Compte tenu de la précision sur l'angle \alpha (deux chiffres significatifs) :

En optique géométrique, un faisceau de rayons parallèles traversant une lentille mince convergente convergerait vers un point unique en son foyer principal image F'.

En réalité, du fait de la nature ondulatoire de la lumière et du phénomène de diffraction, le faisceau laser possède une extension transverse non nulle en F' :

• avant le foyer F', le faisceau converge depuis la lentille (où il possède une largeur 2W_0) jusqu'à un rayon minimal w_0 au plan focal image ;
• en F', le faisceau forme un col de rayon w_0 (soit une largeur totale 2w_0) ;
• après le foyer F', le faisceau diverge à nouveau symétriquement par rapport au plan focal.

1. Expression approchée de w_0 :

Le faisceau incident présente une largeur transverse 2W_0. Par diffraction, le faisceau diverge après le plan de la lentille avec un demi-angle de diffraction caractéristique :

Au foyer image situé à la distance f' de la lentille, le rayon (demi-largeur) du col du faisceau est donc de l'ordre de grandeur de :

Remarque : selon que l'on considère la largeur totale ou le rayon pour l'ouverture diffractante, une estimation de la forme w_0 \approx \frac{\lambda_0 f'}{W_0} ou issue du profil gaussien (w_0 = \frac{\lambda_0 f'}{\pi W_0}) est également acceptable à un facteur d'ordre 1 près.

2. Expression de la résolution spatiale \delta_x :

Chaque faisceau est assimilé au niveau du croisement à un cylindre de demi-largeur transverse w_0, incliné d'un angle \alpha par rapport à l'axe (Ox) (figure 9).

Considérons le triangle rectangle formé par :

• le centre O de la zone de croisement,
• le point extrême sur l'axe (Ox) correspondant au sommet droit de la zone losangique d'interférences, d'abscisse x_{\max},
• la projection orthogonale de O sur la bordure extérieure du faisceau.

La distance orthogonale entre l'axe du faisceau (passant par O) et son bord vaut w_0. L'axe du faisceau étant incliné d'un angle \alpha par rapport à (Ox), la trigonométrie dans ce triangle donne directement :

La longueur totale de la zone d'interférences selon l'axe (Ox), qui définit la résolution spatiale \delta_x, vaut donc :

En injectant l'expression approchée de w_0 :

3. Application numérique :

Avec \lambda_0 = 514{,}5\text{ nm} = 5{,}145\cdot 10^{-7}\text{ m}, f' = 16\text{ cm} = 0{,}16\text{ m}, W_0 = 1\text{ mm} = 1{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m} et \alpha = 6{,}0^\circ :

(Une convention prenant w_0 \approx \frac{\lambda_0 f'}{W_0} conduirait à \delta_x \approx 1{,}6\text{ mm} ; dans tous les cas, l'ordre de grandeur est d'environ 1\text{ mm}).

4. Moyen d'augmenter la résolution spatiale :

Augmenter la résolution spatiale signifie obtenir une mesure plus ponctuelle, c'est-à-dire diminuer la taille \delta_x du volume de mesure. D'après l'expression \delta_x \approx \frac{\lambda_0 f'}{W_0 \sin\alpha}, on peut :

• élargir le faisceau laser incident W_0 (à l'aide d'un expanseur de faisceau / télescope afocal) afin d'accroître la focalisation ;
• diminuer la distance focale f' de la lentille de focalisation ;
• augmenter l'angle de croisement \alpha des faisceaux.

Le principe de la vélocimétrie laser repose sur la détection du signal lumineux diffusé lors du passage individuel d'une particule traceuse à travers le volume d'interférences.

• Concentration trop faible :

  • La probabilité de passage d'une particule dans le volume de mesure par unité de temps devient très faible, ce qui induit un taux d'acquisition (fréquence d'échantillonnage des données) très bas.
  • Il devient alors difficile, voire impossible, de suivre les variations temporelles rapides de l'écoulement (fluctuations de vitesse, profils turbulents) ou d'obtenir des statistiques représentatives en un temps raisonnable.

• Concentration trop élevée :

  • Brouillage du signal optique : plusieurs particules peuvent se trouver simultanément dans le volume de mesure. Les ondes diffusées par ces différentes particules interfèrent avec des phases aléatoires, ce qui dégrade considérablement le contraste des battements lumineux et rend difficile l'extraction de la fréquence Doppler f_{\mathrm{d}}.
  • Atténuation de la lumière : la diffusion multiple et l'absorption le long du trajet optique réduisent fortement l'intensité des faisceaux incidents et de la lumière collectée.
  • Perturbation mécanique du fluide : une fraction volumique trop importante de particules peut altérer les propriétés physiques du fluide (viscosité apparente, masse volumique) et perturber l'écoulement, de sorte que les particules ne se comportent plus comme des traceurs passifs neutres.

Pour sélectionner une longueur d'onde précise parmi les trois longueurs d'onde émises par la particule diffusante, on peut utiliser :

• un filtre interférentiel (ou filtre passe-bande optique), centré sur la longueur d'onde souhaitée, placé en amont du photodétecteur (dispositif couramment employé en vélocimétrie laser tridimensionnelle) ;
• ou un système dispersif tel qu'un réseau de diffraction ou un prisme associé à une fente de sélection spatiale (monochromateur) ;
• ou un ensemble de miroirs dichroïques (lames séparatrices chromatiques).

La fréquence f_{\mathrm{L}} d'une onde lumineuse est une caractéristique de la source qui ne dépend pas du milieu traversé : elle est invariante lors du changement de milieu de propagation.

Dans l'air (assimilé au vide), la célérité de la lumière est c et la longueur d'onde s'écrit :

Dans le cristal de phosphure de gallium d'indice optique n_{\mathrm{GaP}}, la vitesse de phase de l'onde lumineuse est :

Par conséquent, la longueur d'onde \lambda du laser dans le milieu est donnée par :

Numériquement, avec n_{\mathrm{GaP}} = 3{,}32 :

En utilisant la valeur \lambda_0 = 514{,}5\text{ nm} donnée dans la sous-partie III.1 :

Considérons deux rayons lumineux parallèles incidents faisant un angle d'attaque (ou angle de rasance) \theta_{\mathrm{B}} avec les plans d'ondes acoustiques successifs, séparés par le pas du réseau \Lambda (figure 12).

En projetant sur la direction de propagation avant et après réflexion, le retard géométrique du rayon se réfléchissant sur le plan inférieur par rapport à celui se réfléchissant sur le plan supérieur s'écrit :

Le milieu de propagation ayant pour indice de réfraction n_{\mathrm{GaP}}, la différence de chemin optique (différence de marche) entre ces deux rayons vaut :

Or, d'après la question Q36, la longueur d'onde dans le milieu est \lambda = \dfrac{\lambda_0}{n_{\mathrm{GaP}}}, d'où :

L'ordre 1 du réseau correspond à une différence de marche \delta = \lambda_0, ce qui donne la condition de Bragg usuelle :

La longueur d'onde acoustique \Lambda étant reliée à la célérité c_{\mathrm{S}} et à la fréquence f_{\mathrm{S}} de l'onde acoustique par \Lambda = \dfrac{c_{\mathrm{S}}}{f_{\mathrm{S}}}, on obtient :

L'angle \theta_{\mathrm{B}} étant très petit devant 1, on peut utiliser l'approximation des petits angles \sin\theta_{\mathrm{B}} \approx \theta_{\mathrm{B}} :

Application numérique :

• \lambda = \dfrac{\lambda_0}{n_{\mathrm{GaP}}} = \dfrac{514{,}5\cdot 10^{-9}}{3{,}32} \approx 1{,}55\cdot 10^{-7}\text{ m} ;
• f_{\mathrm{S}} = 40\text{ MHz} = 4{,}0\cdot 10^7\text{ Hz} ;
• c_{\mathrm{S}} = 4\,130\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

D'après l'hypothèse de l'énoncé, l'énergie d'un phonon de fréquence f_{\mathrm{S}} s'exprime de la même manière que celle d'un photon via la relation de Planck-Einstein :

où h est la constante de Planck.

De même, pour les photons du laser avant et après l'interaction :

Lors de la collision inélastique, le système {photon + phonon} est isolé. La conservation de l'énergie totale du système s'écrit :

soit :

En simplifiant par h \neq 0, on obtient directement :

D'après les relations de de Broglie, la quantité de mouvement d'un photon dans le cristal de phosphure de gallium où sa longueur d'onde est \lambda vaut :

De même, pour le phonon acoustique associé à l'onde de longueur d'onde \Lambda = \frac{c_{\mathrm{S}}}{f_{\mathrm{S}}} :

Pour le photon diffusé après absorption du phonon, sa quantité de mouvement est p'_{\mathrm{L}} = \frac{h}{\lambda'}. Comme f_{\mathrm{S}} \ll f_{\mathrm{L}}, la variation de fréquence et donc de longueur d'onde est négligeable (\lambda' \approx \lambda), soit :

La conservation de la quantité de mouvement lors de la collision s'écrit :

D'après le repère orthonormé (\vec{u}_x, \vec{u}_z) de la figure 13 :

• Le photon incident est incliné vers le haut d'un angle \theta_{\mathrm{B}} :

  \vec{p}_{\mathrm{L}} = p_{\mathrm{L}} \cos\theta_{\mathrm{B}} \, \vec{u}_x + p_{\mathrm{L}} \sin\theta_{\mathrm{B}} \, \vec{u}_z

• Le phonon se propage vers le bas (de la céramique vers l'absorbeur) :

  \vec{p}_{\mathrm{S}} = - p_{\mathrm{S}} \, \vec{u}_z

• Le photon diffusé est incliné vers le bas d'un angle \theta_{\mathrm{B}} :

  \vec{p}\,'_{\mathrm{L}} = p'_{\mathrm{L}} \cos\theta_{\mathrm{B}} \, \vec{u}_x - p'_{\mathrm{L}} \sin\theta_{\mathrm{B}} \, \vec{u}_z

En projetant la relation de conservation sur l'axe vertical \vec{u}_z, on obtient :

Soit, en regroupant les termes et en utilisant l'approximation p'_{\mathrm{L}} \approx p_{\mathrm{L}} :

En remplaçant les quantités de mouvement par leurs expressions :

On en déduit :

Aux faibles angles (\theta_{\mathrm{B}} \ll 1), on a \sin\theta_{\mathrm{B}} \approx \theta_{\mathrm{B}}, ce qui redonne parfaitement l'expression de l'angle de Bragg établie à la question Q37 :

L'éclairement en un point M(x, y) de la zone d'interférences au cours du temps est donné par :

En introduisant l'interfrange \Delta y = \dfrac{\lambda_0}{2\sin\alpha} déterminé à la question Q30, cette expression s'écrit sous la forme d'une onde se propageant :

Les franges brillantes correspondent aux maxima d'éclairement, c'est-à-dire aux positions y_p(t) vérifiant :

Soit, en isolant la position y_p(t) de la frange d'ordre p :

La vitesse de déplacement des franges est obtenue en dérivant par rapport au temps :

Les franges défilent donc à une vitesse :

Puisque \dfrac{\mathrm{d}y_p}{\mathrm{d}t} < 0, les franges défilent dans le sens des y décroissants, c'est-à-dire dans le sens opposé au vecteur unitaire \vec{u}_y (selon -\vec{u}_y).

Soit une particule se déplaçant à vitesse constante v_y selon l'axe (Oy), repérée par sa position :

L'éclairement auquel est soumise la particule à l'instant t est donné par l'expression établie avant la question Q40 :

avec \Delta y = \dfrac{\lambda_0}{2\sin\alpha} et v_{\text{franges}} = f_{\mathrm{S}} \Delta y.

En injectant la loi horaire y(t), l'argument de la fonction cosinus s'écrit :

L'intensité diffusée par la particule oscille donc à la fréquence apparente :

En pratique, la fréquence acoustique f_{\mathrm{S}} est choisie suffisamment grande pour que f_{\mathrm{S}} > \dfrac{|v_y|}{\Delta y} (ici f_{\mathrm{S}} = 40\text{ MHz}, ce qui correspond à une vitesse limite v_{\text{franges}} \approx 100\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, largement supérieure aux vitesses mesurées). On a alors simplement :

Le décalage fréquentiel \Delta f = f_{\text{mes}} - f_{\mathrm{S}} = \dfrac{v_y}{\Delta y} donne directement accès au signe de la vitesse de la particule :

• Si f_{\text{mes}} > f_{\mathrm{S}}, alors \boldsymbol{v_y > 0} : la particule se déplace dans le sens opposé au défilement des franges (vers les y croissants) et croise les franges avec une fréquence plus élevée.
• Si f_{\text{mes}} < f_{\mathrm{S}}, alors \boldsymbol{v_y < 0} : la particule se déplace dans le même sens que les franges (vers les y décroissants) et croise les franges avec une fréquence plus faible.
• Si f_{\text{mes}} = f_{\mathrm{S}}, la particule est immobile (v_y = 0).