Feuille d'entraînement : Diffusion thermique et diffusion de particules

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique PC 2025, Q2

   La loi de Fourier sous forme locale relie le vecteur densité de courant thermique \vec{j}_{\text{th}} au gradient de la température T par :

   \boxed{\vec{j}_{\text{th}} = -\lambda \, \overrightarrow{\operatorname{grad}}(T)}

   où \lambda est la conductivité thermique du matériau.

   Pour établir la résistance thermique R_{\text{th}} du cylindre par analogie thermoélectrique, comparons les grandeurs et lois locales associées :

   • La densité de courant électrique \vec{j}_{\text{él}} = -\sigma \, \overrightarrow{\operatorname{grad}}(V) correspond à la densité de flux thermique \vec{j}_{\text{th}} = -\lambda \, \overrightarrow{\operatorname{grad}}(T).
   • L'intensité électrique I = \iint_S \vec{j}_{\text{él}} \cdot \mathrm{d}\vec{S} correspond au flux thermique total \Phi_{\text{th}} = \iint_S \vec{j}_{\text{th}} \cdot \mathrm{d}\vec{S}.
   • La différence de potentiel V_1 - V_2 correspond à l'écart de température T_1 - T_2.
   • La conductivité électrique \sigma correspond à la conductivité thermique \lambda.

   De la relation macroscopique thermique T_1 - T_2 = R_{\text{th}} \Phi_{\text{th}}, analogue à la loi d'Ohm V_1 - V_2 = R_{\text{él}} I, et sachant d'après la question Q1 que R_{\text{él}} = \dfrac{L}{\sigma S}, on en déduit immédiatement par substitution de \sigma par \lambda :

   \boxed{R_{\text{th}} = \frac{L}{\lambda S}}

   Résultat

   $${\vec{j}}_{\text{th}}=-\lambda \overrightarrow{\mathrm{grad}}(T)$$

   $$R_{\text{th}}=\frac{L}{\lambda S}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique PC 2025, Q17

   Considérons le système fermé constitué de la matière contenue dans la tranche de jambe comprise entre x et x+\mathrm{d}x, de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x, entre les instants t et t+\mathrm{d}t.

   La surface latérale étant calorifugée, les transferts d'énergie avec l'extérieur se font uniquement :

   • par conduction thermique à travers les sections en x et x+\mathrm{d}x :

     \begin{aligned} \delta Q &= \Phi_{\text{th}}(x)\,\mathrm{d}t - \Phi_{\text{th}}(x+\mathrm{d}x)\,\mathrm{d}t \\ &= \left[j_{\text{th}}(x) - j_{\text{th}}(x+\mathrm{d}x)\right] S\,\mathrm{d}t \\ &= -\frac{\mathrm{d}j_{\text{th}}}{\mathrm{d}x} S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \end{aligned}

   • par apport d'énergie électrique : le champ électrique cède aux porteurs de charge une puissance volumique p_v, transférée au réseau cristallin, soit un travail électrique reçu :

     \delta W_{\text{él}} = p_v\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t = p_v\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

   Le premier principe de la thermodynamique appliqué à cette tranche s'écrit :

   \mathrm{d}U = \delta Q + \delta W_{\text{él}}

   Le régime étant stationnaire, la température de la tranche est indépendante du temps, d'où \mathrm{d}U = 0. Il vient alors :

   -\frac{\mathrm{d}j_{\text{th}}}{\mathrm{d}x} S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t + p_v\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t = 0

   En simplifiant par le volume élémentaire S\,\mathrm{d}x et la durée \mathrm{d}t, on obtient l'équation différentielle :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}j_{\text{th}}}{\mathrm{d}x} = p_v}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{j}_{\text{th}}}{\mathrm{d}x}=p_v$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique PC 2025, Q18

   Le problème étant unidimensionnel suivant l'axe (Ox), le gradient de température s'écrit :

   \overrightarrow{\operatorname{grad}}(T) = \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\vec{u}_x

   D'après la question Q16, le courant électrique est uniforme et s'écrit \vec{j}_{\text{él}} = j_{\text{él}}\vec{u}_x = \frac{I}{S}\vec{u}_x.

   Les lois phénoménologiques couplées s'écrivent pour la jambe de type p :

   \begin{aligned} \vec{E} &= \left( \frac{j_{\text{él}}}{\sigma_p} + \alpha_p \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} \right) \vec{u}_x \\ \vec{j}_{\text{th}} &= \left( \alpha_p T j_{\text{él}} - \lambda_p \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} \right) \vec{u}_x \end{aligned}

   La composante selon \vec{u}_x de la densité de courant thermique est donc :

   j_{\text{th}} = \alpha_p j_{\text{él}} T(x) - \lambda_p \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}

   Les grandeurs \alpha_p, \lambda_p et j_{\text{él}} étant indépendantes de x (et de T), la dérivation par rapport à x donne :

   \frac{\mathrm{d}j_{\text{th}}}{\mathrm{d}x} = \alpha_p j_{\text{él}} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} - \lambda_p \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2}

   D'autre part, la puissance volumique p_v = \vec{j}_{\text{él}} \cdot \vec{E} s'exprime sous la forme :

   p_v = j_{\text{él}} \left( \frac{j_{\text{él}}}{\sigma_p} + \alpha_p \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} \right) = \frac{j_{\text{él}}^2}{\sigma_p} + \alpha_p j_{\text{él}} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}

   En reportant ces expressions dans l'équation issue du bilan thermique (question Q17), \frac{\mathrm{d}j_{\text{th}}}{\mathrm{d}x} = p_v :

   \alpha_p j_{\text{él}} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} - \lambda_p \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} = \frac{j_{\text{él}}^2}{\sigma_p} + \alpha_p j_{\text{él}} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}

   Le terme convectif thermoélectrique \alpha_p j_{\text{él}} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} se simplifie de part et d'autre, ce qui conduit à :

   -\lambda_p \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} = \frac{j_{\text{él}}^2}{\sigma_p}

   En remplaçant j_{\text{él}} par \frac{I}{S}, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} = -\frac{I^2}{\sigma_p \lambda_p S^2} = -k

   avec :

   \boxed{k = \frac{I^2}{\sigma_p \lambda_p S^2}}

   Tous les paramètres I^2, \sigma_p, \lambda_p et S^2 étant strictement positifs, la constante k est bien strictement positive.

   Résultat

   $$k=\frac{I^2}{{\sigma }_p{\lambda }_p{S}^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique 2 PC 2025, Q2

   Considérons le système fermé constitué par la matière contenue dans l'élément de volume délimité par les plans x et x + \mathrm{d}x, de surface transverse S perpendiculaire à l'axe (Ox), de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x.

   Le problème étant unidimensionnel selon l'axe (Ox), la température ne dépend que de x : T = T(x). Le vecteur densité de flux thermique s'écrit \vec{j} = j(x)\,\vec{e}_x.

   En régime stationnaire et en l'absence de puissance volumique dissipée dans le matériau, le bilan thermique sur cet élément de volume pendant la durée \mathrm{d}t s'écrit :

   \mathrm{d}U = \delta Q = \big(\Phi(x) - \Phi(x + \mathrm{d}x)\big)\,\mathrm{d}t = 0

   où \Phi(x) est le flux thermique traversant la section S à l'abscisse x orientée selon \vec{e}_x :

   \Phi(x) = \vec{j}(x)\cdot (S\,\vec{e}_x) = j(x)\,S

   Par développement de Taylor au premier ordre :

   \Phi(x + \mathrm{d}x) = \Phi(x) + \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x = j(x)\,S + \frac{\mathrm{d}j}{\mathrm{d}x}\,S\,\mathrm{d}x

   Le bilan d'énergie conduit à :

   -\frac{\mathrm{d}j}{\mathrm{d}x}\,S\,\mathrm{d}x = 0 \iff \frac{\mathrm{d}j}{\mathrm{d}x} = 0

   D'après la loi de Fourier, le transfert conductif vérifie :

   \vec{j}(x) = -\kappa\,\vec{\mathrm{grad}}\,T(x) = -\kappa\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\,\vec{e}_x \implies j(x) = -\kappa\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}

   En supposant la conductivité thermique \kappa uniforme dans le matériau, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-\kappa\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\right) = 0

   soit finalement :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} = 0}

   Résultat

   $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}T}{\mathrm{d}{x}^2}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique 2 PC 2025, Q3

   D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique au sein du matériau supraconducteur s'écrit :

   \vec{j} = -\kappa \, \vec{\mathrm{grad}}\, T = -\kappa \, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} \, \vec{e}_x.

   Par identification avec l'expression donnée \vec{j} = j_0 \, \vec{e}_x, on a :

   \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = -\frac{j_0}{\kappa}.

   Comme j_0 et \kappa sont des constantes, l'intégration entre une abscisse x \in [0, \, e] et la face externe x = e donne :

   \begin{aligned} \int_{x}^{e} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x'} \, \mathrm{d}x' &= -\frac{j_0}{\kappa} \int_{x}^{e} \mathrm{d}x' \\ T(e) - T(x) &= -\frac{j_0}{\kappa} (e - x). \end{aligned}

   Sachant que T(e) = T_s, on en déduit l'expression du profil de température dans la paroi :

   \boxed{T(x) = T_s + \frac{j_0}{\kappa}(e - x)}

   Résultat

   $$T(x)=T_s+\frac{j_0}{\kappa }(e-x)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 1 PC 2025, Q20

   À l'ordre 1 en \ell, les vitesses moyennes des deux couches s'écrivent :

   \begin{aligned} u(z+\ell) &= u(z) + \ell \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z} + o(\ell) \\ u(z-\ell) &= u(z) - \ell \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z} + o(\ell) \end{aligned}

   d'où :

   u(z+\ell) - u(z-\ell) = 2\ell \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z}

   D'après le résultat de la question 19, la composante tangentielle de la force exercée par la tranche B sur la tranche A à travers la surface de contact S s'exprime ainsi :

   \vec{F}_{\mathrm{B}\to\mathrm{A}} \cdot \vec{e}_x = \frac{1}{6} n m S \delta v \left(2\ell \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z}\right) = \frac{1}{3} n m \ell \delta v S \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z}

   Par définition de la viscosité dynamique \eta d'un fluide newtonien (loi de Newton du cisaillement), la contrainte tangentielle exercée par la couche supérieure sur la couche inférieure à travers une surface S de normale +\vec{e}_z est :

   \sigma_{xz} = \frac{\vec{F}_{\mathrm{B}\to\mathrm{A}} \cdot \vec{e}_x}{S} = \eta \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z}

   Par identification avec l'expression microscopique, on obtient :

   \boxed{\eta = \frac{1}{3} n m \ell \delta v = \frac{1}{3} \rho \ell \delta v}

   où \rho = n m est la masse volumique du gaz.

   Application numérique :

   Dans les conditions usuelles de température et de pression (T \simeq 300\text{ K}, P \simeq 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}), la masse volumique de l'air assimilé à un gaz parfait vaut :

   \rho = \frac{P M_{\mathrm{a}}}{R T} = \frac{P M_{\mathrm{a}}}{\mathcal{N}_{\mathrm{A}} k_{\mathrm{B}} T} \simeq \frac{1{,}0 \times 10^5 \times 29 \times 10^{-3}}{6{,}0 \times 10^{23} \times 1{,}4 \times 10^{-23} \times 300} = \frac{2900}{2520} \simeq 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}

   Avec \ell \simeq 60\text{ nm} = 6 \times 10^{-8}\text{ m} et \delta v \simeq 500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

   \begin{aligned} \eta &= \frac{1}{3} \times 1{,}2 \times (6 \times 10^{-8}) \times 500 \\ &= 0{,}4 \times 3{,}0 \times 10^{-5} \\ &= 1{,}2 \times 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s} \end{aligned}

   Avec un seul chiffre significatif :

   \boxed{\eta \simeq 1 \times 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s}}

   La valeur tabulée de la viscosité de l'air dans ces conditions est de l'ordre de 1{,}8 \times 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s}. L'ordre de grandeur de 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s} obtenu par ce modèle cinétique simplifié est donc tout à fait satisfaisant et correct.

   Résultat

   $$\eta =\frac{1}{3}nm\ell \delta v=\frac{1}{3}\rho \ell \delta v$$

   $$\eta \simeq 1\times 10^{-5}\text{ Pa}\cdot \text{s}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique PC 2024, Q14

   Considérons le système fixe délimité par une tranche de plasma comprise entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite d'aire S orthogonale à l'axe (Ox), pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t.

   Le nombre d'électrons contenus dans cette tranche à l'instant t s'écrit :

   N_e(t) = n_e(x,t)\,S\,\mathrm{d}x

   La variation de ce nombre pendant la durée \mathrm{d}t est :

   \mathrm{d}N_e = N_e(t+\mathrm{d}t) - N_e(t) = \frac{\partial n_e}{\partial t}(x,t)\,\mathrm{d}t\,S\,\mathrm{d}x

   Par ailleurs, les recombinaisons et créations d'espèces étant négligées au sein du plasma, la variation de N_e n'est due qu'au flux de particules à travers les surfaces frontières :

   • nombre d'électrons entrant à l'abscisse x pendant \mathrm{d}t : \delta N_e^{\text{entrant}} = j_e(x,t)\,S\,\mathrm{d}t ;
   • nombre d'électrons sortant à l'abscisse x+\mathrm{d}x pendant \mathrm{d}t : \delta N_e^{\text{sortant}} = j_e(x+\mathrm{d}x,t)\,S\,\mathrm{d}t.

   Le bilan de matière s'écrit donc :

   \begin{aligned} \mathrm{d}N_e &= \delta N_e^{\text{entrant}} - \delta N_e^{\text{sortant}} \\ \frac{\partial n_e}{\partial t}(x,t)\,\mathrm{d}t\,S\,\mathrm{d}x &= -\left[j_e(x+\mathrm{d}x,t) - j_e(x,t)\right]S\,\mathrm{d}t \\ \frac{\partial n_e}{\partial t}(x,t)\,\mathrm{d}t\,S\,\mathrm{d}x &= -\frac{\partial j_e}{\partial x}(x,t)\,\mathrm{d}x\,S\,\mathrm{d}t \end{aligned}

   En simplifiant par S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \neq 0, on obtient l'équation locale de conservation des électrons :

   \boxed{\frac{\partial n_e}{\partial t} + \frac{\partial j_e}{\partial x} = 0}

   De façon tout à fait analogue, en l'absence de terme source ou puits pour les ions, le bilan sur les ions de charge +e conduit à :

   \boxed{\frac{\partial n_i}{\partial t} + \frac{\partial j_i}{\partial x} = 0}

   Résultat

   $$\frac{\partial n_e}{\partial t}+\frac{\partial j_e}{\partial x}=0$$

   $$\frac{\partial n_i}{\partial t}+\frac{\partial j_i}{\partial x}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique PC 2024, Q17

   • Le terme -D\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,n correspond à la loi de Fick (ou première loi de Fick), qui décrit le phénomène de diffusion moléculaire tendant à homogénéiser les concentrations sous l'effet de l'agitation thermique, des zones les plus concentrées vers les zones les moins concentrées.

   • Le terme \pm n\,\mu \vec{E} traduit le phénomène d'entraînement ou de dérive (migration) des particules chargées sous l'action de la force électrostatique \vec{F} = q\vec{E} créée par le champ électrique :

     • en régime permanent, l'équilibre entre la force électrique et la force de frottement fluide issue des collisions avec le milieu confère aux porteurs une vitesse moyenne de dérive \vec{v}_{\mathrm{d}} = \pm \mu \vec{E} (dans le sens de \vec{E} pour les ions de charge +e, en sens opposé pour les électrons de charge -e, avec des mobilités \mu_i > 0 et \mu_e > 0) ;
     • la densité de flux de particules correspondante est alors donnée par \vec{\jmath}_{\mathrm{d\acute{e}rive}} = n\,\vec{v}_{\mathrm{d}} = \pm n\,\mu \vec{E}.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique PC 2024, Q19

   D'après l'équation locale de conservation des particules établie à la question Q14 et compte tenu de la condition de quasi-neutralité n_i = n_e = n associée à l'égalité des flux j_i = j_e = j (question Q16), la densité n(x,t) vérifie :

   \frac{\partial n}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0

   En substituant l'expression de la densité de flux ambipolaire obtenue à la question Q18, j(x,t) = -D_a \frac{\partial n}{\partial x}, et sachant que les coefficients de transport (\mu_i, \mu_e, D_i, D_e) sont supposés constants et uniformes dans le plasma, le coefficient de diffusion ambipolaire D_a est indépendant de x :

   \frac{\partial n}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}\left(-D_a \frac{\partial n}{\partial x}\right) = 0

   On en déduit l'équation de diffusion ambipolaire :

   \boxed{\frac{\partial n}{\partial t} = D_a \frac{\partial^2 n}{\partial x^2}}

   Résultat

   $$\frac{\partial n}{\partial t}=D_a\frac{{\partial }^{2}n}{\partial x^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10E3A Physique-Chimie PC 2024, Q3-Q14

    Considérons le volume fixe \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x compris entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x.

    Le nombre total d'impuretés contenues dans ce volume à l'instant t s'écrit :

    N(t) = c(x, t)\,S\,\mathrm{d}x

    Pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t, la variation du nombre d'impuretés dans ce volume s'exprime par :

    \mathrm{d}N = N(t + \mathrm{d}t) - N(t) = \frac{\partial c}{\partial t}(x, t)\,\mathrm{d}t\,S\,\mathrm{d}x

    La diffusion étant unidirectionnelle suivant l'axe (Ox), le vecteur densité de courant de particules s'écrit \vec{\jmath}_d(x, t) = j_d(x, t)\,\vec{e}_x. Le nombre d'impuretés traversant une section normale orientée selon \vec{e}_x par unité de temps est le flux \Phi = j_d(x, t)\,S.

    Pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t :

    • le nombre d'impuretés entrant par la face en x est \delta N_{\text{entré}} = j_d(x, t)\,S\,\mathrm{d}t ;
    • le nombre d'impuretés sortant par la face en x + \mathrm{d}x est \delta N_{\text{sorti}} = j_d(x + \mathrm{d}x, t)\,S\,\mathrm{d}t.

    En l'absence de création ou de disparition d'impuretés au sein du réseau cristallin (pas de réaction chimique ni de recombinaison), la conservation de la matière impose :

    \begin{aligned} \mathrm{d}N &= \delta N_{\text{entré}} - \delta N_{\text{sorti}} \\ \frac{\partial c}{\partial t}(x, t)\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t &= \left[ j_d(x, t) - j_d(x + \mathrm{d}x, t) \right] S\,\mathrm{d}t \\ \frac{\partial c}{\partial t}(x, t)\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t &= -\frac{\partial j_d}{\partial x}(x, t)\,\mathrm{d}x\,S\,\mathrm{d}t \end{aligned}

    En simplifiant par le volume élémentaire S\,\mathrm{d}x et par \mathrm{d}t, on obtient l'équation locale de conservation de la matière :

    \boxed{\frac{\partial c}{\partial t} + \frac{\partial j_d}{\partial x} = 0}

    Résultat

    $$\frac{\partial c}{\partial t}+\frac{\partial j_d}{\partial x}=0$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question