Corrigé détaillé Centrale Physique 2 PC 2025

Le maintien d'un volume constant d'hélium liquide en régime permanent implique que le débit massique de liquide injecté compense exactement le débit massique d'hélium vaporisé, soit un débit de vaporisation D_m = 2 \times 10^{-4}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}.

La vaporisation a lieu à pression et température constantes (P = 31\text{ kPa}, T = 2{,}0\text{ K}). Le premier principe de la thermodynamique appliqué à l'hélium en écoulement stationnaire donne l'expression de la puissance thermique reçue par le fluide :

où \mathcal{P}_{\text{diss}} représente la puissance thermique transmise par les parois de la cellule au bain cryogénique.

Application numérique avec les données :

En ne conservant que les chiffres significatifs pertinents :

Considérons le système fermé constitué par la matière contenue dans l'élément de volume délimité par les plans x et x + \mathrm{d}x, de surface transverse S perpendiculaire à l'axe (Ox), de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x.

Le problème étant unidimensionnel selon l'axe (Ox), la température ne dépend que de x : T = T(x). Le vecteur densité de flux thermique s'écrit \vec{j} = j(x)\,\vec{e}_x.

En régime stationnaire et en l'absence de puissance volumique dissipée dans le matériau, le bilan thermique sur cet élément de volume pendant la durée \mathrm{d}t s'écrit :

où \Phi(x) est le flux thermique traversant la section S à l'abscisse x orientée selon \vec{e}_x :

Par développement de Taylor au premier ordre :

Le bilan d'énergie conduit à :

D'après la loi de Fourier, le transfert conductif vérifie :

En supposant la conductivité thermique \kappa uniforme dans le matériau, on obtient :

soit finalement :

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique au sein du matériau supraconducteur s'écrit :

Par identification avec l'expression donnée \vec{j} = j_0 \, \vec{e}_x, on a :

Comme j_0 et \kappa sont des constantes, l'intégration entre une abscisse x \in [0, \, e] et la face externe x = e donne :

Sachant que T(e) = T_s, on en déduit l'expression du profil de température dans la paroi :

La relation de transfert à l'interface en x = e s'écrit :

D'après le profil de température établi à la question Q3 :

En x = 0, la température de la paroi interne vaut :

En substituant T_s, on obtient :

Applications numériques : Les données communes sont :

• Cas 1 (\kappa = 2{,}0\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et h = 1{,}0 \times 10^2\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}) :

  \begin{aligned} T_1(0) &= 2{,}0 + 30 \times \left(\frac{1}{1{,}0 \times 10^2} + \frac{2{,}8 \times 10^{-3}}{2{,}0}\right) \\ &= 2{,}0 + 30 \times (0{,}010 + 0{,}0014) = 2{,}0 + 0{,}342\text{ K} \end{aligned}
  \boxed{T_1(0) \approx 2{,}3\text{ K}}

• Cas 2 (\kappa = 28\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et h = 2{,}4 \times 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}) :

  \begin{aligned} T_2(0) &= 2{,}0 + 30 \times \left(\frac{1}{2{,}4 \times 10^3} + \frac{2{,}8 \times 10^{-3}}{28}\right) \\ &= 2{,}0 + 30 \times (4{,}17 \times 10^{-4} + 1{,}00 \times 10^{-4}) = 2{,}0 + 0{,}0155\text{ K} \end{aligned}
  \boxed{T_2(0) \approx 2{,}02\text{ K}}

Dans le vide régnant à l'intérieur de la cavité, la densité volumique de charge et le vecteur densité de courant sont nuls : \rho = 0 et \vec{\jmath} = \vec{0}. Les équations de Maxwell s'écrivent :

où c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} est la célérité de la lumière dans le vide.

En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant la relation vectorielle du formulaire :

car \mathrm{div}\,\vec{E} = 0.

D'autre part, en permutant les dérivées spatiales et temporelles et en injectant l'équation de Maxwell-Ampère :

On en déduit l'équation de d'Alembert pour le champ électrique vectoriel :

Le champ électrique est orienté selon l'axe de la cavité : \vec{E}(M,t) = E(r,t)\,\vec{e}_z. Comme le vecteur unitaire cartésien \vec{e}_z est uniforme et constant dans l'espace, le laplacien vectoriel appliqué à \vec{E} coïncide avec le laplacien scalaire appliqué à sa composante :

En projetant sur \vec{e}_z, on obtient l'équation scalaire recherchée :

D'après le résultat de la question Q5, le champ électrique vérifie dans le vide :

avec, pour un champ ne dépendant que de r et t :

Injectons la forme d'onde stationnaire proposée, E(r,t) = E_0\,\xi(t)\,\psi(r), où E_0 \neq 0 :

En reportant ces dérivées dans l'équation de propagation :

Pour des fonctions non identiquement nulles, divisons par E_0\,\xi(t)\,\psi(r) :

Le membre de gauche est une fonction exclusive de la variable spatiale r, tandis que le membre de droite est une fonction exclusive de la variable temporelle t. Ces deux variables étant indépendantes, cette égalité impose que chaque membre soit égal à une même constante.

En notant A la constante définie par \frac{1}{\xi(t)}\frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}t^2} = A, on obtient immédiatement l'équation différentielle temporelle :

Le membre de gauche s'écrit alors :

ce qui conduit à l'équation différentielle spatiale :

Signe de la constante A : Une onde stationnaire dans une cavité résonnante correspond à un régime entretenu où les grandeurs physiques oscillent périodiquement dans le temps et restent bornées :

• Si A > 0, l'équation temporelle admet pour solution générale \xi(t) = C_1\mathrm{e}^{\sqrt{A}t} + C_2\mathrm{e}^{-\sqrt{A}t}, qui diverge pour t \to +\infty (sauf condition initiale triviale), ce qui est physiquement inacceptable pour un mode propre résonnant.
• Si A = 0, la solution est affine \xi(t) = C_1 t + C_2, ce qui correspond à une divergence ou à un état statique, exclu pour une onde.
• Si A < 0, la solution est purement oscillatoire \xi(t) = C_1\cos(\omega t) + C_2\sin(\omega t) avec \omega = \sqrt{-A} > 0, décrivant un mode d'oscillation stable et borné à la pulsation \omega.

Par conséquent, la constante A est strictement négative.

Le champ électrique s'écrit sous la forme séparée :

La condition aux limites en r = R impose la présence d'un nœud pour le champ électrique pour tout instant t :

Le produit kR doit donc être une racine strictement positive de la fonction de Bessel J_0. Notons x_{0n} ces zéros classés par ordre strictement croissant :

Le vecteur d'onde k ne peut ainsi prendre que des valeurs discrètes k_n vérifiant :

Puisque dans le vide la relation de dispersion s'écrit k = \dfrac{\omega}{c}, les pulsations propres discrètes associées sont données par :

Les trois plus petites pulsations propres sont donc :

D'après l'expression de la plus petite pulsation propre obtenue à la question Q7 :

On en déduit l'expression du rayon intérieur de la cavité :

Avec les valeurs numériques de l'énoncé :

• c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• x_{01} = 2{,}405 (donné dans le formulaire) ;
• \omega_1 = 2\pi \times 1{,}3 \times 10^9\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}.

Le calcul numérique donne :

Dans le vide, l'équation de Maxwell-Faraday s'écrit :

Le champ électrique s'écrit \vec{E}(r,t) = E(r,t)\,\vec{e}_z. À l'aide de l'expression du rotationnel en coordonnées cylindriques fournie dans le formulaire :

Puisque le champ magnétique est de la forme \vec{B}(r,t) = B(r,t)\,\vec{e}_\theta, on a :

Pour la pulsation propre \omega_1, avec k_1 = \dfrac{\omega_1}{c}, le champ électrique s'écrit :

L'énoncé définissant la fonction J_1 comme la dérivée de J_0 (J_1(x) = \dfrac{\mathrm{d}J_0}{\mathrm{d}x}), la dérivée spatiale de E vaut :

On en déduit :

En intégrant par rapport au temps t :

La condition d'une valeur moyenne temporelle nulle impose C(r) = 0.

Le champ magnétique dans la cavité s'écrit donc :

D'après l'expression établie à la question Q9, le champ magnétique dans la cavité s'écrit :

avec k = \dfrac{\omega_1}{c}.

L'amplitude temporelle du champ magnétique à la distance r de l'axe est donc :

À la paroi interne, pour r = R, l'argument de la fonction de Bessel vaut :

d'après la condition aux limites étudiée aux questions Q7 et Q8.

Par lecture graphique sur la courbe représentative de J_1(x) (courbe en pointillés du formulaire) pour x = x_{01} \approx 2{,}4, on relève :

On en déduit l'amplitude du champ magnétique en r = R :

Pour que la paroi de la cavité reste dans l'état supraconducteur, le matériau doit vérifier simultanément à tout instant et en tout point :

D'après les applications numériques précédentes :

• La température maximale de la paroi (face interne en x = 0) calculée à la question Q4 vaut :

  T(0) \approx 2{,}02\text{ K} \quad (\text{matériau de bonne qualité}) \quad \text{à} \quad 2{,}3\text{ K} \quad (\text{mauvaise qualité})

  Cette température est très inférieure aux températures critiques T_c des trois matériaux proposés (7{,}1\text{ K}, 9{,}2\text{ K} et 93\text{ K}). Le critère thermique est donc vérifié pour chacun d'entre eux.

• L'amplitude du champ magnétique à la surface interne de la cavité (r = R) déterminée à la question Q10 vaut :

  B_{\text{amp}}(R) \approx 87\text{ mT}

Comparons cette valeur aux champs magnétiques critiques B_c du tableau 1 :

• YBaCuO : B_c = 10\text{ mT} < 87\text{ mT}, la supraconductivité est détruite par le champ magnétique ;
• Plomb (Pb) : B_c = 80\text{ mT} < 87\text{ mT}, le champ magnétique appliqué excède également le champ critique ;
• Niobium (Nb) : B_c = 200\text{ mT} > 87\text{ mT}, le matériau reste supraconducteur avec une marge de sécurité confortable (B_{\text{amp}} \approx 0{,}44\,B_c).

Considérons un électron de masse m_e et de charge q = -e. Le poids de l'électron a pour norme :

La force électrique subie par l'électron dans un champ de norme E a pour intensité :

Le rapport des deux forces s'écrit donc :

Avec les données numériques fournies :

• m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}\text{ kg} ;
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C} ;
• E \sim 10\text{ MV}\cdot\text{m}^{-1} = 1{,}0 \times 10^7\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}.

On obtient :

D'où le rapport :

Le poids est donc totalement négligeable devant la force électrique (d'un facteur d'environ 10^{17}).

Par définition du facteur de Lorentz :

En élevant au carré puis en inversant, on obtient :

En factorisant la différence de deux carrés, il vient :

soit encore :

Lorsque la vitesse v est très proche de c, on peut effectuer l'approximation au premier ordre :

On en déduit ainsi la relation demandée :

Le facteur de Lorentz s'écrit :

Lorsque v \ll c, le terme u = -\dfrac{v^2}{c^2} est petit devant 1. On effectue le développement limité au premier ordre selon la formule usuelle (1 + u)^\alpha = 1 + \alpha u + o(u) avec \alpha = -\frac{1}{2} :

Il vient ainsi pour l'écart (\gamma - 1) :

En reportant cette approximation dans l'expression relativiste de l'énergie cinétique E_c = (\gamma - 1)mc^2, on obtient :

soit finalement :

On retrouve bien l'expression newtonienne classique de l'énergie cinétique à la limite des faibles vitesses.

L'énergie cinétique relativiste s'écrit :

d'où l'expression du facteur de Lorentz :

Calculons au préalable l'énergie de masse de l'électron en électron-volts :

Pour E_c = 2 \times 10^{10}\text{ eV} = 20\text{ GeV}, comme E_c \gg m_e c^2, on a :

En conservant un seul chiffre significatif, conformément aux conventions des colonnes précédentes du tableau 2 :

D'après la relation établie à la question Q13, l'écart relatif à la vitesse de la lumière vaut :

En utilisant la valeur non arrondie de \gamma :

Soit, avec deux chiffres significatifs comme dans le tableau :

L'électron entre dans la cavité à l'instant t = 0 en z = -H/2 et en ressort à l'instant t = T_1/2 en z = H/2. La distance parcourue selon l'axe (Oz) est donc :

Pendant cette traversée, sa vitesse est supposée constante et égale à c le long de (Oz). La durée du parcours étant \Delta t = \frac{T_1}{2}, on a :

Or, la période temporelle T_1 du champ électrique est liée à la pulsation \omega_1 par T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1} (ou à la fréquence propre f_1 = 1{,}3\text{ GHz} par T_1 = \frac{1}{f_1}). On en déduit :

Avec c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f_1 = 1{,}3 \times 10^9\text{ s}^{-1} (\omega_1 = 2\pi \times 1{,}3 \times 10^9\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}) :

Le long de l'axe (Oz), le champ électrique est donné par :

L'électron possède une charge électrique q = -e. Il subit donc une force électrique orientée selon +\vec{e}_z :

Sa vitesse restant constante en norme et alignée selon l'axe (\vec{v} = c\,\vec{e}_z), le théorème de la puissance cinétique adapté à la relativité restreinte s'écrit :

L'électron traverse la cavité entre les instants t = 0 et t = \frac{T_1}{2} = \frac{\pi}{\omega_1}. La variation de son énergie cinétique vaut donc :

On obtient ainsi :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C}
• c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• E_0 = 50\text{ MV}\cdot\text{m}^{-1} = 5{,}0 \times 10^7\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}
• \omega_1 = 2\pi \times 1{,}3 \times 10^9\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

Exprimée en électron-volts (\Delta E_c / e) :

Le gain total d'énergie cinétique que doivent acquérir les électrons est :

D'après le résultat de la question Q17, chaque cavité fournit un surcroît d'énergie cinétique de :

Le nombre de cavités nécessaires s'écrit donc :

Application numérique :

soit environ :

En première approximation, si les cavités étaient jointives sans espaces interstitiels, la longueur totale de l'accélérateur serait :

Avec H \approx 11{,}5\text{ cm} = 0{,}115\text{ m} (d'après la question Q16) :

soit :