Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques dans le vide : 395 questions de concours corrigées

L'antenne du satellite Sentinel-1 émet des ondes électromagnétiques de fréquence f₀ = 5 GHz. Calculer la longueur d'onde λ correspondante. Préciser à quel domaine du spectre électromagnétique ce…

Établir l'équation régissant l'évolution temporelle de la vitesse d'un électron dans le barreau cylindrique conducteur. En régime permanent, montrer que la vitesse v d'un électron et le champ…

En déduire une expression de la conductivité du métal en régime permanent γ₀, en fonction de n, e, τ et m.

Exprimer alors la résistance électrique R_el du barreau métallique reliant les deux solides, S₁ et S₂, en fonction de γ₀ et des paramètres géométriques.

Dans le vide, établir l'équation de propagation puis la relation de dispersion pour le champ E_inc. En déduire la relation liant la longueur d'onde dans le vide λ₀ et la fréquence f de l'onde.

Montrer que E dans le vide vérifie l'équation suivante : Δ E - 1/c² (∂² E)/(∂ t²) = 0.

L'air étant assimilé au vide, démontrer l'équation de propagation à laquelle E_i obéit et en déduire la relation entre k_i, q_i et ω.

Rappeller et nommer les deux équations de Maxwell vérifiées par le champ B en magnétostatique, ainsi que les formes intégrales associées.

Rappeler les équations de Maxwell en régime stationnaire. Justifier l'existence du potentiel électrostatique V et établir la relation qui lie V à ho. Donner le nom de cette relation.

Identifier la direction de propagation éventuelle et la polarisation de l'onde.

Définir la zone de rayonnement et justifier le terme r/c apparaissant dans l'argument du cosinus.

Définir la zone de rayonnement et justifier le terme r/c apparaissant dans l'argument du cosinus.

Écrire les équations de Maxwell dans le vide, en précisant leurs noms.

Donner l'expression du vecteur de Poynting R en fonction des champs électrique et magnétique. Donner la signification physique de sa moyenne Rₘ(x) = (x,t). On ne demande pas de la calculer.

Écrire les équations de Maxwell dans le vide, en précisant leurs noms.

Donner l'expression du vecteur de Poynting R en fonction des champs électrique et magnétique. Donner la signification physique de sa moyenne Rₘ(x) = (x,t). On ne demande pas de la calculer.

Rappeler la relation entre les amplitudes E₀ et B₀ des champs électrique et magnétique.

Écrire les expressions des champs E(M, t) et B(M, t), ainsi que du vecteur de Poynting Π(M, t). On donnera les expressions en fonction, notamment, de E₀, ω, k, c et ε₀.

Rappeler l'équation locale de Maxwell-Gauss. Établir la forme intégrale associée (théorème de Gauss).

Interaction avec un laser. On éclaire l'atome à l'aide d'un faisceau laser que l'on décrit par un champ électrique de pulsation ω, de vecteur d'onde k et d'amplitude E₀ dépendant lentement de la…

On considère des atomes de rubidium interagissant avec un laser de longueur d'onde λ = 850 nm et d'intensité I = 60 kW/cm². Rappeler sans démonstration le lien entre I et E₀.

Rappeler l'expression du vecteur de Poynting, noté Π(M, t). Donner sa dimension et son unité courante.

Donner l'équation à laquelle obéit le champ électromagnétique entre les deux parois. En déduire une équation différentielle vérifiée par E₀(x). On note k = ω/c la norme du vecteur d'onde.

Sans prendre en compte les effets de la température, en négligeant les effets de bords et en régime permanent, montrer que la résistance de ce cylindre serait R_él = L/(σ S).

Montrer que la vitesse d'un électron est constante au bout d'un temps grand devant τ_d. En déduire une expression de la conductivité électrique en fonction de m, e, τ_d et de la densité volumique nₑ…

Rappeler et nommer les équations de Maxwell dans leur forme générale. Écrire ensuite ces mêmes équations dans un milieu vide de charges et de courants électriques.

Exprimer le champ magnétique B(M) associé en admettant que localement l'onde rayonnée a une structure d'onde plane se propageant dans la direction de OM.

Donner l'expression du vecteur de Poynting, en fonction des champs E(M) et B(M), et rappeler son interprétation physique.

Rappeler les équations de Maxwell. Que deviennent-elles dans le vide ?

On suppose que l'onde électromagnétique incidente, associée à un rayon issu de la source ponctuelle à l'infini dans la direction e_z, se propageant dans l'air d'indice unité est caractérisée par un…

Écrire les équations de Maxwell. On notera la densité volumique de courant et ρ la densité volumique de charge.

Montrer que le caractère transversal de l'onde implique ρ = 0.

Écrire les équations de Maxwell dans le conducteur dans l'hypothèse d'un milieu localement neutre et à courant de déplacement négligeable devant le courant de conduction.

Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ E. On rappelle que rot(rot E) = grad(div E) - Δ E, où Δ est l'opérateur laplacien vectoriel.

Écrire l'équation de Maxwell-Ampère reliant le champ magnétique, le vecteur densité de courant et le champ électrique.

Que devient l'équation de Maxwell-Ampère dans le cadre de l'hypothèse précédente ?

Citer les quatre équations de Maxwell vérifiées par les champs électrique E et magnétique B dans ce milieu.

Montrer que les champs électrique et magnétique de l'onde sont transverses à l'aide de la notation complexe.

Établir la relation entre k et ω, appelée relation de dispersion.

Obtenir l'expression du champ magnétique réel de l'onde en un point M à l'instant de date t, noté B(M, t).

On note T la période temporelle de l'onde plane progressive monochromatique. Montrer que les valeurs moyennes temporelles de Π et de w vérifient Π _T = c w _T e_z = (cε₀ E₀²)/2 e_z.

Justifier que, dans le cas d'une onde électromagnétique plane dans le vide de vecteur d'onde k, les plans équiphases (ou "fronts d'onde") sont des plans perpendiculaires à k.

Rappeler l'expression de la longueur d'onde λ d'une onde électromagnétique monochromatique plane de pulsation ω se propageant dans le vide à la vitesse c.

Cette question a pour but d'évaluer les ordres de grandeurs caractéristiques de l'optique et d'introduire le vocabulaire de l'opticien. 2-a) On souhaite construire un laser qui produit un…

En déduire une simplification de la formulation de l'équation de Maxwell-Ampère. Comment appelle-t-on cette approximation ?

Énoncer les équations de Maxwell. Que deviennent-elles dans une région vide de charges et de courants ?

En déduire l'équation de propagation vérifiée par le champ électrique (équation de d'Alembert).

Préciser la direction et le sens de propagation de cette onde ainsi que son état de polarisation. Établir la relation, dite relation de dispersion, entre k et ω.

Comment se simplifie l'équation de Maxwell-Ampère si ε₀ f ≪ σ ? Cette condition est-elle vérifiée dans le cadre du four à micro-ondes ?

Rappeler l'expression de la puissance volumique cédée par un champ électromagnétique à un conducteur ohmique.

Rappeler les équations de Maxwell dans le vide en précisant leur nom.

En régime harmonique et dans le vide, établir la relation existant entre k et ω.

Rappeler les équations de Maxwell du champ électromagnétique.

Justifier que, si l'on reste dans l'espace entre les armatures, la circulation du champ magnétique le long d'un contour orienté s'écrit : B · dℓ = 1/c² dΦ_E/dt, avec c et Φ_E à préciser.

Justifier par des considérations de symétries et d'invariances que le champ électrique E(M,t) est a priori de la forme : E(M,t) = E_r(r,z,t)u_r + E_z(r,z,t)u_z.

Calculer la longueur d'onde dans le vide, notée λ₀, associée à cette fréquence.

Rappeler les équations de Maxwell dans le vide, en l'absence de charge et courant.

Donner l'autre nom de cette équation. Citer précisément un exemple d'ondes autres qu'électromagnétiques suivant cette même équation de propagation.

Retrouver la relation de dispersion k = ω/c. Préciser l'expression de la célérité c de l'onde en fonction de ε₀ et de µ₀.

Cette onde est-elle progressive ? Justifier. Donner, le cas échéant, la direction et le sens de propagation de cette onde.

Écrire l'expression du vecteur k en fonction de la longueur d'onde λ et des vecteurs de la base.

Cette onde est-elle plane ? Justifier.

Déterminer l'expression du vecteur de Poynting π, après avoir rappelé sa signification et l'unité de sa norme.

Expliquer comment la présence des miroirs fixe les conditions aux limites que doit satisfaire le champ électromagnétique.

Montrer que les conditions limites aux centres des deux miroirs (points A et A') imposent à la fréquence de la lumière des valeurs discrètes ω_p/2π, où p est un entier. Donner l'expression de ω_p…

Rappeler la loi d'Ohm locale. Définir les grandeurs intervenant dans cette loi et donner leurs unités usuelles. Établir l'expression de la résistance électrique totale, notée R_w, du fil en fonction…

Montrer qu'en régime permanent la vitesse v des électrons est proportionnelle au champ électrique E. On définit ainsi la mobilité des électrons µₑ en posant v = µₑ E. On note nₑ la densité volumique…

Calculer la conductivité γ du conducteur en fonction de nₑ, e, τ et m.

Exprimer les champs magnétiques des trois ondes, en notation complexe, en précisant leurs amplitudes B_0i, B_0r et B₀ₜ en fonction de E_0i, E_0r, E₀ₜ, n_v, n_s, c et e_z (vecteur unitaire de l'axe…

Rappeler les équations de Maxwell dans le vide et établir l'équation de propagation du champ électrique dans le vide, en l'absence de charge et de courant.

Établir la relation de dispersion de l'onde de champ électrique complexe E(M, t) dans le vide. Le vide est-il un milieu dispersif ?

Déterminer, en notation complexe, le champ magnétique B(M, t) associé au champ électrique E(M, t).

Énoncer la loi d'Ohm locale reliant la densité volumique de courant , la conductivité γ et le champ électrique E.

Calculer la longueur d'onde associée à cette onde. À quel domaine du spectre électromagnétique appartient-elle ?

Rappeler les équations de Maxwell dans le vide et établir l'équation de propagation vérifiée par le vecteur champ électrique E.

On étudie la propagation d'une onde plane, progressive, monochromatique (OPPM) solution de l'équation de propagation précédente. Cette onde se propage suivant l'axe des z > 0 et est polarisée…

Déterminer alors le vecteur champ magnétique B associé.

En déduire le vecteur de Poynting Π correspondant.

Déterminer la valeur moyenne dans le temps de Π.

Préciser ce que signifie " très éloigné ".

En déduire quelle est l’énergie moyenne temporelle rayonnée par l’électron.

Écrire les expressions des champs électrique E et magnétique B, associés à une onde plane progressive harmonique de pulsation ω, se propageant dans le vide dans la direction des x croissants et dont…

Les ondes laser sont-elles longitudinales ou transversales ? Quel est l'état de polarisation de ces ondes ? Justifier brièvement.

Déterminer un ordre de grandeur de la longueur d'onde de cette fréquence associée au Canal 16 de la VHF.

Qualifier cette onde. Plusieurs adjectifs sont attendus.

Quelle est la direction de propagation et quel est le sens de propagation de cette onde ?

Rappeler les équations de Maxwell dans le vide en l'absence de charges et de courant.

Quelle relation doit exister entre c, ε₀ et µ₀ pour que cette onde satisfasse cette équation de propagation ?

Exprimer la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting en fonction de c, E₀ et de ε₀.

Rappeler et nommer les équations de Maxwell.

Rappeler l'équation locale de Maxwell-Faraday. On donne le théorème de Stokes : _L E · dℓ = _S rotE · dS où S désigne une surface s'appuyant sur le contour fermé L. Obtenir une formulation globale…

Rappeler les équations de Maxwell dans le vide (donc dans le milieu S).

Rappeler l'équation locale de Maxwell-Gauss dans une zone de l'espace où il existe une distribution volumique de charges ρ. Déduire de cette équation le théorème de Gauss.

Exprimer E en fonction de ε₀, c et E₀.

Expliquer pourquoi, compte tenu des hypothèses retenues, la composante magnétique de la force exercée par l'onde électromagnétique sur les électrons n'apparaît pas dans l'équation du mouvement…

Justifier que l'onde électromagnétique considérée peut être qualifiée de plane, progressive, transverse et que son état de polarisation est rectiligne.

Rappeler l'expression des équations de Maxwell dans le milieu considéré, en faisant intervenir nₑ₁(M, t), ₁(M, t), E₁(M, t) et B₁(M, t).

Montrer que les caractéristiques de l'onde électromagnétique imposent nₑ₁(M, t) = 0.

Donner, sans démonstration, l'expression, sous forme intégrale, des quatre équations de Maxwell écrites ci-dessus dans une formulation locale.

Le rayonnement est-il isotrope ? Si non, dans quel plan est-il maximal ?

En utilisant la réponse à Q34, justifier la couleur bleue du ciel, vue par le photographe.

Définir l'ARQS magnétique. Que deviennent les équations de Maxwell dans cette approximation ?

Donner les expressions réelles des champs de vecteur électrique E et magnétique B puis exprimer Bₘ en fonction notamment de Eₘ. Représenter sur un même graphique, à une date t donnée, l'évolution…

Exprimer le vecteur de Poynting R(x, t) en fonction notamment de Eₘ. Calculer l'ordre de grandeur de Eₘ pour une onde électromagnétique véhiculant une intensité I₀ = 1 kW⁻².

Donner les expressions réelles des champs de vecteur électrique E et magnétique B puis exprimer Bₘ en fonction notamment de Eₘ. Représenter sur un même graphique, à une date t donnée, l'évolution…

Exprimer le vecteur de Poynting R(x, t) en fonction notamment de Eₘ. Calculer l'ordre de grandeur de Eₘ pour une onde électromagnétique véhiculant une intensité I₀ = 1 kW⁻².

Donner les expressions réelles des champs de vecteur électrique E et magnétique B puis exprimer Bₘ en fonction notamment de Eₘ. Représenter sur un même graphique, à une date t donnée, l'évolution…

Rappeler sans démonstration l’équation dont le champ électrique est solution dans le vide. En déduire la relation de dispersion liant k et ω en fonction de la célérité c de l’onde. Comment qualifier…

Établir l’expression du champ magnétique associé à cette onde incidente.

Déterminer l’expression de la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting associé à cette onde incidente.

Rappeler la formulation locale de la loi d'Ohm en faisant intervenir d'abord le champ électrique E puis le potentiel électrique V. Donner un ordre de grandeur de la conductivité électrique du cuivre…

Donner, en fonction de γ, j et des caractéristiques géométriques du conducteur, les expressions du courant électrique I traversant ce conducteur et de la différence de potentiel U aux bornes de ce…

En déduire en fonction de γ et des caractéristiques géométriques, la résistance électrique R_Ω de ce conducteur.

Rappeler les équations locales de Maxwell relatives au champ magnétique B. Comment se simplifient-elles dans l'ARQS ?

Dans le cadre de l'ARQS, indiquer comment on passe de l'équation locale concernée au théorème d'Ampère.

Le courant i(t) étant variable, il apparaît une force électromotrice (fem) e(t) aux bornes de la bobine réceptrice. Quel phénomène est ainsi mis en évidence ? Donner l'équation locale de Maxwell à…

Donner les différents qualificatifs qui caractérisent cette onde.

Calculer la fréquence de cette onde.

Retrouver l'équation de propagation vérifiée par le champ électrique.

Montrer que la puissance totale fournie à chaque instant à la distribution de charges par le champ électromagnétique s'écrit P=_D j(r) · E(r) d τ_r. Montrer que la contribution de la composante…

On considère un volume sphérique V_R fixe, de rayon R, délimité par la sphère Σ_R, de normales dirigées vers l'extérieur. Le volume V_R est défini de telle façon qu'il contienne le système D…

Montrer que la densité volumique de courant jₓ(r,t) vérifie l'équation suivante : Δ jₓ = µ₀ γ₀ (∂ jₓ)/(∂ t) On justifiera notamment pourquoi on peut négliger le courant de déplacement j_d = ε₀ (∂…

En admettant que la résultante des chocs d'un porteur de charge mobile avec le reste du milieu conducteur est équivalente à une force de freinage de la forme f = -m/τ v, étudier le mouvement d'un…

Montrer que le champ électrique E_r(t) reçu par l’antenne du satellite situé en x(t) = d₀ + v_kt a un pulsation ω'_c différente de ω_c que l’on exprimera en fonction de ω_c, v_k et c. Comment…

Écrire les équations de Maxwell dans le plasma sous forme complexe. Montrer que la relation de dispersion peut s'écrire : k² = (ω² - ω_p²)/c² (5)

Déterminer la moyenne du vecteur de Poynting de cette onde. Commenter.

En déduire la force électromagnétique surfacique moyennée temporellement et montrer qu'elle peut s'écrire de la façon suivante : = Pₘ eₓ où Pₘ est une grandeur, appelée pression de radiation, que…

Rappeler les deux équations locales vérifiées par le champ magnétique en régime stationnaire et montrer que le champ proposé vérifie ces équations. Donner la valeur de K'.

Montrer que l'onde a localement une structure d'onde plane. Qualifier la polarisation de l'onde. Vérifier l'homogénéité des champs.

Définir et exprimer le vecteur de Poynting associé à l'onde émise. Déterminer dans quelle direction la puissance surfacique émise est maximale et exprimer la norme de la valeur moyenne du vecteur de…

Rappeler les deux équations locales vérifiées par le champ magnétique en régime stationnaire et montrer que le champ proposé vérifie ces équations. Donner la valeur de K'.

Montrer que l'onde a localement une structure d'onde plane. Qualifier la polarisation de l'onde. Vérifier l'homogénéité des champs.

Définir et exprimer le vecteur de Poynting associé à l'onde émise. Déterminer dans quelle direction la puissance surfacique émise est maximale et exprimer la norme de la valeur moyenne du vecteur de…

En déduire l'équation d'onde vérifiée par le champ électrique E. Quel nom donne-t-on à cette équation ? En déduire la relation de dispersion pour une onde électromagnétique dont le champ électrique…

En déduire l'équation d'onde vérifiée par le champ électrique E. Quel nom donne-t-on à cette équation ? En déduire la relation de dispersion pour une onde électromagnétique dont le champ électrique…

On suppose le noyau infiniment lourd et placé en r = 0. Écrire la force totale s'exerçant sur l'électron dans l'hypothèse où r < R₀. Montrer que dans l'approximation non relativiste on peut négliger…

En précisant les conditions aux limites en x = 0 et x = L sur E₀ et en expliquant leur origine, déterminer l'expression de E₀(x). Montrer que les conditions aux limites conduisent à une…

Donner la condition permettant de négliger la composante magnétique de la force de LORENTZ devant la composante électrique. On suppose cette condition réalisée dans la suite de l'étude. Justifier…

Rappeler l'équation de Maxwell–Ampère ; on notera ε₀ la permittivité électronique du vide et µ₀ sa perméabilité magnétique. En déduire que les électrons et le champ électrique oscillent spontanément…

À l'aide du formulaire disponible en fin d'énoncé, établir l'équation aux dérivées partielles suivante vérifiée par le champ électrique E(M, t) en tout point M à l'intérieur de la cavité : Δ E(M, t)…

En déduire alors que la puissance rayonnée à grande distance dans tout l'espace a pour expression P = 1/6²/(ε₀ c³)a² où a est le module du vecteur accélération. On donne l'intégrale ∫₀π sin ³θ dθ =…

Établir l'équation de propagation du champ électrique dans le vide.

Montrer que des ondes planes de la forme E = E₀ exp (jω t - jkz) et B = B₀ exp (jω t - jkz) peuvent se propager dans le vide. En déduire l'expression du vecteur d'onde k = ke_z. Caractériser la…

Établir l'équation d'onde sur le champ électrique E : Δ E - 1/c² (∂² E)/(∂ t²) = µ₀ (∂ )/(∂ t) où c sera exprimée en fonction de ε₀ et de µ₀.

Obtenir l'équation de d'Alembert vérifiée par le champ électrique E. En déduire la relation entre c, ε₀ et µ₀.

Que vaut le champ magnétique total en z = 0⁻ (dans le vide au voisinage du conducteur) ? En déduire l'expression du vecteur densité de courant de surface j_s(t) sur la surface du conducteur, à la…

Établir l'équation aux dérivées partielles portant sur Eₓ(z, t) caractérisant la propagation de l'onde dans le plasma.

Pour les communications NFC-RFID, estimer numériquement le rapport entre la norme du vecteur densité de courant volumique et celle du vecteur densité de courant de déplacement _D = ε₀ (∂ E)/(∂ t)…

On suppose que la loi d'Ohm s'écrit sous la forme = γ₀ E, montrer que dans le conducteur la densité volumique de charge ρ(M, t) peut être considérée comme nulle au bout d'un temps τ' que l'on…

En supposant que les valeurs des fréquences utilisées permettent d'utiliser les versions simplifiées des équations de Maxwell identifiées dans les questions 8 et 10, établir l'équation suivante pour…

Établir l'équation de propagation vérifiée par le vecteur champ électrique dans le vide.

On admet que l'expression du vecteur de Poynting est la même que celle dans le vide avec des notations réelles. Déterminer la valeur moyenne dans le temps du vecteur de Poynting.

En effectuant un bilan de puissance moyenne sur un cylindre élémentaire d'axe de révolution (Ox) compris entre x et x + dx, montrer que la puissance volumique moyenne cédée par le laser au pigment…

Justifier l'existence d'un champ magnétique B et montrer que B(M,t) = B(r,z,t) e_θ.

À quelle condition portant sur |E₂| et |E₀| peut-on considérer que rot(E) ≃ 0 comme supposé à la Q17 ? On admet que cette condition est vérifiée si a ≪ c/f où c est la célérité des ondes…

Retrouver l'équation de propagation : - µ₀ε₀∂²E/(∂ t²) = 0.

À partir d'une équation de Maxwell, démontrer que k, E et B forment un trièdre droit direct.

Donner les quatre équations de Maxwell (ainsi que leur nom) pour l'eau de mer. En déduire l'équation locale de conservation de la charge électrique. À l'aide de cette dernière, montrer que l'eau de…

À partir des équations de Maxwell, établir une équation aux dérivées partielles dont E(M,t) est solution.

Représenter graphiquement ce champ de vecteurs. En quoi ce champ magnétique n'est-il pas compatible avec les équations de Maxwell écrites sous forme globale ? On justifiera la réponse par le calcul…

Calculer la valeur moyenne Π du vecteur de Poynting sur une période 2π/ω₀. En intégrant Π sur une sphère centrée sur l'atome, montrer que l'électron rayonne une puissance moyenne P = (q² z₀²…

Calculer F₂ dans le cas d'une onde plane de fréquence ω₀/2π. Montrer que la force est proportionnelle au vecteur d'onde k du champ. A quoi correspond cette force ? Montrer que l'on peut retrouver…

Rappeler l'équation locale de conservation de la charge et déduire que la densité volumique de charge vérifie (∂ ρ)/(∂ t)+ρ/τ=0 où on exprimera τ en fonction de la conductivité γ et de la…

Écrire l'équation de Maxwell-Ampère et identifier un terme de courant de déplacement et un terme de courant de conduction. Déterminer la valeur de la pulsation ω_c à partir de laquelle le courant de…

Justifier par des considérations de symétrie la direction du champ magnétique.

Calculer le flux de celui-ci à travers une sphère de centre O et de rayon r très grand.

a) Écrire l’équation du mouvement. b) En utilisant les notations complexes, déterminer la solution z(t) " forcée " de pulsation ω imposée par le champ extérieur. Écrire l’accélération γ(t) de…

Déterminer l'équation de propagation du champ électrique E.

Déterminer le champ magnétique B associé à cette onde en fonction, entre autres paramètres et variables, de E₀, k et de ω.

Exprimer, en fonction de E₀, µ₀ et de c, le vecteur de Poynting Π associé à cette onde. Quelle est sa signification physique ?

Donner l'expression de cette onde réfléchie en fonction des caractéristiques de l'onde incidente.

Donner l'expression du champ électrique total (superposition du champ électrique incident et du champ électrique réfléchi). On rappelle que cos (a-b) - cos (a+b) = 2sin a sin b.

A quelle condition sur k, les deux autres équations de Maxwell sont-elles satisfaites ?

Montrer que cette expression de J permet d'obtenir une équation de dispersion (ED) ; préciser en particulier l'expression de la grandeur ω_p.

Rappeler l'expression de l'énergie transportée par un photon puis exprimer le nombre de photons qui arrivent sur la paroi entre t et t+dt, en fonction de E, ν, S, dt et de la constante de Planck h…

Exprimer, notamment en fonction du rapport m/S, la luminosité maximale L_Edd permettant un équilibre entre force radiative et force gravitationnelle.

Écrire, dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires, la loi d'Ohm locale dans le conducteur ainsi que les quatre équations de Maxwell dans le conducteur. En déduire l'équation…

Établir l'équation aux dérivées partielles qui régit l'évolution spatiale et temporelle du champ électrique E₁(M, t) dans le métal. On fera apparaître la pulsation plasma définie par la relation ω_p…

Le vecteur densité de courant électrique dans le plasma s'écrit (x,t) = j(x,t)e_y. Expliciter, d'une part, l'équation aux dérivées partielles reliant E(x,t) et B(x,t) et, d'autre part, celle reliant…

Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par B(x,t).

On étudie le rayonnement de ce dipôle dans la zone de rayonnement, en se plaçant dans l'approximation dipolaire et dans le cadre d'une hypothèse non relativiste. Traduire ces approximations par…

a) Montrer que la puissance surfacique moyenne rayonnée en un point M de la zone de rayonnement peut se mettre sous la forme P = Kω⁴ (sin ²(θ))/r². b) Exprimer K en fonction de µ₀, c et p₀.

On admet que la relation de continuité du champ électrique sur (P') s'écrit, pour tout t ≥ 0 : E'_i(x=Vt, t) + E'_r(x=Vt, t) = 0. a) En déduire le rapport des fréquences f₂/f₁. b) Exprimer l'écart…

Effectuer un bilan unidimensionnel de puissance électromagnétique moyenne pour une tranche d'air limitée par les plans d'abscisse x et x+dx ; en déduire la relation liant l'intensité I(x+dx) de…

Exprimer le vecteur de Poynting R(x, t) en fonction notamment de Eₘ. Calculer l'ordre de grandeur de Eₘ pour une onde électromagnétique véhiculant une intensité I₀ = 1 kW⁻².

Déterminer le champ magnétique de l'onde (en assimilant le milieu au vide). Relier l'intensité de l'onde électromagnétique plane dans le vide (puissance électromagnétique moyenne transportée par…

Cette approche en mode sinusoïdal résonant relève-t-elle de l'ARQS ? Proposer un critère numérique permettant de confirmer votre réponse.

Déterminer le champ magnétique puis le vecteur de Poynting moyen.

Ecrire l'équation de Maxwell Ampère dans le conducteur. Montrer que le courant de conduction est très supérieur à l'autre terme (courant de déplacement).

Après avoir déterminé le champ B(M,t), donner l'expression de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting Π en fonction de µ₀, ω, k_r, k_i, |E₀| et de z.

En utilisant, au voisinage d'un point de l'axe (coordonnées (r, x₃) avec r ≪ R₁), l'équation de Maxwell de la question 37, démontrer que B_r(r, x₃) ≃ -r/2 dBₐₓₑ/dx₃.

Une distribution de courants d'extension spatiale finie peut-elle rayonner de l'énergie dans l'ARQS magnétique?

Nous avons fait tous les calculs dans l'approximation électrostatique. À quelle condition, portant sur la taille de la sphère, est-il légitime de négliger les phénomènes de propagation ?

Les valeurs de ω_p pour l'or et l'argent, qui sont les métaux les plus fréquemment utilisés, correspondent à des fréquences électromagnétiques dans l'ultraviolet proche. L'approximation…

On choisit une onde telle que le champ magnétique B soit dirigé suivant y en tout point. Que peut-on alors dire des directions du vecteur d'onde k et du champ électrique E, dans le vide et dans le…

On note Eₓ et E_z les amplitudes complexes de E suivant x et z, et on suppose k_z non nul. Exprimer E_z en fonction de Eₓ, kₓ et k_z, dans le vide et dans le métal.

En utilisant l'expression de la conductivité complexe obtenue à la question 17, en déduire la relation entre l'amplitude complexe de la densité surfacique de charge σ et l'amplitude complexe E_z2 de…

En utilisant le résultat de la question 22, montrer qu'on obtient la même expression du rapport k_z2/k_z1 si on suppose que B_y est continu en z = 0.

Par un raisonnement en ordres de grandeur, justifier que, dans un métal, les propriétés de conduction électrique sont essentiellement dues aux électrons.

Proposer une interprétation simple du paramètre ρ₀ au regard du modèle mathématique eq. (15). Discuter, sur la base d'arguments numériques, l'approximation consistant à considérer la résistivité…

Pour les cavités utilisées dans le laser à électrons libres européen ω₁ = 2π × 1,3· 10⁹ rad⁻¹. En déduire la valeur numérique de R.

Le rayonnement synchrotron est anisotrope et polarisé. Définir ces 2 mots.

On admet que la fréquence associée à Δ t constitue la fréquence supérieure fₘₐₓ du spectre émis. Calculer fₘₐₓ pour R = 57 m et γ = 5,0 · 10⁴. Citer le domaine du spectre électromagnétique auquel…

En déduire la composante maximale kₓ correspondante de la projection du vecteur d'onde selon x.

Le câble de freinage est en aluminium de section s = 10⁻⁶ m² et de longueur ℓ = 5 km. Calculer les valeurs de sa résistance électrique R₀ et de sa masse m₀ ; commenter ces valeurs.

Attribuer quatre qualificatifs à la solution proposée en les justifiant.

Exploiter l'équation II.1 pour établir la relation k = ω/c où c = 1/√(µ₀ ε₀).

On montre en électromagnétisme classique (c'est-à-dire à partir des équations de Maxwell) qu'une charge animée d'un mouvement périodique de fréquence f rayonne une onde électromagnétique de même…

a) Rappeler la loi d'Ohm locale dans un milieu ohmique (on l'écrira à l'aide du potentiel électrique V). À quelles grandeurs électriques sont analogues respectivement ψ et j_M ? Définir et exprimer…

Donner l'expression du champ électrique réel de l'onde en un point M à l'instant de date t, noté E(M, t). On fera notamment apparaître E₀, ω et k.

Exprimer le vecteur de Poynting de l'onde en un point M à l'instant de date t, noté Π(M, t).

Exprimer la densité volumique d'énergie électromagnétique en un point M à l'instant de date t, notée w(M, t), en fonction de E₀, ω, k, ε₀, t et de z.

Comment peut-on déduire de ce résultat que l'onde électromagnétique perd de l'énergie en interagissant avec la particule, autrement dit, qu'elle est partiellement absorbée ?

Justifier que l'on peut supposer que le milieu est électriquement neutre. Écrire dans ces conditions l'équation de Maxwell-Gauss dans un conducteur ohmique.

Exprimer l'altitude H de la sonde en fonction de la durée mise par l'onde pour effectuer cet aller-retour.

Mars s'éloigne de la Terre à la distance maximale d'environ 300 millions de km. Estimer la durée τ nécessaire à un signal radio pour parcourir cette distance. Conclure.

Quel est le type de polarisation ? Préciser son éventuelle direction.

Vérifier que le potentiel vecteur A_1,p(R, t) = -i/ω_p E_1,p u_p(R) e⁻iω_p t eₓ (26) permet de retrouver le champ du mode p associé à un photon en utilisant B_1,p(R, t) = rot A_1,p(R, t) et E_1,p(R…

On suppose que β(t) = β_p_0(t) varie lentement à l'échelle de 2π/ω. Donner l'expression de E(R, t) dans cette approximation.

Le champ électrique est un champ vectoriel transverse (c'est à dire que, lorsqu'il est décomposé en onde plane, le champ électrique est toujours orthogonal à sa direction de propagation). En déduire…

Justifier que l'on peut supposer que l'atome est au point R₀ = 0 sans perte de généralité. Dans ce cas, les équations couplées de la question 46 deviennent iαe⁻iω₀ t = -Σ_ℓ,ε V_ℓ,ε β_ℓ,ε e⁻iω_ℓ t…

Exprimer la pression strictive dans un tel cas.

Indiquer la signification de chacun des trois termes de cette équation.

Évaluer numériquement τ et en déduire que, pour des ondes de fréquence inférieure à f=1,00 MHz, on peut considérer que ρ=0.

Est-ce cohérent avec le seul maximal fixé par l'INERIS (institut national de l'environnement industriel et des risques) qui indique, pour l'amplitude du champ électrique, 61 V⁻¹ pour des fréquences…

Dans le cadre de cette approximation, on trouve 1/τ₀ = ω₀² τ = ω₀² Kₑ/mₑ. Que représente le temps τ₀ ?

Préciser le vecteur d'onde k de cette onde émise.

Rappeler l'expression de la relation de dispersion k(ω) pour des ondes électromagnétiques dans le vide, ici assimilées à des photons.

Expliquer pourquoi l'amplitude scalaire au point M au niveau de la surface photosensible de la photodiode s'écrit comme la somme des deux amplitudes scalaires : sₜₒₜ(t) = s₁(M photodiode,t) + s₂(M…

Exprimer la représentation complexe du champ électrique E de l'onde incidente d'amplitude E₀ ; on prendra l'origine des phases au point origine O.

Donner un ordre de grandeur des fréquences correspondant aux ondes radio.

La diffusion Rayleigh se produit lorsque la taille des molécules diffusantes est faible par rapport à la longueur d'onde de l'onde électromagnétique incidente. Montrer, par un calcul d'ordre de…

Dans le cas du véhicule de la figure 2, le radar émet un signal sinusoïdal de fréquence f₁ = 24,125 000 0 GHz et reçoit un signal écho de fréquence f₂ = 24,124 995 0 GHz. Donner la valeur du…

À quelle condition sur α, γ est-il réel ? On écrit alors γ = γ avec γ > 0. Donner l'expression générale de E(α,z). Dans quel cas, γ est-il imaginaire pur ? On pose alors γ = iδ avec δ > 0. Donner…

On suppose dans cette question que pour |α| ω/c, A(α) = 0. Le champ électrique E(x,z,t) s'écrit alors sous la forme intégrale suivante : E(x,z,t) = exp (-iω t) ∫_-ω/c⁺ω/c A(α) exp [i(α x + γ z)]…

Dans le cas où γ est réel, montrer que : A(α) = ∫_-∞⁺∞ E(x,z=0) e⁻iα x dx .

On considère que chaque atome est soumis à un champ électrique du type E = E₀ cos (ω t - kz) uₓ, créé par un laser. On néglige tout phénomène magnétique. À quelle condition peut-on remplacer…

Exprimer, en fonction de P₀, Sₐ, λ et de la distance R, la puissance par unité de surface p₀(R) traversant la portion de surface sphérique de rayon R du cône d'émission.

L'antenne émettrice sert également de récepteur du signal diffusé par la cible C. La normale à sa surface est supposée orientée selon la direction (SC). Exprimer, en fonction de P₀, Sₐ, σ, λ et R_C…

Application numérique : Estimer l'ordre de grandeur du rapport K = Pₑ/P₀ de la puissance reçue de l'écho à la puissance émise par l'antenne. Nous adopterons les valeurs suivantes : σ = 10³ m² et θ =…

En déduire que l'énergie magnétique totale stockée dans le système de courants pour t>T s'écrit: U_ms= (B²(r))/(2 µ₀) d τ_r où l'intégrale est prise sur tout l'espace.

Le laser délivre des impulsions d'énergie E_L = 1 mJ pendant une durée T_L = 40 fs. Déterminer l'ordre de grandeur littéral puis numérique de la puissance par unité de surface au foyer de la…

Déterminer l'ordre de grandeur littéral de l'amplitude maximale E₀ du champ électrique de l'onde électromagnétique, qu'on exprimera en fonction de P_L, c et de la perméabilité magnétique du vide µ₀.

Le flux énergétique surfacique que la Terre reçoit du Soleil au-dessus de l'atmosphère est celui d'une onde plane dont l'amplitude du champ électrique vaut 700 V⁻¹. En déduire, par un argument de…

Le chauffage est-il plus efficace si la direction de propagation du laser est parallèle ou perpendiculaire à l'axe du cylindre ?

On note B_y l'amplitude complexe du champ magnétique en projection sur l'axe y. Exprimer B_y en fonction de Eₓ, kₓ, k_z et ω, dans le vide et dans le métal.

En utilisant la relation de dispersion entre ω et k, éliminer kₓ dans l'expression obtenue, et exprimer B_y en fonction de Eₓ, k_z, et ω. On distinguera les cas du vide et du métal, et on fera…

Justifier qu'il apparaît en tout point de la surface du métal une densité surfacique de charges σ, reliée à la densité de courant en ce point par ∂σ/∂ t = j_z, où j_z représente la composante…

Retrouver l'expression de γ(ω) dans le cas d'une sollicitation du barreau métallique par un champ électrique sinusoïdal.

En exploitant les équations locales de l'électromagnétisme en notation complexe, montrer que la densité volumique de charge ρ(M, t) en un point M du conducteur vérifie l'équation suivante : (∂²…

Dans cette approximation, justifier que le vecteur densité volumique de courant j = jₓ(r,θ,x,t)eₓ ne dépend pas de la coordonnée x, définie par l'axe de révolution (Ox) du barreau cylindrique…

Déterminer la condition sur A permettant de garantir que la thermorésistance a une sensibilité maximale. Proposer un argument qualitatif permettant d'expliquer l'augmentation de ρ avec θ.

La thermistance utilisée est un cylindre de section s et de longueur ℓ. Rappeler la relation liant G, s, ℓ et la conductivité électrique γ_el du matériau. En déduire que cette dernière varie, dans…

Montrer que la fonction ξ vérifie l'équation différentielle suivante : (d² ξ)/dt² - Aξ = 0, et que la fonction ψ vérifie l'équation différentielle suivante : (d² ψ)/dr² + 1/r dψ/dr - A/c² ψ = 0, où…

Exprimer les trois plus petites pulsations ω₁, ω₂ et ω₃ que peut prendre le champ électrique dans cette cavité résonante en fonction de R, x₀₁, x₀₂, x₀₃ et c ; où x₀₁, x₀₂ et x₀₃ sont les trois…

Exprimer le champ magnétique dans la cavité pour la pulsation ω₁, en fonction de la fonction J₁, E₀, c, r, ω₁, t, où J₁ est la dérivée de la fonction J₀. On suppose que le champ magnétique a une…

On veut E₀ = 50 MV⁻¹ pour la pulsation ω₁. En déduire l'amplitude du champ magnétique en r = R. On pourra se servir de la courbe de la fonction J₁, disponible dans le formulaire, pour estimer la…

Déterminer la valeur numérique de H.

Par analogie, à partir de la question précédente, indiquer à quelles fréquences de résonance correspondent les trois modes propres du champ électrique présentés à la figure 7. On pourra raisonner…

Compléter cette figure en traçant l'évolution de la composante du champ électrique selon l'axe (Oz) en fonction de z sur les graphiques en dessous des cellules TESLA. Indiquer ensuite à l'aide d'un…

Rappeler l'équation locale de conservation de la charge en régime quelconque. En déduire, pour le régime stationnaire d'étude, une propriété vérifiée par le vecteur densité de courant électrique…

Que peut-on déduire de cet enregistrement ?

Le plasma est localement neutre avant le passage de l'onde. Expliquer quelle caractéristique de l'onde électromagnétique permet d'écrire que la densité volumique de charge ρ reste nulle même en…

Justifier que les composantes E_φ, B_r et B_θ sont nulles. Justifier ensuite que les composantes non nulles des champs émis ne dépendent pas de φ.

Exprimer l'accélération a de l'électron. Définir le moment dipolaire p₀ associé à la distribution de charges et donner son amplitude p₀ en fonction de e, ω et de a = |a|.

Donner la direction dans laquelle la puissance surfacique moyenne émise est maximale. Comparer alors qualitativement la valeur maximale de la norme de la moyenne du vecteur de Poynting dans le cas…

Justifier que les composantes E_φ, B_r et B_θ sont nulles. Justifier ensuite que les composantes non nulles des champs émis ne dépendent pas de φ.

Donner la direction dans laquelle la puissance surfacique moyenne émise est maximale. Comparer alors qualitativement la valeur maximale de la norme de la moyenne du vecteur de Poynting dans le cas…

Citer l'expression de l'équation locale de Maxwell Ampère. On se place dans l'ARQS magnétique. Simplifier alors l'équation de Maxwell Ampère. Justifier alors qu'une tranche de conducteur de surface…

Déterminer l'expression de la pression de radiation.

Justifier la relation entre la pression de radiation et la moyenne temporelle de la densité d'énergie électromagnétique de l'onde dans le vide proposée par Maxwell.

Donner la relation entre l'amplitude E₀ du champ électrique et l'énergie E_imp d'une impulsion en fonction de ε₀, c et τ.

Pour chacun des trois faisceaux, indiquer la direction et le sens de propagation ainsi que la polarisation de la lumière correspondants.

D'après le principe d'Huygens-Fresnel, pour une onde se propageant dans une direction donnée (ici vers les z croissants), la connaissance du champ électrique dans un plan normal à la direction de…

Exprimer gₑₘ(M, t) en fonction de Π(M, t). Donner la dimension de gₑₘ et ℓₑₘ, et vérifier que Gₑₘ et Lₑₘ sont respectivement homogènes à une quantité de mouvement et un moment cinétique.

Exprimer le champ électrique E_sol(M, t) produit à l'intérieur et à l'extérieur du solénoïde et pour chacune des phases temporelles : t < 0, t [0, τ[ et t ≥ τ. On justifiera les éventuelles…

Après avoir exprimé P(t) en fonction de l'énergie mécanique Eₘ(t) et de quantités constantes, établir l'équation différentielle vérifiée par Eₘ(t).

En notant v₀ la vitesse d'un électron juste après une collision à l'instant t₀, comment s'exprime sa vitesse v juste avant la collision suivante δ t plus tard ? En moyennant le résultat sur un très…

Montrer que le champ magnétique est nécessairement statique. On négligera ce champ dans toute la suite de cette partie III.A.

On étudie d'abord une partie du tube délimitée par un anneau (A) de centre A, de hauteur dz, disposé à l'ordonnée z, compris entre les rayons r_i et r_i + e (cf. figure 2) au sein du cuivre…

On considère une solution de l'équation II.1 sous la forme du champ électrique donné par l'équation II.2. Montrer que les relations de passage pour le champ électrique en x = 0 et x = L imposent E₀…

On tient compte à présent de la puissance électromagnétique rayonnée par l'électron. Par conservation de l'énergie totale du système, l'émission d'une énergie de rayonnement doit s'accompagner d'une…

En déduire que la rayon moyen R obéit à l'équation différentielle R² dR/dt = -4/3e⁴/(m² c³).

On cherche, maintenant, des solutions compatibles avec les conditions aux limites imposées par le câble. On suppose que les conducteurs sont parfaits. Justifier que le courant i(z, t) est surfacique.

Le mode TEM décrit-il une onde plane ? Montrer que la relation de structure s'écrit : B = (k ∧ E)/ω.

Calculer le vecteur de Poynting et la densité volumique d'énergie instantanée dans la partie a < r < b. En déduire la vitesse de propagation de l'énergie.

Calculer la puissance moyenne se propageant le long du câble.

On s'intéresse au champ électrique complexe, en un point infiniment éloigné, associé à un rayon diffracté, dans la direction θₙ, telle que sin θₙ = nλ/a avec n entier relatif. On admet que…

a) Que vaut en un point M infiniment éloigné dans la direction θₙ l'expression du vecteur de Poynting moyen Π_N(M, t) = Π_N(M) associé à l'onde résultante issue des N fentes ? On l'exprimera en…

Exprimer, pour le réseau de pas a, les composantes k_n,z et k_n,x du vecteur d'onde k des directions qui correspondent aux maxima d'intensité, en fonction de n, a et de λ.

a) Rappeler la loi d'Ohm locale dans un milieu ohmique (on l'écrira à l'aide du potentiel électrique V). À quelles grandeurs électriques sont analogues respectivement ψ et j_M ? Définir et exprimer…

Déterminer l'ordre de grandeur des longueurs que r₁, r₂ et z₀ ne doivent pas dépasser pour permettre de considérer que l'approximation des régimes quasi-stationnaires est justifiée. Commenter.

En vous aidant de l'expérience décrite ci-dessus et en expliquant la démarche suivie, évaluer la fréquence des micro-ondes. Commenter.

On note n_γ* la densité volumique de photons dans le faisceau (on se place dans le cadre d'un modèle simple où cette densité est uniforme). Exprimer n_γ* en fonction de E_γ, c et de I puis calculer…

On considère que la puissance du laser P = 1 PW = 1· 10¹⁵ W est répartie sur un faisceau de diamètre de 0,1 mm. Estimer le champ moyen E₀ de ce laser et en déduire la valeur de α requise pour…

Déterminer les expressions du champ magnétique incident B_i et du champ magnétique réfléchi B_r existants dans la cavité.

Déterminer l'expression du vecteur de Poynting Π de l'onde électromagnétique résultante ainsi que sa valeur moyenne au cours d'une période τ = 2π/ω. L'un des deux miroirs n'est pas parfaitement…

Donner une propriété fondamentale du champ magnétique et rappeler l'équation locale qui traduit cette propriété. En déduire une nouvelle expression pour (∂ F_z(R, z))/(∂ R) en fonction notamment de…

Comment est qualitativement modifiée la position d'équilibre du nuage de flyers par la pression de radiation ? Décrire qualitativement l'influence du coefficient de réflexion R sur le déplacement de…

Donner une interprétation physique de l'asymptote commune aux courbes paramétrées par R.

Établir l'expression du champ magnétique B(M, t) dans la cavité. On notera B₀ son amplitude maximale, que l'on exprimera en fonction de E₀.

Montrer que l'équation différentielle relative à la densité surfacique de charge d'air s'écrit : dσ_air/dt + σ_air/τ = 0, avec τ une constante de temps à exprimer en fonction des données de l'énoncé.

À partir de l'infographie du CNES (document 1), estimer le temps Δ t écoulé entre l'émission de l'onde par le radar de la sonde et sa réception après réflexion sur le sol martien, au moment de la…

Retrouver l'expression du champ magnétique B = -E₀/ccos (ω t - ky)u_z.

Justifier que la puissance reçue décroit en 1/d² dans l'expression (1).

Déterminer l'ordre de grandeur de la puissance P_r reçue par l'antenne terrestre. Commenter.

Montrer que les caractéristiques du faisceau laser utilisé par SuperCam permettent bien d'obtenir une irradiance suffisante pour créer un plasma.

En déduire, par des considérations énergétiques, que le mouvement de l'électron s'amortit au cours du temps. Calculer le temps caractéristique de l'amortissement de l'amplitude des oscillations.

Exprimer la puissance rayonnée par l'électron (équation (3) de la question 6) en régime stationnaire. D'où vient cette énergie ? Justifier que l'on parle de "lumière diffusée" par l'atome.

Calculer le rapport σ(ω) entre la puissance rayonnée et la puissance par unité de surface de l'onde incidente (ε₀ |E₀|² c/2). Le résultat a la dimension d'une surface. Quel est l'interprétation…

Montrer que dans le cas ω ≪ ω₀, σ(ω) peut s'écrire σ(ω) = 8π/3 rₑ² (ω/ω₀)⁴ (8) Calculer rₑ. Commenter l'ordre de grandeur.

En écrivant E₀(R) sous la forme E₀(R) = |E₀(R)|exp [iφ(R)], montrer que F_el + F_mag se décompose en deux composantes F₁ et F₂, où F₁ est proportionnelle au gradient de l'amplitude du champ…

Montrer que (∂² v)/(∂ x²) + (∂² v)/(∂ y²) + 2ik (∂ v)/(∂ z) = 0 (15)

En utilisant l'approximation paraxiale, montrer que le champ de fréquence ω_p/2π peut se mettre sous la forme E_p(R, t) ≈ E₊ u_p(R) e⁻iω_p t eₓ (22) avec u_p(R) = exp [-r²/w_0,p²] sin [k_p(z+D/2)]…

Montrer que B_p(R, t) = (E₊)/iω (∂ u_p(R))/(∂ z) e⁻iω_p t e_y (24) On pourra utiliser que |∂ u_p/∂ y| ≪ |∂ u_p/∂ z|.

Calculer l'énergie électromagnétique W_p pour le mode p en intégrant sur l'espace V₀ compris entre les plans z = -D/2 et z = D/2. On négligera la courbure des miroirs. Montrer que W_p = (ε₀ |E₊|²)/2…

On choisit les paramètres de la cavité de sorte que l'un de ses modes, noté p₀, ait une fréquence très proche de la fréquence de résonance de l'atome (ω_p_0 ≈ ω₀). Justifier qualitativement que l'on…

Montrer que τ(R₀) → ∞ lorsque l'atome s'approche de l'un des points (0, 0, ± D/2). Donner un argument physique pour justifier que le dipôle ne rayonne plus de champ lorsqu'il est proche d'un des…

On identifie les modes du champ par un indice ℓ qui définit le vecteur d'onde k_ℓ et un indice ε qui définit la polarisation (choisie linéaire) e_ℓ,ε de l'onde plane. Le champ électrique du mode ℓ,ε…

Montrer que, pour un ℓ donné Σ_ε V_ℓ,ε² = 1/4 1/(2ω₀ m ħ) q² E_ℓ² sin ²Θ_ℓ (59) où Θ_ℓ est l'angle entre k_ℓ et eₓ. En déduire que Γ = 1/8 Σ_ℓ q²/(mε₀ L³) sin ²Θ_ℓ ∫_-∞∞ ei⁽ω₀⁻ω_ℓ⁾t dt (60)

Est-ce cohérent avec le résultat de la question 7 ? Conclure quant à la pertinence de ce modèle pour décrire l'émission spontanée.