Corrigé détaillé X ENS Physique B PC 2025

Dans le modèle de Bohr, le proton est considéré comme fixe à l'origine en raison de sa masse très supérieure à celle de l'électron. L'électron, de masse m et de charge -e, décrit une orbite circulaire de rayon r à la vitesse scalaire constante v.

Il subit la force d'attraction coulombienne exercée par le noyau :

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe normal centripète \vec{u}_n = -\vec{u}_r donne :

D'après le postulat de Bohr, le moment cinétique orbital est quantifié selon L = mvr = n\hbar. Pour le niveau fondamental, n = 1, soit :

En combinant ces deux relations, on obtient la vitesse et le rayon (rayon de Bohr a_0) de l'électron :

La période de révolution de l'électron est donnée par T_e = \frac{2\pi r}{v}. On en déduit :

soit finalement :

Le domaine du spectre visible par l'œil humain s'étend approximativement de 400\text{ nm} (violet) à 750\text{ nm} (rouge extrême).

La longueur d'onde \lambda = 800\text{ nm} étant supérieure à la limite supérieure du domaine visible, ce rayonnement appartient au domaine du proche infrarouge (PIR).

La période T de l'onde émise par le laser dans le vide est reliée à sa longueur d'onde \lambda par la célérité de la lumière c :

Avec \lambda = 800\text{ nm} = 8{,}0 \times 10^{-7}\text{ m} et c = 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, on obtient :

En respectant la consigne d'un seul chiffre significatif :

L'harmonique de rang n (où n \in \mathbb{N}^*) possède une fréquence \nu_n = n\nu, donc une période :

La condition T_n < T_e s'écrit alors :

Numériquement, avec T \approx \frac{8}{3} \times 10^{-15}\text{ s} et T_e = 1{,}5 \times 10^{-16}\text{ s} = \frac{3}{2} \times 10^{-16}\text{ s} :

Le rang n étant un entier, le rang minimum recherché est :

D'après la formule (1) donnée dans l'énoncé, la longueur de Rayleigh s'écrit :

Avec w_0 = 4\text{ mm} = 4\times 10^{-3}\text{ m} et \lambda = 800\text{ nm} = 8\times 10^{-7}\text{ m} :

Sur une distance de l'ordre du mètre autour de z = 0, on a |z| \sim 1\text{ m} \ll z_R. La largeur du faisceau varie selon :

Pour |z| \le 1\text{ m}, l'écart relatif sur le rayon du faisceau vaut :

Cette variation est totalement négligeable (de l'ordre de 0{,}01\,\%) : le rayon du faisceau est rigoureusement quasi-constant et égal à w_0, ce qui justifie que le faisceau peut être assimilé à un cylindre de rayon w_0 sur une échelle de l'ordre du mètre.

Les conditions de l'approximation de Gauss imposent que les rayons lumineux soient paraxiaux, c'est-à-dire :

• proches de l'axe optique : la distance r d'un rayon à l'axe doit être très petite devant les dimensions caractéristiques du système optique, ici la distance focale f ;
• peu inclinés par rapport à l'axe optique : l'angle \theta formé par les rayons avec l'axe doit vérifier \theta \ll 1\text{ rad} (de sorte que \sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta).

Pour le faisceau incident, l'essentiel de la puissance lumineuse est confiné dans un cylindre de rayon w_0 = 4\text{ mm} autour de l'axe optique. On a donc :

Les rayons traversent donc la lentille à une distance de l'axe très faible devant la distance focale.

Par ailleurs :

• avant la lentille, le faisceau étant assimilé à un cylindre d'axe Oz, les rayons sont parallèles à l'axe (\theta \approx 0) ;

• après la lentille, les rayons convergent vers le foyer situé à une distance f = 1\text{ m}. L'angle maximal \theta_{\max} avec l'axe optique correspond aux rayons marginaux situés à r \approx w_0 :

  \theta_{\max} \approx \frac{w_0}{f} = 4\times 10^{-3}\text{ rad} \ll 1\text{ rad}

Les conditions de Gauss sont donc très largement satisfaites.

Le faisceau incident quasi-parallèle de waist w_0 est focalisé par la lentille convergente de distance focale f. Le waist du faisceau émergent est situé au voisinage immédiat du foyer image F' (z \approx f) car la longueur de Rayleigh incidente z_R \approx 60\text{ m} est très supérieure à f = 1\text{ m}.

D'après les relations données en (1), dans la zone de champ lointain (z \gg z'_R), le demi-angle de divergence du faisceau émergent s'écrit :

Par ailleurs, dans les conditions de Gauss (Q5), les rayons périphériques émergent de la lentille avec une inclinaison par rapport à l'axe optique donnée par :

En identifiant ces deux expressions, on obtient :

d'où l'expression du waist émergent :

Application numérique :

Avec un seul chiffre significatif :

Pendant la durée d'une impulsion T_L, la puissance moyenne délivrée par le laser s'écrit :

Au foyer de la lentille, le faisceau est concentré sur une section efficace d'aire de l'ordre de S \sim \pi {w'_0}^2. La puissance par unité de surface P_L (ou éclairement crête) s'exprime donc littéralement par :

Effectuons l'application numérique avec les valeurs données :

• \mathcal{E}_L = 1\text{ mJ} = 10^{-3}\text{ J} ;
• T_L = 40\text{ fs} = 4\times 10^{-14}\text{ s} ;
• w'_0 \approx 6\times 10^{-5}\text{ m}, d'où S \sim \pi {w'_0}^2 \approx \pi \times (6{,}4\times 10^{-5})^2 \approx 1\times 10^{-8}\text{ m}^2.

On obtient :

Dans le vide, une onde électromagnétique se propageant selon la direction z possède un champ électrique \vec{E} = E(t)\,\vec{u}_x et un champ magnétique \vec{B} = \frac{E(t)}{c}\,\vec{u}_y.

Le vecteur de Poynting instantané s'écrit :

Pour une onde sinusoïdale de pulsation \omega et d'amplitude maximale E_0, E(t) = E_0 \cos(\omega t + \phi), la puissance moyenne par unité de surface transportée par l'onde est donnée par la moyenne temporelle de la norme du vecteur de Poynting :

En identifiant cette puissance surfacique à P_L, on obtient l'ordre de grandeur de l'amplitude maximale du champ électrique :

D'après la question Q8, la puissance surfacique transportée par une onde électromagnétique plane est proportionnelle au carré de l'amplitude de son champ électrique :

où P_{\odot} désigne la constante solaire (flux surfacique solaire hors atmosphère), d'ordre de grandeur connu :

Le champ électrique associé donné par l'énoncé vaut E_{\odot} = 700\text{ V}\cdot\text{m}^{-1} \sim 7 \times 10^2\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}.

Avec la valeur obtenue à la question Q7, P_L \approx 2 \times 10^{18}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} :

On en déduit l'amplitude E_0 :

Avec un seul chiffre significatif :

L'ordre de grandeur de la taille caractéristique d'un atome (rayon atomique ou rayon de Bohr) est :

Par analyse dimensionnelle, un champ électrique est homogène à une tension par unité de longueur, soit [E] = \mathrm{V\cdot m^{-1}}. Sachant que l'énergie d'ionisation est de l'ordre de I_P \sim 10\text{ eV}, le potentiel électrostatique interne à l'échelle de l'électron périphérique vaut V_{\text{at}} \sim \frac{I_P}{e} \sim 10\text{ V}.

Le champ électrique intra-atomique E_{\text{at}} vu par cet électron s'estime donc par :

Numériquement, avec I_P / e \sim 10\text{ V} et a \sim 10^{-10}\text{ m}, on obtient :

D'après la question Q9, l'amplitude du champ électrique laser au foyer est E_0 \sim 3\times 10^{10}\text{ V}\cdot\text{m}^{-1} \sim 10^{11}\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}. Le champ électrique laser au foyer est donc du même ordre de grandeur que le champ de liaison coulombien :

L'électron de charge -e est soumis à deux forces électrostatiques conservatives le long de l'axe Ox :

• L'attraction coulombienne du noyau (de charge +e en O) :

  \vec{F}_{\text{coul}} = -\frac{q^2}{x|x|}\vec{e}_x = -\frac{\mathrm{d}E_{p,\text{coul}}}{\mathrm{d}x}\vec{e}_x \quad \implies \quad E_{p,\text{coul}}(x) = -\frac{q^2}{|x|}

  avec la convention E_{p,\text{coul}} \to 0 lorsque |x| \to +\infty.

• L'action du champ électrique uniforme \vec{E} = -E_0 \vec{e}_x du laser :

  \vec{F}_{\text{laser}} = -e\vec{E} = +eE_0 \vec{e}_x = -\frac{\mathrm{d}E_{p,\text{laser}}}{\mathrm{d}x}\vec{e}_x \quad \implies \quad E_{p,\text{laser}}(x) = -eE_0 x

  en choisissant la référence E_{p,\text{laser}}(0) = 0.

L'énergie potentielle totale de l'électron s'écrit donc :

Étudions la variation de E_p(x) :

• Pour x < 0 : E_p(x) = \dfrac{q^2}{x} - eE_0 x, d'où :

  \frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}x} = -\frac{q^2}{x^2} - eE_0 < 0

  La fonction est strictement décroissante de +\infty (en x \to -\infty) à -\infty (en x \to 0^-).

• Pour x > 0 : E_p(x) = -\dfrac{q^2}{x} - eE_0 x, d'où :

  \frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}x} = \frac{q^2}{x^2} - eE_0

  La dérivée s'annule en un point x_{\max} = \sqrt{\dfrac{q^2}{eE_0}} > 0. E_p(x) croît de -\infty (en x \to 0^+) jusqu'à un maximum local :

  E_p(x_{\max}) = -2\sqrt{eE_0 q^2}

  puis décroît vers -\infty lorsque x \to +\infty.

D'après l'étude menée à la question Q11, l'énergie potentielle de l'électron pour x > 0 présente un maximum local en x_{\max} = \sqrt{\frac{q^2}{eE_0}}, valant :

L'énergie cinétique de l'électron s'écrit E_c(x) = E_m - E_p(x) = -I_P - E_p(x).

• Tant que -I_P < E_{p,\max}, il existe une zone spatialement interdite au sens classique (E_c < 0) autour de x_{\max} : l'électron est piégé au voisinage du noyau dans un puits de potentiel.

• Dès lors que le sommet de la barrière s'abaisse en deçà de l'énergie mécanique de l'électron, c'est-à-dire :

  E_m \ge E_{p,\max} \iff -I_P \ge -2\sqrt{eE_0 q^2} \iff 2\sqrt{eE_0 q^2} \ge I_P

  la barrière de potentiel disparaît pour l'électron. L'énergie cinétique reste alors strictement positive pour tout x supérieur à l'unique point de rebroussement interne (x \ge x_{\text{reb}}) : l'électron peut s'échapper continûment vers x \to +\infty sans aucune restriction classique.

En élevant au carré (les deux membres étant strictement positifs), cette condition de libération classique s'écrit :

Le champ électrique critique de saturation s'exprime donc par :

Lorsque E_0 < E_{\text{sat}}, l'énergie mécanique de l'électron vérifie E_m = -I_P < E_{p,\max} : la particule fait face à une barrière de potentiel d'épaisseur finie qu'elle ne peut franchir classiquement.

L'effet quantique qui permet à l'électron de traverser cette barrière d'énergie potentielle et de s'échapper avec une probabilité non nulle est :

On étudie le mouvement de l'électron, assimilé à un point matériel de masse m et de charge -e, dans le référentiel galiléen lié au noyau situé en O.

L'électron est soumis à deux forces électrostatiques :

• la force due au champ du laser :

  \vec{F}_{\text{laser}}(t) = -e \vec{E}(t) = e E_0 \sin(\omega t) \, \vec{e}_x

• la force coulombienne attractive exercée par le noyau, toujours dirigée vers l'origine O :

  \vec{F}_{\text{noyau}} = -\frac{q^2}{x^2}\operatorname{sgn}(x) \, \vec{e}_x = \begin{cases} -\dfrac{q^2}{x^2} \, \vec{e}_x & \text{si } x > 0 \\[8pt] +\dfrac{q^2}{x^2} \, \vec{e}_x & \text{si } x < 0 \end{cases}

D'après le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe Ox :

On obtient donc les deux équations différentielles suivantes :

• Pour x(t) > 0 :

  \boxed{m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{q^2}{x^2} = e E_0 \sin(\omega t)}

• Pour x(t) < 0 :

  \boxed{m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} - \frac{q^2}{x^2} = e E_0 \sin(\omega t)}

D'après la question 14, l'équation différentielle régissant le mouvement de l'électron s'écrit de façon condensée :

où la force d'attraction coulombienne exercée par le noyau est une fonction impaire de la position x.

Soit x(t) la solution T-périodique du mouvement forcé (avec T = 2\pi/\omega). Évaluons l'équation du mouvement à l'instant t + \frac{T}{2} :

En multipliant l'ensemble de cette équation par -1, on obtient :

Considérons la fonction y(t) = -x\left(t + \frac{T}{2}\right). Ses dérivées temporelles vérifient \ddot{y}(t) = -\ddot{x}\left(t + \frac{T}{2}\right), et par imparité de la force coulombienne :

La fonction y(t) satisfait donc exactement la même équation différentielle que x(t) :

Étant de plus T-périodique, l'unicité de la réponse forcée périodique impose que y(t) = x(t), d'où :

La fonction x(t) étant T-périodique, elle admet un développement en série de Fourier sous forme complexe :

où \omega = \dfrac{2\pi}{T}. En appliquant la condition établie à la question 15, x\!\left(t + \dfrac{T}{2}\right) = -x(t), et sachant que \omega \dfrac{T}{2} = \pi, on a :

L'égalité x\!\left(t + \dfrac{T}{2}\right) = -x(t) impose donc, par unicité des coefficients de Fourier :

• Si n est pair (en incluant la valeur moyenne n = 0), 1 + (-1)^n = 2, ce qui impose c_n = 0.
• Si n est impair, 1 + (-1)^n = 0, le coefficient c_n peut être non nul.

D'après l'équation du mouvement établie à la question 14, en négligeant la force d'attraction coulombienne exercée par le noyau, le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron selon l'axe Ox s'écrit :

soit pour l'accélération :

Une première intégration par rapport au temps donne la vitesse :

où v_0 est une constante d'intégration homogène à une vitesse.

Une seconde intégration par rapport au temps fournit la position générale :

où x_0 est une seconde constante d'intégration homogène à une position.

La solution générale de l'équation du mouvement est donc :

D'après la question Q17, la vitesse générale d'un électron libre soumis au champ électrique \vec{E}(t) = -E_0\sin(\omega t)\,\vec{e}_x s'écrit :

Pour que le mouvement x(t) soit purement périodique (régime sinusoïdal forcé sans vitesse de dérive moyenne), la constante d'intégration doit être nulle :

La vitesse de l'électron se réduit alors à :

L'énergie cinétique instantanée s'en déduit :

L'énergie cinétique moyenne U_P est obtenue par moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega}. Sachant que \langle\cos^2(\omega t)\rangle = \frac{1}{2}, on obtient :

L'équation différentielle du mouvement de l'électron libre soumis uniquement au champ électrique du laser s'écrit :

avec les conditions initiales en t = t_i :

Une première intégration par rapport au temps donne :

La condition \dot{x}(t_i) = 0 fixe la constante d'intégration :

d'où la vitesse de l'électron pour t \ge t_i :

Une seconde intégration donne :

La condition x(t_i) = 0 impose C_2 = \frac{e E_0}{m\omega^2}\sin(\omega t_i), ce qui conduit finalement à :

D'après la question Q19, la position de l'électron s'écrit, en notant x_0 = \dfrac{e E_0}{m\omega^2} et u = \dfrac{t}{T} (soit \omega t = 2\pi u) :

Étudions les trois cas demandés :

• Pour t_i = 0 (u_i = 0) : \sin(0) = 0 et \cos(0) = 1, d'où :

  \frac{x(t)}{x_0} = 2\pi u - \sin(2\pi u)

  La vitesse \dot{x}(t) \propto 1 - \cos(2\pi u) \ge 0 est toujours positive ou nulle. Le mouvement est une dérive moyenne uniforme vers les x > 0 superposée à une oscillation. Pour u \in [0 \,;\, 1{,}5], la trajectoire part de l'origine avec une tangente horizontale et croît continûment sans jamais revenir en x = 0 (x/x_0 = 3\pi \approx 9{,}4 en u = 1{,}5).

• Pour t_i = T/4 (u_i = 0{,}25) : \sin(\pi/2) = 1 et \cos(\pi/2) = 0, d'où :

  \frac{x(t)}{x_0} = 1 - \sin(2\pi u)

  La vitesse de dérive moyenne est nulle : le mouvement est purement oscillatoire entre 0 et 2x_0. L'électron part de x=0 à u=0{,}25, atteint son maximum 2x_0 en u=0{,}75, puis revient tangentiellement à l'origine en u = 1{,}25 (t = 5T/4).

• Pour t_i = T/2 (u_i = 0{,}5) : \sin(\pi) = 0 et \cos(\pi) = -1, d'où :

  \frac{x(t)}{x_0} = -2\pi(u - 0{,}5) - \sin(2\pi u)

  La vitesse \dot{x}(t) \propto -1 - \cos(2\pi u) \le 0 est toujours négative ou nulle. L'électron dérive vers les x < 0 et ne revient jamais à l'origine (x/x_0 = -2\pi \approx -6{,}3 en u = 1{,}5).

D'après la question Q19, la position de l'électron libéré en x(t_i) = 0 à la date t_i sans vitesse initiale s'écrit, pour tout t \ge t_i :

Par définition, l'instant de retour t_r > t_i correspond au retour de l'électron à sa position initiale en x=0, soit x(t_r) = 0. Comme \frac{e E_0}{m\omega^2} \neq 0, cela conduit directement à :

ou, sous forme équivalente :

Lors de la recombinaison de l'électron avec l'ion parent en t = t_r, la conservation de l'énergie impose que l'énergie totale libérée par le système soit intégralement cédée au photon émis.

D'après l'énoncé, l'énergie du photon émis, notée E_{\text{ph}}, vaut :

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie d'un photon est reliée à la pulsation \Omega de l'onde électromagnétique associée par :

On en déduit l'expression de la pulsation de l'onde émise :

L'énergie cinétique de l'électron au moment de son retour en x=0 (t = t_r) s'écrit :

Elle est donc directement proportionnelle au carré de la pente (en valeur absolue) de la courbe x(t) à l'instant d'intersection avec l'axe des abscisses x=0.

• Énergie cinétique maximale : Au point de retour, la pente en valeur absolue est la plus grande pour la courbe en trait plein, correspondant à :

  \boxed{t_i = 0{,}30\,T}

  (le retour s'effectue vers t_r \approx 0{,}95\,T).

• Énergie cinétique minimale : La pente en valeur absolue est la plus faible pour la courbe en tirets, où la trajectoire s'aplatit au voisinage de son retour vers t_r \approx 1{,}22\,T, correspondant à :

  \boxed{t_i = 0{,}26\,T}

D'après le résultat de la question Q19, la vitesse de l'électron à l'instant de retour t_r au noyau s'écrit :

L'énergie cinétique de l'électron à cet instant est donc :

Or, d'après la question Q18, l'énergie pondéromotrice vaut U_P = \dfrac{(e E_0)^2}{4 m \omega^2}, d'où \dfrac{(e E_0)^2}{2 m \omega^2} = 2 U_P. On obtient ainsi :

D'après l'analyse de la figure 1 et la formule établie à la question 24 :

avec la condition de retour \sin(\omega t_r) - \sin(\omega t_i) = \omega(t_r - t_i)\cos(\omega t_i) (question 21) :

• Borne inférieure (E_c = 0) : pour un départ en t_i = 0{,}50\,T = T/2, l'électron subit une force qui le ramène immédiatement vers l'origine lors de la seconde demi-période, d'où un retour quasi-instantané t_r \to 0{,}50\,T avec une vitesse nulle, soit \dfrac{E_c}{U_P} = 0.

• Point t_i = 0{,}40\,T : la figure 1 montre que la courbe s'annule en t_r \approx 0{,}70\,T. Avec \omega t_i = 0{,}8\pi et \omega t_r = 1{,}4\pi, on obtient :

  \frac{E_c}{U_P} = 2\left[\cos(1{,}4\pi) - \cos(0{,}8\pi)\right]^2 \approx 0{,}5

• Point t_i = 0{,}35\,T : la figure 1 donne un retour en t_r \approx 0{,}80\,T. Avec \omega t_i = 0{,}7\pi et \omega t_r = 1{,}6\pi, on a :

  \frac{E_c}{U_P} = 2\left[\cos(1{,}6\pi) - \cos(0{,}7\pi)\right]^2 \approx 1{,}6

• Maximum (E_c \approx 3{,}17\,U_P) : pour t_i \approx 0{,}30\,T, le retour a lieu en t_r \approx 0{,}95\,T. On calcule :

  \frac{E_c}{U_P} = 2\left[\cos(1{,}9\pi) - \cos(0{,}6\pi)\right]^2 \approx 3{,}17

  ce qui correspond parfaitement au sommet de la figure 2.

• Point t_i = 0{,}26\,T : la figure 1 donne un retour plus tardif, en t_r \approx 1{,}15\,T, avec :

  \frac{E_c}{U_P} \approx 0{,}6
• Borne supérieure (E_c = 0) : lorsque t_i \to 0{,}25\,T = T/4, \cos(\omega t_i) = 0, l'équation de retour impose \sin(\omega t_r) = 1, d'où t_r \to 1{,}25\,T, avec \cos(\omega t_r) = 0 et donc \dfrac{E_c}{U_P} \to 0.

On reproduit ainsi l'allure de la courbe en y reportant les valeurs correspondantes de t_i :

1. Interprétation de l'allure du spectre (figure 3)

Le spectre d'intensité présente plusieurs caractéristiques remarquables :

• Pics discrets impairs : seuls les ordres harmoniques impairs (q = 3, 5, \dots, 31) sont présents, en accord avec l'invariance par demi-période démontrée à la question 16 (x(t+T/2) = -x(t)).

• Allure globale en trois régimes :

  • une décroissance initiale rapide aux tout premiers ordres (q \le 7), correspondant au régime d'optique non linéaire perturbative ;
  • un plateau d'ordres d'harmoniques (7 \lesssim q \lesssim 29) où l'intensité reste sensiblement du même ordre de grandeur ;
  • une coupure (cutoff) abrupte au-delà de q \approx 31, où l'intensité chute de plusieurs ordres de grandeur.

2. Vérification de la condition de la question 3

À la question 3, il a été établi que les harmoniques de période inférieure à la période atomique T_e devaient vérifier n \ge n_{\min} = 18.

Le plateau s'étend ici jusqu'à des ordres q \approx 31 > 18 : la condition T_n < T_e est donc parfaitement vérifiée pour une large plage d'harmoniques du plateau (19 \le q \le 31).

3. Expression du rang maximal n_{\max}

D'après la question 22, un photon émis lors de la recombinaison possède une énergie :

Pour une harmonique de rang n, la pulsation vaut \Omega = n\omega, de sorte que :

Le rang maximal n_{\max} correspond à l'énergie cinétique maximale de retour E_{c,\max}. D'après la figure 2 (question 25), le maximum vaut E_{c,\max} \approx 3{,}17\,U_P (ou \approx 3{,}2\,U_P). On en déduit :

L'onde lumineuse est une superposition d'harmoniques de pulsations q\omega. En représentation complexe, le champ scalaire associé s'écrit :

La puissance instantanée I(t) (intensité lumineuse) est proportionnelle au carré du module du champ complexe :

En développant le produit des deux sommes, à une constante multiplicative globale près (qu'on peut poser égale à 1) :

I(t) étant une grandeur réelle, on peut regrouper les termes deux à deux (ou prendre la partie réelle) :

ce qui peut également s'écrire sous la forme :

Dépendance vis-à-vis des phases :

• Mathématiquement, le calcul de |\underline{E}(t)|^2 = \underline{E}(t)\underline{E}^*(t) fait intervenir le produit d'un terme en \mathrm{e}^{i\varphi_q} par un terme en \mathrm{e}^{-i\varphi_{q'}}, de sorte que les phases n'apparaissent que sous la forme du déphasage relatif \varphi_q - \varphi_{q'}.
• Physiquement, I(t) résulte de l'interférence entre les différentes composantes spectrales. L'interférence entre l'harmonique q et l'harmonique q' ne dépend que de leur déphasage relatif \varphi_q - \varphi_{q'}. Une translation globale de toutes les phases d'une même constante \phi_0 (\underline{E} \to \underline{E}\,\mathrm{e}^{i\phi_0}) laisse le module au carré |\underline{E}(t)|^2 invariant.

Toutes les amplitudes étant égales à A_q = A et toutes les phases étant identiques à \varphi_q = \varphi, le champ complexe s'écrit :

Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison \mathrm{e}^{i\omega t} \neq 1 (pour \omega t \not\equiv 0 \pmod{2\pi}) :

Le champ complexe s'exprime donc sous la forme :

La puissance instantanée I(t) \propto |\underline{E}(t)|^2 vaut alors :

où I_1 \propto A^2 est l'intensité due à une harmonique isolée.

1. Périodicité et espacement des pics : Lorsque t varie de T = \frac{2\pi}{\omega}, la quantité \frac{\omega t}{2} varie de \pi et \frac{N\omega t}{2} varie de N\pi. Par conséquent :

La fonction I(t) est donc strictement périodique de période :

Les maxima principaux ont lieu lorsque le dénominateur s'annule, c'est-à-dire pour \frac{\omega t}{2} = p\pi, soit :

À ces instants, par équivalent usuel \sin(u) \sim u, la valeur maximale vaut :

Les pics sont donc espacés de la période T du laser fondamental.

2. Demi-largeur des pics : Au voisinage du pic situé en t = 0, pour t \ll T :

Le premier zéro de part et d'autre du maximum correspond à une annulation du numérateur sans que le dénominateur ne s'annule :

La demi-largeur au premier zéro (distance temporelle séparant le centre du pic de son premier minimum) est donc :

Comme N \gg 1, on a \Delta t \ll T : les pics de puissance sont extrêmement étroits devant leur période de répétition T.

Puisque les amplitudes sont identiques (A_q = A) et que les phases \varphi_q forment une progression arithmétique, il existe une constante \varphi_0 et une raison \Delta\varphi (telle que \Delta\varphi = \varphi_{q+1} - \varphi_q) vérifiant :

L'expression de la phase associée à l'harmonique q devient alors :

Le champ électrique scalaire complexe s'écrit donc :

Ainsi, à un facteur de phase globale \mathrm{e}^{i\varphi_0} près (qui n'affecte pas l'intensité), le champ à l'instant t est identique au champ \underline{E}_0 sans déphasage relatif calculé à l'instant décalé t - t_0 :

La puissance instantanée I(t) \propto |\underline{E}(t)|^2 vaut par conséquent :

où I_0(t) est le profil temporel obtenu à la question Q28.

Les pics d'intensité, initialement situés aux instants t_p = p\,T (p \in \mathbb{Z}), sont tous décalés de la même quantité temporelle :

La forme globale du train d'impulsions (forme et largeur des pics) est rigoureusement conservée, seule leur position temporelle est translatée.

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie d'un photon associé à une onde de pulsation \omega_q et de fréquence \nu_q est donnée par :

Pour l'harmonique de rang q, la fréquence est un multiple entier de celle du laser incident, soit \nu_q = q\nu et \omega_q = q\omega. On en déduit l'expression de l'énergie du photon :

À l'aide des formules d'Euler, exprimons les amplitudes réelles sous forme de combinaisons d'exponentielles complexes :

Développons le produit A_p(t) A_s(t). Les pulsations temporelles résultantes sont de la forme (\pm q \pm 1)\omega et (\pm (q+2) \pm 1)\omega.

Parmi ces termes, ceux qui oscillent à la pulsation positive (q+1)\omega, soit en \mathrm{e}^{i(q+1)\omega t}, proviennent exclusivement de deux contributions :

• le produit de \mathrm{e}^{i(q\omega t + \varphi_q)} et de \mathrm{e}^{i(\omega t + \omega\tau)} :

  \frac{1}{4} \mathrm{e}^{i(\varphi_q + \omega\tau)} \mathrm{e}^{i(q+1)\omega t}

• le produit de \mathrm{e}^{i((q+2)\omega t + \varphi_{q+2})} et de \mathrm{e}^{-i(\omega t + \omega\tau)} :

  \frac{1}{4} \mathrm{e}^{i(\varphi_{q+2} - \omega\tau)} \mathrm{e}^{i(q+1)\omega t}

En sommant ces deux termes, la composante proportionnelle à \mathrm{e}^{i(q+1)\omega t} dans le produit A_p(t)A_s(t) s'écrit :

D'après le résultat de la question Q31, l'amplitude complexe associée à l'éjection d'un électron d'énergie E_{q+1}-I_P s'écrit :

La probabilité de transition \mathcal{P}(\tau) est proportionnelle au module au carré de cette amplitude de probabilité :

En introduisant le déphasage \Delta\varphi_q = \varphi_{q+2} - \varphi_q et une constante de proportionnalité \mathcal{P}_0, on obtient :

Origine du terme « interférence de transitions à deux photons » :
L'état final de l'électron (d'énergie cinétique E_{q+1} - I_P) peut être atteint par deux voies quantiques distinctes et indistinguables mettant chacune en jeu deux photons :

• l'absorption d'un photon harmonique d'énergie E_q = q\hbar\omega suivie de l'absorption d'un photon sonde d'énergie \hbar\omega (E_q + \hbar\omega = E_{q+1}) ;
• l'absorption d'un photon harmonique d'énergie E_{q+2} = (q+2)\hbar\omega suivie de l'émission stimulée d'un photon sonde d'énergie \hbar\omega (E_{q+2} - \hbar\omega = E_{q+1}).

Comme ces deux processus mènent au même état quantique final sans que l'on puisse déterminer la voie empruntée, leurs amplitudes de probabilité s'additionnent de manière cohérente, donnant lieu à des interférences quantiques constructives ou destructives selon le retard \tau.

Intervalle entre deux maximums de probabilité :
La fonction \cos(2\omega\tau - \Delta\varphi_q) est périodique en retard \tau, de pulsation 2\omega. L'intervalle séparant deux maximums successifs est donc :

1. Commentaire de la figure 4 selon la parité de q :

• Pour q impair : ces signaux correspondent à l'ionisation directe par absorption d'un seul photon du faisceau d'harmoniques d'énergie E_q = q\hbar\omega (seules les harmoniques impaires sont produites, d'après les questions 16 et 26). Ce processus n'implique pas le faisceau sonde : le nombre de photoélectrons éjectés est donc indépendant du retard \tau, ce qui se traduit par des bandes horizontales d'intensité continue.
• Pour q pair : ces signaux (appelés « bandes latérales » ou sidebands) proviennent d'une transition à deux photons faisant intervenir le faisceau sonde (absorption d'un photon d'harmonique q-1 et absorption d'un photon sonde \omega, ou absorption d'un photon d'harmonique q+1 et émission stimulée d'un photon sonde \omega). Conformément aux questions 31 et 32, l'interférence entre ces deux chemins quantiques produit une probabilité d'ionisation oscillant sinusoïdalement avec le retard \tau : on observe ainsi une alternance périodique de zones sombres et claires.

2. Détermination de la période T du laser :

D'après la question 32, l'intervalle entre deux maxima successifs de probabilité pour une harmonique paire vaut :

Sur la figure 4, entre \tau = 0\text{ fs} et \tau = 10\text{ fs} (intervalle de 10\text{ fs}), on dénombre environ 7{,}5 périodes d'oscillation complètes, d'où :

On en déduit la période du laser fondamental :

Cette valeur expérimentale est en parfait accord avec le calcul théorique de la question 3 (T = \lambda/c \approx 2{,}7\text{ fs}).

D'après la question 32, la probabilité d'éjection d'un photoélectron pour une bande latérale d'ordre pair (située entre les harmoniques impaires q et q+2) varie selon :

Les maxima de signal (zones claires sur la figure 4) sont obtenus pour :

soit pour des retards :

Par conséquent, la différence de phase \Delta\varphi_q = \varphi_{q+2} - \varphi_q se traduit par un décalage temporel des oscillations :

• Si \varphi_{q+2} - \varphi_q est indépendant de q, les positions \tau_{\max} des maxima sont identiques pour tous les ordres pairs successifs.
• Sur la figure 4, cela se vérifie en observant que les maxima d'intensité (zones les plus claires pour les ordres q pairs : 18, 20, 22, 24) sont verticalement alignés à des valeurs de retard \tau identiques.

Lorsque la différence de phase \varphi_{q+2} - \varphi_q est indépendante de q, les phases des harmoniques sont en progression arithmétique. D'après le résultat de la question 29, cela induit uniquement un retard global sans affecter la durée de l'impulsion. L'impulsion est alors limitée par transformée de Fourier (harmoniques en phase au sommet de l'impulsion).

D'après la question 28, la durée (largeur à mi-hauteur ou demi-largeur) \Delta t d'un paquet d'ondes de largeur spectrale totale \Delta\omega est reliée à la période T = 2\pi/\omega du laser fondamental par la relation d'incertitude temps-fréquence :

où \Delta q = q_{\max} - q_{\min} représente la plage des ordres harmoniques contribuant de façon cohérente à l'impulsion.

Sur la figure 4, les bandes latérales et harmoniques clairement mesurées et synchronisées s'étendent de q \approx 17 à q \approx 25 (soit environ 5 harmoniques impaires), ce qui correspond à :

En utilisant la valeur de la période fondamentale obtenue à la question 3, T \approx 2{,}7\times 10^{-15}\text{ s}, on obtient pour la durée de l'impulsion :

On étudie le mouvement d'un électron, de masse m et de charge -e, dans un champ magnétique uniforme et stationnaire \vec{B} = B\,\vec{e}_z (avec B = \|\vec{B}\|), dans un référentiel galiléen de laboratoire.

La seule force agissant sur l'électron est la force magnétique de Lorentz :

Cette force ne travaille pas car \vec{F}\cdot\vec{v} = 0. Le théorème de la puissance cinétique assure donc que la norme de la vitesse est constante au cours du mouvement :

La projection du principe fondamental de la dynamique suivant l'axe de \vec{B} donne \frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} = 0, et comme v_z(0) = 0, la trajectoire est contenue dans le plan orthogonal à \vec{B}.

Dans la base de Frenet (\vec{\tau}, \vec{n}) associée à la trajectoire plane, l'accélération tangentielle est nulle (\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0), de sorte que l'accélération est purement normale :

où r est le rayon de courbure de la trajectoire. Le principe fondamental de la dynamique projeté sur la normale rentrante \vec{n} s'écrit :

Le rayon de courbure est donc constant, ce qui correspond à un mouvement circulaire uniforme de rayon :

Soit C le centre de la trajectoire circulaire de l'électron. Le moment cinétique de l'électron par rapport à ce centre s'écrit :

La trajectoire étant un cercle de rayon r, le vecteur position \vec{CM} et le vecteur vitesse \vec{v}_\perp sont constamment orthogonaux. La valeur absolue du moment cinétique est donc :

D'après la relation obtenue à la question 36, la vitesse s'exprime en fonction du rayon sous la forme :

En injectant cette relation dans l'expression de J, on obtient :

soit finalement :

Soit \vec{B} le champ magnétique supposé uniforme. Décomposons le vecteur vitesse initiale \vec{v} en ses composantes parallèle et perpendiculaire à \vec{B} :

L'angle entre \vec{v} et \vec{B} étant noté \theta, la norme de la composante orthogonale au champ s'écrit :

La force de Lorentz s'exprime par :

Elle est purement orthogonale à \vec{B} et ne dépend que de \vec{v}_\perp. Le mouvement dans le plan perpendiculaire au champ magnétique est donc identique à celui étudié à la question Q36 avec la vitesse v_\perp.

En remplaçant v_\perp par son expression dans le résultat de la question Q36, on obtient le rayon de la trajectoire circulaire projetée :

D'après la figure 5, les lignes de champ magnétique s'écartent les unes des autres en allant de gauche à droite : leur densité spatiale diminue.

D'après l'équation de conservation du flux magnétique (\mathrm{div}\,\vec{B} = 0), le flux à travers la section droite \mathcal{S} d'un tube de champ se conserve :

La section d'un tube de champ augmentant de gauche à droite, la norme B = \|\vec{B}\| du champ magnétique diminue en conséquence (B_f < B_i).

D'après les questions 37 et 38, le rayon cyclotronique s'écrit r = \frac{m v \sin\theta}{e B} et le moment cinétique vaut :

La seule force s'exerçant sur l'électron est la force de Lorentz magnétique \vec{F} = -e\,\vec{v}\wedge\vec{B}, qui est à chaque instant orthogonale à la vitesse \vec{v}. Sa puissance est donc identiquement nulle :

Le théorème de la puissance cinétique assure que l'énergie cinétique est conservée, si bien que la norme de la vitesse v reste constante tout au long de la trajectoire :

Puisque le moment cinétique J est conservé (J_i = J_f), on a :

En simplifiant par la quantité non nulle \frac{m^2 v^2}{e}, on obtient la relation cherchée :

(où les angles \theta_i, \theta_f \in [0, \pi/2] sont pris par convention par rapport au sens du champ).

Dans la zone de dérive de longueur L, le champ magnétique \vec{B}_f est quasiment uniforme et dirigé selon l'axe Oz. L'électron y effectue un mouvement hélicoïdal à vitesse scalaire constante v. Sa composante de vitesse longitudinale le long de l'axe Oz vaut :

Le temps de vol mis par l'électron pour parcourir la distance L le long de l'axe est donc :

L'expérimentateur, mesurant ce temps de parcours t sur la distance axiale L, évalue la vitesse de l'électron par la relation :

L'incertitude (ou erreur systématique par défaut) commise sur la vitesse est donc :

Puisque les angles \theta_f sont petits (\theta_f \ll 1), on effectue un développement limité à l'ordre 2 :

D'après la relation établie à la question Q40, \sin\theta_f = \sqrt{\dfrac{B_f}{B_i}}\sin\theta_i. On en déduit :

Les photoélectrons étant émis dans des directions aléatoires, la valeur de \sin\theta_i n'est pas connue a priori mais vérifie au plus \sin\theta_i \le 1. L'incertitude relative maximale sur la vitesse vaut ainsi :