Feuille d'entraînement : Signaux et propagation

Corrigés

1. Exercice 1Mines-Ponts Physique 2 PC 2023, Q27

   Dans le cadre de la théorie linéaire, les petites perturbations de la surface libre vérifient le principe de superposition. La vague résultante de la superposition des deux ondes \eta_1(x,t) et \eta_2(x,t) s'écrit :

   \eta(x,t) = \eta_1(x,t) + \eta_2(x,t) = A\cos(k_1 x - \omega_1 t) + A\cos(k_2 x - \omega_2 t)

   En utilisant l'identité trigonométrique \cos p + \cos q = 2 \cos\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos\left(\frac{p+q}{2}\right), il vient :

   \eta(x,t) = 2A \cos\left( \frac{k_1 - k_2}{2} x - \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t \right) \cos\left( \frac{k_1 + k_2}{2} x - \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t \right)

   Quitte à numéroter les ondes de sorte que k_1 \geqslant k_2 > 0 (la parité de la fonction cosinus assurant l'invariance par échange de 1 et 2), et sachant que la relation de dispersion \omega(k) = \sqrt{gk\tanh(kH)} est une fonction strictement croissante de k, on a également \omega_1 \geqslant \omega_2 > 0.

   Par identification avec la forme requise \eta(x,t) = 2A \cos(kx - \omega t)\cos(k'x - \omega' t) sous les conditions k < k' et \omega < \omega', on obtient :

   \begin{aligned} k &= \frac{|k_1 - k_2|}{2} & \text{et} \quad & k' = \frac{k_1 + k_2}{2} \\ \omega &= \frac{|\omega_1 - \omega_2|}{2} & \text{et} \quad & \omega' = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \end{aligned}

   Comme k_1, k_2 > 0 et \omega_1, \omega_2 > 0, les inégalités k < k' et \omega < \omega' sont strictement vérifiées dès lors que k_1 \neq k_2.

   \boxed{ k = \frac{|k_1 - k_2|}{2}, \quad k' = \frac{k_1 + k_2}{2}, \quad \omega = \frac{|\omega_1 - \omega_2|}{2}, \quad \omega' = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} }

   À un instant fixé (choisi arbitrairement à t=0), le profil spatial \eta(x,0) = 2A \cos(kx)\cos(k'x) correspond à un phénomène de battements spatiaux : une onde rapidement oscillante de porteuse spatiale de période \lambda' = \frac{2\pi}{k'} modulée par une enveloppe lente de période \lambda = \frac{2\pi}{k} (d'équations \pm 2A\cos(kx)).

   Résultat

   $$k=\frac{|k_1-k_2|}{2},k^{\prime }=\frac{k_1+k_2}{2},\omega =\frac{|{\omega }_1-{\omega }_2|}{2},{\omega }^{\prime }=\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Mines-Ponts Physique 2 PC 2021, Q12

   1. Schéma de la situation

   2. Expression de la période perçue T'

   Un premier front d'onde est émis par la source S à l'instant t_0 depuis la distance d_1 de D. Il se propage dans le vide à la vitesse c et atteint le détecteur D à la date :

   t'_1 = t_0 + \frac{d_1}{c}

   Le front d'onde suivant est émis à la date t_0 + T alors que la source se trouve à la distance d_2 de D. Il est reçu par le détecteur à la date :

   t'_2 = t_0 + T + \frac{d_2}{c}

   La période apparente T' mesurée par le détecteur est l'intervalle de temps séparant la réception de ces deux signaux successifs :

   T' = t'_2 - t'_1 = T + \frac{d_2 - d_1}{c}

   \boxed{T' = T + \frac{d_2 - d_1}{c}}

   3. Expression de la fréquence perçue f'

   Pendant la durée T, la source effectue le déplacement \vec{S(t_0)S(t_0+T)} = \vec{v}T. Le vecteur joignant la source au détecteur à t_0 + T s'écrit :

   \overrightarrow{S(t_0+T)D} = \overrightarrow{S(t_0)D} - \vec{v}T

   En prenant le carré de la norme :

   \begin{aligned} d_2^2 &= \|\overrightarrow{S(t_0)D} - \vec{v}T\|^2 = d_1^2 - 2\,T\,\overrightarrow{S(t_0)D}\cdot\vec{v} + v^2T^2 \\ &= d_1^2 - 2\,d_1\,vT\cos\theta + v^2T^2 \end{aligned}

   Sous l'hypothèse vT \ll d_1, on effectue un développement limité au premier ordre :

   d_2 = d_1 \left(1 - \frac{2vT\cos\theta}{d_1} + \frac{v^2T^2}{d_1^2}\right)^{1/2} \simeq d_1 \left(1 - \frac{vT\cos\theta}{d_1}\right) = d_1 - vT\cos\theta

   Il vient ainsi :

   d_2 - d_1 \simeq -vT\cos\theta

   En reportant dans l'expression de la période :

   T' \simeq T \left(1 - \frac{v}{c}\cos\theta\right)

   La fréquence émise étant f = \frac{1}{T} et la fréquence perçue f' = \frac{1}{T'}, on obtient :

   f' = \frac{f}{1 - \dfrac{v}{c}\cos\theta}

   L'approximation non relativiste v \ll c permet un développement limité au premier ordre :

   \boxed{f' \simeq f\left(1 + \frac{v}{c}\cos\theta\right)}

   4. Nom du phénomène

   Ce décalage de fréquence d'une onde dû au mouvement relatif de la source et du récepteur s'appelle l'effet Doppler (ou effet Doppler-Fizeau pour les ondes lumineuses).

   Résultat

   $$T^{\prime }=T+\frac{d_2-d_1}{c}$$

   $$f^{\prime }\simeq f\left(1+\frac{v}{c}\cos \theta \right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 1 PC 2020, Q9

   Les ondes de pulsation \omega = 2\pi \nu issues des marches consécutives S_n et S_{n+1} se superposent constructivement en S si et seulement si leur différence de phase \Delta\phi'_n est un multiple entier de 2\pi :

   \Delta\phi'_n = 2m\pi \quad \text{avec } m \in \mathbb{N}^*

   En utilisant l'expression du déphasage obtenue à la question Q8 :

   \Delta\phi'_n = \frac{2\omega}{c_s}(d_{n+1} - d_n) = \frac{4\pi \nu}{c_s}(d_{n+1} - d_n)

   On en déduit l'ensemble des fréquences discrètes audibles :

   \frac{4\pi \nu_m}{c_s}(d_{n+1} - d_n) = 2m\pi

   soit :

   \boxed{\nu_m = m \, \frac{c_s}{2(d_{n+1} - d_n)} \quad (m \in \mathbb{N}^*)}

   Résultat

   $${\nu }_m=m\frac{c_s}{2(d_{n+1}-d_n)}(m\in {\mathbb{N}}^{\ast })$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Polytechnique Physique A PC 2020, Q1

   Le phénomène décrit aux lignes 19 à 21 est l'effet Doppler (ou effet Doppler-Fizeau pour les ondes lumineuses).

   Considérons une onde lumineuse de pulsation \omega_0 (fréquence f_0) émise par une source fixe dans le référentiel du laboratoire, se propageant selon le vecteur unitaire \vec{u}. Un atome se déplaçant à la vitesse \vec{v} dans le laboratoire (avec \|\vec{v}\| \ll c) perçoit une onde de fréquence f donnée, au premier ordre en v/c, par :

   \boxed{f = f_0 \left(1 - \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{c}\right)}

   En notant v_r = \vec{v}\cdot\vec{u} la composante de la vitesse de l'atome le long de l'axe de propagation du faisceau :

   • si l'atome se rapproche de la source (v_r < 0), la fréquence perçue augmente : f = f_0\left(1 + \frac{|v_r|}{c}\right) (décalage vers le bleu) ;
   • si l'atome s'éloigne de la source (v_r > 0), la fréquence perçue diminue : f = f_0\left(1 - \frac{v_r}{c}\right) (décalage vers le rouge).

   Résultat

   $$f=f_0\left(1-\frac{\vec{v}\cdot \vec{u}}{c}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Modelisation PC 2026, Q10

   Dans le vide, la longueur d'onde \lambda_0 d'une onde électromagnétique se propageant à la célérité c est reliée à sa fréquence f_0 par la relation :

   \lambda_0 = \frac{c}{f_0}

   Par définition du nombre d'onde \sigma_0 = \dfrac{1}{\lambda_0}, on obtient :

   \boxed{\sigma_0 = \frac{f_0}{c}}

   En utilisant l'expression de la fréquence propre de vibration f_0 établie à la question Q9 :

   f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{\mu}}

   on en déduit l'expression du nombre d'onde d'absorption (loi de Hooke) :

   \boxed{\sigma_0 = \frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{k}{\mu}}}

   Résultat

   $${\sigma }_0=\frac{f_0}{c}$$

   $${\sigma }_0=\frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{k}{\mu }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Modelisation PC 2026, Q13

   D'après la question Q10, le nombre d'onde d'absorption associé à une liaison de raideur équivalente k_{\text{eq}} et de masse réduite \mu s'écrit :

   \sigma_0 = \frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{k_{\text{eq}}}{\mu}}

   a) Cas d'une liaison double :

   D'après la question Q11, deux ressorts identiques en parallèle présentent une raideur équivalente k_{\text{eq}} = 2k. En substituant cette raideur dans la loi de Hooke, on obtient :

   \boxed{\sigma_{0,\text{double}} = \frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{2k}{\mu}}}

   b) Cas d'une liaison triple :

   D'après la question Q12, trois ressorts identiques en parallèle présentent une raideur équivalente k_{\text{eq}} = 3k. Le nombre d'onde d'absorption s'écrit donc :

   \boxed{\sigma_{0,\text{triple}} = \frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{3k}{\mu}}}

   Conclusion :

   Pour des atomes donnés (donc à masse réduite \mu fixée), le nombre d'onde d'absorption augmente avec la multiplicité de la liaison :

   \sigma_{0,\text{simple}} < \sigma_{0,\text{double}} < \sigma_{0,\text{triple}}

   avec \sigma_{0,\text{double}} = \sqrt{2}\,\sigma_{0,\text{simple}} et \sigma_{0,\text{triple}} = \sqrt{3}\,\sigma_{0,\text{simple}}. Plus une liaison covalente possède un ordre de liaison élevé, plus elle est rigide (constante de force plus grande), ce qui déplace sa bande d'absorption vers les plus hauts nombres d'onde en spectroscopie infrarouge.

   Résultat

   $${\sigma }_{0,\text{double}}=\frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{2k}{\mu }}$$

   $${\sigma }_{0,\text{triple}}=\frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{3k}{\mu }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q1

   Le signal lumineux émis par \mathrm{E} à la date t_k = kT se propage dans le vide à la célérité constante c_0. Il est reçu en \mathrm{R}_k à la date t'_k après avoir parcouru la distance d_k, d'où :

   t'_k = t_k + \frac{d_k}{c_0}

   De même, le signal suivant, émis à la date t_{k+1} = (k+1)T = t_k + T, est reçu en \mathrm{R}_{k+1} à la date t'_{k+1} après avoir parcouru la distance d_{k+1} :

   t'_{k+1} = t_{k+1} + \frac{d_{k+1}}{c_0} = t_k + T + \frac{d_{k+1}}{c_0}

   Par différence membre à membre entre ces deux relations :

   t'_{k+1} - t'_k = T + \frac{d_{k+1} - d_k}{c_0}

   On en déduit l'expression de la distance d_{k+1} :

   \boxed{d_{k+1} = d_k + c_0 \left( t'_{k+1} - t'_k - T \right)}

   Par ailleurs, le récepteur \mathrm{R} est animé d'un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v dirigée selon l'axe d'éloignement. Entre les instants de réception t'_k et t'_{k+1}, son déplacement s'écrit :

   d_{k+1} - d_k = v \left( t'_{k+1} - t'_k \right)

   En identifiant les deux expressions de d_{k+1} - d_k, il vient :

   \begin{aligned} v \left( t'_{k+1} - t'_k \right) &= c_0 \left( t'_{k+1} - t'_k - T \right) \\ (c_0 - v)\left( t'_{k+1} - t'_k \right) &= c_0 T \end{aligned}

   D'où l'intervalle entre deux réceptions successives :

   t'_{k+1} - t'_k = \frac{T}{1 - \dfrac{v}{c_0}}

   Cette durée est indépendante de l'indice k. La réception est donc rigoureusement périodique de période T' donnée par :

   \boxed{T' = \frac{T}{1 - \dfrac{v}{c_0}}}

   Cet effet correspond à l'effet Doppler (ou effet Doppler-Fizeau pour les ondes lumineuses).

   Résultat

   $$d_{k+1}=d_k+c_0\left(t_{k+1}^{\prime }-t_k^{\prime }-T\right)$$

   $$T^{\prime }=\frac{T}{1-\frac{v}{c_0}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q3

   D'après la question Q1, la différence entre les instants de réception s'écrit :

   T' = t'_{k+1} - t'_k = T + \frac{d_{k+1} - d_k}{c_0}

   soit encore :

   d_{k+1} - d_k = c_0(T' - T)

   D'après le résultat de la question Q2, la distance d_{k+1} vaut :

   d_{k+1} = \sqrt{(d_k + v_x T')^2 + (v_y T')^2} = d_k \left[ \left(1 + \frac{v_x T'}{d_k}\right)^2 + \left(\frac{v_y T'}{d_k}\right)^2 \right]^{1/2}

   Le déplacement du récepteur pendant une durée T' est totalement négligeable devant la distance astronomique le séparant de l'émetteur (\|\vec{v}\| T' \ll d_k). On effectue un développement limité au premier ordre :

   \begin{aligned} d_{k+1} &= d_k \left[ 1 + \frac{2 v_x T'}{d_k} + \mathcal{O}\left(\left(\frac{v T'}{d_k}\right)^2\right) \right]^{1/2} \\ &= d_k \left[ 1 + \frac{v_x T'}{d_k} + \mathcal{O}\left(\left(\frac{v T'}{d_k}\right)^2\right) \right] \end{aligned}

   Il vient donc au premier ordre :

   d_{k+1} - d_k \simeq v_x T'

   En reportant cette expression dans la relation des temps de parcours :

   T' = T + \frac{v_x T'}{c_0} \iff T' \left(1 - \frac{v_x}{c_0}\right) = T

   On en déduit immédiatement :

   \boxed{T' = \frac{T}{1 - v_x/c_0}}

   Résultat

   $$T^{\prime }=\frac{T}{1-v_x/c_0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q6

   Dans le référentiel accompagnant Jupiter, la Terre décrit une trajectoire circulaire de rayon a_0 autour du Soleil, tandis que Jupiter est fixe sur l'axe (Ox) à la distance d_{\mathrm{JS}}. La distance séparant la Terre de Jupiter varie donc entre :

   d_{\min} = d_{\mathrm{JS}} - a_0 \quad \text{et} \quad d_{\max} = d_{\mathrm{JS}} + a_0

   L'écart maximal de distance parcourue par les signaux lumineux émis par Io est ainsi le diamètre de l'orbite terrestre :

   \Delta d = d_{\max} - d_{\min} = 2 a_0

   La variation temporelle totale \Delta\tau observée sur une année correspond au temps mis par la lumière pour traverser cette distance supplémentaire à la célérité c_0 :

   \Delta\tau = \frac{\Delta d}{c_0} = \frac{2 a_0}{c_0}

   Or, en négligeant en première approximation la vitesse orbitale de Jupiter devant celle de la Terre (T_{\mathrm{J}} \gg T_0), la vitesse orbitale v de la Terre s'écrit :

   v \simeq \frac{2\pi a_0}{T_0} \iff 2a_0 \simeq \frac{T_0 v}{\pi}

   On en déduit immédiatement la relation demandée :

   \boxed{\Delta\tau \simeq \frac{T_0 v}{\pi c_0}}

   On en déduit l'expression de la célérité de la lumière dans le vide :

   \boxed{c_0 \simeq \frac{T_0 v}{\pi \Delta\tau}}

   Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

   • T_0 = 365\text{ jours} = 365 \times 86\,400\text{ s} \simeq 3,154 \cdot 10^7\text{ s} ;
   • v \simeq 27\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 2,7 \cdot 10^4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
   • \Delta\tau = 22\text{ min} = 22 \times 60\text{ s} = 1\,320\text{ s}.

   c_0 \simeq \frac{3,154 \cdot 10^7 \times 2,7 \cdot 10^4}{\pi \times 1\,320} \simeq 2,1 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   Commentaire :

   • Historiquement, cette démarche menée par Ole Rømer en 1676 (puis exploitée quantitativement par Christian Huygens en 1678) constitue la toute première preuve que la lumière se propage à une vitesse finie et non instantanée.
   • La valeur obtenue (\simeq 2,1 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) est du bon ordre de grandeur, bien qu'inférieure d'environ 30\,\% à la valeur admise aujourd'hui (c_0 = 3,00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). Cet écart s'explique principalement par la surestimation de \Delta\tau (la traversée du diamètre 2a_0 par la lumière prend en réalité \approx 16,6\text{ min} \approx 1\,000\text{ s}) ainsi que par l'incertitude sur la valeur de l'unité astronomique a_0 à l'époque.

   Résultat

   $$\Delta \tau \simeq \frac{T_{0}v}{\pi c_0}$$

   $$c_0\simeq \frac{T_{0}v}{\pi \Delta \tau }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Polytechnique Physique A PC 2025, Q7

    D'après l'équation de d'Alembert unidimensionnelle établie à la question précédente :

    \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0

    la solution générale s'écrit sous la forme de deux ondes progressives :

    u(x,t) = f\left(t - \frac{x}{c_0}\right) + g\left(t + \frac{x}{c_0}\right)

    où f représente une onde se propageant vers les x croissants et g une onde se propageant vers les x décroissants.

    Pour respecter la causalité, la perturbation reçue en un point de l'espace doit provenir de la source située en x = 0 et s'en éloigner :

    • pour x > 0, l'onde doit se propager vers les x croissants, donc g = 0 ;
    • pour x < 0, l'onde doit se propager vers les x décroissants, donc f = 0.

    La source en x = 0 émet le signal temporel s(t). Par symétrie spatiale, l'amplitude émise de part et d'autre est identique, ce qui donne la solution causale u_0(x, t \ge 0) :

    \boxed{ u_0(x, t \ge 0) = \begin{cases} s\left(t - \dfrac{x}{c_0}\right) & \text{pour } x > 0 \\[8pt] s\left(t + \dfrac{x}{c_0}\right) & \text{pour } x < 0 \end{cases} }

    que l'on peut synthétiser sous la forme u_0(x, t \ge 0) = s\left(t - \dfrac{|x|}{c_0}\right).

    Interprétation des termes :

    • Pour x > 0 : le terme s\left(t - \dfrac{x}{c_0}\right) correspond à une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants à la vitesse c_0. La perturbation en (x,t) reproduit fidèlement celle émise par la source avec un retard temporel \tau = \dfrac{x}{c_0} > 0.
    • Pour x < 0 : le terme s\left(t + \dfrac{x}{c_0}\right) correspond à une onde progressive se propageant dans le sens des x décroissants à la vitesse c_0. La perturbation reproduit le signal de la source avec un retard \tau = \dfrac{|x|}{c_0} = -\dfrac{x}{c_0} > 0.

    Résultat

    $$u_0(x,t\ge 0)=\{\begin{array}{ll}s\left(t-\frac{x}{c_0}\right)& \text{pour }x>0\\ s\left(t+\frac{x}{c_0}\right)& \text{pour }x<0\end{array}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question