Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2020

Le phénomène décrit aux lignes 19 à 21 est l'effet Doppler (ou effet Doppler-Fizeau pour les ondes lumineuses).

Considérons une onde lumineuse de pulsation \omega_0 (fréquence f_0) émise par une source fixe dans le référentiel du laboratoire, se propageant selon le vecteur unitaire \vec{u}. Un atome se déplaçant à la vitesse \vec{v} dans le laboratoire (avec \|\vec{v}\| \ll c) perçoit une onde de fréquence f donnée, au premier ordre en v/c, par :

En notant v_r = \vec{v}\cdot\vec{u} la composante de la vitesse de l'atome le long de l'axe de propagation du faisceau :

• si l'atome se rapproche de la source (v_r < 0), la fréquence perçue augmente : f = f_0\left(1 + \frac{|v_r|}{c}\right) (décalage vers le bleu) ;
• si l'atome s'éloigne de la source (v_r > 0), la fréquence perçue diminue : f = f_0\left(1 - \frac{v_r}{c}\right) (décalage vers le rouge).

Soit un atome de sodium de masse m = \dfrac{M}{N_A} se déplaçant initialement selon l'axe longitudinal à la vitesse v_i \simeq 720\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et ralenti jusqu'à v_f \simeq 40\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. La variation algébrique de sa quantité de mouvement projetée sur l'axe du mouvement s'écrit :

Le faisceau laser se propageant en sens inverse des atomes, chaque photon incident possède une quantité de mouvement colinéaire et de sens opposé à la vitesse de l'atome, de norme :

Lors de chaque cycle d'interaction, l'atome absorbe un photon incident dirigé dans le sens opposé à son mouvement, ce qui diminue sa vitesse. L'émission spontanée qui suit s'effectuant de manière spatialement isotrope, la quantité de mouvement moyenne transférée par réémission spontanée est nulle sur un grand nombre de cycles.

Par conservation de la quantité de mouvement totale selon l'axe longitudinal, le nombre N de photons absorbés vérifie N\, p_{\text{photon}} = \Delta p_{\text{atome}}, soit :

Application numérique :

• M \simeq 20\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 2\times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• N_A \simeq 6\times 10^{23}\text{ mol}^{-1} ;
• v_i - v_f = 720 - 40 = 680\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \simeq 7\times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• \hbar \simeq 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}, d'où h = 2\pi\hbar \simeq 6\times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} ;
• La transition correspond à la lumière jaune du sodium, soit \lambda \simeq 6\times 10^{-7}\text{ m} (valeur également cohérente avec l'énergie de transition \Delta E \simeq 2{,}1\text{ eV} mentionnée ligne 90 : \lambda = hc/\Delta E).

Il faut donc environ \mathbf{2\times 10^4\text{ photons}} (ordre de grandeur de 10^4 photons) pour freiner un atome.

Le confinement magnétique des atomes s'interprète par l'existence d'un puits d'énergie potentielle E_p(\vec{r}) de profondeur finie U_0. L'énergie mécanique d'un atome de masse m et de vitesse v s'écrit :

Un atome demeure piégé (état lié) tant que son énergie mécanique est inférieure au bord du puits de potentiel, soit la condition de confinement :

En diminuant lentement la profondeur U_0 du puits (en réduisant par exemple l'intensité du champ magnétique ou par couplage radiofréquence) :

• les atomes possédant les vitesses les plus élevées ont une énergie mécanique qui franchit le nouveau seuil (E_m > U_0) : ils peuvent s'échapper du piège ;
• les atomes les plus lents, situés au fond du puits avec une énergie mécanique inférieure au seuil abaissé, restent confinés.

D'après la théorie cinétique des gaz (ou le théorème d'équipartition de l'énergie), la température T du gaz piégé est directement liée à l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation par atome :

Lorsque les atomes les plus rapides (ceux situés dans la queue à haute énergie de la distribution de Maxwell-Boltzmann) sont éjectés du piège magnétique, ils emportent avec eux une énergie cinétique individuelle nettement supérieure à l'énergie cinétique moyenne initiale.

Par conséquent :

• l'énergie cinétique moyenne \langle E_c \rangle des atomes résiduels diminue immédiatement ;
• par le biais de collisions élastiques interatomiques, les atomes restant dans le piège se thermalisent et redistribuent leur énergie pour atteindre un nouvel état d'équilibre thermodynamique ;
• ce nouvel état d'équilibre est caractérisé par une température finale T' inférieure à la température initiale :

Ce mécanisme porte le nom de refroidissement évaporatif.

D'après le texte (ligne 42), la température du gaz à la fin du processus de refroidissement par évaporation est :

Pour un gaz parfait monoatomique à l'équilibre à la température T, le théorème de l'équipartition de l'énergie relie l'énergie cinétique moyenne de translation à la température :

où m = \frac{M}{N_A} est la masse d'un atome de sodium. La vitesse quadratique moyenne des atomes s'écrit donc :

(La vitesse moyenne \langle v \rangle = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}} est du même ordre de grandeur.)

Avec les données de l'énoncé :

• k_B \simeq 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} ;
• T \simeq 5\times 10^{-7}\text{ K} ;
• N_A \simeq 6\times 10^{23}\text{ mol}^{-1} ;
• M \simeq 20\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 2\times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}.

On obtient :

L'ordre de grandeur de la vitesse moyenne des atomes piégés est donc :

Une pression extrêmement faible (P \sim 10^{-9}\text{ Pa}, domaine de l'ultra-vide) est indispensable pour limiter au maximum les collisions entre les atomes de sodium piégés et les particules du gaz résiduel, pour plusieurs raisons :

1. Éviter l'expulsion des atomes du piège : la profondeur énergétique du piège magnétique est très faible (de l'ordre de quelques micro- voire nanokelvins). Les molécules du gaz résiduel, à température ambiante (T \sim 300\text{ K}), possèdent une énergie cinétique environ 10^9 fois plus grande : une seule collision suffit à éjecter instantanément un atome de sodium hors du piège.
2. Éviter le réchauffement du nuage : les rares collisions inélastiques ou rasantes transféreraient de l'énergie thermique au nuage et détruiraient l'état ultra-froid (500\text{ nK}) obtenu après de longues étapes de refroidissement.
3. Assurer une durée de vie suffisante et préserver la cohérence quantique : un vide très poussé garantit un libre parcours moyen macroscopique et un temps moyen entre deux collisions très supérieur à la durée des mesures (quelques secondes à minutes). Cela permet également de préserver la cohérence quantique des états atomiques (absence de déphasage ou d'élargissement collisionnel), indispensable au phénomène de transparence induite.

Lors d'une transition atomique radiative entre un niveau initial d'énergie E_i et un niveau final d'énergie E_f, l'énergie échangée sous forme d'un photon (en émission ou en absorption) est égale à la variation d'énergie de l'atome :

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie d'un photon de fréquence \nu et de pulsation \omega = 2\pi\nu est reliée à sa pulsation par :

où \hbar = \dfrac{h}{2\pi} \simeq 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} est la constante de Planck réduite.

D'après la question Q7, les pulsations associées aux transitions atomiques 1 \to 3 et 2 \to 3 sont reliées aux différences d'énergie par :

Le texte précise aux lignes 85 à 92 que :

• E_2 - E_1 = 7{,}4\ \mu\text{eV} (levée de dégénérescence due au couplage spin électronique - spin nucléaire) ;
• E_3 - E_1 \simeq 2{,}1\text{ eV}.

L'écart relatif entre les deux pulsations s'écrit alors :

L'écart entre les niveaux 1 et 2 est négligeable devant l'énergie de la transition optique (système en \Lambda quasi-dégénéré). On peut donc poser en excellente approximation :

On étudie le mouvement horizontal des deux masses m dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, repéré par l'axe (Ox) orienté vers la droite. Les positions d'équilibre correspondent à x_1 = 0 et x_2 = 0.

Masse 1 : La masse 1 est soumise aux forces horizontales suivantes :

• la force de rappel du ressort de gauche (raideur k_1 - K) : \vec{F}_{\text{g}} = -(k_1 - K) x_1 \, \vec{e}_x ;
• la force de rappel du ressort central (raideur K) : \vec{F}_{\text{c}\to 1} = K (x_2 - x_1) \, \vec{e}_x ;
• la force d'amortissement visqueux : \vec{F}_{f,1} = -m \gamma_1 \dot{x}_1 \, \vec{e}_x ;
• la force excitatrice extérieure : \vec{F}(t) = F(t) \, \vec{e}_x.

La projection de la deuxième loi de Newton sur l'axe (Ox) donne :

Masse 2 : La masse 2 est soumise aux forces horizontales suivantes :

• la force de rappel du ressort central (raideur K) : \vec{F}_{\text{c}\to 2} = -K (x_2 - x_1) \, \vec{e}_x ;
• la force de rappel du ressort de droite (raideur k_2 - K) : \vec{F}_{\text{d}} = -(k_2 - K) x_2 \, \vec{e}_x ;
• la force d'amortissement visqueux : \vec{F}_{f,2} = -m \gamma_2 \dot{x}_2 \, \vec{e}_x.

La projection de la deuxième loi de Newton sur l'axe (Ox) donne :

En divisant par la masse m, en utilisant K = m \Omega^2 ainsi que k_1/m = \omega_1^2 et k_2/m = \omega_2^2 = \omega_1^2 (d'après l'approximation de la question Q8), on obtient le système couplé d'équations différentielles :

On adopte la convention usuelle en physique où les grandeurs réelles s'écrivent :

avec une amplitude d'excitation F réelle et positive.

Dans cette représentation, les dérivées temporelles se traduisent algébriquement par :

En injectant ces relations dans le système d'équations différentielles établi en Q9, et en tenant compte de l'approximation \omega_1 = \omega_2 justifiée en Q8 :

le système prend la forme algébrique suivante :

ou de manière matricielle équivalente :

En l'absence d'amortissement (\gamma_1 = \gamma_2 = 0), le système de la question Q10 s'écrit :

Les résonances correspondent aux pulsations propres pour lesquelles les amplitudes \underline{x}_1 et \underline{x}_2 divergent, c'est-à-dire aux zéros du déterminant du système :

Soit :

Les pulsations de résonance (positives) sont donc :

Dans la limite où \Omega \ll \omega_1, effectuons un développement limité au premier ordre non nul en (\Omega/\omega_1)^2 :

On en déduit l'expression de l'écart \Omega_r :

D'après la question 10, le système algébrique régissant les amplitudes complexes \underline{x}_1 et \underline{x}_2 s'écrit, en tenant compte de la condition \gamma_2 = 0 :

D'après le résultat de la question 11 dans la limite \Omega \ll \omega_1, on a :

En posant \omega = \omega_1 + \delta\omega, le terme d'inertie et de rappel devient :

Le système se réécrit donc sous la forme :

D'après la question Q12, le système algébrique s'écrit :

L'hypothèse \omega_1 \gg |\delta\omega|, \gamma_1, \Omega_r permet d'effectuer les approximations suivantes au premier ordre :

• pour le terme inertiel et élastique :

  \omega_1^2 - \omega^2 = -2\omega_1\delta\omega - \delta\omega^2 \simeq -2\omega_1\delta\omega \quad \text{car} \quad |\delta\omega| \ll \omega_1

• pour le terme d'amortissement :

  i\gamma_1\omega = i\gamma_1(\omega_1 + \delta\omega) \simeq i\gamma_1\omega_1 \quad \text{car} \quad |\delta\omega| \ll \omega_1

En substituant ces approximations dans le système, il vient :

En divisant chaque équation par \omega_1 (non nul), on obtient le système linéaire simplifié :

La puissance instantanée cédée par la force extérieure F(t) à l'oscillateur 1 s'écrit :

Avec la convention temporelle adoptée en e^{i\omega t} (question Q10), la force F(t) = F \cos(\omega t) est associée à l'amplitude complexe réelle \underline{F} = F, et la vitesse \dot{x}_1(t) est associée à l'amplitude complexe :

La puissance moyenne sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} s'obtient classiquement par la formule du produit moyen de deux grandeurs sinusoïdales en notation complexe :

En décomposant \underline{x}_1 = \operatorname{Re}(\underline{x}_1) + i\operatorname{Im}(\underline{x}_1), on a :

D'où l'expression exacte de la puissance moyenne fournie :

D'après l'approximation de la question Q13, la pulsation d'excitation est très proche de la résonance, c'est-à-dire |\delta\omega| \ll \omega_1, ce qui permet d'écrire \omega = \omega_1 + \delta\omega \simeq \omega_1 au premier ordre :

Avec la convention temporelle en e^{-i\omega t} (souvent employée dans la littérature anglo-saxonne, notamment dans l'article en référence), on aurait \underline{v}_1 = -i\omega \underline{x}_1, ce qui conduit directement à \langle \mathcal{P} \rangle = +\frac{1}{2} F \omega_1 \operatorname{Im}(\underline{x}_1). Le résultat est donc bien vérifié à un signe près dépendant du choix de convention.

En l'absence de laser de couplage, on a \Omega = 0, ce qui implique \Omega_r = 0. Le système simplifié de la question 13 se réduit pour le premier oscillateur à :

On en déduit l'expression de l'amplitude complexe \underline{x}_1 :

Sa partie imaginaire vaut donc :

D'après le résultat de la question 14 (avec la convention e^{i\omega t} où la puissance moyenne fournie par la force extérieure est \langle\mathcal{P}\rangle = -\frac{1}{2}F\omega_1\operatorname{Im}(\underline{x}_1)) :

où \mathcal{P}_{\max} = \dfrac{F^2}{2m\gamma_1} est la puissance maximale absorbée à résonance (\delta\omega = 0, soit \omega = \omega_1).

Cette fonction de \delta\omega est une lorentzienne centrée en \delta\omega = 0, symétrique et positive, ce qui correspond fidèlement au profil d'absorption résonante de la figure 2a.

La largeur à mi-hauteur \Delta\omega est définie par les pulsations telles que \langle\mathcal{P}\rangle = \frac{1}{2}\mathcal{P}_{\max} :

La largeur à mi-hauteur (pleine largeur à mi-hauteur) s'écrit donc :

D'après la question Q13, le comportement du système en régime sinusoïdal forcé est régi par :

Dans le cas où \delta\omega = 0 et \Omega_r \neq 0, la seconde équation donne directement :

En reportant \underline{x}_1 = 0 dans la première équation :

En repassant aux grandeurs réelles avec la convention F(t) = F\cos(\omega_1 t) :

Le premier oscillateur reste rigoureusement au repos à sa position d'équilibre, tandis que le second oscillateur oscille à la pulsation \omega_1 avec l'amplitude non nulle \frac{F}{m\omega_1\Omega_r}, en opposition de phase avec la force excitatrice F(t).

Le système d'équations algébriques obtenu à la question Q13 dans l'approximation \omega_1 \gg \gamma_1, |\delta\omega|, \Omega_r s'écrit :

Pour \delta\omega \neq 0, la seconde équation (2) permet d'exprimer directement l'amplitude du second oscillateur en fonction de celle du premier :

En substituant cette relation dans la première équation (1), on obtient :

soit, en réduisant au même dénominateur :

On en déduit l'expression de l'amplitude complexe \underline{x}_1(\delta\omega) :

Cette expression reste valable par continuité pour \delta\omega = 0, où elle redonne bien \underline{x}_1(0) = 0, conformément au résultat de la question Q16.

D'après la question Q17, l'amplitude complexe de l'oscillateur 1 s'écrit :

En divisant le numérateur et le dénominateur par 2\delta\omega (pour \delta\omega \neq 0), on obtient :

La condition |\delta\omega| \ll \Omega_r implique directement :

Le terme 2\delta\omega est donc négligeable devant \frac{\Omega_r^2}{2\delta\omega}. En revanche, l'énoncé ne formule aucune hypothèse sur l'ordre de grandeur de \gamma_1 par rapport à \Omega_r ; le terme d'amortissement i\gamma_1 doit donc être impérativement conservé au dénominateur.

On obtient ainsi la forme simplifiée :

D'après la question 14 (avec la convention e^{i\omega t}), la puissance moyenne absorbée sur une période s'écrit :

En utilisant l'expression de \underline{x}_1(\delta\omega) obtenue à la question 17 :

Sa partie imaginaire vaut :

La puissance moyenne absorbée est donc :

Analysons les régimes limites :

• Configuration \delta\omega \to 0 : Le numérateur tend vers 0 tandis que le dénominateur tend vers \Omega_r^4 \neq 0. Ainsi :

  \lim_{\delta\omega \to 0} \langle \mathcal{P} \rangle = 0

  L'absorption est totalement supprimée au centre, ce qui explique le creux d'absorption (annulation de la puissance transférée) à \delta\omega = 0.

• Configuration |\delta\omega| \gg \Omega_r : Le terme de couplage \Omega_r^2 devient négligeable devant 4\delta\omega^2, d'où :

  \langle \mathcal{P} \rangle(\delta\omega) \underset{|\delta\omega| \gg \Omega_r}{\simeq} \frac{F^2}{2m\gamma_1} \frac{4\gamma_1^2 \delta\omega^2}{16\delta\omega^4 + 4\gamma_1^2 \delta\omega^2} = \frac{F^2}{2m\gamma_1} \frac{1}{1 + \left(\frac{2\delta\omega}{\gamma_1}\right)^2}

  On retrouve exactement le profil d'absorption lorentzien sans couplage de la figure 2a (question 15).

• Forme des figures 2b et 2c : Le dénominateur de \langle \mathcal{P} \rangle est minimisé au voisinage de \Omega_r^2 - 4\delta\omega^2 \approx 0, soit \delta\omega \approx \pm \frac{\Omega_r}{2}. Deux pics d'absorption apparaissent de part et d'autre de l'origine, séparés par un creux central tombant à zéro en \delta\omega = 0. Lorsque le paramètre \Omega (et donc \Omega_r) augmente, l'écartement entre les pics \Delta\omega_{\text{pics}} \approx \Omega_r s'accroît et le creux s'élargit, ce qui correspond bien à l'évolution observée de la figure 2b vers la figure 2c.

Largeur du creux central :

Pour |\delta\omega| \ll \Omega_r, on peut négliger 4\delta\omega^2 devant \Omega_r^2 au dénominateur (question 18) :

où \mathcal{P}_{\max} = \frac{F^2}{2m\gamma_1} désigne la hauteur maximale du profil d'absorption. Le creux atteint la moitié de ce maximum (\langle \mathcal{P} \rangle = \frac{1}{2}\mathcal{P}_{\max}) pour :

La largeur à mi-hauteur du creux central vaut donc :

L'ordre de grandeur de la pulsation \omega_1 de la transition 1 \to 3 peut être obtenu de deux manières équivalentes :

• À partir de l'énergie de transition (lignes 90–91) : le niveau 3 se situe à \Delta E \simeq 2{,}1\text{ eV} au-dessus du niveau 1. D'après la relation de Planck-Einstein établie à la question Q7 :

  \omega_1 = \frac{\Delta E}{\hbar}

  Avec \Delta E \simeq 2{,}1 \times 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ J} \simeq 3 \cdot 10^{-19}\text{ J} et \hbar \simeq 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}, on obtient :

  \omega_1 \simeq \frac{3 \cdot 10^{-19}}{10^{-34}} \simeq 3 \cdot 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

• À partir de la longueur d'onde dans le visible : la raie jaune du sodium correspond à \lambda \simeq 600\text{ nm} = 6 \cdot 10^{-7}\text{ m}. La pulsation associée s'écrit :

  \omega_1 = \frac{2\pi c}{\lambda} \simeq \frac{2\pi \times 3 \cdot 10^8}{6 \cdot 10^{-7}} \simeq \pi \cdot 10^{15} \simeq 3 \cdot 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

Dans les deux cas, on trouve :

Les conditions de la question 13 requièrent que la pulsation propre \omega_1 soit très grande devant le taux d'amortissement \gamma_1, l'écart de couplage \Omega_r et l'écart à la résonance |\delta\omega|.

D'après le résultat de la question Q20, pour le doublet jaune du sodium :

À partir des données de l'énoncé :

On évalue les rapports adimensionnels :

De plus, l'expérience s'intéresse au comportement au voisinage de la résonance. D'après la figure 3, la plage d'étude de l'écart de pulsation est |\delta\omega| \le 30 \times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} \sim \gamma_1, ce qui donne également :

D'après le texte de l'énoncé (lignes 126–129), la raideur K = m \Omega^2 du ressort modélisant l'action du laser de couplage est proportionnelle à son intensité lumineuse I_{\text{c}} :

Par ailleurs, d'après le résultat établi à la question 11 dans l'approximation \Omega \ll \omega_1 :

La pulsation propre \omega_1 de la transition atomique et la masse m étant fixées, on en déduit que :

Dans un milieu d'indice de réfraction n, la vitesse de phase d'une onde électromagnétique monochromatique de pulsation \omega s'écrit :

Par définition de la vitesse de phase d'une onde plane progressive monochromatique, on a également :

Il en découle directement la relation de dispersion reliant le nombre d'onde k, la pulsation \omega, l'indice n et la célérité de la lumière dans le vide c :

D'après l'énoncé, l'indice complexe du milieu s'écrit :

où C \in \mathbb{R}^+ est une constante proportionnelle à la densité volumique d'atomes.

À la pulsation de résonance de la transition 1–3, c'est-à-dire pour \omega = \omega_1 (\delta\omega = 0), le résultat de la question 16 montre que l'amplitude complexe du premier oscillateur est rigoureusement nulle :

On en déduit immédiatement la valeur de l'indice optique à cette pulsation :

Ce résultat explique directement les observations rapportées aux lignes 133–139 :

• Transparence induite : Le coefficient d'absorption linéique de l'onde est proportionnel à la partie imaginaire de l'indice complexe :

  \alpha(\omega) = \frac{2\omega}{c}\operatorname{Im}(n(\omega))

  Or, pour \delta\omega = 0, \operatorname{Im}(n(\omega_1)) = 0 (car \operatorname{Im}(\underline{x}_1) = 0), et la puissance moyenne absorbée est nulle d'après la question 14 : \langle \mathcal{P} \rangle = 0. Le nuage de gaz, qui aurait dû être totalement opaque à la résonance atomique en l'absence de laser de couplage, devient parfaitement transparent sous l'action de celui-ci.

• Indice unité : La partie réelle de l'indice vaut exactement \operatorname{Re}(n(\omega_1)) = 1, comme dans le vide.
• Fréquences voisines : Dès que \delta\omega \neq 0, le calcul de la question 17 montre que \underline{x}_1(\delta\omega) \neq 0. L'indice optique n(\omega) s'écarte alors de 1 : sa partie réelle varie fortement avec la pulsation (dispersion) et sa partie imaginaire redevient non nulle (absorption résiduelle) en dehors du creux de largeur \Delta\omega_{\text{creux}} = \Omega_r^2/\gamma_1.

1. Expression littérale de l'intervalle de transparence

D'après l'étude de l'analogie mécanique menée à la question Q19, le gaz devient transparent là où la puissance absorbée s'annule (au voisinage immédiat de \delta\omega = 0). La largeur à mi-hauteur du creux d'absorption (qui définit la fenêtre de transparence induite) s'écrit :

2. Ordre de grandeur numérique

D'après les données de la question Q21, on a \gamma_1 = 6{,}3 \times 10^7\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} et \Omega_r = 0{,}2\,\gamma_1. On en déduit :

Avec un seul chiffre significatif :

3. Comparaison à la figure 3a

Sur la figure 3a, le pic de transmission (centré sur \delta\omega \simeq 0{,}6 \times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} en raison de l'effet Stark dynamique) a une transmission maximale d'environ 0{,}65. La mi-hauteur correspond à une transmission d'environ 0{,}33, atteinte pour des abscisses comprises approximativement entre -0{,}5 \times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} et +2 \times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}.

La largeur à mi-hauteur mesurée graphiquement est donc de l'ordre de 2{,}5 \times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, ce qui est en excellent accord avec l'ordre de grandeur théorique calculé.

4. Influence de l'intensité lumineuse

D'après la question Q22, l'écart de pulsation \Omega_r est proportionnel à l'intensité lumineuse I_{\text{c}} du laser de couplage (\Omega_r \propto I_{\text{c}}). Par conséquent :

La largeur de la fenêtre de transparence induite augmente avec l'intensité lumineuse du laser de couplage (de façon quadratique dans ce modèle).

Par définition, la vitesse de phase v_\varphi(\omega) d'une onde monochromatique de pulsation \omega se propageant dans un milieu d'indice effectif réel n_r(\omega) s'écrit, d'après la relation de dispersion k(\omega) = \dfrac{n_r(\omega)\,\omega}{c} rappelée à la question Q23 :

À la pulsation de résonance \omega = \omega_1 (soit \delta\omega = 0), l'amplitude du premier oscillateur s'annule : \underline{x}_1(0) = 0 (question Q16). L'indice de réfraction complexe vaut alors exactement :

Il en résulte directement que la vitesse de phase en \omega = \omega_1 est égale à la vitesse de la lumière dans le vide :

D'après la question Q23, la relation de dispersion reliant la pulsation \omega au nombre d'onde réel k(\omega) s'écrit :

En dérivant cette expression par rapport à la pulsation \omega, on obtient :

Par définition, la vitesse de groupe v_g de l'impulsion lumineuse est donnée par :

On en déduit l'expression de la vitesse de groupe :

D'après la question Q27, la vitesse de groupe de l'impulsion s'écrit :

L'indice de réfraction restant très proche de l'unité (n_r \approx 1) et la pulsation optique \omega \simeq \omega_1 \sim 3 \times 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} étant extrêmement élevée, la lumière est d'autant plus ralentie (v_g minimale) que la dérivée n'_r(\omega) = \frac{\mathrm{d}n_r}{\mathrm{d}\omega} est positive et la plus grande possible (dispersion normale abrupte).

Sur la figure 3b, la courbe n_r(\delta\omega) présente une pente positive extrêmement raide au voisinage immédiat de \delta\omega = 0 :

• elle passe par un minimum local (n_r \approx 0{,}993) situé vers \delta\omega \approx -1 \times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} à -2 \times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} ;
• elle croît quasi-verticalement jusqu'à un maximum local (n_r \approx 1{,}006) situé vers \delta\omega \approx +2 \times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} à +3 \times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} ;
• la pente est maximale au centre de cette région, à \delta\omega \simeq 0{,}6 \times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} (décalage dû à l'effet Stark dynamique mentionné dans la légende).

L'intervalle de pulsation pour lequel la lumière est le plus ralentie est donc la zone de forte dispersion normale :

soit en pulsation absolue :

avec un ralentissement maximal atteint au centre de cet intervalle (\delta\omega \simeq 0{,}6 \times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}).

D'après la question Q17, l'amplitude complexe du déplacement du premier oscillateur s'écrit :

Au voisinage immédiat de la résonance (\delta\omega \to 0), le dénominateur est dominé par \Omega_r^2, ce qui donne au premier ordre en \delta\omega :

La partie imaginaire étant d'ordre supérieur (\mathcal{O}(\delta\omega^2)), l'indice optique admet pour partie réelle :

On en déduit la valeur de l'indice et de sa dérivée à la pulsation de résonance \omega = \omega_1 (soit \delta\omega = 0) :

En utilisant la formule de la vitesse de groupe obtenue à la question Q27 :

on obtient :

Sur la figure 4 :

• le pic de l'impulsion de référence (points blancs, en l'absence d'atomes) est centré à t_{\text{ref}} \simeq 0\,\mu\text{s} ;
• le pic de l'impulsion ayant traversé le nuage d'atomes (points noirs) culmine à t_{\text{retard}} \simeq 7\,\mu\text{s}.

Le retard engendré par la traversée du nuage est donc :

D'après la légende de la figure 3, la longueur du nuage d'atomes est :

En l'absence de milieu dispersif, le temps mis pour parcourir cette distance dans le vide est t_0 = L/c \simeq 8 \times 10^{-13}\text{ s}, ce qui est totalement négligeable devant \Delta t. La durée de traversée de l'impulsion dans le nuage se confond donc avec le retard temporel :

La vitesse de groupe de l'impulsion vaut ainsi :

Soit numériquement :

En respectant la consigne d'un seul chiffre significatif pour les applications numériques :

D'après la question Q30, la vitesse de groupe mesurée est de l'ordre de v_g \simeq 33\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, ce qui est considérablement plus faible que la célérité de la lumière dans le vide (c = 3\times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) :

D'après l'expression établie à la question Q29 :

on en déduit que :

Le terme 1 est donc totalement négligeable devant \dfrac{2C}{m\Omega_r^2}, ce qui permet de simplifier l'expression de la vitesse de groupe :

D'après la question Q22, \Omega_r est directement proportionnel à l'intensité lumineuse I_{\mathrm{c}} du laser de couplage (\Omega_r \propto I_{\mathrm{c}}). Il en résulte que :

La vitesse de groupe de l'impulsion lumineuse à résonance est donc proportionnelle au carré de l'intensité du laser de couplage : elle augmente lorsque l'intensité du laser de couplage augmente (et varie très rapidement avec celle-ci).

D'après les résultats des questions précédentes :

• Avantage : la largeur du creux d'absorption (largeur de la fenêtre de transparence induite) est donnée par \Delta\omega = \Omega_r^2 / \gamma_1 \propto I_{\text{c}}^2 (question 25). Augmenter l'intensité du laser de couplage permet donc d'élargir la bande passante spectrale de transmission. Par analyse de Fourier, une impulsion de durée \tau possède une largeur spectrale \Delta\omega \sim 1/\tau : un laser de couplage plus intense permet ainsi de transmettre des impulsions lumineuses plus courtes tout en minimisant les pertes par absorption et les déformations par dispersion.

• Inconvénient : la vitesse de groupe est directement proportionnelle au carré de l'intensité du laser de couplage :

  v_g(\omega_1) \propto \Omega_r^2 \propto I_{\text{c}}^2

  Augmenter l'intensité du laser de couplage a pour conséquence d'augmenter la vitesse de propagation de l'impulsion, ce qui réduit l'effet de ralentissement recherché (l'impulsion progresse plus vite à travers le nuage atomique).