Feuille d'entraînement : Description d'un système thermodynamique

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q28

   Dans le cadre de l'approximation acoustique, les compressions et dilatations du fluide sont suffisamment rapides pour que les échanges thermiques soient négligeables, et les gradients d'amplitude suffisamment faibles pour négliger la dissipation visqueuse au sein de l'onde : l'évolution est isentropique.

   Le coefficient de compressibilité isentropique \chi d'un volume V de fluide est défini par :

   \chi = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_S

   Pour une masse de fluide m = \rho V constante, la différentiation logarithmique donne :

   \frac{\mathrm{d}m}{m} = \frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} + \frac{\mathrm{d}V}{V} = 0 \implies \frac{\mathrm{d}V}{V} = -\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho}

   On en déduit l'expression de \chi en fonction de la masse volumique \rho :

   \chi = \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_S

   En se plaçant au premier ordre autour de l'état d'équilibre caractérisé par la masse volumique moyenne \rho_0, la fluctuation de masse volumique \underline{\rho} = \rho - \rho_0 s'écrit directement en fonction de la surpression acoustique \underline{p} :

   \boxed{\underline{\rho} = \rho_0 \chi \underline{p}}

   Résultat

   $$\underline{\rho }={\rho }_0\chi \underline{p}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique C PC 2024, Q27

   Lorsque \alpha = 0, les forces d'interaction entre particules sont nulles (\vec{F}_{j \to i} = \vec{0}). Le système est constitué de N particules ponctuelles indépendantes sans interactions mutuelles, confinées dans une boîte de volume V : il s'agit d'un gaz parfait monoatomique.

   D'après la thermodynamique classique :

   • L'équation d'état des gaz parfaits relie la pression P, le volume V et la température absolue T par :

     P V = n_{\mathrm{mol}} R T

     où n_{\mathrm{mol}} est la quantité de matière du gaz et R la constante molaire des gaz parfaits.

   • Pour un gaz parfait monoatomique, les atomes ne possèdent que 3 degrés de liberté de translation, de sorte que la capacité thermique molaire à volume constant vaut :

     C_{V,m} = \frac{3}{2} R

     L'énergie interne U vérifie la première loi de Joule et s'exprime (en prenant l'origine des énergies à T = 0) par :

     U = n_{\mathrm{mol}} C_{V,m} T = \frac{3}{2} n_{\mathrm{mol}} R T

   En substituant l'expression de n_{\mathrm{mol}} R T issue de l'équation d'état dans celle de U, on obtient directement :

   \boxed{U = \frac{3}{2} P V}

   Résultat

   $$U=\frac{3}{2}PV$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique C PC 2024, Q34

   Ces relations sont valables sous l'hypothèse de l'équilibre thermodynamique local (ETL).

   • On peut définir en tout point un volume mésoscopique de taille caractéristique d vérifiant :

     \ell_{\text{micro}} \ll d \ll L_{\text{macro}}

     où \ell_{\text{micro}} \sim n^{-1/3} est la distance moyenne interatomique et L_{\text{macro}} est la longueur caractéristique de variation spatiale des grandeurs physiques (pression, densité).

   • Dans chaque volume mésoscopique, le nombre de particules est suffisamment grand pour définir des grandeurs thermodynamiques moyennes, et les gradients sont négligeables, de sorte que le gaz s'y comporte localement comme un fluide homogène à l'équilibre.
   • Les relations d'état intensives établies pour le fluide homogène à l'équilibre dans la sous-partie 4.1 (équations (6) et (8)) s'appliquent donc localement aux champs n(r), P(r) et s(r).

   La température T étant par ailleurs uniforme dans tout le fluide d'après la question 33, on obtient directement :

   \boxed{P(r) = n(r)^{5/3} g_P(s(r)) \quad \text{et} \quad s(r) = g_s\left(\frac{T}{n(r)^{2/3}}\right)}

   Résultat

   $$P(r)=n(r{)}^{5/3}{g}_P(s(r))\text{et}s(r)=g_s\left(\frac{T}{n(r{)}^{2/3}}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 2 PC 2024, Q12

   Pour un gaz parfait subissant une transformation isentropique (adiabatique et réversible) avec \gamma = C_P/C_V constant, la loi de Laplace s'écrit :

   P V^\gamma = \text{cte}

   Par différentiation logarithmique à entropie S fixée, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}P}{P} + \gamma \frac{\mathrm{d}V}{V} = 0 \quad \implies \quad \left.\frac{\partial V}{\partial P}\right|_S = -\frac{V}{\gamma P}

   Par définition du coefficient de compressibilité isentropique évalué à l'état de repos de pression P_0 :

   \chi = -\frac{1}{V}\left.\frac{\partial V}{\partial P}\right|_S = \frac{1}{\gamma P_0}

   \boxed{\chi = \frac{1}{\gamma P_0}}

   Résultat

   $$\chi =\frac{1}{\gamma P_0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5X-ENS Physique B PC 2024, Q6

   L'évolution du fluide induite par le passage de l'onde étant supposée isentropique (S = \text{cste}), la masse volumique ne dépend localement que de la pression p : \rho = \rho(p, S). Un développement limité au premier ordre au voisinage de l'état statique (p_0, T_0) conduit à :

   \rho \approx \rho_0 + \left. \frac{\partial \rho}{\partial p} \right|_{S,0} (p - p_0) = \rho_0 + \rho_0 \chi_{S0} \, \delta p

   soit pour la fluctuation dynamique de masse volumique :

   \delta\rho \approx \rho_0 \chi_{S0} \, \delta p

   Cette approximation linéaire est valable sous la condition de petites perturbations acoustiques, c'est-à-dire :

   \boxed{|\delta p| \ll \frac{1}{\chi_{S0}} \quad (\text{ou } |\delta p| \ll p_0 \text{ pour un gaz})}

   ce qui garantit que les termes d'ordres supérieurs dans le développement de Taylor restent négligeables devant le terme d'ordre un, et assure également |\delta\rho| \ll \rho_0.

   En combinant l'équation d'Euler linéarisée sans pesanteur (\rho_0 \frac{\partial \delta\vec{v}}{\partial t} = -\vec{\nabla}\delta p) et l'équation de conservation de la masse linéarisée (\frac{\partial \delta\rho}{\partial t} + \rho_0 \operatorname{div}\delta\vec{v} = 0), on obtient l'équation d'onde de d'Alembert pour \delta p ou \delta\rho, dans laquelle la célérité isentropique c vérifie c^2 = \left.\frac{\partial p}{\partial \rho}\right|_{S,0} = \frac{1}{\rho_0 \chi_{S0}}. La célérité du son s'écrit donc :

   \boxed{c = \frac{1}{\sqrt{\rho_0 \chi_{S0}}}}

   On en déduit immédiatement la relation liant la surpression acoustique \delta p à la variation de masse volumique \delta\rho :

   \boxed{\delta p = c^2 \, \delta\rho}

   Résultat

   $$|\delta p|\ll \frac{1}{{\chi }_{S0}}(\text{ou }|\delta p|\ll p_0\text{ pour un gaz})$$

   $$c=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0{\chi }_{S0}}}$$

   $$\delta p=c^2\delta \rho$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique B PC 2024, Q14

   L'air est modélisé par un gaz parfait vérifiant l'équation d'état :

   p = \frac{\rho R T}{M} \iff \frac{p}{\rho} = \frac{R T}{M}

   Pour une évolution isentropique d'un gaz parfait, la loi de Laplace s'écrit p \rho^{-\gamma} = \text{Cste}. Par dérivation logarithmique à entropie S fixée :

   \frac{\mathrm{d}p}{p} - \gamma \frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} = 0 \implies \left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_S = \frac{\rho}{\gamma p}

   Le coefficient de compressibilité isentropique vaut alors :

   \chi_S = \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_S = \frac{1}{\gamma p}

   En utilisant la relation établie à la question Q6 (c^2 = \frac{1}{\rho \chi_S}) :

   c^2 = \frac{\gamma p}{\rho} = \frac{\gamma R T}{M}

   Le carré de la célérité est donc bien proportionnel à la température thermodynamique T :

   \boxed{c^2 = \left(\frac{\gamma R}{M}\right) T}

   La constante de proportionnalité est \frac{\gamma R}{M}.

   Pour accéder à la valeur de \gamma = \frac{C_{p,\text{m}}}{C_{V,\text{m}}}, les éléments à considérer sont :

   • la composition chimique et la géométrie des molécules constitutives du gaz (molécules monoatomiques, diatomiques linéaires ou polyatomiques) ;
   • les degrés de liberté (translation, rotation, vibration) activés à la température T, selon le théorème de l'équipartition de l'énergie et l'écart entre k_B T et les quanta d'énergie rotationnelle et vibrationnelle.

   L'air est constitué à près de 99\,\% de molécules diatomiques homonucléaires (\mathrm{N}_2 à 78\,\% et \mathrm{O}_2 à 21\,\%). Dans le voisinage des conditions normales de température et de pression :

   • les 3 degrés de liberté de translation sont activés (\frac{3}{2}R) ;
   • les 2 degrés de liberté de rotation selon les axes perpendiculaires à la liaison sont activés (2 \times \frac{1}{2}R = R) ;
   • les modes de vibration sont gelés car l'écart énergétique vibrationnel est nettement supérieur à l'énergie thermique (h\nu_{\text{vib}} \gg k_B T).

   On a ainsi C_{V,\text{m}} = \frac{5}{2}R. La relation de Mayer pour un gaz parfait, C_{p,\text{m}} - C_{V,\text{m}} = R, conduit à C_{p,\text{m}} = \frac{7}{2}R.

   On en déduit la valeur du rapport des capacités thermiques :

   \boxed{\gamma = \frac{7}{5} = 1{,}4}

   Résultat

   $$c^2=\left(\frac{\gamma R}{M}\right)T$$

   $$\gamma =\frac{7}{5}=1,4$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique PC 2023, Q6

   Par définition du rapport des capacités thermiques, on a :

   \gamma = \frac{C_P}{C_V} \implies C_V = \frac{C_P}{\gamma}

   En injectant cette relation dans la relation de Mayer C_P - C_V = nR, il vient :

   \begin{aligned} C_P \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right) &= nR \\ C_P \left(\frac{\gamma - 1}{\gamma}\right) &= nR \\ C_P &= \frac{\gamma \, nR}{\gamma - 1} \end{aligned}

   La masse de l'air sec considéré étant m = n M_{as}, la capacité thermique massique à pression constante c_P = \frac{C_P}{m} s'écrit :

   \boxed{c_P = \frac{\gamma R}{(\gamma - 1) M_{as}}}

   Application numérique : Avec \gamma = 1,4, R = 8,3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} et M_{as} = 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 29 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} :

   \begin{aligned} c_P &= \frac{1,4 \times 8,3}{(1,4 - 1) \times 29 \cdot 10^{-3}} = \frac{11,62}{0,4 \times 29 \cdot 10^{-3}} \approx 1,00 \cdot 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \end{aligned}

   \boxed{c_P = 1,0 \cdot 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}}

   Résultat

   $$c_P=\frac{\gamma R}{(\gamma -1)M_{as}}$$

   $$c_P=1,0\cdot 10^3\text{ J}\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique 2 PC 2023, Q27

   Par définition thermodynamique, le coefficient de compressibilité isentropique d'un fluide s'écrit :

   \chi_S = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_S

   Considérons une particule fluide de masse fixée m^* = \mu V. En différenciant cette relation à masse constante :

   \mathrm{d}m^* = 0 \implies \mu\,\mathrm{d}V + V\,\mathrm{d}\mu = 0 \iff \frac{\mathrm{d}V}{V} = -\frac{\mathrm{d}\mu}{\mu}

   On en déduit l'expression de \chi_S en fonction de la masse volumique :

   \chi_S = \frac{1}{\mu} \left(\frac{\partial \mu}{\partial p}\right)_S

   Dans le cadre de l'approximation acoustique, l'écoulement est supposé parfait et les échanges thermiques conductifs entre zones comprimées et détendues sont négligeables aux échelles temporelles et spatiales de l'onde sonore : les transformations subies par chaque particule fluide sont donc réversibles et adiabatiques, c'est-à-dire isentropiques.

   Au premier ordre en perturbation autour de l'état de repos uniforme (\mu_0, p_0), on a :

   \mu_1 = \left(\frac{\partial \mu}{\partial p}\right)_{S,\,0} p_1

   ce qui conduit immédiatement à la relation constitutive linéaire :

   \boxed{\mu_1 = \mu_0 \chi_S p_1}

   Résultat

   $${\mu }_1={\mu }_0{\chi }_S{p}_1$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique 2 PC 2023, Q29

   Pour une transformation isentropique (adiabatique réversible) d'un gaz parfait à coefficient adiabatique \gamma constant, la loi de Laplace s'écrit :

   p V^\gamma = \text{cte} \quad \text{soit, avec } \mu = \frac{m}{V} \propto \frac{1}{V}, \quad p \mu^{-\gamma} = \text{cte}.

   En différentiant cette relation logarithmiquement :

   \frac{\mathrm{d}p}{p} - \gamma \frac{\mathrm{d}\mu}{\mu} = 0 \implies \left(\frac{\partial \mu}{\partial p}\right)_S = \frac{\mu}{\gamma p}.

   Le coefficient de compressibilité isentropique au repos vaut donc :

   \chi_S = \frac{1}{\mu_0} \left(\frac{\partial \mu}{\partial p}\right)_S = \frac{1}{\gamma p_0}.

   En reportant cette expression dans la relation établie à la question Q28, on obtient la formule de Laplace :

   c_s = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \chi_S}} = \sqrt{\frac{\gamma p_0}{\mu_0}}.

   D'après l'équation d'état des gaz parfaits, pour une masse m occupant un volume V de masse molaire M :

   p_0 V = \frac{m}{M} R T \implies \frac{p_0}{\mu_0} = \frac{R T}{M}.

   On en déduit l'expression de la célérité du son en fonction de la température :

   \boxed{c_s = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}}.

   Application numérique :

   • L'air est constitué principalement de gaz diatomiques (\mathrm{N}_2 à environ 80\,\% et \mathrm{O}_2 à 20\,\%). Les degrés de liberté de translation (3) et de rotation (2) étant activés à température ambiante, on a C_{V,m} = \frac{5}{2}R et C_{P,m} = \frac{7}{2}R, d'où :

     \gamma = \frac{C_{P,m}}{C_{V,m}} = \frac{7}{5} = 1{,}40.

   • La masse molaire moyenne de l'air vaut :

     M \approx 0{,}80 \times 2 M_{\mathrm{N}} + 0{,}20 \times 2 M_{\mathrm{O}} = 0{,}80 \times 28 + 0{,}20 \times 32 = 28{,}8\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 28{,}8 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}.

   • D'après la question Q23 :

     R = N_A k_B \approx 6{,}02 \times 10^{23} \times 1{,}38 \times 10^{-23} \approx 8{,}31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}.

   Le calcul donne alors :

   c_s = \sqrt{\frac{1{,}40 \times 8{,}31 \times 300}{28{,}8 \times 10^{-3}}} \approx 348\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

   \boxed{c_s \approx 3{,}5 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \quad (348\text{ m}\cdot\text{s}^{-1})}.

   Résultat

   $$c_s=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$$

   $$c_s\approx 3,5\times 10^2\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}(348\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10ENS Physique C PC 2023, Q5

    D'après le préambule, l'énergie interne U de la particule unique est égale à l'énergie cinétique moyenne E_c d'un atome dans un gaz parfait monoatomique à la température T.

    Pour un gaz parfait monoatomique tridimensionnel à l'équilibre thermique à température T, l'énergie cinétique moyenne par particule, associée aux trois degrés de liberté de translation, vaut :

    E_c = \frac{3}{2} k_B T

    On en déduit immédiatement l'expression de l'énergie interne de la particule :

    \boxed{U = \frac{3}{2} k_B T}

    Résultat

    $$U=\frac{3}{2}{k}_{B}T$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question