Corrigé détaillé Mines Physique 2 PC 2024

Par définition du barycentre G du système \{\text{Terre}, \text{Lune}\} constitué de points matériels de masses respectives M_T et M_L :

En introduisant le point T dans le second terme via la relation de Chasles \overrightarrow{GL} = \overrightarrow{GT} + \overrightarrow{TL}, il vient :

En prenant la norme de cette relation, la distance D_{GT} = \|\overrightarrow{TG}\| s'exprime en fonction de D_{TL} = \|\overrightarrow{TL}\| par :

Avec les valeurs numériques fournies :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Remarque : Le rayon de la Terre vaut R_T = 6,4 \cdot 10^6\text{ m} = 6,4 \cdot 10^3\text{ km}. On constate donc que :

Le barycentre G du système Terre–Lune se trouve à l'intérieur du globe terrestre, à environ 1,8 \cdot 10^3\text{ km} sous la surface de la Terre.

On étudie le mouvement du point matériel G, de masse M_T + M_L, dans le référentiel héliocentrique (\mathcal{R}_0) supposé galiléen.

Le point G est soumis à l'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil, assimilé à un point matériel de masse M_S situé à l'origine O :

où \widehat{e}_r = \frac{\overrightarrow{OG}}{\|\overrightarrow{OG}\|} est le vecteur unitaire radial et D_{GO} = D_{TS}.

La deuxième loi de Newton appliquée à G s'écrit :

Le mouvement de G étant circulaire uniforme de rayon D_{TS} et de pulsation \omega_0, son accélération est purement centripète :

En projetant sur \widehat{e}_r, on obtient :

soit :

La période associée T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} correspond à la période de révolution de la Terre (plus précisément du barycentre Terre-Lune) autour du Soleil.

• Nom usuel : l'année (ou année sidérale).

• Valeur numérique :

  \boxed{T_0 \simeq 365\text{ jours} \simeq 3{,}15 \cdot 10^7\text{ s} \quad (\text{soit } \omega_0 \simeq 2{,}0 \cdot 10^{-7}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1})}

Par définition donnée par l'énoncé, les axes du référentiel barycentrique (\mathcal{R}_g) = (Gxyz) sont constamment parallèles à ceux du référentiel héliocentrique galiléen (\mathcal{R}_0) = (Oxyz).

Le référentiel (\mathcal{R}_g) est donc en mouvement de translation (curviligne) par rapport au référentiel galiléen (\mathcal{R}_0). Son vecteur rotation instantané est rigoureusement nul :

La force d'inertie de Coriolis s'exerçant sur un point matériel M de masse m animé d'une vitesse relative \vec{v}_r dans (\mathcal{R}_g) s'écrit :

Le référentiel (\mathcal{R}_g) étant en translation par rapport au référentiel galiléen (\mathcal{R}_0) (d'après la question Q3), l'accélération d'entraînement en tout point est égale à l'accélération du barycentre G dans (\mathcal{R}_0) :

Le mouvement de G étant circulaire uniforme de rayon D_{TS}, on a en norme a_e = \omega_0^2 D_{TS}. En utilisant l'expression de \omega_0 issue de la question Q2 (\omega_0^2 = \frac{\mathcal{G}M_S}{D_{TS}^3}), la force d'inertie d'entraînement sur la Lune L a pour norme :

La force de gravitation exercée par la Terre sur la Lune a pour norme :

On en déduit le rapport :

Application numérique :

L'ordre de grandeur associé (puissance de 10 la plus proche) est donc :

Conclusion : La force d'inertie d'entraînement est du même ordre de grandeur que l'attraction terrestre (elle lui est même légèrement supérieure), elle n'est donc absolument pas négligeable dans l'étude du mouvement de la Lune relativement à (\mathcal{R}_g).

La force \vec{f}_m = \vec{f}_e + \vec{f}_S est la force de gravitation différentielle exercée par le Soleil sur la Lune par rapport au barycentre G (assimilé au centre de la Terre T) : on la nomme force de marée (due au Soleil).

Dans la situation où le Soleil O, la Terre T (ou G) et la Lune L sont alignés dans cet ordre, on note \widehat{u} le vecteur unitaire orienté de O vers G. Les positions relatives s'écrivent :

D'après la question précédente, l'accélération d'entraînement est celle du point G dans (\mathcal{R}_0) :

La force gravitationnelle exercée par le Soleil sur la Lune est :

On en déduit la force de marée :

Comme D_{TL} \ll D_{TS}, on effectue un développement limité à l'ordre 1 : \left(1 + \frac{D_{TL}}{D_{TS}}\right)^{-2} \simeq 1 - 2\frac{D_{TL}}{D_{TS}}. La norme F_m = \|\vec{f}_m\| s'écrit alors :

Sachant que f_T = \dfrac{\mathcal{G}M_T M_L}{D_{TL}^2}, le rapport demandé s'exprime par :

On remarque que \dfrac{F_m}{f_T} = 2\,\dfrac{f_e}{f_T}\,\dfrac{D_{TL}}{D_{TS}}. En utilisant le résultat de la question précédente (f_e/f_T \simeq 2{,}1) :

La force différentielle due au Soleil est faible devant l'attraction terrestre (environ 1\,\%) : dans le référentiel (\mathcal{R}_g), le mouvement de la Lune est donc régi au premier ordre par la seule attraction de la Terre.

1. Relation entre les périodes

Dans le référentiel héliocentrique (\mathcal{R}_0), la direction Terre-Soleil tourne à la vitesse angulaire \omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} et la direction Terre-Lune tourne à la vitesse angulaire \omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} dans le même sens (sens direct).

Une éclipse a lieu lorsque le Soleil, la Lune et la Terre sont alignés (dans cet ordre), c'est-à-dire à chaque fois que la Lune « rattrape » la direction Terre-Soleil. La vitesse angulaire relative de la Lune par rapport à l'axe Terre-Soleil est la pulsation synodique \omega'_1 :

En introduisant les périodes associées T = \frac{2\pi}{\omega}, il vient :

d'où la relation liant les trois périodes :

2. Développement limité et fraction numérique

On exprime T_1 sous la forme :

Comme T'_1 \ll T_0 (\frac{T'_1}{T_0} = \frac{3}{37} \simeq 0{,}081 \ll 1), un développement limité à l'ordre 1 donne :

Avec la donnée T'_1/T_0 = 3/37 :

Remarque : La valeur exacte issue du modèle sans approximation est :

Le développement limité donne quant à lui T_1 \simeq \frac{34}{37} \times 29{,}5\text{ j} \simeq 27{,}1\text{ j}, ce qui est très proche de la période orbitale sidérale réelle de la Lune (27{,}3\text{ j}).

3. Rareté des éclipses réelles

Le modèle proposé suppose un mouvement coplanaire du Soleil, de la Terre et de la Lune. En réalité, le plan orbital de la Lune est incliné d'environ 5^\circ par rapport au plan de l'écliptique (plan de l'orbite terrestre). Une éclipse de Soleil ne peut se produire que si la nouvelle Lune a lieu lorsque la Lune est très proche de la ligne des nœuds (l'intersection des deux plans orbitaux), ce qui ne se produit que deux à cinq fois par an.

1. Diamètres apparents du Soleil et de la Lune

Depuis la surface de la Terre, les rayons des astres sont très petits devant leurs distances respectives (R_S \ll D_{TS} et R_L \ll D_{TL}). Dans l'approximation des petits angles, les diamètres angulaires apparents \theta_S et \theta_L sous lesquels on voit le Soleil et la Lune s'écrivent :

Applications numériques :

En utilisant la conversion 1^\circ \simeq 17\text{ mrad} et 1^\circ = 60' :

Conclusion : Les deux diamètres apparents sont quasiment identiques (\theta_S \simeq \theta_L \simeq 0,5^\circ \simeq 30'). De ce fait :

• le sommet du cône d'ombre de la Lune est situé très près de la surface terrestre ;
• au gré des variations de distance liées à l'excentricité des orbites, la Lune peut apparaître soit légèrement plus grande que le Soleil (éclipse totale), soit légèrement plus petite (éclipse annulaire) ;
• la tache d'ombre totale au sol est de dimension très réduite (typiquement de quelques dizaines à une centaine de kilomètres de diamètre).

2. Vitesse de déplacement de l'ombre sans rotation propre de la Terre

Le Soleil étant extrêmement éloigné (D_{TS} \gg D_{TL}), les rayons solaires incidents sont quasi parallèles. L'ombre de la Lune projetée sur la Terre se déplace donc à la vitesse transverse de la Lune par rapport à la direction Soleil-Terre. Cette vitesse angulaire relative correspond précisément à la pulsation synodique \omega'_1 = \omega_1 - \omega_0 = 2,5\cdot 10^{-6}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}. La vitesse de l'ombre à la surface terrestre s'exprime ainsi par :

Application numérique :

3. Prise en compte de la rotation propre de la Terre

La Terre tourne sur elle-même d'ouest en est (sens direct), à la vitesse angulaire \omega_J \simeq 7\cdot 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}. La vitesse linéaire d'un point à la surface de la Terre (à l'équateur) est :

Le mouvement orbital de la Lune s'effectue également dans le sens direct (d'ouest en est). L'ombre se déplace donc d'ouest en est, dans le même sens que la surface terrestre.

Par conséquent, la vitesse de l'ombre relativement au sol est diminuée :

où \lambda est la latitude du lieu d'observation.

• À l'équateur (\lambda = 0) :

  v_{\text{sol}} \simeq 950 - 448 \simeq 500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

  La vitesse est diminuée de près de moitié (réduction de l'ordre de 45\,\% à 50\,\%).

• Aux latitudes moyennes (en France par exemple, \lambda \simeq 45^\circ, \cos\lambda \simeq 0,7) :

  v_{\text{sol}} \simeq 950 - 450 \times 0,7 \simeq 630\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

  La vitesse est diminuée d'environ un tiers (réduction de l'ordre de 30\,\% à 35\,\%).

L'équation d'Euler (1) traduit le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule de fluide élémentaire de volume \mathrm{d}\tau et de masse \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}\tau.

Chaque terme de cette équation représente donc une densité volumique de force (force par unité de volume) :

• \vec{f}_{\text{autres}} désigne la somme des éventuelles autres densités volumiques de forces extérieures appliquées au fluide, distinctes de la pesanteur (\rho\vec{g}) et des forces de pression (-\overrightarrow{\operatorname{grad}} P). Il peut s'agir par exemple de forces électromagnétiques (force de Lorentz ou de Laplace volumique \rho_e \vec{E} + \vec{j}\wedge\vec{B} pour un fluide conducteur ou ionisé), de forces d'inertie (si le référentiel d'étude est non galiléen), ou encore de forces visqueuses volumiques (\eta\Delta\vec{v}) si l'on s'écartait de l'hypothèse du fluide parfait.

Par analyse dimensionnelle :

L'unité usuelle dans le Système International est donc :

(on peut également l'exprimer en \mathrm{Pa\cdot m^{-1}}).

Dans la description eulérienne, l'accélération d'une particule fluide s'exprime par la dérivée particulaire (ou convective) du champ de vitesse :

D'après l'identité vectorielle relative à l'advection :

L'écoulement étant ici supposé irrotationnel (\overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{v} = \vec{0}), le terme convectif se réduit à :

Ce terme représente donc l'accélération convective (ou advective) de la particule fluide, liée au fait qu'une particule fluide en mouvement explore des régions de l'espace où la vitesse d'écoulement est différente.

Pour la dimension et l'unité :

Il s'agit donc bien de la dimension d'une accélération. Son unité usuelle dans le Système international est le mètre par seconde au carré (\mathrm{m \cdot s^{-2}}).

Considérons une onde se propageant à la célérité c, de période temporelle caractéristique T (ou pulsation \omega = 2\pi/T) et de longueur d'onde spatiale caractéristique \lambda (ou nombre d'onde k = 2\pi/\lambda), reliées par :

Notons v = \|\vec{v}\| l'ordre de grandeur de la vitesse particulaire au passage de l'onde. Évaluons les ordres de grandeur des deux composantes de l'accélération particulaire présentes dans le membre de gauche de l'équation d'Euler (1) :

• L'accélération locale \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} varie sur l'échelle temporelle T :

  \left\| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right\| \sim \frac{v}{T} \sim \omega v

• L'accélération convective \overrightarrow{\operatorname{grad}}\frac{\vec{v}^2}{2} varie sur l'échelle spatiale \lambda :

  \left\| \overrightarrow{\operatorname{grad}}\frac{\vec{v}^2}{2} \right\| \sim \frac{v^2}{\lambda} \sim k v^2

Comparons les ordres de grandeur de ces deux termes :

Sous l'hypothèse \|\vec{v}\| \ll c, ce rapport est très petit devant 1 :

Le terme d'accélération convective est donc négligeable devant l'accélération locale \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}.

L'équation locale traduisant la conservation de la masse (ou équation de continuité) s'écrit :

Elle peut également s'écrire sous la forme équivalente :

Pour un gaz parfait subissant une transformation isentropique (adiabatique et réversible) avec \gamma = C_P/C_V constant, la loi de Laplace s'écrit :

Par différentiation logarithmique à entropie S fixée, on obtient :

Par définition du coefficient de compressibilité isentropique évalué à l'état de repos de pression P_0 :

L'équation de conservation de la masse rappelée à la question Q11 s'écrit :

En y introduisant \rho(\vec{r},t) = \rho_0 + \delta\rho(\vec{r},t) avec \rho_0 constant et uniforme :

À l'ordre 1 de l'approximation acoustique, le terme \delta\rho\,\vec{v}, produit de deux grandeurs perturbatives du premier ordre, est négligeable devant \rho_0 \operatorname{div}\vec{v}. L'équation linéarisée devient :

Le champ de vitesse étant unidimensionnel selon \widehat{e}_x, la divergence se réduit à :

De plus, la dérivée temporelle de la fluctuation de masse volumique vaut :

En substituant ces dérivées dans l'équation de continuité linéarisée, on obtient :

On en déduit l'expression de l'amplitude de vitesse :

D'après les questions Q8 et Q10, avec \vec{f}_{\text{autres}} = \vec{0} et en négligeant le terme convectif \overrightarrow{\operatorname{grad}}\frac{\vec{v}^2}{2}, l'équation d'Euler (1) s'écrit au premier ordre :

À l'équilibre hydrostatique en l'absence d'onde, \vec{0} = \rho_0 \vec{g} - \overrightarrow{\operatorname{grad}} P_{\text{éq}}, d'où \overrightarrow{\operatorname{grad}} P_{\text{éq}} = -\rho_0 g \widehat{e}_z. L'onde acoustique se propageant selon l'axe horizontal (Ox), la projection selon \widehat{e}_x ne fait intervenir que la surpression acoustique \delta P :

La relation thermodynamique donnée dans l'énoncé relie la surpression à la fluctuation de masse volumique :

En notation complexe, avec \underline{v}(x,t) = \underline{V_0} \exp[\mathrm{i}(\omega t - kx)] et \delta \underline{\rho}(x,t) = A \exp[\mathrm{i}(\omega t - kx)], les dérivées s'écrivent :

L'équation d'Euler projetée devient alors :

En utilisant l'expression de \underline{V_0} = \frac{\omega A}{k \rho_0} obtenue à la question Q13, il vient :

En simplifiant par A \neq 0, on obtient l'équation de dispersion :

La vitesse de phase de l'onde acoustique est définie par :

La vitesse de phase ne dépend ni de la pulsation \omega, ni du nombre d'onde k. Par conséquent, la propagation n'est pas dispersive.

D'après les résultats des questions Q12 et Q14, la propagation de l'onde acoustique est non dispersive et s'effectue à la célérité :

avec \chi = \frac{1}{\gamma P_0} pour un gaz parfait en évolution isentropique.

L'équation d'état des gaz parfaits appliquée à l'air au repos donne :

On en déduit l'expression de la vitesse du son (formule de Laplace) :

Effectuons l'application numérique avec :

• \gamma = 1{,}4 ;
• R = 8{,}3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• T = 290\text{ K} ;
• M = 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 29 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}.

Le calcul donne :

En utilisant l'indication de l'énoncé \sqrt{12} \simeq 3{,}5, il vient :

(Une valeur plus précise donnerait \sqrt{11{,}62}\cdot 10^2 \simeq 3{,}4 \cdot 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}).

1. Variations de pression dans l'air : La masse volumique de l'air \rho_{\text{air}} \simeq 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} est très faible devant celle de l'eau \rho_0 \simeq 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} :

   \frac{\rho_{\text{air}}}{\rho_0} \sim 10^{-3} \ll 1

   L'inertie de l'air ainsi que les fluctuations de pression associées au déplacement vertical \eta de l'interface (\delta P_{\text{air}} \sim \rho_{\text{air}} g \eta) sont donc totalement négligeables devant celles mises en jeu dans l'eau (\delta P_{\text{eau}} \sim \rho_0 g \eta). Ainsi, la pression de l'air au voisinage immédiat de l'interface peut être considérée comme uniforme et constante, égale à P_0.

2. Dérivation de la vitesse d'un potentiel scalaire : D'après le préambule de la partie II et l'introduction du modèle fluide en II.A, l'écoulement est supposé irrotationnel :

   \overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{v} = \vec{0}

   Dans le domaine fluide, supposé simplement connexe, tout champ vectoriel de rotationnel nul dérive d'un potentiel scalaire (propriété vectorielle rappelée en fin d'énoncé : \overrightarrow{\operatorname{rot}}(\overrightarrow{\operatorname{grad}} A) = \vec{0}). Il existe donc un champ scalaire A(\vec{r},t), appelé potentiel des vitesses, tel que :

   \boxed{\vec{v} = \overrightarrow{\operatorname{grad}}A(\vec{r},t)}

1. Équation de Laplace pour A

L'eau étant modélisée comme un fluide incompressible (\rho = \rho_0 = \mathrm{cste}), l'équation de conservation de la masse (rappelée à la question Q11) se réduit à :

Comme l'écoulement est irrotationnel, la vitesse dérive d'un potentiel des vitesses scalaire : \vec{v} = \overrightarrow{\operatorname{grad}} A. En utilisant l'identité vectorielle \operatorname{div}(\overrightarrow{\operatorname{grad}} A) = \Delta A, on obtient immédiatement :

2. Équation de Bernoulli généralisée

Dans le cadre des petites amplitudes validé à la question Q10 (\|\vec{v}\| \ll c), le terme convectif \overrightarrow{\operatorname{grad}}\frac{\vec{v}^2}{2} est négligeable devant la dérivée temporelle. L'équation d'Euler (1) s'écrit alors (avec \vec{f}_{\text{autres}} = \vec{0} et \vec{g} = -g \widehat{e}_z = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}(gz)) :

En introduisant \vec{v} = \overrightarrow{\operatorname{grad}} A et en divisant par \rho_0 :

L'intégration spatiale conduit à :

où C(t) est une fonction arbitraire du temps. Le champ des vitesses \vec{v} = \overrightarrow{\operatorname{grad}} A étant invariant par l'addition à A d'une fonction dépendant uniquement du temps, on peut choisir la jauge de telle sorte que la nouvelle fonction potentiel A - \int C(t)\,\mathrm{d}t (notée encore A) vérifie :

En dérivant cette relation par rapport au temps pour une particule fluide dont la cote verticale varie à la vitesse v_z = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}, on obtient :

D'après la question Q17, le potentiel des vitesses vérifie l'équation de Laplace :

Avec \underline{A}(\vec{r},t) = f(z) \exp[\mathrm{i}(\omega t - k x)], en utilisant l'expression du laplacien scalaire en coordonnées cartésiennes :

La fonction f(z) vérifie donc l'équation différentielle :

Pour k > 0, la solution générale s'écrit sous la forme :

Le champ des vitesses \vec{v} = \overrightarrow{\operatorname{grad}} A doit rester borné lorsque l'on s'éloigne de la surface vers le fond (z \to -\infty). Comme \lim_{z \to -\infty} \mathrm{e}^{-kz} = +\infty, on doit nécessairement imposer :

Enfin, en z = 0, la condition f(0) = f_0 impose C_1 = f_0. On en déduit :

À la surface libre de l'eau (z \simeq 0), la continuité de la pression impose P(x, z \simeq 0, t) = P_0. L'air étant supposé isobare, la pression P_0 est constante et uniforme :

L'équation de Bernoulli généralisée (2) devient donc au niveau de la surface libre :

D'après la question Q16, \vec{v} = \overrightarrow{\operatorname{grad}} A, donc la composante verticale de la vitesse s'écrit :

En utilisant l'expression du potentiel scalaire obtenue à la question Q18, \underline{A}(x,z,t) = f_0 \mathrm{e}^{kz} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - kx)}, on a :

En injectant ces relations évaluées en z = 0 dans l'équation de Bernoulli à la surface, on obtient :

Comme l'amplitude de l'onde n'est pas identiquement nulle, on en déduit l'équation de dispersion :

La vitesse de phase de l'onde s'écrit alors :

La vitesse de phase dépend du vecteur d'onde k (ou de la pulsation \omega) : la propagation est dispersive.

On peut également calculer la vitesse de groupe :

ce qui confirme le caractère dispersif des ondes de gravité en eau profonde.

D'après la relation de dispersion obtenue à la question Q19, \omega^2 = gk, la vitesse de phase v = v_\varphi = \frac{\omega}{k} s'écrit :

On en déduit immédiatement la pulsation \omega et le nombre d'onde k :

La fréquence f de l'onde s'exprime alors par :

Avec g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et v = 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

La longueur d'onde \lambda s'en déduit par \lambda = \frac{v}{f} = \frac{2\pi}{k} :

Application numérique :

Le bateau B est animé d'un mouvement rectiligne uniforme de vitesse \vec{V} = V_0 \widehat{e}_x dans le référentiel (\mathcal{R}_0). Comme B est en O à l'instant t=0, sa position à l'instant t est donnée par :

Les axes du référentiel (\mathcal{R}) = (Bxyz) étant parallèles à ceux de (\mathcal{R}_0), la relation de Chasles s'écrit :

D'où l'expression du vecteur position \vec{r}' de P dans (\mathcal{R}) :

Les coordonnées du point P dans le référentiel (\mathcal{R}) sont donc :

soit vectoriellement :

Dans le référentiel (\mathcal{R}_0), la surface de l'eau oscille selon :

En y injectant \vec{r} = \vec{r}' + \vec{V} t, on obtient l'amplitude de l'onde exprimée dans le référentiel (\mathcal{R}) du bateau :

D'après la question Q21, l'élévation de la surface de l'eau en un point de vecteur position \vec{r}\,' dans le référentiel (\mathcal{R}) lié au bateau s'écrit :

Pour un observateur lié au bateau, le sillage présente une structure permanente et stationnaire dans le temps. La hauteur d'eau Z(\vec{r}\,', t) en une position \vec{r}\,' donnée de (\mathcal{R}) est donc indépendante de la variable temporelle t :

En dérivant l'expression de Z(\vec{r}\,', t) par rapport à t à \vec{r}\,' fixé, il vient :

Cette condition devant être vérifiée en tout point du sillage et à tout instant, on en déduit immédiatement la relation de Kelvin :

Le bateau, animé de la vitesse constante \vec{V} = V_0 \widehat{e}_x, passe en O à l'instant t = 0. À l'instant t, sa position B vérifie donc :

L'onde émise en O à t = 0 se propage radialement vers le point Q à la vitesse de phase v_\varphi = \omega/k. Le vecteur d'onde associé est colinéaire à la direction de propagation \overrightarrow{OQ} et de même sens :

D'après la relation de Kelvin établie à la question Q22, la stationnarité du sillage dans le référentiel du bateau impose :

En multipliant cette relation par la durée t, on obtient :

Or, d'une part \omega t = (k v_\varphi) t = k \, OQ, et d'autre part :

L'égalité de ces deux expressions conduit immédiatement à :

En décomposant \overrightarrow{QB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OQ}, on calcule enfin :

D'après le résultat de la question précédente, le triangle OQB est rectangle en Q :

Pendant la durée t écoulée depuis le passage de la source en O (t = 0) jusqu'à sa position en B (t) :

• la source s'est déplacée à la vitesse V, d'où la distance parcourue :

  OB = V t

• l'onde émise en O a progressé à la vitesse de phase v_\varphi, d'où la distance au front d'onde :

  OQ = v_\varphi t

Par définition, le demi-angle au sommet du sillage est \theta = \widehat{OBQ}, angle formé au niveau de la source B entre la trajectoire du navire et la ligne de crête du sillage (BQ). Dans le triangle OQB rectangle en Q, on a :

On en déduit directement l'expression de la vitesse de phase de l'onde :

La mesure expérimentale de l'angle d'ouverture du sillage \theta et de la vitesse de déplacement V de la source permet donc de déterminer la vitesse de phase v_\varphi.

1. Sens et vitesse de déplacement de l'éclipse

• Sens de déplacement : d'après les graduations temporelles indiquées sur la trajectoire (10:15 UT en haut à gauche, jusqu'à 10:40 UT plus à l'est), l'ombre de l'éclipse se déplace d'ouest-nord-ouest vers l'est-sud-est (globalement d'ouest en est), ce qui est matérialisé par le vecteur vitesse \vec{V}.

• Vitesse de déplacement V : Entre t_1 = 10\text{ h }15\text{ min} et t_2 = 10\text{ h }40\text{ min}, la durée écoulée est :

  \Delta t = 25\text{ min} = 1\,500\text{ s}

  Sur la carte, la distance parcourue par le centre de l'ombre pendant cette durée est d'environ \Delta L \approx 1\,000\text{ km} = 1{,}0\cdot 10^6\text{ m} (mesurée le long de la trajectoire entre les repères d'abscisse). On en déduit :

  V = \frac{\Delta L}{\Delta t} \approx \frac{1{,}0\cdot 10^6}{1\,500} \approx 670\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 7\cdot 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

  Commentaire : cette vitesse est en excellent accord avec la vitesse au sol de l'ombre estimée à la question 7 (v_{\text{sol}} \approx 600\text{ à }650\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} en tenant compte de la rotation de la Terre).

2. Vitesse de phase de l'onde générée Le sillage forme un cône de Mach en V. D'après la géométrie de la figure 5 (droite), pour une avancée longitudinale de \Delta x \approx 600\text{ km}, le demi-écartement transversal est de \Delta y \approx 300\text{ km}, ce qui correspond à un demi-angle au sommet :

En utilisant la relation établie à la question 24, v_\varphi = V\sin\theta :

3. Nature de l'onde

• La vitesse de phase obtenue (v_\varphi \approx 330\text{--}340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) coïncide remarquablement avec la vitesse du son dans l'air calculée à la question 15 (v_g \approx 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}).
• Elle est en revanche totalement incompatible avec la vitesse de phase des ondes de gravité de la question 20 (v \approx 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, qui donnerait un angle \theta \approx \arcsin(20/670) \approx 1{,}7^\circ, bien trop étroit pour correspondre au sillage observé).

Il s'agit donc d'une onde acoustique (ou onde de choc acoustique / onde infrasonore) générée par le déplacement supersonique du spot froid de l'éclipse (V \approx 2\,c_{\text{son}}, soit un nombre de Mach \mathcal{M} \approx 2).

L'atmosphère est modélisée au sol comme un gaz parfait à la température T_0 et sous la pression P_0. L'équation d'état des gaz parfaits s'écrit :

où N est le nombre total de molécules contenues dans le volume V. La densité particulaire n^* = N/V au niveau du sol vérifie donc :

Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

• P_0 = 1\text{ bar} = 1{,}0 \cdot 10^5\text{ Pa} ;
• k_{\mathrm{B}} = 1{,}4 \cdot 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} ;
• T_0 = 270\text{ K} ;

on obtient :

L'air étant au repos dans le champ de pesanteur \vec{g} = -g\widehat{e}_z, la loi de la statique des fluides s'écrit :

En modélisant l'air comme un gaz parfait isotherme à la température T_0, la masse volumique \rho(z) s'exprime en fonction de la densité particulaire n(z) et de la masse moyenne m_0 d'une molécule d'air :

En injectant cette relation dans l'équation de la statique des fluides, il vient :

Par intégration avec la condition au niveau du sol P(0) = P_0, on obtient :

Puisque k_{\mathrm{B}} = R/\mathcal{N}_{\mathrm{A}} et que la masse molaire de l'air vaut M = m_0 \mathcal{N}_{\mathrm{A}} = 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} (donnée de la question 15), la hauteur d'échelle H s'écrit également :

Avec R = 8{,}3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, T_0 = 270\text{ K}, M = 29 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

L'ordre de grandeur de H est ainsi :

D'après la loi barométrique obtenue à la question Q27, pour une atmosphère isotherme à température T_0, la densité particulaire totale de l'air n(z) = P(z)/(k_{\mathrm{B}}T_0) s'écrit en fonction de la densité au sol n^* (calculée en Q26) :

À l'altitude où la densité particulaire des ions est maximale, on a \exp(-z/H) \simeq 10^{-10}, d'où :

D'après l'introduction de la partie III, à cette altitude, environ une particule d'air sur 1\,000 est ionisée par le rayonnement solaire :

Numériquement :

Le champ électrique associé aux oscillations spontanées du plasma est de la forme :

où l'amplitude vectorielle \underline{E}_0\,\widehat{e}_x est uniforme dans l'espace (le milieu est supposé homogène et les électrons oscillent en bloc).

Calculons le rotationnel du champ électrique à l'aide de l'expression fournie en fin de sujet :

Puisque le champ électrique n'a de composante que selon \widehat{e}_x et que celle-ci ne dépend ni de y ni de z, il vient immédiatement :

D'après l'équation de Maxwell-Faraday :

Le champ magnétique \vec{B} ne dépend donc pas du temps :

On étudie un électron de charge q = -e et de masse m_e dans le référentiel d'étude supposé galiléen (lié aux ions immobiles). En négligeant le champ magnétique ainsi que le poids de l'électron devant la force électrique, la seconde loi de Newton s'écrit :

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, en notation complexe avec la convention adoptée \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, l'opérateur de dérivation temporelle devient \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \equiv \mathrm{i}\omega :

Les ions étant immobiles, seuls les électrons de densité volumique n_0 contribuent au courant électrique. La densité volumique de courant s'écrit :

En remplaçant l'expression de la vitesse, on obtient :

Cette relation est bien de la forme de la loi d'Ohm locale \vec{j} = \underline{\gamma}(\omega)\vec{E}, avec :

L'équation de Maxwell–Ampère locale s'écrit :

D'après la question Q29, le champ magnétique \vec{B} est négligé dans cette partie, ce qui implique \overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{B} = \vec{0}. L'équation de Maxwell–Ampère impose donc l'annulation de la densité de courant totale (courant de conduction et courant de déplacement) :

En adoptant la notation complexe avec une dépendance temporelle en \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, la dérivée temporelle se traduit par \frac{\partial}{\partial t} \rightarrow \mathrm{i}\omega. En utilisant l'expression de la loi d'Ohm locale obtenue à la question Q30, \vec{j} = \underline{\gamma}(\omega)\vec{E}, il vient :

Pour obtenir une oscillation spontanée non triviale du champ électrique et des électrons (\vec{E} \neq \vec{0} et \vec{v} \neq \vec{0}), le terme entre parenthèses doit s'annuler, soit :

On en déduit la pulsation propre des oscillations, notée \omega_p et appelée pulsation plasma :

D'après l'énoncé, la densité volumique des électrons dans la haute atmosphère vérifie en tout point :

La pulsation de plasma maximale correspondante vaut ainsi :

La fréquence maximale f_{p,\max} associée à ces oscillations de plasma est :

Numériquement, avec 2\pi \simeq 6{,}28 :

La densité électronique variant de n_0 \approx 0 à la base de l'ionosphère jusqu'à sa valeur maximale, le domaine de fréquence des oscillations de plasma s'étend donc de 0 à la valeur maximale :

L'équation (3) provient de l'application de la seconde loi de Newton à un électron de masse m_e et de charge -e dans le référentiel d'étude :

En adoptant la notation complexe à la pulsation \omega et en régime forcé, avec \vec{v} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \mathrm{i}\omega \vec{r}, soit \vec{r} = \frac{\vec{v}}{\mathrm{i}\omega}, on identifie l'origine de chaque terme :

• \mathrm{i} m_e \omega \vec{v} = m_e \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} : terme d'inertie (masse multipliée par l'accélération) ;
• -e \vec{E} : force d'interaction coulombienne, c'est-à-dire la force électrique exercée par l'onde électromagnétique sur l'électron ;
• -m_e \frac{\omega_0^2}{\mathrm{i} \omega} \vec{v} = -m_e \omega_0^2 \vec{r} : force de rappel élastique exercée par le reste de l'atome ou de la molécule sur l'électron optique lié (pulsation propre de résonance \omega_0) ;
• -\frac{m_e}{\tau} \vec{v} : force de frottement fluide phénoménologique modélisant l'amortissement du mouvement par collisions ou rayonnement.

Absence de terme lié au champ magnétique :

La force de Lorentz complète subie par l'électron comprend une composante magnétique \vec{F}_m = -e(\vec{v} \wedge \vec{B}). Pour une onde électromagnétique se propageant dans le milieu à la vitesse v_\varphi \sim c, la relation de structure donne B \sim E/c. Par conséquent :

car le mouvement des électrons est très largement non relativiste (v \ll c). La composante magnétique est donc tout à fait négligeable devant la composante électrique.

Signification physique de \tau :

La constante \tau est le temps de relaxation (ou temps libre moyen entre deux collisions successives subies par un électron). Elle caractérise l'échelle de temps nécessaire pour dissiper l'énergie cinétique acquise sous l'action de l'onde.

Particularité du modèle si \tau \to \infty :

Lorsque \tau \to \infty, la force de frottement s'annule : le milieu est modélisé comme un milieu sans collisions, non dissipatif (l'onde électromagnétique s'y propage sans absorption ni pertes d'énergie par effet Joule).

1. Caractère transverse des ondes :

Le milieu possède une densité volumique de charge nulle (\rho = 0). D'après l'équation de Maxwell-Gauss et l'équation de conservation du flux magnétique :

Pour une onde plane progressive harmonique où les champs dépendent de l'espace par le facteur \exp\left[\mathrm{i}\left(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}\right)\right], l'opérateur divergence se traduit par -\mathrm{i}\vec{k}\cdot :

De plus, l'équation de Maxwell-Faraday donne :

Les champs \vec{E} et \vec{B} sont donc tous deux orthogonaux au vecteur d'onde \vec{k} : l'onde électromagnétique est transverse (à la fois transverse électrique et transverse magnétique).

2. Relation constitutive du milieu :

Dans l'approximation non collisionnelle (\tau \to \infty), l'équation dynamique (3) s'écrit :

D'où l'expression du champ de vitesse des électrons :

La densité volumique de courant associée est alors :

En introduisant la pulsation de plasma \omega_p^2 = \frac{n_0 e^2}{\varepsilon_0 m_e} définie à la question Q31 :

3. Équation de dispersion :

Injectons \vec{B} = \frac{\vec{k}\wedge\vec{E}}{\omega} dans l'équation de Maxwell-Ampère :

Le membre de gauche s'écrit, compte tenu de \vec{k}\cdot\vec{E}=0 :

Le membre de droite s'exprime, sachant que \mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2 :

En identifiant les deux termes pour une amplitude non nulle \vec{E} \neq \vec{0}, on obtient :

D'après la question Q34, l'équation de dispersion en l'absence d'amortissement (\tau \to \infty) s'écrit :

Par définition de l'indice optique N, la vitesse de phase est v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{c}{N}, ce qui donne :

Sous la condition \omega \ll \omega_0, effectuons un développement limité au second ordre en \omega/\omega_0 (le terme d'ordre 1 étant nul par parité) :

Par ailleurs, la condition \omega_p \ll \omega \ll \omega_0 implique \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2} \ll 1. On peut alors développer la racine carrée (1+u)^{1/2} = 1 + \frac{u}{2} + o(u) :

On obtient ainsi :

Remarque : Sans faire l'approximation \omega_p \ll \omega_0, le développement en \omega au premier ordre non nul s'écrit de façon équivalente N(\omega) \simeq \sqrt{1 + \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2}}\left(1 + \frac{\omega_p^2 \omega^2}{2\omega_0^2(\omega_0^2 + \omega_p^2)}\right).

Commentaires sur le résultat obtenu :

• Loi de Cauchy : En reliant la pulsation à la longueur d'onde dans le vide \lambda = \frac{2\pi c}{\omega}, l'indice se met sous la forme :

  N(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} \quad \text{avec} \quad A = 1 + \frac{\omega_p^2}{2\omega_0^2} > 1 \quad \text{et} \quad B = \frac{2\pi^2 c^2 \omega_p^2}{\omega_0^4} > 0

  Le modèle de l'électron élastiquement lié permet ainsi de retrouver théoriquement la loi phénoménologique de Cauchy pour les milieux transparents.

• Dispersion normale : Comme B > 0, l'indice N augmente avec la fréquence \omega (ou diminue quand \lambda augmente : \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}\lambda} < 0). La lumière bleue est donc davantage réfractée que la lumière rouge dans la basse atmosphère.
• Ordre de grandeur : Comme \omega_p \ll \omega_0, l'indice N est supérieur à 1 mais reste extrêmement proche de 1, ce qui est conforme à la valeur de l'indice de réfraction de l'air (N_{\text{air}} \simeq 1{,}0003).

En posant \omega_0 = 0 dans l'équation de dispersion établie à la question Q34, on obtient immédiatement l'équation de dispersion d'un plasma non magnétisé et sans collisions :

soit sous la forme canonique :

• Domaine de transparence : Le milieu est transparent si l'onde se propage sans atténuation, ce qui correspond à un vecteur d'onde k réel non nul, soit k^2 > 0. Cela impose :

  \omega^2 > \omega_p^2 \iff \omega > \omega_p

  En termes de fréquence f = \omega / (2\pi), le domaine de transparence est donc :

  \boxed{f > f_p = \frac{\omega_p}{2\pi}}

  Pour f < f_p, k^2 < 0 : le vecteur d'onde est imaginaire pur (k = -\mathrm{i}\alpha), l'onde est évanescente et le milieu est opaque (réflexion totale).

• Caractère dispersif : Dans le domaine de transparence, la vitesse de phase s'écrit :

  v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{c}{\sqrt{1 - \dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}}}

  La vitesse de phase dépend explicitement de la pulsation \omega (ou de façon équivalente, la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = c \sqrt{1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}} \neq v_\varphi). La propagation est donc dispersive.

1. Expression des champs magnétiques

Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant selon un vecteur d'onde \vec{k}, l'équation de Maxwell-Faraday \vec{\nabla}\wedge\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} conduit à la relation :

• Pour l'onde incidente, \vec{k}_i = \frac{\omega}{c}\widehat{e}_z et \vec{E}_i = E_0 \exp\left[\mathrm{i}\omega\left(t - \frac{z}{c}\right)\right]\widehat{e}_x :

  \boxed{\vec{B}_i = \frac{E_0}{c} \exp\left[\mathrm{i}\omega\left(t - \frac{z}{c}\right)\right]\widehat{e}_y}

• Pour l'onde réfléchie, \vec{k}_r = -\frac{\omega}{c}\widehat{e}_z et \vec{E}_r = \underline{\rho} E_0 \exp\left[\mathrm{i}\omega\left(t + \frac{z}{c}\right)\right]\widehat{e}_x :

  \boxed{\vec{B}_r = -\frac{\underline{\rho} E_0}{c} \exp\left[\mathrm{i}\omega\left(t + \frac{z}{c}\right)\right]\widehat{e}_y}

• Pour l'onde transmise, \vec{k}_t = k\widehat{e}_z et \vec{E}_t = \underline{\beta} E_0 \exp[\mathrm{i}(\omega t - kz)]\widehat{e}_x :

  \boxed{\vec{B}_t = \frac{k\underline{\beta} E_0}{\omega} \exp[\mathrm{i}(\omega t - kz)]\widehat{e}_y}

2. Détermination du coefficient de réflexion \underline{\rho}

En l'absence de charges ou de courants superficiels en z = 0, les composantes tangentielles \vec{E}\cdot\widehat{e}_x et \vec{B}\cdot\widehat{e}_y sont continues à l'interface pour tout t :

En substituant \underline{\beta} = 1 + \underline{\rho} dans la seconde relation :

D'où l'expression de \underline{\rho} en fonction de \omega, c et k :

3. Expression en fonction de \omega et \omega_p

La relation de dispersion dans l'ionosphère est k^2 c^2 = \omega^2 - \omega_p^2. Deux situations physiques se présentent :

• Si \omega > \omega_p (milieu transparent), l'onde transmise est propagative vers les z > 0, donc kc = \sqrt{\omega^2 - \omega_p^2} > 0 :

  \boxed{\underline{\rho} = \frac{\omega - \sqrt{\omega^2 - \omega_p^2}}{\omega + \sqrt{\omega^2 - \omega_p^2}}}

• Si \omega < \omega_p (milieu réactif), l'onde est évanescente dans l'ionosphère (z > 0). Pour assurer la décroissance physique du champ quand z \to +\infty, le terme spatial \exp(-\mathrm{i}kz) impose d'adopter la racine kc = -\mathrm{i}\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} :

  \boxed{\underline{\rho} = \frac{\omega + \mathrm{i}\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}}{\omega - \mathrm{i}\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}}}