Feuille d'entraînement : Ondes acoustiques

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique 2 PC 2026, Q33

   L'état de repos est uniforme et stationnaire : \mu_0, p_0, T_0 sont constants et la vitesse au repos est nulle (v_0 = 0). Les grandeurs indicées par 1 sont des infiniment petits du premier ordre.

   1. Équation de conservation de la masse L'écoulement étant unidimensionnel suivant l'axe x, l'équation de conservation de la masse s'écrit :

   \frac{\partial \mu}{\partial t} + \frac{\partial(\mu v)}{\partial x} = 0

   En introduisant les grandeurs perturbées :

   \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0 + \mu_1) + \frac{\partial}{\partial x}\big((\mu_0 + \mu_1)v_1\big) = 0

   Puisque \mu_0 est constante et que le terme \mu_1 v_1 est d'ordre 2, la relation linéarisée au premier ordre devient :

   \frac{\partial \mu_1}{\partial t} + \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial x} = 0

   2. Équation d'Euler En négligeant la pesanteur devant les forces de pression acoustiques, la projection de l'équation d'Euler sur l'axe x s'écrit :

   \mu \left( \frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial x} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x}

   En y substituant les grandeurs perturbées :

   (\mu_0 + \mu_1)\left( \frac{\partial v_1}{\partial t} + v_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} \right) = -\frac{\partial(p_0 + p_1)}{\partial x}

   Le terme convectif v_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} ainsi que le produit \mu_1 \frac{\partial v_1}{\partial t} sont d'ordre 2. Sachant que p_0 est uniforme (\frac{\partial p_0}{\partial x} = 0), la linéarisation au premier ordre donne :

   \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial t} = -\frac{\partial p_1}{\partial x}

   3. Coefficient de compressibilité isentropique L'évolution acoustique étant supposée isentropique, on a par définition :

   \chi_S = \frac{1}{\mu}\left(\frac{\partial \mu}{\partial p}\right)_S \implies \mathrm{d}\mu = \mu \chi_S\,\mathrm{d}p

   Au premier ordre autour de l'état de repos (\mu_0, p_0), avec \chi_S évalué à l'état de référence :

   \mu_1 = \mu_0 \chi_S p_1

   En dérivant cette relation par rapport au temps, on obtient l'équation différentielle correspondante :

   \frac{\partial \mu_1}{\partial t} = \mu_0 \chi_S \frac{\partial p_1}{\partial t}

   Système des trois équations différentielles Les trois équations différentielles régissant l'évolution des perturbations du premier ordre forment le système :

   \boxed{\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial \mu_1}{\partial t} + \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial x} &= 0 \\[4pt] \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial t} + \frac{\partial p_1}{\partial x} &= 0 \\[4pt] \frac{\partial \mu_1}{\partial t} - \mu_0 \chi_S \frac{\partial p_1}{\partial t} &= 0 \end{aligned} \right.}

   Résultat

   $$\{\begin{array}{rl}\frac{\partial {\mu }_1}{\partial t}+{\mu }_0\frac{\partial v_1}{\partial x}& =0\\ {\mu }_0\frac{\partial v_1}{\partial t}+\frac{\partial p_1}{\partial x}& =0\\ \frac{\partial {\mu }_1}{\partial t}-{\mu }_0{\chi }_S\frac{\partial p_1}{\partial t}& =0\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 2 PC 2026, Q34

   D'après la question Q33, le système d'équations linéarisées s'écrit :

   \begin{align*} \frac{\partial \mu_1}{\partial t} + \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial x} &= 0 \tag{1} \\ \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial t} &= -\frac{\partial p_1}{\partial x} \tag{2} \\ \mu_1 &= \mu_0 \chi_S p_1 \tag{3}\end{align*}

   En dérivant la relation (3) par rapport au temps t, on obtient :

   \frac{\partial \mu_1}{\partial t} = \mu_0 \chi_S \frac{\partial p_1}{\partial t}

   En injectant cette expression dans l'équation de conservation de la masse (1), et après simplification par \mu_0 > 0, il vient :

   \chi_S \frac{\partial p_1}{\partial t} + \frac{\partial v_1}{\partial x} = 0

   Dérivons cette équation par rapport au temps t :

   \chi_S \frac{\partial^2 p_1}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 v_1}{\partial t \partial x} = 0

   Par ailleurs, dérivons l'équation d'Euler (2) par rapport à x :

   \mu_0 \frac{\partial^2 v_1}{\partial x \partial t} = -\frac{\partial^2 p_1}{\partial x^2} \implies \frac{\partial^2 v_1}{\partial x \partial t} = -\frac{1}{\mu_0}\frac{\partial^2 p_1}{\partial x^2}

   En vertu du théorème de Schwarz, l'inversion de l'ordre des dérivées partielles est licite :

   \frac{\partial^2 v_1}{\partial t \partial x} = \frac{\partial^2 v_1}{\partial x \partial t}

   On en déduit :

   \chi_S \frac{\partial^2 p_1}{\partial t^2} - \frac{1}{\mu_0} \frac{\partial^2 p_1}{\partial x^2} = 0

   soit l'équation de d'Alembert unidimensionnelle :

   \boxed{\frac{\partial^2 p_1}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p_1}{\partial t^2} = 0}

   avec la célérité c des ondes acoustiques donnée par :

   \boxed{c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \chi_S}}}

   Résultat

   $$\frac{{\partial }^2{p}_1}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2{p}_1}{\partial t^2}=0$$

   $$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\chi }_S}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q28

   Dans le cadre de l'approximation acoustique, les compressions et dilatations du fluide sont suffisamment rapides pour que les échanges thermiques soient négligeables, et les gradients d'amplitude suffisamment faibles pour négliger la dissipation visqueuse au sein de l'onde : l'évolution est isentropique.

   Le coefficient de compressibilité isentropique \chi d'un volume V de fluide est défini par :

   \chi = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_S

   Pour une masse de fluide m = \rho V constante, la différentiation logarithmique donne :

   \frac{\mathrm{d}m}{m} = \frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} + \frac{\mathrm{d}V}{V} = 0 \implies \frac{\mathrm{d}V}{V} = -\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho}

   On en déduit l'expression de \chi en fonction de la masse volumique \rho :

   \chi = \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_S

   En se plaçant au premier ordre autour de l'état d'équilibre caractérisé par la masse volumique moyenne \rho_0, la fluctuation de masse volumique \underline{\rho} = \rho - \rho_0 s'écrit directement en fonction de la surpression acoustique \underline{p} :

   \boxed{\underline{\rho} = \rho_0 \chi \underline{p}}

   Résultat

   $$\underline{\rho }={\rho }_0\chi \underline{p}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q29

   Dans un fluide parfait (\eta = 0) au repos en moyenne (\vec{v}_0 = \vec{0}), l'équation de Navier-Stokes linéarisée obtenue à la question Q27 s'écrit :

   \rho_0 \frac{\partial \underline{\vec{v}}}{\partial t} = -\vec{\mathrm{grad}}\,\underline{p}

   Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant selon le facteur de phase \exp[\mathrm{i}(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})], les opérateurs différentiels deviennent :

   \frac{\partial}{\partial t} \longrightarrow \mathrm{i}\omega \quad \text{et} \quad \vec{\mathrm{grad}} \longrightarrow -\mathrm{i}\vec{k}

   L'équation d'Euler linéarisée devient ainsi :

   \rho_0 (\mathrm{i}\omega \underline{\vec{v}}) = -(-\mathrm{i}\vec{k}\underline{p}) = \mathrm{i}\vec{k}\underline{p}

   En simplifiant par \mathrm{i}, on obtient la première relation :

   \boxed{\rho_0 \omega \underline{\vec{v}} = \vec{k}\underline{p}}

   L'équation locale de conservation de la masse est :

   \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = 0

   Avec \rho = \rho_0 + \underline{\rho} et \vec{v} = \underline{\vec{v}}, le terme convectif \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = \operatorname{div}((\rho_0 + \underline{\rho})\underline{\vec{v}}) = \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}} + \operatorname{div}(\underline{\rho}\underline{\vec{v}}) se réduit au premier ordre à \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}}. L'équation de continuité linéarisée s'écrit donc :

   \frac{\partial \underline{\rho}}{\partial t} + \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}} = 0

   D'après la relation issue de la compressibilité (question Q28), \underline{\rho} = \rho_0 \chi \underline{p}. En remplaçant \underline{\rho} :

   \rho_0 \chi \frac{\partial \underline{p}}{\partial t} + \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}} = 0 \iff \chi \frac{\partial \underline{p}}{\partial t} + \operatorname{div}\underline{\vec{v}} = 0

   En passant en notation complexe (\operatorname{div} \to -\mathrm{i}\vec{k}\cdot) :

   \chi (\mathrm{i}\omega \underline{p}) - \mathrm{i}\vec{k}\cdot\underline{\vec{v}} = 0

   Soit, en simplifiant par \mathrm{i} :

   \boxed{\vec{k}\cdot\underline{\vec{v}} = \chi \omega \underline{p}}

   Multiplions scalairement par \vec{k} la première équation :

   \rho_0 \omega (\vec{k}\cdot\underline{\vec{v}}) = k^2 \underline{p}

   En y substituant l'expression de \vec{k}\cdot\underline{\vec{v}} issue de la seconde équation :

   \rho_0 \omega (\chi \omega \underline{p}) = k^2 \underline{p} \implies \left(\rho_0 \chi \omega^2 - k^2\right) \underline{p} = 0

   Pour une onde non triviale (\underline{p} \neq 0), on en déduit la relation de dispersion :

   k^2 = \rho_0 \chi \omega^2

   Le milieu est non dispersif et la célérité de phase c_a = \frac{\omega}{k} s'exprime par la relation de Newton-Laplace :

   \boxed{c_a = \frac{1}{\sqrt{\rho_0 \chi}}}

   Application numérique :

   \begin{aligned} \rho_0 &= 1{,}00 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} \\ \chi &= 4{,}10 \cdot 10^{-10}\text{ Pa}^{-1} \\ c_a &= \frac{1}{\sqrt{1{,}00 \cdot 10^3 \times 4{,}10 \cdot 10^{-10}}} = \frac{1}{\sqrt{4{,}10 \cdot 10^{-7}}} \simeq 1{,}56 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

   \boxed{c_a \simeq 1{,}56 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $${\rho }_0\omega \underline{\vec{v}}=\vec{k}\underline{p}$$

   $$\vec{k}\cdot \underline{\vec{v}}=\chi \omega \underline{p}$$

   $$c_a=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0\chi }}$$

   $$c_a\simeq 1,56\cdot 10^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5E3A Physique-Chimie PC 2025, QPhysique-IV-Q20

   L'équation d'Euler linéarisée régissant le mouvement du fluide selon l'axe Ox s'écrit :

   \rho_0 \frac{\partial v_1}{\partial t} = -\frac{\partial p_1}{\partial x}

   Pour l'onde incidente plane progressive se propageant selon les x croissants, p_1(x,t) = p_{1,0} \cos(\omega t - kx). On a donc :

   -\frac{\partial p_1}{\partial x} = -k p_{1,0}\sin(\omega t - kx)

   En intégrant par rapport au temps, la vitesse particulaire (sans composante stationnaire) s'écrit :

   v_1(x,t) = \frac{k}{\rho_0 \omega} p_{1,0} \cos(\omega t - kx) = \frac{p_1(x,t)}{\rho_0 c}

   en utilisant la relation de dispersion \omega = c k.

   La densité volumique d'énergie cinétique vaut ainsi :

   e_c(x,t) = \frac{1}{2}\rho_0 v_1(x,t)^2 = \frac{1}{2}\rho_0 \left(\frac{p_1(x,t)}{\rho_0 c}\right)^2 = \frac{p_1(x,t)^2}{2\rho_0 c^2}

   Or, d'après l'expression de la célérité donnée par l'énoncé, c = \frac{1}{\sqrt{\rho_0 \chi_0}}, soit :

   \rho_0 c^2 = \frac{1}{\chi_0}

   Il vient immédiatement :

   e_c(x,t) = \frac{1}{2}\chi_0 p_1(x,t)^2 = e_p(x,t)

   La densité volumique d'énergie totale est la somme des contributions cinétique et potentielle :

   e(x,t) = e_c(x,t) + e_p(x,t) = \frac{1}{2}\chi_0 p_1(x,t)^2 + \frac{1}{2}\chi_0 p_1(x,t)^2

   On obtient bien :

   \boxed{e(x, t) = \chi_0 p_1(x, t)^2}

   Résultat

   $$e(x,t)={\chi }_0{p}_1(x,t{)}^2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Polytechnique Physique A PC 2025, Q11

   D'après la question Q10, la situation renversée temporellement comprend deux ondes incidentes convergeant vers l'interface en x = 0 :

   • une onde d'amplitude r_{12} se propageant vers les x > 0 depuis le milieu 1 (x \le 0) ;
   • une onde d'amplitude t_{12} se propageant vers les x < 0 depuis le milieu 2 (x > 0).

   Par linéarité de l'équation d'ondes, cette configuration est la superposition de deux situations élémentaires :

   1. Onde incidente d'amplitude r_{12} venant de la gauche (x \le 0) :

      • onde réfléchie se propageant vers x < 0 dans le milieu 1, d'amplitude r_{12} \times r_{12} = r_{12}^2 ;
      • onde transmise se propageant vers x > 0 dans le milieu 2, d'amplitude r_{12} \times t_{12}.

   2. Onde incidente d'amplitude t_{12} venant de la droite (x > 0) :

      • onde réfléchie se propageant vers x > 0 dans le milieu 2, d'amplitude t_{12} \times r_{21} ;
      • onde transmise se propageant vers x < 0 dans le milieu 1, d'amplitude t_{12} \times t_{21}.

   En sommant les contributions des ondes repartant de part et d'autre de l'interface :

   • Dans le milieu 2 (x > 0), l'amplitude totale de l'onde se propageant vers les x croissants vaut :

     A_{2,\text{repartant}} = r_{12} t_{12} + t_{12} r_{21} = t_{12}(r_{12} + r_{21})

     Or, dans l'état renversé temporellement, aucune onde ne s'éloigne vers x = +\infty, donc A_{2,\text{repartant}} = 0. Comme t_{12} \neq 0, on obtient :

     \boxed{r_{21} = -r_{12}}

   • Dans le milieu 1 (x \le 0), l'amplitude totale de l'onde se propageant vers les x décroissants vaut :

     A_{1,\text{repartant}} = r_{12}^2 + t_{12} t_{21}

     Cette onde doit reproduire l'onde initiale retournée, d'amplitude 1 :

     r_{12}^2 + t_{12} t_{21} = 1

     soit :

     \boxed{t_{21} = \frac{1 - r_{12}^2}{t_{12}}}

   Résultat

   $$r_{21}=-r_{12}$$

   $$t_{21}=\frac{1-r_{12}^2}{t_{12}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Polytechnique Physique A PC 2025, Q21

   Pour un problème invariant par rotation autour de l'origine (symétrie sphérique), le champ d'onde scalaire ne dépend que de la distance radiale r = \|\vec{r}\| et du temps t :

   u(\vec{r}, t) = u(r, t).

   Les dérivées partielles par rapport aux coordonnées angulaires \theta et \phi sont donc nulles :

   \frac{\partial u}{\partial \theta} = 0 \quad \text{et} \quad \frac{\partial u}{\partial \phi} = 0.

   Le laplacien scalaire en coordonnées sphériques fourni par l'énoncé se réduit alors à sa seule composante radiale :

   \Delta u(r, t) = \frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r u)}{\partial r^2}.

   En injectant cette expression dans l'équation d'ondes (1), on obtient :

   \boxed{\frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r u)}{\partial r^2} - \frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0}

   En multipliant par r \neq 0, cette équation se réécrit de façon équivalente sous la forme d'une équation de d'Alembert unidimensionnelle sur la fonction auxiliaire \chi(r, t) = r\,u(r, t) :

   \boxed{\frac{\partial^2 (r u)}{\partial r^2} - \frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 (r u)}{\partial t^2} = 0}

   Résultat

   $$\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2(ru)}{\partial r^2}-\frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=0$$

   $$\frac{{\partial }^2(ru)}{\partial r^2}-\frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^2(ru)}{\partial t^2}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Polytechnique Physique A PC 2025, Q23

   D'après l'équation de Helmholtz obtenue à la question Q22 :

   \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}(r\underline{u}) + k^2 (r\underline{u}) = 0 \quad \text{avec} \quad k = \frac{\omega}{c_0}

   La variable auxiliaire r\underline{u}(r, \omega) est combinaison linéaire des fonctions \mathrm{e}^{ikr} et \mathrm{e}^{-ikr} :

   r\,\underline{u}(r, \omega) = U_d\,\mathrm{e}^{ikr} + U_c\,\mathrm{e}^{-ikr}

   où U_c et U_d sont deux constantes d'intégration complexes. En revenant au champ réel u(r, t) = \mathrm{Re}\left(\underline{u}(r, \omega)\,\mathrm{e}^{-i\omega t}\right), on analyse le comportement de chacune des deux composantes :

   • Pour la composante associée à U_d :

     \frac{U_d}{r}\,\mathrm{e}^{i(kr - \omega t)} = \frac{U_d}{r}\,\mathrm{e}^{-i\omega\left(t - \frac{r}{c_0}\right)}

     Les surfaces d'onde correspondent à t - \frac{r}{c_0} = \text{cste}, soit r(t) = c_0 t + \text{cste}. La phase se propage dans le sens des r croissants (vers l'extérieur) : il s'agit de l'onde divergente.

   • Pour la composante associée à U_c :

     \frac{U_c}{r}\,\mathrm{e}^{-i(kr + \omega t)} = \frac{U_c}{r}\,\mathrm{e}^{-i\omega\left(t + \frac{r}{c_0}\right)}

     Les surfaces d'onde correspondent à t + \frac{r}{c_0} = \text{cste}, soit r(t) = -c_0 t + \text{cste}. La phase se propage dans le sens des r décroissants (vers l'origine) : il s'agit de l'onde convergente.

   On obtient donc les expressions analytiques des amplitudes complexes associées :

   \boxed{\underline{u_c}(r, \omega) = \frac{U_c}{r}\,\mathrm{e}^{-ikr}}

   \boxed{\underline{u_d}(r, \omega) = \frac{U_d}{r}\,\mathrm{e}^{ikr}}

   Résultat

   $$\underline{u_c}(r,\omega )=\frac{U_c}{r}{\mathrm{e}}^{-ikr}$$

   $$\underline{u_d}(r,\omega )=\frac{U_d}{r}{\mathrm{e}}^{ikr}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 2 PC 2024, Q10

   Considérons une onde se propageant à la célérité c, de période temporelle caractéristique T (ou pulsation \omega = 2\pi/T) et de longueur d'onde spatiale caractéristique \lambda (ou nombre d'onde k = 2\pi/\lambda), reliées par :

   c = \frac{\lambda}{T} = \frac{\omega}{k}

   Notons v = \|\vec{v}\| l'ordre de grandeur de la vitesse particulaire au passage de l'onde. Évaluons les ordres de grandeur des deux composantes de l'accélération particulaire présentes dans le membre de gauche de l'équation d'Euler (1) :

   • L'accélération locale \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} varie sur l'échelle temporelle T :

     \left\| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right\| \sim \frac{v}{T} \sim \omega v

   • L'accélération convective \overrightarrow{\operatorname{grad}}\frac{\vec{v}^2}{2} varie sur l'échelle spatiale \lambda :

     \left\| \overrightarrow{\operatorname{grad}}\frac{\vec{v}^2}{2} \right\| \sim \frac{v^2}{\lambda} \sim k v^2

   Comparons les ordres de grandeur de ces deux termes :

   \frac{\left\| \overrightarrow{\operatorname{grad}}\frac{\vec{v}^2}{2} \right\|}{\left\| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right\|} \sim \frac{k v^2}{\omega v} = \frac{k}{\omega} v = \frac{v}{c} = \frac{\|\vec{v}\|}{c}

   Sous l'hypothèse \|\vec{v}\| \ll c, ce rapport est très petit devant 1 :

   \boxed{\left\| \overrightarrow{\operatorname{grad}}\frac{\vec{v}^2}{2} \right\| \ll \left\| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right\|}

   Le terme d'accélération convective est donc négligeable devant l'accélération locale \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}.

   Résultat

   $$\Vert \overrightarrow{\mathrm{grad}}\frac{{\vec{v}}^2}{2}\Vert \ll \Vert \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}\Vert$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Mines-Ponts Physique 2 PC 2024, Q14

    D'après les questions Q8 et Q10, avec \vec{f}_{\text{autres}} = \vec{0} et en négligeant le terme convectif \overrightarrow{\operatorname{grad}}\frac{\vec{v}^2}{2}, l'équation d'Euler (1) s'écrit au premier ordre :

    \rho_0 \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \rho_0 \vec{g} - \overrightarrow{\operatorname{grad}} P

    À l'équilibre hydrostatique en l'absence d'onde, \vec{0} = \rho_0 \vec{g} - \overrightarrow{\operatorname{grad}} P_{\text{éq}}, d'où \overrightarrow{\operatorname{grad}} P_{\text{éq}} = -\rho_0 g \widehat{e}_z. L'onde acoustique se propageant selon l'axe horizontal (Ox), la projection selon \widehat{e}_x ne fait intervenir que la surpression acoustique \delta P :

    \rho_0 \frac{\partial v}{\partial t} = - \frac{\partial \delta P}{\partial x}

    La relation thermodynamique donnée dans l'énoncé relie la surpression à la fluctuation de masse volumique :

    \delta P = \frac{1}{\rho_0 \chi} \delta \rho \implies \frac{\partial \delta P}{\partial x} = \frac{1}{\rho_0 \chi} \frac{\partial \delta \rho}{\partial x}

    En notation complexe, avec \underline{v}(x,t) = \underline{V_0} \exp[\mathrm{i}(\omega t - kx)] et \delta \underline{\rho}(x,t) = A \exp[\mathrm{i}(\omega t - kx)], les dérivées s'écrivent :

    \frac{\partial \underline{v}}{\partial t} = \mathrm{i}\omega \underline{v} \quad \text{et} \quad \frac{\partial \delta \underline{\rho}}{\partial x} = -\mathrm{i}k \delta \underline{\rho}

    L'équation d'Euler projetée devient alors :

    \mathrm{i}\rho_0 \omega \underline{V_0} = \frac{\mathrm{i}k}{\rho_0 \chi} A \iff \rho_0 \omega \underline{V_0} = \frac{k}{\rho_0 \chi} A

    En utilisant l'expression de \underline{V_0} = \frac{\omega A}{k \rho_0} obtenue à la question Q13, il vient :

    \rho_0 \omega \left(\frac{\omega A}{k \rho_0}\right) = \frac{k}{\rho_0 \chi} A

    En simplifiant par A \neq 0, on obtient l'équation de dispersion :

    \boxed{\omega^2 = \frac{k^2}{\rho_0 \chi}} \quad \text{soit, pour } \omega > 0 \text{ et } k > 0 : \quad \boxed{\omega = \frac{k}{\sqrt{\rho_0 \chi}}}

    La vitesse de phase de l'onde acoustique est définie par :

    v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{\sqrt{\rho_0 \chi}}

    La vitesse de phase ne dépend ni de la pulsation \omega, ni du nombre d'onde k. Par conséquent, la propagation n'est pas dispersive.

    Résultat

    $${\omega }^2=\frac{k^2}{{\rho }_0\chi }$$

    $$\omega =\frac{k}{\sqrt{{\rho }_0\chi }}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question