Corrigé détaillé Centrale Physique 2 PC 2026

Plusieurs raisons physiques et techniques justifient l'utilisation de miroirs concaves plutôt que de lentilles dans les télescopes :

• Absence d'aberrations chromatiques : les lois de la réflexion (lois de Snell-Descartes) sont rigoureusement indépendantes de la longueur d'onde \lambda. À l'inverse, la réfraction dans une lentille dépend de l'indice n(\lambda) du verre (phénomène de dispersion), ce qui focalise les différentes couleurs à des distances différentes.
• Absence d'absorption dans le matériau : le faisceau lumineux ne traverse pas l'épaisseur du verre mais se réfléchit sur une surface traitée. Dans l'infrarouge (domaine d'étude privilégié du JWST), la plupart des verres optiques usuels absorbent fortement le rayonnement.
• Contraintes mécaniques et thermiques : un miroir peut être soutenu sur toute sa face arrière et allégé (structure alvéolaire, miroirs segmentés comme sur le JWST), alors qu'une lentille de grand diamètre ne peut être maintenue que par ses bords et se déforme sous son propre poids. De plus, seul l'état de surface d'un miroir doit être parfait, sans exiger l'homogénéité du matériau dans la masse.

Une seule de ces raisons suffit pour répondre à la question ; l'absence totale d'aberration chromatique constitue l'argument optique principal.

La source ponctuelle \mathrm{S} étant située à l'infini, elle émet des ondes planes. L'éclairage se faisant sous incidence normale, le plan contenant les miroirs \mathrm{M}_1 et \mathrm{M}_2 est perpendiculaire aux rayons incidents. Par conséquent, les deux rayons incidents sont en phase au niveau des miroirs :

Après réflexion, les rayons diffractés se propagent dans la direction faisant un angle \theta avec la normale \vec{u}_y. Le vecteur unitaire directeur des rayons diffractés est :

Soit \mathrm{H} le projeté orthogonal de \mathrm{M}_1 sur le rayon diffracté passant par \mathrm{M}_2. Le plan orthogonal aux rayons diffractés passant par \mathrm{M}_1 et \mathrm{H} constitue une surface d'onde pour l'onde diffractée vers le point \mathrm{P} à l'infini, ce qui implique (\mathrm{M}_1\mathrm{P}) = (\mathrm{HP}).

Puisque le rayon issu de \mathrm{M}_2 est orienté vers les x croissants (\theta > 0), \mathrm{M}_2 est situé en aval du plan d'onde passant par \mathrm{M}_1. Le rayon passant par \mathrm{M}_1 parcourt donc une distance supplémentaire par rapport à celui passant par \mathrm{M}_2 :

La différence de marche \delta s'écrit alors :

Le déphasage \phi correspondant est relié à la différence de marche \delta par \phi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta, d'où :

L'amplitude complexe de l'onde issue de \mathrm{M}_1 est choisie comme référence de phase : \underline{s}_1 = A_0. Celle issue de \mathrm{M}_2 présente un déphasage \phi par rapport à \mathrm{M}_1, soit \underline{s}_2 = A_0\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi}.

L'amplitude complexe totale au point \mathrm{P} s'écrit donc :

L'intensité lumineuse I_2(\phi), proportionnelle au carré du module de l'amplitude complexe, vaut :

Le maximum de cette intensité est atteint pour \phi \equiv 0 \pmod{2\pi} et vaut \max(I_2) = 4 A_0^2.

Par définition de l'intensité normalisée I_{n,2}(\phi) = \dfrac{I_2(\phi)}{\max(I_2)}, on obtient :

Cette fonction est paire, strictement positive, périodique de période 2\pi, maximale et égale à 1 en \phi = 2p\pi (p \in \mathbb{Z}), et nulle en \phi = (2p+1)\pi.

Les N miroirs ponctuels sont régulièrement espacés d'une distance a selon l'axe horizontal, avec une hauteur de marche nulle (h=0). Pour tout entier j \in \{1, \dots, N-1\}, la différence de marche entre deux miroirs adjacents successifs est identique à celle calculée à la question Q2 :

Par télescopage, la différence de marche \delta_k entre les rayons passant par le premier miroir \mathrm{M}_1 et le k-ième miroir \mathrm{M}_k s'écrit :

La somme comporte k-1 termes identiques, d'où :

Le déphasage de l'onde issue du miroir \mathrm{M}_k par rapport à celle issue du premier miroir \mathrm{M}_1 (choisi comme origine des phases, soit \phi_1 = 0) est proportionnel à la différence de marche \delta_k :

En introduisant le déphasage élémentaire \phi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta défini à la question Q2 :

D'après la question Q4, l'amplitude complexe de l'onde issue du k-ième miroir s'écrit :

Par le principe de superposition, l'amplitude complexe totale au point \mathrm{P} est la somme des N amplitudes :

Pour \phi \not\equiv 0 \pmod{2\pi}, on utilise la formule de la somme des termes d'une suite géométrique de raison q = \mathrm{e}^{i\phi} \neq 1 :

L'intensité lumineuse I_N(\phi), proportionnelle au carré du module de l'amplitude résultante, s'écrit donc :

Normalisation de l'intensité :

Par l'inégalité triangulaire appliquée à l'amplitude complexe, on a pour tout \phi :

L'égalité est atteinte lorsque toutes les ondes interfèrent de façon purement constructive, c'est-à-dire lorsque tous les termes sont en phase : \phi = 2p\pi avec p \in \mathbb{Z}.

En effet, au voisinage de \phi \to 0 (ou \phi \to 2p\pi), les équivalents usuels donnent :

d'où :

Le maximum absolu de l'intensité est donc :

L'intensité normalisée I_{n,N}(\phi) = \frac{I_N(\phi)}{\max(I_N)} s'écrit donc soigneusement :

D'après l'expression de l'intensité normalisée obtenue à la question Q5 :

les pics principaux correspondent aux maxima absolus d'intensité où I_{n,N}(\phi) = 1. Ils sont atteints lorsque le dénominateur s'annule, c'est-à-dire pour :

En effet, au voisinage de ces valeurs, \lim_{\phi \to 2\pi p} I_{n,N}(\phi) = 1.

D'après le résultat de la question Q2, le déphasage est relié à l'angle \theta par :

L'angle \theta_p associé au pic principal d'ordre p vérifie donc :

On en déduit l'expression de \sin(\theta_p) :

L'intensité normalisée s'écrit d'après la question Q5 :

Le p-ième pic principal correspond à \phi_p = 2\pi p (avec p \in \mathbb{Z}). L'intensité s'annule lorsque le numérateur s'annule sans que le dénominateur ne s'annule, c'est-à-dire pour :

Le pic principal correspond à m = pN. Les deux zéros d'intensité adjacents les plus proches correspondent donc aux entiers m = pN - 1 et m = pN + 1, soit aux déphasages :

La relation entre le déphasage \phi et l'angle \theta s'écrit (d'après la question Q2) :

Pour les deux zéros entourant le pic p, on note les angles \theta = \theta_p \pm \Delta\theta, où \Delta\theta = \frac{\delta\theta_p}{2} représente la demi-largeur angulaire. On a donc :

Comme N \gg 1, la largeur \delta\theta_p est un infiniment petit d'ordre 1. En utilisant la formule de l'énoncé \sin(x+\varepsilon) \simeq \sin(x) + \varepsilon\cos(x) :

Par identification des termes correctifs, il vient :

On en déduit l'expression de la largeur angulaire :

Le critère proposé correspond au critère de Rayleigh pour la séparation de deux raies spectrales : deux longueurs d'onde voisines sont résolues si le maximum principal de l'une est situé au-delà (ou au niveau) du premier zéro d'intensité de l'autre, soit un écart angulaire supérieur ou égal à la demi-largeur angulaire :

Lorsque ce critère n'est pas respecté (\Delta\theta < \frac{\delta\theta_p^\lambda}{2}) :

• Les deux radiations monochromatiques de longueurs d'onde distinctes étant mutuellement incohérentes, les intensités s'ajoutent en chaque point du plan focal :

  I_{\text{tot}}(\theta) = I_\lambda(\theta) + I_{\lambda+\delta\lambda}(\theta)
• Les deux profils d'intensité se chevauchent trop fortement : la courbe d'intensité totale I_{\text{tot}}(\theta) ne présente plus de creux d'intensité discernable entre les deux composantes, mais un sommet aplati ou un pic unique élargi.
• L'observateur ou la caméra ne visualise plus deux raies spectrales séparées, mais une seule raie élargie : les deux longueurs d'onde ne sont pas résolues.

D'après la question Q6, l'angle de diffraction \theta_p^\lambda du p-ième pic principal associé à la longueur d'onde \lambda vérifie :

Pour une variation élémentaire \delta\lambda > 0, au premier ordre en \delta\lambda, la différentiation de cette relation donne :

soit une dispersion angulaire :

Le critère de résolution s'écrit :

En utilisant l'expression de la largeur angulaire établie à la question Q7, \delta\theta_p^\lambda = \frac{2\lambda}{Na\cos(\theta_p^\lambda)}, il vient :

Puisque a\cos(\theta_p^\lambda) > 0 et p > 0, on obtient directement :

Le critère est donc bien respecté pour \delta\lambda \geqslant \delta\lambda_{\min} avec :

On en déduit l'expression du pouvoir de résolution du réseau :

D'après le résultat de la question Q6, l'angle de diffraction \theta_p(\lambda) associé au pic principal d'ordre p pour une onde de longueur d'onde \lambda vérifie :

La fonction sinus étant strictement croissante sur [0, \pi/2], l'ensemble des directions diffractées à l'ordre p > 0 pour la gamme de longueurs d'onde transmises [\lambda_{\min}, \lambda_{\max}] correspond à l'intervalle :

De même, pour l'ordre consécutif p+1, le domaine angulaire s'étend sur :

Pour que le spectre de l'ordre p ne se recouvre pas avec celui de l'ordre p+1, il faut que la déviation maximale de l'ordre p n'empiète pas sur la déviation minimale de l'ordre p+1 :

soit :

Ce qui conduit à la condition :

Calculons le rapport \dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} pour chacun des filtres disponibles sur la roue :

• Filtre f070lp : \dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \dfrac{1{,}27}{0{,}70} \approx 1{,}81 ;
• Filtre f100lp : \dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \dfrac{1{,}89}{0{,}97} \approx 1{,}95 ;
• Filtre f170lp : \dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \dfrac{3{,}17}{1{,}66} \approx 1{,}91 ;
• Filtre f295lp : \dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \dfrac{5{,}27}{2{,}87} \approx 1{,}84.

Pour l'ensemble de ces filtres, le rapport vérifie l'encadrement strict :

D'après le résultat de la question Q10, l'absence de recouvrement entre les ordres p et p+1 requiert :

Testons les différents ordres entiers positifs :

• Pour p = 1 : 1 + \dfrac{1}{1} = 2. Comme \dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} < 2, la condition est rigoureusement satisfaite pour tous les filtres. Les spectres d'ordre 1 et d'ordre 2 ne se chevauchent pas.
• Pour p \geqslant 2 : 1 + \dfrac{1}{p} \leqslant 1 + \dfrac{1}{2} = 1{,}5. Comme \dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} > 1{,}5, la condition n'est jamais vérifiée : le spectre d'ordre p empiète systématiquement sur celui d'ordre p+1.

Enfin, l'ordre p = 0 correspond à une direction de diffraction \theta_0 = 0 indépendante de \lambda : il n'y a aucune dispersion spectrale à cet ordre, ce qui empêche toute analyse spectroscopique.

Par conséquent, quel que soit le filtre sélectionné, la caméra doit être positionnée pour observer l'ordre :

La fonction I_{n,\text{diff}}(\phi) = \left(\dfrac{\sin(\phi/2)}{\phi/2}\right)^2 est paire, positive, vaut 1 en \phi = 0 et s'annule pour :

Elle présente un lobe principal de largeur angulaire 4\pi en \phi et des lobes secondaires d'intensité maximale nettement plus faible (le premier pic secondaire culmine à environ 0{,}047).

Rappelons que pour un miroir élémentaire de largeur a, le déphasage s'écrit \phi = \dfrac{2\pi a}{\lambda}\sin\theta. Le premier zéro de diffraction apparaît pour :

La demi-largeur angulaire du lobe principal est donc \Delta\theta \simeq \dfrac{\lambda}{a}.

Lorsque a \gg \lambda, cette largeur angulaire tend vers zéro (\Delta\theta \to 0) : le phénomène de diffraction devient négligeable et toute l'énergie réfléchie est concentrée dans la direction \theta = 0.

Le miroir se comporte comme un miroir plan usuel renvoyant le faisceau incident normal selon la normale.

D'après l'expression admise, l'intensité totale normalisée s'écrit :

Les pics d'interférence sont localisés aux valeurs de déphasage \phi = 2\pi p avec p \in \mathbb{Z}. L'intensité de l'ordre p s'évalue donc en considérant l'enveloppe de diffraction en ces points :

• Pour l'ordre p = 0 (\phi = 0) :

  I_{n,\text{diff}}(0) = \lim_{\phi \to 0} \left(\frac{\sin(\phi/2)}{\phi/2}\right)^2 = 1 \implies I_{n,\text{tot}} = 1

• Pour les ordres p \in \mathbb{Z}^* (\phi = 2\pi p \neq 0) :

  I_{n,\text{diff}}(2\pi p) = \left(\frac{\sin(p\pi)}{p\pi}\right)^2 = 0 \implies I_{n,\text{tot}} = 0

L'ordre le plus lumineux est donc l'ordre p = 0 :

Cette situation n'est pas souhaitable pour deux raisons majeures :

1. Absence de dispersion à l'ordre 0 : d'après la relation des réseaux (question Q6), l'angle de diffraction vérifie \sin(\theta_0) = 0, soit \theta_0 = 0 pour toutes les longueurs d'onde. Cet ordre ne sépare donc absolument pas les composantes spectrales.
2. Perte d'information pour la spectrométrie : la quasi-totalité de l'énergie lumineuse est concentrée dans la réflexion spéculaire non dispersive (p = 0), alors que les ordres dispersifs (p \neq 0, et en particulier l'ordre p_0 = 1 sélectionné à la question Q11) reçoivent une intensité nulle. Le détecteur ne capterait aucun signal exploitable en spectroscopie, ce qui est rédhibitoire pour l'observation d'objets astrophysiques de très faible flux par le JWST.

Considérons le repère orthonormé (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y) défini sur la figure 2, où l'axe horizontal \vec{u}_x est parallèle aux faces réfléchissantes des miroirs et l'axe \vec{u}_y est orthogonal aux miroirs, orienté vers l'espace de propagation.

D'après la géométrie de la marche d'escalier, le centre M_{k+1} se déduit du centre M_k par le vecteur déplacement :

La différence de marche totale entre les deux rayons s'écrit :

1. En amont du réseau (faisceau incident) : Le faisceau incident se propage en incidence normale selon la direction du vecteur unitaire \vec{u}_i = -\vec{u}_y. Les plans d'onde incidents sont horizontaux (d'équation y = \text{cte}).

Le rayon atteignant M_k (d'altitude y_k) doit parcourir une distance supplémentaire h = y_{k+1} - y_k par rapport au rayon atteignant M_{k+1} (d'altitude y_{k+1}) :

2. En aval du réseau (faisceau diffracté) : Le faisceau diffracté dans la direction d'observation \theta (repérée par rapport à la normale \vec{u}_y) se propage selon le vecteur unitaire :

Les surfaces d'onde associées à ce faisceau à l'infini sont des plans orthogonaux à \vec{u}_d. Le rayon issu de M_k parcourt un chemin supplémentaire vers le plan d'onde lointain par rapport au rayon issu de M_{k+1} :

3. Bilan : En sommant les deux contributions :

soit finalement :

D'après l'expression de la diffraction par un miroir unique de taille a donnée à la question Q12 :

Cette fonction atteint son maximum absolu (égal à 1) pour \phi = 0, ce qui correspond à la direction :

(loi de la réflexion spéculaire sur les facettes horizontales).

Par ailleurs, la condition d'interférence constructive d'ordre p_0 pour une onde de longueur d'onde \lambda_m s'écrit :

En utilisant l'expression établie à la question Q14 :

On souhaite que cette condition soit satisfaite précisément dans la direction du maximum de diffraction \theta = 0 :

On en déduit immédiatement qu'il suffit de choisir la hauteur de marche :

Avec l'ordre p_0 = 1 déterminé à la question Q11, cela donne :

Il est donc toujours possible d'ajuster h pour faire coïncider le pic de diffraction avec le spectre de l'ordre p_0 = 1 autour de \lambda_m.

Commentaire sur l'intérêt du réseau échelette :

• Pour un réseau plan ordinaire (h=0), le maximum de diffraction se situe en \theta = 0, ce qui correspond à l'ordre p = 0. Or, l'ordre 0 n'est pas dispersif (\theta_0 = 0 pour toute longueur d'onde) : la majeure partie de l'énergie lumineuse est donc perdue dans un ordre inutile pour la spectroscopie, et les ordres dispersifs (|p| \geqslant 1) reçoivent une intensité très faible (voire nulle selon le modèle de la question Q13).
• Le réseau échelette permet d'introduire un déphasage géométrique supplémentaire (2h) entre facettes sans modifier l'orientation du miroir individuel. Il réalise ainsi le flambage (ou blaze) du réseau : le maximum de l'enveloppe de diffraction est transféré sur un ordre dispersif non nul (p_0 = 1).
• Pour le télescope spatial JWST, dont les cibles astrophysiques sont extrêmement peu lumineuses, concentrer la quasi-totalité de l'intensité collectée dans l'ordre dispersé utile est indispensable pour maximiser le rapport signal sur bruit du spectromètre NIRSpec.

On étudie la masse ponctuelle \mu dans le référentiel d'étude galiléen lié au support fixe du ressort.

En prenant l'origine de l'axe (Ox) au point d'attache fixe du ressort et le vecteur unitaire \vec{e}_x orienté selon l'axe du ressort vers la masse, la position de la masse est repérée par :

Son vecteur accélération s'écrit alors :

D'après l'énoncé, la masse n'est soumise qu'à la force de rappel élastique exercée par le ressort :

La deuxième loi de Newton appliquée à la masse \mu s'écrit :

Par projection selon \vec{e}_x, on obtient :

En introduisant la pulsation propre :

l'équation différentielle vérifiée par la longueur \ell(t) s'écrit :

On étudie le mouvement des atomes \mathrm{A} (masse m_{\mathrm{A}}, position x_{\mathrm{A}}) et \mathrm{B} (masse m_{\mathrm{B}}, position x_{\mathrm{B}}) dans le référentiel d'étude supposé galiléen. La longueur instantanée du ressort reliant les deux atomes est \ell(t) = x_{\mathrm{B}}(t) - x_{\mathrm{A}}(t).

Chaque atome n'est soumis qu'à la force de rappel élastique exercée par le ressort selon l'axe horizontal (\mathrm{O}, \vec{e}_x) :

• sur l'atome \mathrm{B} situé en x_{\mathrm{B}} :

  \vec{F}_{\mathrm{ressort}\to \mathrm{B}} = -k\bigl(\ell(t) - \ell_0\bigr)\,\vec{e}_x

• sur l'atome \mathrm{A} situé en x_{\mathrm{A}} (en vertu du principe des actions réciproques) :

  \vec{F}_{\mathrm{ressort}\to \mathrm{A}} = +k\bigl(\ell(t) - \ell_0\bigr)\,\vec{e}_x

L'application de la seconde loi de Newton à chaque particule donne en projection sur \vec{e}_x :

En dérivant deux fois par rapport au temps la relation \ell(t) = x_{\mathrm{B}}(t) - x_{\mathrm{A}}(t) :

En posant la masse réduite \mu définie par :

soit \dfrac{1}{\mu} = \dfrac{1}{m_{\mathrm{A}}} + \dfrac{1}{m_{\mathrm{B}}}, l'équation s'écrit :

Avec la même pulsation propre \omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{\mu}} qu'à la question Q16, on retrouve bien l'équation différentielle :

La pulsation d'une onde électromagnétique de longueur d'onde dans le vide \lambda s'écrit :

Selon l'énoncé, la pulsation du maximum d'absorption correspond à la pulsation propre de vibration de la molécule, soit \omega_0 = \omega.

D'après le résultat de la question Q16 (confirmé en Q17 pour le système à deux corps) :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• \mu = 1{,}14 \times 10^{-26}\text{ kg} ;
• c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• \lambda = 4{,}67\text{ }\mu\mathrm{m} = 4{,}67 \times 10^{-6}\text{ m}.

On obtient :

Commentaire : Cette valeur est d'un ordre de grandeur tout à fait cohérent pour une liaison covalente (généralement compris entre 300\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} et 2\,000\text{ N}\cdot\text{m}^{-1}). La valeur particulièrement élevée s'explique par le fait que la molécule de monoxyde de carbone présente une liaison multiple très forte (liaison quasi-triple de formule de Lewis |\mathrm{C} \equiv \mathrm{O}^\oplus|), ce qui lui confère une très grande rigidité comparativement à une liaison simple usuelle (dont la raideur typique est de l'ordre de 500\text{ N}\cdot\text{m}^{-1}).

L'énergie potentielle de Morse s'écrit :

Posons u = \ell - \ell_0 \to 0 au voisinage de la position d'équilibre. En effectuant un développement limité à l'ordre 1 du terme entre crochets :

En élevant au carré, le potentiel admet le développement limité à l'ordre 2 suivant :

Par identification avec le potentiel d'un oscillateur harmonique de constante de raideur k :

on obtient V_0 a^2 = \frac{1}{2}k, d'où :

Application numérique : D'après la question Q18, k \simeq 1{,}86 \times 10^3\text{ N}\cdot\text{m}^{-1}. Avec a = 2{,}27 \times 10^{10}\text{ m}^{-1} :

En convertissant en électron-volts à l'aide de la charge élémentaire e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C} :

Dans le cadre de la physique classique, l'approche est insuffisante pour deux raisons majeures :

• Caractère continu de l'énergie mécanique : en mécanique classique, l'énergie de vibration d'une molécule peut varier continûment de 0 à l'énergie de dissociation V_0. Rien n'interdit à une molécule de gagner ou de perdre une quantité arbitrairement faible d'énergie mécanique sous l'effet d'une onde incidente.
• Anharmonicité du potentiel de Morse : dans un potentiel réel anharmonique (figure 7), la période et la fréquence des oscillations dépendent de l'amplitude de vibration, c'est-à-dire de l'énergie mécanique du système. Selon la distribution statistique continue de Maxwell-Boltzmann, les molécules n'ont pas toutes la même amplitude d'oscillation : elles résonneraient donc à des fréquences différentes, ce qui conduirait à un spectre d'absorption étalé et continu, et non à une absorption sélective très localisée autour d'une longueur d'onde précise \lambda = 4{,}67\text{ }\mu\text{m}.

Seule la mécanique quantique permet de rendre compte de cette observation :

Les états vibrationnels sont discrets (quantifiés). L'absorption du rayonnement s'effectue par paquets d'énergie discrets via l'absorption d'un photon d'énergie h\nu, induisant une transition résonante entre l'état fondamental et le premier niveau excité.

En injectant l'expression de l'état stationnaire \underline{\psi}(x,t) = \underline{\phi}(x)\,\underline{f}(t) dans l'équation de Schrödinger dépendante du temps, on obtient :

En divisant cette relation par le produit non nul \underline{\psi}(x,t) = \underline{\phi}(x)\,\underline{f}(t), il vient :

Le membre de gauche ne dépend que de la variable d'espace x, tandis que le membre de droite ne dépend que du temps t. Les variables x et t étant indépendantes, cette égalité n'est possible que si les deux membres sont égaux à une même constante, notée A :

Dimension de la constante A : La constante de Planck réduite a la dimension d'une action, soit [ \hbar ] = \mathrm{J}\cdot\mathrm{s} = [E][T]. Par ailleurs, la fonction \underline{f} est sans dimension (ou du moins sa dérivée logarithmique vérifie [\underline{f}'/\underline{f}] = [T]^{-1}). Par suite :

La constante A est donc bien homogène à une énergie.

Expression de \underline{f}(t) : Avec A = E, l'équation différentielle s'écrit :

C'est une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants. En choisissant la constante d'intégration égale à 1, on en déduit immédiatement :

En injectant \underline{\psi}(x,t) = \underline{\phi}(x)\,\underline{f}(t) avec \underline{f}(t) = \mathrm{e}^{-iEt/\hbar} dans l'équation de Schrödinger, il vient :

En simplifiant par le terme temporel \mathrm{e}^{-iEt/\hbar} qui ne s'annule jamais, on obtient l'équation différentielle vérifiée par \underline{\phi}(x) (équation de Schrödinger stationnaire) :

Examinons à présent la forme des solutions dans les trois zones de l'espace :

• Zone 1 (x < 0) : le potentiel est infini (V_{\text{app}} = +\infty), la particule ne peut pénétrer dans cette région. La densité de probabilité de présence y est rigoureusement nulle :

  \boxed{\underline{\phi}_1(x) = 0}

• Zone 2 (0 \leqslant x \leqslant L) : V_{\text{app}}(x) = 0. Avec K = \dfrac{\sqrt{2\mu E}}{\hbar}, l'équation s'écrit :

  \frac{\mathrm{d}^2\underline{\phi}_2}{\mathrm{d}x^2} + K^2\,\underline{\phi}_2(x) = 0

  Il s'agit de l'équation d'un oscillateur harmonique spatial. Sa solution générale est :

  \boxed{\underline{\phi}_2(x) = A\cos(Kx) + B\sin(Kx) \quad (A, B \in \mathbb{C})}

• Zone 3 (x > L) : V_{\text{app}}(x) = V_0 > E. Avec K' = \dfrac{\sqrt{2\mu(V_0 - E)}}{\hbar}, l'équation s'écrit :

  \frac{\mathrm{d}^2\underline{\phi}_3}{\mathrm{d}x^2} - K'^2\,\underline{\phi}_3(x) = 0

  La solution générale de cette équation différentielle est de la forme :

  \underline{\phi}_3(x) = C\,\mathrm{e}^{-K'x} + D\,\mathrm{e}^{K'x} \quad (C, D \in \mathbb{C})

  Pour un état lié, la fonction d'onde doit rester bornée lorsque x \to +\infty (condition de carré intégrable / normalisabilité). Le coefficient de la branche exponentiellement divergente doit donc être nul (D = 0), ce qui donne :

  \boxed{\underline{\phi}_3(x) = C\,\mathrm{e}^{-K'x} \quad (C \in \mathbb{C})}

D'après les résultats de la question Q22, les formes de la fonction d'onde spatiale sont :

Condition en x = 0 : Le potentiel V_{\text{app}}(x) étant infini pour x < 0, la fonction d'onde doit s'annuler en x = 0 par continuité :

La fonction d'onde dans le puits se réduit donc à :

Conditions de raccordement en x = L : En x = L, le potentiel présente une discontinuité de première espèce (marche finie de hauteur V_0). La fonction d'onde \underline{\phi}(x) ainsi que sa dérivée première \underline{\phi}'(x) doivent y être continues :

Pour qu'un état physique non trivial existe, la fonction d'onde ne peut être identiquement nulle (B \neq 0 et C \neq 0). De plus, \sin(KL) \neq 0 car sinon l'équation (1) donnerait C = 0, d'où B = 0 d'après l'équation (2).

En divisant membre à membre l'équation (2) par l'équation (1), on élimine les constantes B et C :

En multipliant chaque membre par la largeur L du puits, on aboutit directement à la relation demandée :

Posons en abscisse la variable sans dimension z = KL > 0 et en ordonnée y = K'L > 0.

D'après la relation de quantification obtenue à la question Q23, les états liés vérifient :

ce qui correspond précisément à la courbe représentée sur la figure 9.

Par ailleurs, en utilisant les définitions de K et K' données par l'énoncé :

calculons la somme des carrés des variables z et y :

L'énergie E s'élimine naturellement de cette somme. L'équation :

est l'équation cartésienne d'un cercle centré à l'origine du repère (Oz, Oy), de rayon :

Puisque E > 0 et E < V_0, les grandeurs z = KL et y = K'L sont strictement positives. Les valeurs permises de KL correspondent donc aux abscisses des points d'intersection, situés dans le premier quadrant (z > 0, y > 0), entre la courbe y = -z/\tan(z) et le cercle de centre O et de rayon R.

D'après la question Q19, la profondeur du puits est V_0 \simeq 1{,}81\times 10^{-18}\text{ J} \simeq 11{,}3\text{ eV}. L'énergie du photon infrarouge absorbé vaut :

Comme \Delta E \ll V_0, les deux premiers niveaux se trouvent très bas dans le puits (E \ll V_0), de sorte que K'L = \frac{L}{\hbar}\sqrt{2\mu(V_0-E)} \approx R \gg 1.

Sur la figure 9, la courbe z \mapsto -z/\tan(z) diverge en z \to n\pi^- (avec n \in \mathbb{N}^*). Pour R \gg 1, les intersections avec le cercle de rayon R ont donc lieu très près des asymptotes verticales :

On retrouve ainsi les niveaux d'énergie d'un puits de potentiel infini de largeur L :

La transition entre l'état fondamental (n=1) et le premier état excité (n=2) s'accompagne d'une variation d'énergie :

En identifiant à l'énergie du photon incident \Delta E = \dfrac{2\pi\hbar c}{\lambda}, il vient :

soit :

Application numérique :

Qualité de l'approximation :

• Aspect satisfaisant : l'ordre de grandeur obtenu (L \simeq 18\text{ pm}) est tout à fait cohérent avec l'amplitude typique des vibrations moléculaires (nettement inférieure à la longueur de liaison à l'équilibre \ell_0 = 113\text{ pm}, soit environ 16\,\% de \ell_0).

• Limites majeures du modèle :

  1. Le potentiel approché V_{\mathrm{app}}(x) possède un fond plat (V=0 sur [0, L]), alors que le potentiel réel de Morse possède un minimum parabolique unique en \ell_0.
  2. Pour un puits carré, l'écart entre niveaux successifs croît avec n (\Delta E_{n\to n+1} \propto 2n+1), alors que pour la molécule réelle (décrite par le potentiel de Morse), l'écart entre niveaux successifs décroît avec n en raison de l'anharmonicité, jusqu'à la limite de dissociation.

  Le modèle V_{\mathrm{app}}(x) n'est donc qu'une approximation grossière, utile pour estimer un ordre de grandeur spatial, mais incapable de reproduire fidèlement le spectre vibrationnel complet.

En modélisant le Soleil comme un corps noir sphérique de rayon R_{\mathrm{sol}} à la température uniforme T_{\mathrm{sol}}, la puissance totale émise s'obtient d'après la loi de Stefan-Boltzmann :

En supposant l'émission isotrope et l'espace interstellaire non absorbant, cette puissance se répartit uniformément sur une sphère de rayon d. La puissance surfacique \varphi parvenant au niveau du télescope spatial JWST s'écrit donc :

En considérant que le bouclier thermique de surface S_b est orienté perpendiculairement aux rayons solaires incidents (figure 10), la puissance thermique reçue du Soleil par le télescope est :

Calculons numériquement la densité de flux solaire :

On en déduit la puissance thermique reçue :

Considérons le système fermé constitué par le « côté froid » du télescope, de masse m, de capacité thermique massique c, de surface d'échange S, supposé à une température spatiale uniforme T(t) à chaque instant.

Le système étant assimilé à une phase condensée indéformable, la variation de son énergie interne pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t s'écrit :

Appliquons le premier principe de la thermodynamique sous forme de bilan de puissance :

où :

• la puissance thermique transmise par le bouclier vers le côté froid est donnée par l'énoncé : \mathcal{P}_{\text{reçue}} = P_t ;

• la puissance thermique rayonnée par le télescope de surface S à la température T vers l'espace (considéré à température négligeable) est donnée par la loi de Stefan :

  \mathcal{P}_{\text{émise}} = \sigma S T^4

Le bilan énergétique devient ainsi :

En divisant les deux membres par la capacité thermique totale positive m\,c, on obtient :

Cette relation s'identifie bien à l'équation différentielle proposée :

avec les constantes positives :

1. Température en régime permanent

En régime permanent, la température du côté froid n'évolue plus : \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = 0. L'équation différentielle établie à la question précédente devient :

D'où l'expression de la température finale :

En remplaçant par les expressions de a et b :

Application numérique :

2. Temps caractéristique par raisonnement dimensionnel

Dans l'équation différentielle \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + a T^4 = b :

• \left[\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\right] = \Theta \cdot \mathrm{T}^{-1} ;
• par homogénéité, [b] = \Theta \cdot \mathrm{T}^{-1} ;
• [a T^4] = [a] \Theta^4 = \Theta \cdot \mathrm{T}^{-1}, d'où [a] = \Theta^{-3} \cdot \mathrm{T}^{-1}.

On cherche un temps caractéristique \tau de dimension [\tau] = \mathrm{T}. Sachant que [T_\infty] = \Theta, le rapport \dfrac{T_\infty}{b} a la dimension d'un temps :

En utilisant la relation b = a T_\infty^4, on a de manière équivalente \dfrac{T_\infty}{b} = \dfrac{1}{a T_\infty^3}. On pose donc :

3. Application numérique de \tau

Exprimons \tau à l'aide des paramètres physiques :

Avec les valeurs numériques :

On obtient :

En convertissant en jours (1\text{ jour} = 86\,400\text{ s}) :

D'après la question Q27, l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de la température T(t) s'écrit :

En identifiant la variable dépendante T(t) à y(t), l'équation est sous la forme autonome y'(t) = f\big(y(t)\big), avec :

En syntaxe Python, l'élévation à la puissance 4 s'écrit y**4 (ou y**4.0), ce qui conduit à la fonction complétée suivante :

def f(y):
    return b - a * y**4

La méthode d'Euler explicite discrétise le temps en posant t_{k+1} = t_k + \Delta t et approxime la dérivée par un taux d'accroissement, ce qui conduit à la relation de récurrence :

En supposant que le pas temporel dt est exprimé dans l'unité de temps adaptée au problème (en jours, avec a et b exprimés en \text{jour}^{-1}, ou avec conversion temporelle sous-jacente), la fonction se complète naturellement à l'aide d'une boucle while :

def euler(f, dt, TO):
    t = [0]
    T = [T0]
    t_fin = 150
    while t[-1] < t_fin:
        T_suiv = T[-1] + dt * f(T[-1])
        t_suiv = t[-1] + dt
        T.append(T_suiv)
        t.append(t_suiv)
    return t, T

Si les constantes a et b sont définies dans le système international d'unités (avec t en secondes) et que l'utilisateur fournit un pas temporel dt en secondes, la condition d'arrêt porte sur t_{\text{fin}} = 150 \times 86\,400\text{ s}, et l'on convertit le temps en jours lors de l'enregistrement dans la liste t afin de respecter la consigne de graduation entre 0 et 150 jours :

def euler(f, dt, T0):
    t = [0]
    T = [T0]
    t_sec = 0
    t_fin = 150 * 24 * 3600  # 150 jours en secondes
    while t_sec < t_fin:
        T.append(T[-1] + dt * f(T[-1]))
        t_sec += dt
        t.append(t_sec / (24 * 3600))
    return t, T

L'analyse de la figure 11 appelle plusieurs remarques :

• Concordance modèle / mesure : On observe un excellent accord entre la courbe théorique issue de l'intégration numérique par la méthode d'Euler (en trait plein rouge) et les relevés expérimentaux du capteur embarqué (points bleus). Cela valide la modélisation thermique par rayonnement selon la loi de Stefan ainsi que la prise en compte de la fuite thermique résiduelle P_t.

• Dynamique de refroidissement non linéaire :

  • Dans les premiers jours (t \in [0 ; 30]\text{ jours}), la température chute de façon spectaculaire, passant d'environ 230\text{ K} à moins de 60\text{ K}. Ce refroidissement initialement très rapide s'explique par la dépendance en T^4 de la puissance rayonnée : à température élevée, le terme radiatif a T^4 domine largement le terme de gain b, imposant une dérivée temporelle |\mathrm{d}T/\mathrm{d}t| \approx a T^4 très grande.
  • Lorsque la température diminue, le flux radiatif émis s'effondre très rapidement (diviser T par 2 divise la puissance émise par 16). Le refroidissement ralentit donc considérablement au-delà de 40 jours.
• Objectif de température atteint : Vers t = 100 à 150\text{ jours}, la température se stabilise autour de 40\text{ K}. Le refroidissement passif par le bouclier thermique permet donc bien d'atteindre une température inférieure au seuil critique de 50\text{ K} requis pour le fonctionnement des détecteurs dans le proche infrarouge (comme NIRSpec).

Dans le cadre de la mécanique des fluides parfaits non visqueux, les équations locales de conservation s'écrivent :

1. Équation de conservation de la masse (ou équation de continuité) : Elle traduit la conservation de la masse pour un volume élémentaire de fluide :

   \boxed{\frac{\partial \mu}{\partial t} + \operatorname{div}(\mu \vec{v}) = 0}

   Pour un écoulement unidimensionnel le long de l'axe (Ox) où la vitesse est \vec{v} = v(x,t)\,\vec{e}_x, elle prend la forme scalaire :

   \frac{\partial \mu}{\partial t} + \frac{\partial (\mu v)}{\partial x} = 0

2. Équation d'Euler : Elle traduit l'application du principe fondamental de la dynamique à une particule fluide en l'absence de viscosité :

   \boxed{\mu \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} \right) = -\vec{\nabla} p + \mu \vec{g}}

   où le terme (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} est l'accélération convective, -\vec{\nabla} p représente les forces de pression surfaciques et \mu\vec{g} désigne les forces volumiques de pesanteur.

   Pour un écoulement acoustique unidimensionnel selon l'axe (Ox), en négligeant l'effet de la pesanteur devant les gradients de pression acoustique, l'équation d'Euler se réduit à :

   \mu \left( \frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial x} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x}

L'état de repos est uniforme et stationnaire : \mu_0, p_0, T_0 sont constants et la vitesse au repos est nulle (v_0 = 0). Les grandeurs indicées par 1 sont des infiniment petits du premier ordre.

1. Équation de conservation de la masse L'écoulement étant unidimensionnel suivant l'axe x, l'équation de conservation de la masse s'écrit :

En introduisant les grandeurs perturbées :

Puisque \mu_0 est constante et que le terme \mu_1 v_1 est d'ordre 2, la relation linéarisée au premier ordre devient :

2. Équation d'Euler En négligeant la pesanteur devant les forces de pression acoustiques, la projection de l'équation d'Euler sur l'axe x s'écrit :

En y substituant les grandeurs perturbées :

Le terme convectif v_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} ainsi que le produit \mu_1 \frac{\partial v_1}{\partial t} sont d'ordre 2. Sachant que p_0 est uniforme (\frac{\partial p_0}{\partial x} = 0), la linéarisation au premier ordre donne :

3. Coefficient de compressibilité isentropique L'évolution acoustique étant supposée isentropique, on a par définition :

Au premier ordre autour de l'état de repos (\mu_0, p_0), avec \chi_S évalué à l'état de référence :

En dérivant cette relation par rapport au temps, on obtient l'équation différentielle correspondante :

Système des trois équations différentielles Les trois équations différentielles régissant l'évolution des perturbations du premier ordre forment le système :

D'après la question Q33, le système d'équations linéarisées s'écrit :

En dérivant la relation (3) par rapport au temps t, on obtient :

En injectant cette expression dans l'équation de conservation de la masse (1), et après simplification par \mu_0 > 0, il vient :

Dérivons cette équation par rapport au temps t :

Par ailleurs, dérivons l'équation d'Euler (2) par rapport à x :

En vertu du théorème de Schwarz, l'inversion de l'ordre des dérivées partielles est licite :

On en déduit :

soit l'équation de d'Alembert unidimensionnelle :

avec la célérité c des ondes acoustiques donnée par :

D'après la question Q34, la surpression acoustique p_1(x,t) vérifie l'équation de d'Alembert à une dimension :

En régime sinusoïdal établi, en utilisant la notation complexe \underline{p_1}(x,t) = p_1(x)\,\mathrm{e}^{i\omega t}, on a :

L'amplitude spatiale p_1(x) obéit donc à l'équation différentielle de Helmholtz :

La solution générale réelle s'écrit sous la forme :

L'enceinte possède une paroi rigide et indéformable en x = 0. La vitesse du fluide y est donc identiquement nulle à tout instant :

Or, l'équation d'Euler linéarisée établie à la question Q33 s'écrit :

En notation complexe avec \underline{v_1}(x,t) = i\,v_1(x)\,\mathrm{e}^{i\omega t} :

ce qui donne la relation spatiale :

En x = 0, la condition aux limites v_1(0) = 0 impose donc :

Comme \frac{\mathrm{d}p_1}{\mathrm{d}x}(x) = -k A \sin(kx) + k B \cos(kx), il vient :

En notant p_a = A l'amplitude maximale de l'onde stationnaire de surpression, on obtient :

L'équation d'Euler linéarisée projetée selon l'axe (Ox) s'écrit (d'après la question Q33) :

En adoptant les notations complexes données par l'énoncé, \underline{p_1}(x,t) = p_1(x)\,\mathrm{e}^{i\omega t} et \underline{v_1}(x,t) = i\,v_1(x)\,\mathrm{e}^{i\omega t}, la dérivée temporelle de la vitesse devient :

L'équation d'Euler devient donc :

Avec p_1(x) = p_{\mathrm{a}}\cos(kx) établi en Q35, la dérivée spatiale vaut \frac{\mathrm{d}p_1}{\mathrm{d}x} = -k\,p_{\mathrm{a}}\sin(kx), d'où :

Les parois situées en x = 0 et x = L étant rigides et fixes, le fluide y vérifie la condition de non-traversée (vitesse normale nulle) à tout instant :

• En x = 0 : v_1(0) = -v_{\mathrm{a}}\sin(0) = 0, la condition est automatiquement vérifiée.
• En x = L : v_1(L) = -v_{\mathrm{a}}\sin(kL) = 0 \implies \sin(kL) = 0.

Il existe donc un entier n \in \mathbb{Z} tel que k L = n\pi. Comme l'onde acoustique est propagative et non triviale, la pulsation spatiale vérifie k = \omega/c > 0, ce qui impose n \in \mathbb{N}^*. La pulsation spatiale est donc quantifiée selon :

Pour le mode n = 2, on a k_2 = \frac{2\pi}{L}, soit une longueur d'onde acoustique \lambda_2 = \frac{2\pi}{k_2} = L. Les profils spatiaux normalisés s'écrivent :

Pour un système thermodynamique donné, la loi de Laplace reliant la température T et la pression P s'écrit :

Cette loi est valable sous les hypothèses suivantes :

1. Modèle du fluide : le fluide est modélisé par un gaz parfait dont le rapport des capacités thermiques \gamma = C_{p}/C_{v} est constant sur le domaine de température considéré ;
2. Système : le système étudié est fermé (masse fixée de gaz) ;
3. Nature de la transformation : la transformation est adiabatique (sans transfert thermique avec l'extérieur, \delta Q = 0) et réversible (mécaniquement réversible sans dissipation, soit isentropique \mathrm{d}S = 0).

D'après la question Q37, le fluide subit une transformation isentropique modélisée par la loi de Laplace :

En prenant le logarithme népérien puis en différentiant, il vient :

En linéarisant au premier ordre autour de l'état de repos (T_0, p_0) pour des petites perturbations acoustiques (T_1 \ll T_0 et p_1 \ll p_0), les variations \mathrm{d}T et \mathrm{d}p s'identifient à T_1(x,t) et p_1(x,t) :

En régime sinusoïdal établi, les grandeurs complexes s'écrivent \underline{T_1}(x,t) = T_1(x)\mathrm{e}^{i\omega t} et \underline{p_1}(x,t) = p_1(x)\mathrm{e}^{i\omega t}. On en déduit la relation entre les amplitudes spatiales :

En utilisant l'expression p_1(x) = p_{\mathrm{a}} \cos(kx) établie à la question Q35 :

Par identification avec la définition de l'amplitude T_{\mathrm{a}} de l'onde de surtempérature, telle que T_1(x) = T_{\mathrm{a}}\cos(kx) :

et le profil spatial de surtempérature s'écrit :

1. Localisation des sources thermique chaude et froide :

La particule de fluide n'échange de la chaleur avec l'extérieur que lors des deux étapes de thermalisation isobare au contact de la plaque :

• En x_1 = x_4 = x_{\mathrm{m}} - x_{\mathrm{a}}, la particule est en contact thermique avec la plaque à la température T(x_{\mathrm{m}} - x_{\mathrm{a}}) = T_{\mathrm{m}}(1 - \varepsilon_T) (étape [4] \to [1]) ;
• En x_2 = x_3 = x_{\mathrm{m}} + x_{\mathrm{a}}, la particule est en contact thermique avec la plaque à la température T(x_{\mathrm{m}} + x_{\mathrm{a}}) = T_{\mathrm{m}}(1 + \varepsilon_T) (étape [2] \to [3]).

Le gradient de température de la plaque étant positif (T'_{\mathrm{m}} > 0), on a :

Par conséquent :

• la source froide est constituée par la portion de la plaque située en x = x_{\mathrm{m}} - x_{\mathrm{a}} ;
• la source chaude est constituée par la portion de la plaque située en x = x_{\mathrm{m}} + x_{\mathrm{a}}.

2. Origine du travail mécanique :

Le travail mécanique reçu par la particule provient des forces de pression exercées par le milieu fluide environnant lors des étapes de compression [1] \to [2] et de détente [3] \to [4]. Ces forces résultent directement du champ de pression oscillant de l'onde acoustique entretenue dans le résonateur (alimentée par une source d'ondes sonores, tel un haut-parleur ou un actionneur piézoélectrique).