Ondes acoustiques : 436 questions de concours corrigées

Comment se nomme cette équation ?

À quelle condition sur ω 0 et k = |k| la famille de fonctions p_k,ω(r, t) = p_k,ω⁽⁰⁾ cos (k · r - ω t) (2) constitue-t-elle un jeu de solutions de l'équation (1) ? Comment s'appelle ce type de…

La solution (6) n'est pas physique car elle prend des valeurs dans C. Comment retrouver une solution physique dans R à partir de celle-ci ? Quel est l'intérêt de travailler avec une solution…

La vitesse du son étant définie par V_son = √(1/(ρ χ_s)), exprimer V_son à partir de γ, Mₐ, R et T.

Rappeler l’équation unidimensionnelle de conservation de la masse et la simplifier dans le cadre de l’approximation acoustique.

Rappeler la définition de la compressibilité χ de l'eau en en déduire le lien entre les fluctuations p de la pression et ρ de la masse volumique, en se limitant au premier ordre.

On rappelle que l'équation locale de conservation de la masse s'écrit ∂µ/∂ t + div(µ v) = 0. En la linéarisant par rapport aux variables µ et v₁ dans le cadre de l'approximation acoustique, établir…

Rappeler la signification de cette approximation.

La propagation de la perturbation dans le fluide est traitée dans l'approximation acoustique. Préciser le cadre de cette approximation.

Rappeler en quoi consiste l'approximation acoustique. Donner des ordres de grandeur vraisemblables pour |p₁|, |µ₁| et |v₁| correspondant à un son audible par une oreille humaine. À quel domaine de…

On mesure la longueur d'onde du signal λ = 3,75 cm, ainsi que la durée τ = 40 ms qui sépare la réception et l'émission de l'impulsion. Exprimer la profondeur H du lac en fonction de λ, τ et f, puis…

Donner l'expression de la célérité c d'une onde sonore dans ce milieu.

Établir l'équation de conservation de la masse sous ces hypothèses.

Rappeler en quoi consiste « l'approximation acoustique ». Quelle est la dimension de la quantité 1/(µ₀ χ_s) ?

Préciser ce que l'on appelle l'approximation acoustique.

Qu'appelle-t-on intensité acoustique (ou sonore) ? On la note I dans la suite.

Rappeler les hypothèses de l'approximation acoustique. Sauf mention contraire, on suppose ces hypothèses vérifiées par la suite.

Rappeler la définition, en fonction de la masse volumique et de la pression, du coefficient de compressibilité. Rappeler l'expression de l'équation locale de conservation de la masse.

En déduire la célérité c des ondes acoustiques dans ce fluide et rappeler un ordre de grandeur pour la vitesse du son dans l'air.

Par analogie avec les ondes électromagnétiques, donner l'équation de d'Alembert vérifiée par le champ de surpression p. En déduire une relation entre k, ω et c. Dans la suite, on prend k > 0.

D'une manière générale, les ondes acoustiques sont-elles longitudinales ou transversales ? On justifiera sa réponse par une explication qualitative basée sur un schéma si nécessaire.

Justifier la relation ρ₀ (∂ v)/(∂ t) ≃ -grad p (5) en réalisant un bilan de quantité de mouvement dq = dqₓeₓ + dq_ye_y + dq_ze_z sur un petit élément de fluide de dimensions (dx, dy, dz). On…

Justifier que la relation de dispersion est donnée par l'équation detA(ω, k) = 0, et en déduire l'expression de la célérité des ondes sonores c en fonction de χ_S et ρ₀.

Montrer que, pour la géométrie considérée, un champ de surpression de la forme p(r, t) = 1/r f(t - r/c), où f est une fonction quelconque, est solution de l'équation de propagation (1).

Dans le régime harmonique, le flux de puissance par unité de surface portée par l'onde acoustique et moyennée sur une période T = 2π/ω vaut Π(r) = 1/T ∫₀T Re[p(r, t)] Re[v(r, t)] dt, où Re[X]…

Le sol étant supposé rigide, écrire la condition aux limites qui s'y applique pour la vitesse de l'air. À l'aide de la relation (5), en déduire une condition sur la surpression au niveau du sol.

L'intensité sonore s'écrit I = C|p(r, t)|² avec C une constante qu'on ne cherchera pas à calculer. Montrer qu'au niveau de l'auditeur, on a I = I₁ + I₂ + 2√(I₁ I₂) cos [ω/c(r₁ - r₂)], (11) où I₁ est…

Linéariser les trois relations précédentes (équations d'Euler, équation de conservation de la masse, expression du coefficient de compressibilité isentropique) et en déduire un système de 3…

En déduire l'équation différentielle de propagation à laquelle obéit la surpression p₁(x,t). Donner l'expression de la célérité c.

À l’aide des trois équations précédentes, montrer que p satisfait l’équation aux dérivées partielles : (∂² p)/(∂ z²) = 1/c_s² (∂² p)/(∂ t²) .

Que devient l'équation d'ondes appliquée à u(r, t) pour un problème à symétrie sphérique ? On rappelle la relation en coordonnées sphériques : Δ Ψ 1/r (∂² rΨ)/(∂ r²) + 1/r² [ 1/(sin θ) (∂ sin θ ∂ Ψ…

Déduire des solutions de cette équation l'expression analytique des ondes acoustiques monochromatiques convergente u_c(r, ω) et divergente u_d(r, ω). On introduira respectivement U_c et U_d les…

Ce calcul met en évidence que la refocalisation par retournement temporel ne permet pas de revenir parfaitement sur la source initiale. De quelle limite fondamentale de la physique ondulatoire…

Quelles sont les fréquences de résonance de ce système ? Quelle condition vérifie la longueur L à ces fréquences ?

Établir les deux équations linéarisées ρ₀ωv = kp et k·v = χωp. En déduire la célérité cₐ des ondes acoustiques dans l'eau et faire l'application numérique.

Soit dV un volume élémentaire d'air que nous appellerons par la suite particule d'air. Écrire l'équation de la dynamique vérifiée pour cette particule d'air. Projeter cette équation suivant le…

On rappelle que, dans l'approximation acoustique, µ = ρ₀ χ_S p. Montrer que la surpression acoustique p(x,t) vérifie une équation de d'Alembert. En déduire l'expression de la célérité c₀ de l'onde…

On rappelle que k = ω/c₀. Déterminer l'expression de Z en fonction de ρ₀ et de c₀.

Dans le cas de l'onde plane progressive incidente p₁(x, t), justifier que l'on trouve e(x, t)=χ₀ p₁(x, t)².

En déduire l'équation de propagation vérifiée par p(x, t) en fonction de ρ₀ et de χ_S. Donner l'expression de la célérité des ondes sonores. Donner sa valeur numérique dans le cas de la cornée.

Expliciter les conditions aux limites à l'interface entre la cornée et l'humeur aqueuse. En déduire les expressions des coefficients de transmission et de réflexion en vitesse en fonction des…

Soit un fluide homogène au repos, isolé, de pression uniforme P₀, dans lequel se propage une onde acoustique dans la direction x. On décompose la pression en P(x,t) = P₀ + p(x,t), où p(x,t) est une…

On néglige la gravité, de telle sorte que l'équation de propagation de la surpression déterminée plus haut s'applique. On traite les coordonnées x et z comme des coordonnées cartésiennes, ce qui est…

Établir à quelle condition le terme (b) de la première équation du système (1) peut être négligé devant le terme (a).

Nous supposons que l'évolution du milieu associée à la propagation de l'onde est isentropique. Complétons alors le système d'équations (1) en introduisant le coefficient de compressibilité…

Dans le cas où le milieu est de l'air, établir que le carré c² est proportionnel à la température T de ce milieu. On exprimera la constante de proportionnalité en fonction de la constante des gaz…

En traduisant l'hypothèse que l'onde dans le milieu (2) reste une onde plane, établir que les angles θ₁ et θ₂ sont liés par la relation suivante : (sin θ₂)/c₂ = (sin θ₁)/c₁ 4

Montrer que la perturbation ξ(x, t) obéit à l'équation de D'ALEMBERT. Exprimer la célérité c associée en fonction de E et ρ, et vérifier sa dimension.

Montrer que, lors de la propagation d'une onde de célérité c, ce terme gradv²/2 est toujours négligeable devant un autre terme de l'équation (1), sous réserve que |v| ≪ c. Dans toute la suite, on…

Déduire de l'équation d'Euler l'équation de dispersion liant ω et k en fonction de χ et ρ₀. La propagation est-elle dispersive ?

Écrire la projection sur eₓ du principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule de fluide. Toujours dans le cadre de l'approximation acoustique, la linéariser par rapport à la vitesse…

En déduire l'équation aux dérivées partielles, de propagation, satisfaite par P₁(x, t) et expliciter l'expression de la célérité c des ondes longitudinales de pression dans le fluide.

Déterminer l'expression de la célérité c₁ de ces ondes dans l'air (assimilé à un gaz parfait) en fonction de sa température T₀, de son rapport γ entre capacités thermiques à pression et volume…

Donner l'équation d'Euler et la linéariser.

Rappeler l'équation de conservation de la masse et la linéariser.

À partir de la définition de χ_S, obtenir une relation entre µ₁ et p₁.

Établir l'équation de propagation pour la surpression p₁. Comment s'exprime la célérité c_s des ondes sonores ?

En supposant que le gaz est parfait et que le coefficient adiabatique γ est constant, établir la nouvelle expression de la célérité c_s en fonction de T. Faire l'application numérique pour de l'air…

Montrer que, en l'absence de dépendance angulaire, les fonctions solutions r p₁(r, t) peuvent se mettre sous la forme d'une combinaison linéaire de deux termes. Donner la signification physique de…

Quelle est la dimension de la constante K ? Exprimer la force F₊(x + dx, t) exercée sur le système par la partie du matériau située au-delà de x + dx. En déduire la force résultante dF_r sur le…

En assimilant la quantité de mouvement du système à dm(∂ ξ)/(∂ t)(x, t)uₓ, établir l'équation de propagation (∂² ξ)/(∂ x²) - 1/c²(∂² ξ)/(∂ t²) = 0. Donner l'expression de la constante c en fonction…

Rappeler l'équation d'Euler, limitée aux seules forces pressantes (effets de la pesanteur négligés en particulier). En déduire après linéarisation l'équation de couplage : ρ₀ (∂ v₁)/(∂ t) + (∂…

Déduire de l'ensemble des résultats précédents que la pression acoustique p₁(x,t) obéit à une équation de d'Alembert. Donner l'expression de la célérité c des ondes sonores en fonction de χ_S,0 et ρ₀.

On suppose que le fluide évoluant de façon isentropique se comporte en outre comme un gaz parfait. Justifier que pρ⁻γ = Cste où γ est le rapport entre les capacités thermiques à pression et volume…

Donner la relation de dispersion des ondes sonores dans le milieu. On note Q = |Q|. Développer l'expression de Q au premier ordre en Γ' et le mettre sous la forme Q = a - ib avec a et b deux…

Établir, en les justifiant, deux autres équations régissant le passage de l'onde sonore, puis les simplifier dans l'approximation acoustique. En déduire que p₁(x,t) est solution d'une équation de…

Donner les trois équations couplées sur p(z, t), µ(z, t) et v(z, t). Rappeler le concept physique que chacune d'entre elles traduit.

Établir l'équation vérifiée par la surpression acoustique p(z, t) dans l'approximation acoustique.

En déduire que k_r, y et k_t, y sont nuls et que l θ_r=-θ_i (sin θ_i)/c₁=(sin θₜ)/c₂ . Quelles lois retrouve-t-on ?

On suppose que la compression se fait à entropie constante. Calculer le lien entre p et (∂ u)/(∂ x). On introduira le coefficient de compressibilité isentropique χ_S.

Démontrer que : ρ₀ (∂ v)/(∂ t) + (∂ p)/(∂ x) = 0

Démontrer que : (∂² u)/(∂ x²) - ρ₀ χ_S (∂² u)/(∂ t²) = 0 Quel nom porte cette équation ?

En utilisant la loi de Laplace de la thermodynamique, donner l'expression de χ_S et démontrer que la célérité c peut s'écrire sous la forme c = (k_B T₀ γ)/m où m est la masse de l'atome constituant…

Écrire les conditions aux limites en x = 0 et x = L sur le champ de vitesse v(x, t). Pour quelles pulsations ω existe-t-il des solutions stationnaires pour v(x, t) ?

Dans le cadre de l'approximation acoustique, établir les équations et relations linéarisées déduites des équations (4), (5), (6), dont les perturbations p(r,t), µ(r,t) et v(r,t) sont solutions.

Établir l'équation de D'Alembert pour la surpression p(r,t) Δ p(r,t) - 1/cₐ² (∂² p)/(∂ t²)(r,t) = 0 , où l'on exprimera cₐ en fonction de ρ₀ et χ_S.

Qu'est-ce que l'approximation acoustique ? Donner sans démonstration un système de trois équations locales linéarisées utiles pour un problème unidimensionnel orienté par l'axe Ox. En déduire…

Trouver la relation de dispersion pour chaque mode propre et montrer l'existence d'une pulsation de coupure ω_c,n à partir de laquelle le mode propre n > 0 peut se propager. En déduire la vitesse de…

On néglige l'effet du champ de pesanteur sur la propagation de l'air. Démontrer, dans le cadre de l'approximation acoustique, la relation : µ₀ ((∂ v₁)/(∂ t)) = -((∂ P₁)/(∂ x))

Toujours dans le cadre de l'approximation acoustique, établir la relation : ((∂ µ₁)/(∂ t)) = -µ₀ ((∂ v₁)/(∂ x))

Déduire des questions précédentes l'équation de propagation relative à la surpression P₁. En déduire l'expression de la vitesse de propagation c. Faire l'application numérique pour c dans l'air, de…

Déduire de cette hypothèse l'ensemble des fréquences νₘ, m N entendues lors du retour du son diffracté par les marches Sₙ et Sₙ₊₁, en fonction notamment des distances dₙ et dₙ₊₁.

Écrire, en projection sur e_z, l'équation aux dérivées partielles obtenue en appliquant la relation fondamentale de la dynamique à une particule de fluide de volume dτ et de masse µ₀ dτ. Que donne…

Montrer que le champ des vitesses v₁(z,t) vérifie une équation de propagation de la forme (∂² v₁)/(∂ z²) - 1/c² (∂² v₁)/(∂ t²) = 0 Quel est le nom de cette équation ? Exprimer c en fonction des…

Déterminer complètement la vitesse v₁(z,t) dans l'espace 0 ≤ z ≤ h et exprimer son amplitude maximale V₁ en fonction de Uₘ, h, ω et c.

Introduire les grandeurs linéarisées associées à ρ, v et P dans l'approximation acoustique. Écrire, en le justifiant, le système des trois équations reliant ces grandeurs à l'ordre 1 et en déduire…

En considérant l'instant où l'avion émet une onde sphérique et l'instant où on l'observe après qu'elle s'est propagée et que l'avion a avancé, déterminer l'angle α que fait l'enveloppe au dessus de…

Etablir l'équation de propagation vérifiée par la pression p₁ à partir de trois équations locales à linéariser. Vous nommerez et expliciterez les approximations et/ou hypothèses réalisées. En…

On se place à présent dans le cas d'un tuyau fermé en x = 0 et ouvert en x = L. Justifier que ces conditions aux limites imposent v₁(0,t) = 0 et p₁(L,t) = 0. Justifier ensuite que l'on peut chercher…

On note r₂₁ et t₂₁ les coefficients de réflexion et de transmission dans la situation duale de la précédente où l'onde incidente d'amplitude 1 provient de x = +∞. En réécrivant la situation…

Afin de comprendre plus en d'étail ce qu'il s'est passé dans cette expérience impulsionnelle, il peut-être utile de regarder ce qu'il se passe en régime monochromatique. Imaginons que le signal émis…

Résoudre l'équation différentielle avec ces conditions aux limites. En déduire les pulsations des modes propres pour kₓ donné, que l'on classera par ordre croissant en les repérant par un entier n…

On note i l'inclinaison du rayon par rapport à l'axe z. Exprimer sin i en fonction de kₓ, ω et c(z). Quel est l'analogue de ce résultat en optique géométrique ?

Exprimer la période T' = t'₂ - t'₁ perçue par l'atome en fonction des distances source-atome aux dates t'₂ et t'₁, notées respectivement SR(t'₂) et SR(t'₁), de T et de la célérité des ondes c.

Établir la relation de dispersion. Exprimer k'' en notant que k' ≃ ω/c.

a) Donner les relations de dispersion pour la lumière et le son dans l'hélium liquide (c'est-à-dire la relation entre |k_i| et ω_i (i = 1, 2) d'une part, et |q_B| et Ω_B d'autre part). b) Écrire les…

Écrire et linéariser les équations locales de la mécanique des fluides et l'équation traduisant l'hypothèse thermodynamique effectuée. Établir l'équation de propagation des ondes acoustiques pour la…

Établir l'équation d'Euler en considérant l'eau comme un fluide parfait et en justifiant les autres simplifications possibles.

Pour introduire le terme source dû aux variations du champ de température, on peut montrer que l'équation d'état de l'eau se met sous la forme : ρₐ(r, t) = 1/c₀² pₐ(r, t) - ρ₀β Tₐ(r, t) avec c₀ =…

En supposant que la nanoparticule d'or émet un signal photoacoustique de fréquence f (dans son propre référentiel), déterminer l'expression de la fréquence f' perçue par la sonde en fonction des…

Déterminer et résoudre l'équation différentielle vérifiée par p(z). On montrera que les solutions s'écrivent : pₙ(z) = Aₙ cos (nπ/a z) n N Justifier précisément que le mode propre fondamental…

Pour obtenir l'équation régissant l'onde sonore, nous avions fait l'hypothèse d'une transformation locale isentropique. Que vaut le coefficient de conductivité thermique κ dans ce cas ?

Rappeler en quoi consiste l’approximation acoustique.

Que représentent les différents termes de cette équation ? En déduire une simplification de cette dernière dans le cadre de l’approximation acoustique.

Comment appelle-t-on cette équation ? Quelle est l’expression de c_s ? Quelle est sa dimension et que représente-t-elle ?

En déduire que c_s = (γ R T₀)/M_air, où γ est le coefficient isentropique de l’air et M_air la masse molaire moyenne que l’on exprimera en fonction des masses molaires des principaux constituants de…

Les conditions sont P₀ = 1,0 bar et T₀ = 3,0 · 10² K. Calculer la masse volumique ₀ de l’air ainsi que c_s. Aide au calcul : 1/8,3 ≈ 0,12 ; √(10) ≈ 3,2 ; 1,4 × 8,3 ≈ 10

Écrire une fonction `distance_euclidienne`, qui renvoie la distance euclidienne entre deux points A et B du fichier de valeurs expérimentales dont les coordonnées sont stockées dans des tuples…

On considère une interface en x = 0 séparant 2 milieux de célérités respectives c₁ pour x ≤ 0 et c₂ pour x > 0. On suppose une onde incidente d'amplitude 1 sur cette interface depuis x = -∞. Elle…

Dans la première phase, notre miroir M situé en x₀ > 0 enregistre le signal R(t) reçu lorsque la source S située en x = 0 émet un signal s(t). Donner l'expression de R(t).

Expérimentalement, on ne peut pas non plus enregistrer le champ intégral sur la sphère englobant la source initiale mais on doit enregistrer sur un réseau de capteurs discrets. Pour avoir un…

Établir l'expression de l'intensité du signal acoustique reçu en M sous la forme Iₜₒₜ=I₀ f₂(φ). Expliciter et commenter l'expression de la fonction f₂.

Rappeler en quoi consiste l'approximation acoustique.

Rappeler l'équation locale de conservation de la masse et la linéariser dans le cadre de l'approximation acoustique.

Exprimer les expressions des ondes complexes p_i(x,t) et v_i(x,t) en fonction de k, ω, Z et de p_im.

Exprimer les expressions des ondes complexes p_r(x,t) et v_r(x,t) en fonction de k, ω, p_rm et de Z.

Exprimer les expressions complexes des ondes pₜ(x,t) et vₜ(x,t) en fonction de k, ω, pₜₘ et de Z.

On considère que la pulsation ω₀ se trouve dans la bande passante de l'oreille humaine. Préciser si la cloison transmet plus significativement les nuisances sonores graves ou aiguës. Préciser si…

Expliquer pourquoi la pression acoustique ne permet pas d'expliquer le phénomène de pression de radiation sur l'obstacle.

Donner l'expression du coefficient de compressibilité adiabatique dans le cadre de l'approximation acoustique.

Utiliser l'équation associée à la dynamique du fluide appliquée à une particule de celui-ci et simplifier son expression dans le cadre de l'approximation acoustique.

Écrire l'équation locale de conservation de la masse et simplifier son expression dans le cadre de l'approximation acoustique.

Donner l'expression de l'impédance acoustique dans le cas d'une onde se propageant dans le sens des x positifs, puis dans le cas d'une onde se propageant dans le sens des x négatifs.

Expliquer comment obtenir la valeur de l'épaisseur de la cornée à l'aide de ce dispositif.

Rappelez, sans démonstration, la généralisation de cette équation à trois dimensions.

Les quantités physiques doivent être périodiques en x, de période 2π R, correspondant à un tour complet autour du Soleil. Quelles sont alors les valeurs possibles de kₓ ? On les repérera par un…

Indiquer à quelle condition le terme (a) de la première équation du système (1) peut être « linéarisé ».

Nous adoptons les valeurs suivantes : g = 10 m⁻², c_air = 300 m⁻¹ et c_eau = 1500 m⁻¹. Traduire numériquement, sur la fréquence f = ω/(2π), la condition établie en réponse à la question (7), dans le…

Les coefficients de diffusion thermique de l'air et de l'eau ont pour valeurs respectives D_air ∼ 20 × 10⁻⁶ m²⁻¹ et D_eau ∼ 0,15 × 10⁻⁶ m²⁻¹ (autour de p₀ = 10⁵ Pa et T₀ = 300 K). Traduire…

Écrire numériquement l'inégalité que doit alors vérifier la fréquence f = ω/(2π), dans le cas de l'air (ν_air ∼ 10⁻⁵ m²⁻¹) puis celui de l'eau (ν_eau ∼ 10⁻⁶ m²⁻¹). Commenter ces résultats.

Calculer numériquement c dans le cas de l'aluminium.

Identifier la note correspondante.

Déterminer à présent la célérité c₂ de ces ondes dans l'eau liquide à 293 K avec χ_s = 4,90 × 10⁻¹⁰ Pa⁻¹ et µ₀ = 1,00 × 10³ kg⁻³.

Au LNE, le gaz utilisé est un gaz rare tel que l'hélium ou l'argon. Calculer la valeur numérique de c_s pour l'hélium à la température du point triple de l'eau.

Qualitativement, quelles sont les modifications qu'apportent les phénomènes dissipatifs sur les fréquences de résonance et sur les amplitudes à ces fréquences ?

Le fluide évolue de façon isentropique sous l'effet des ondes sonores. Montrer que ρ₁ = ρ₀ χ_S,0 p₁ où χ_S,0 est le coefficient de compressibilité isentropique du fluide à l'équilibre. On rappelle…

Déduire de l'une des équations de couplage établies à la Q25 l'expression du rapport Z_c = p₁/v₁, appelé impédance caractéristique du milieu, en fonction de ρ₀ et c. Que devient la relation entre p₁…

La densité volumique d'énergie sonore e _T associée à l'onde s'écrit en moyenne sur une période T = 2π/ω : e _T = 1/2 ρ₀ v₁² _T + 1/2 χ_S,0 p₁² _T Quelle est la signification physique de chacun des…

On appelle intensité sonore I la grandeur définie par : I = | p₁ v₁ _T|. Vérifier que cette grandeur est homogène à une puissance surfacique. Montrer que l'intensité sonore est proportionnelle à la…

Exprimer la puissance sonore moyenne Pₐ absorbée par les parois et les objets de la pièce en fonction de I_r, αₘ et S. Exprimer de même l'énergie sonore moyenne E(t) dans la pièce à l'instant t en…

Exprimer les champs des vitesses caractérisant les ondes acoustiques incidente, réfléchie et transmise, notées respectivement v_i(z,t), v_r(z,t) et vₜ(z,t), en fonction notamment de l'impédance…

Rappeler l'ordre de grandeur de la célérité des ondes sonores dans l'air à température ambiante. Quelle est la fréquence des ondes réfléchies par les obstacles fixes ? Justifier l'utilisation du…

Donner l'autre nom de cette équation. Citer précisément un exemple d'ondes autres qu'électromagnétiques suivant cette même équation de propagation.

Déterminer l'expression de Zₐ en fonction de µ₀ et c_s. Comment appelle-t-on cette grandeur en acoustique ? L'interaction de l'onde incidente avec la cloison donne naissance à une onde réfléchie…

Qu'appelle-t-on approximation acoustique ? Quel est l'ordre de grandeur de la surpression p pour des ondes acoustiques dans l'air ?

Rappeler les hypothèses de l'approximation acoustique. Quelle hypothèse fait-on sur la nature de l'évolution thermodynamique de la particule fluide au passage de l'onde acoustique ?

Exprimer la vitesse de propagation c d'une onde acoustique plane progressive dans l'eau de mer et donner sa valeur numérique.

Déterminer la fréquence f des signaux émis ; préciser le domaine correspondant.

Le but de l'expérience que l'on va décrire par la suite est de mesurer précisément c afin de déterminer k_B. Pourquoi, dans cette expérience, utilise-t-on un gaz mono-atomique tel que l'argon ?

Faire l'application numérique de ω₁ pour une cavité de longueur L = 10 cm. Donner la fréquence associée.

Quelle équation vérifie la grandeur p(r, t) ?

Quelles sont les interprétations physiques respectives des solutions p₊ et p₋ ?

On rappelle que le laser émet des impulsions avec une fréquence de répétition f_rep = 1 kHz. Quelle profondeur peut-on envisager mesurer avec une telle cadence ? Commenter cette valeur.

On réalise une mesure expérimentale par photoacoustique sur un capillaire et sur l'aorte. On suppose connue la fréquence d'émission des nanoparticules : f = 100 MHz. La vitesse du son dans les…

Rappeler la gamme de fréquences sur laquelle l'oreille humaine est sensible. Conclure quant à la dénomination de l'émetteur.

En assimilant l'air à un gaz parfait, montrer que la célérité c du son dépend de la masse molaire du milieu. Calculer numériquement c dans l'air à 20^.

À quelle condition sur a et la longueur d'onde λ de l'onde libre, le mode fondamental n = 0 se propage-t-il seul entre les plaques ? Faire l'application numérique correspondant à cette condition.

Évaluer la célérité c d'une onde sonore qui se propage dans de l'eau de mer de masse volumique valant µ₀ = 1 030 kg⁻³ et de coefficient de compressibilité isentropique égal à χ_s = 4,9 · 10⁻¹⁰ Pa⁻¹…

Réécrire le coefficient χ_S dans l'approximation acoustique en fonction de µ₀, µ₁ et P₁.

Écrire l'expression de ξ(x,t), déplacement de l'onde sonore à l'abscisse x.

Pourquoi définit-on l'intensité acoustique en décibels par la relation I_dB = 10 log (I/I_ref) (avec I_ref = 10⁻¹² W⁻²) ?

Sachant que l'équation locale de conservation de l'énergie s'écrit divΠ₁ + (∂ e)/(∂ t) = 0, où e est l'énergie volumique du système, donner une interprétation physique des termes 1/2χ_S P₁² et 1/2µ₀…

On considère une particule fluide, de volume dτ, mise en mouvement par le passage de l'onde sonore. Montrer que, dans l'approximation acoustique, son accélération peut s'écrire a = (∂ v)/(∂ t).

On note zₘ(t) la position de la membrane du transducteur au voisinage de h. Exprimer puis calculer l'amplitude Zₘ de vibration de zₘ(t). On pourra prendre (4π)⁻¹ = 8,0 × 10⁻².

On règle dorénavant la valeur de h de manière à obtenir V₁ = 50 m⁻¹. Pourquoi n'est-il plus possible de se placer dans l'approximation acoustique ?

Par rapport aux conditions dans lesquelles les ondes de surfaces ont été étudiées en début de partie II, quelle est l'hypothèse majeure à modifier à propos du comportement du milieu ?

Une autre méthode de mesure de l'épaisseur de la couche de glace consiste à analyser les échos d'un signal à ultrasons. Expliquer brièvement le principe d'une telle mesure.

Pourquoi le fait d'associer plusieurs haut-parleurs permet-il de restituer toutes les plages de fréquences audibles de manière optimale dans l'enceinte de la patinoire ?

Préciser l'unité de l'impédance acoustique Zₐ dans le Système international d'unités.

En introduisant une constante spatiale et temporelle k_f, indiquer l'expression correcte de cette onde stationnaire: A) Ψ_f(x, t) = ψₘ sin (2π ft - k_f x) B) Ψ_f(x, t) = ψₘ cos (2π ft) sin (k_f x)…

Calculer numériquement la fréquence f_1,f de l'harmonique fondamentale. A) f_1,f ≈ 6 mHz B) f_1,f ≈ 12 mHz C) f_1,f = 42,5 Hz D) f_1,f = 85 Hz

En introduisant l'entier n > 0, déterminer l'expression des longueurs d'ondes λₙ des ondes stationnaires qui peuvent exister dans le tuyau: A) λₙ = L/n B) λₙ = 2L/n C) λₙ = nL D) λₙ = 2nL

Calculer numériquement la fréquence f_1,o de l'harmonique fondamentale. A) f_1,o ≈ 6 mHz B) f_1,o ≈ 12 mHz C) f_1,o = 42,5 Hz D) f_1,o = 85 Hz

En toute généralité, ces solutions dites « harmoniques » peuvent se mettre sous la forme p_k,ω(r, t) = p_k,ω⁽⁰⁾ cos φ(r, t). On définit un front d'onde comme étant une surface connexe de même phase…

Montrer, en justifiant avec soin les approximations effectuées, que ρ(r, t) ≃ ρ₀ χ_S p(r, t). (3)

En utilisant l'équation de conservation de la matière, montrer que l'on a (∂ ρ)/(∂ t) + ρ₀ div v = 0, (4) où v est le champ de vitesse et div est l'opérateur divergence. En déduire que, pour les…

Utiliser ce modèle de solution complexe dans le jeu d'équations décrivant la propagation du son et montrer que celui-ci donne une équation matricielle A(ω, k) ρ v p = 0, où la matrice A(ω, k)…

Évaluer numériquement cette longueur caractéristique d'atténuation δ à 1 kHz et conclure.

Pourquoi les champs p, ρ, et T ne dépendent-ils que de t et de la norme r de r ?

En déduire que la solution harmonique complexe à la pulsation ω est nécessairement de la forme p(r, t) = A_ω g(r) e⁻iω t. (10) Nous appellerons cette solution « onde sphérique progressive harmonique…

On définit l'impédance acoustique Z comme Z = lim _r → ∞ (p(r, t))/(v_r(r, t)). Montrer que, pour l'OSPH, on a Z = A_ω / B_ω = cρ₀.

Quel est le délai Δ t de perception (ITD) de la surpression entre l'oreille droite et l'oreille gauche, en fonction de D, c et θ ?

Quelle est l'ITD maximale ? En donner une évaluation numérique en considérant que la tête humaine moyenne a un diamètre de 23 cm.

Les meilleures performances de localisation utilisant uniquement l'ITD sont obtenues à 1 kHz, ce qui permet une précision de 3° à 4°. Que peut-on en déduire comme valeur de la plus courte ITD…

Représenter graphiquement cette quantité I/I₀ en fonction de l'élévation h de la source, convenablement normalisée.

En analysant la figure 5B, déduire quel est le niveau sonore optimal pour un test d'audition par émission autoacoustique. Ce niveau d'exposition est-il dangereux pour l'oreille ? La détection de…

En notant pₐ l'amplitude de l'onde de surpression, montrer que : p₁(x) = pₐ cos (kx) où k est à exprimer en fonction de ω, µ₀ et χ_S.

Montrer que la pulsation spatiale kₙ est quantifiée par un entier n N*. Déterminer l'expression de kₙ, puis tracer sur un même graphique p₁(x)/pₐ et v₁(x)/vₐ pour n = 2.

Déterminer T₁(x) et exprimer Tₐ en fonction de γ, T₀, p₀ et pₐ.

Quelle est la hauteur d’eau h(t_mes) présente dans le bassin à l’instant t_mes de la mesure ? L’air est considéré être un milieu faiblement dispersif.

Rappeler le principe de l'algorithme des k plus proches voisins en 5 à 10 lignes maximum.

Expliquer comment choisir une valeur optimale k en précisant les inconvénients de valeurs extrêmes.

Comment améliorer les performances de la classification par la méthode des k plus proches voisins ?

Supposons que u(x, t) est une solution de cette équation. Est-ce que u(x, -t) l'est aussi ? Qu'est-ce que cela signifie physiquement ?

On place en x = 0 une source qui émet un signal temporel s(t). Cette émission donne naissance à une onde se propageant vers les x positifs et une onde se propageant vers les x négatifs, et pour des…

Ce signal est enregistré pendant un temps T (choisi suffisamment long afin que la totalité du signal issu de la source soit arrivé). Puis, à l'instant t = T, M réémet le signal qu'il a reçu, mais en…

Que vaut le signal s_RT(t) reçu en x = 0 ? Comment ce résultat est-il présenté sur la figure en début d'énoncé ?

Que devient cette équation en régime monochromatique u(r, t) = (u(r, ω) e⁻iω t).

Tracer le module du champ total, superposition de ces 2 ondes, en fonction de r. On précisera une longueur caractéristique.

On suppose s(t) = exp (-t²/2τ²) avec τ un temps caractéristique plus court que les autres temps en jeu. Tracer l'allure de R(t).

Dans le cas des ondes émises lors du chant d'une baleine près de la surface libre de l'eau, estimer et commenter les amplitudes des ondes de masse volumique |ρ| et de vitesse |v|.

En déduire la célérité c'ₐ des ondes acoustiques en fonction de v₀, cos θ et de la valeur cₐ obtenue dans l'eau au repos. Peut-on parler de loi de composition des vitesses ?

Montrer que, lors de la réception en M, p₂=p₁ e⁻j φ et exprimer φ en fonction de cₐ, f, d et θ.

Estimer une valeur maximale pour Δ t₂ et conclure.

Déterminer une relation liant la surface S_c, la masse M_c, les amplitudes p_im, p_rm, pₜₘ, Xₘ et la pulsation ω.

En écrivant une première équation de continuité, déterminer une équation liant les amplitudes p_im, p_rm et pₜₘ.

En écrivant une seconde équation de continuité, déterminer une nouvelle relation liant les amplitudes p_im, p_rm, Xₘ, Z et ω.

Tracer les diagrammes asymptotiques représentant d'une part log |r| et d'autre part log |t| en fonction de log (ω/ω₀).

Représenter sur un même graphique la variation de ω₀, ω₁ et ω₂ en fonction de kₓ dans ce modèle.

Écrire la relation de dispersion reliant ω, kₓ, k_z(z) et c(z), où nous notons k_z(z) la composante verticale du vecteur d'onde à l'altitude z.

Dessiner, pour comparaison, l'allure de la trajectoire d'un rayon pour le modèle de fluide uniforme étudié plus haut.

Justifier que le système d'équations (1) ne permet pas, à lui seul, d'accéder aux différents champs qu'il fait intervenir. Par ailleurs, indiquer quelle difficulté mathématique particulière soulève…

Définir à quelle condition la seconde équation du système (1) tend vers une équation linéaire.

Commenter la relation (4).

Indiquer à quelle condition, portant sur l'épaisseur e des couches, cette étude entre dans le cadre de l'acoustique géométrique. Dans la suite, nous supposerons cette condition satisfaite.

Indiquer à quelle condition, portant sur la pulsation ω et la fonction c = c(z), cette étude entre dans le cadre de l'acoustique géométrique. Dans la suite, nous supposerons cette condition…

Donner un ordre de grandeur du paramètre de maille d'un métal. Pour une liaison métallique pure, on donne k [15, 40] N⁻¹. En déduire une estimation numérique de E. Comparer à la valeur tabulée de…

Pour estimer les ordres de grandeur du phénomène, on prend θₘₐₓ = 5π/6 avec un frottement caractérisé par f_s ≃ 1 et f_d ≃ 0,6 pour une vitesse de traction du ressort v₀ = 1 cm/s. On prendra g ≃ 10…

On cherche le champ des vitesses v(x,t) = V₀exp [i(ω t - kx)]eₓ. Exprimer, à l'ordre d'approximation cité ici, V₀ en fonction de A, ρ₀, ω et k.

Calculer la vitesse de groupe des ondes acoustiques dans l'air (gaz parfait, γ = 1,4, masse molaire M = 29 g⁻¹) au sommet de la stratosphère (z = 50 km, T = 290 K). On rappelle la valeur de la…

Calculer la valeur de la fréquence fondamentale d'une flûte traversière modélisée par un tuyau acoustique de longueur L = 70 cm ouvert à ses deux extrémités (on considère une température de l'air…

Établir une relation linéaire entre P₁(x, t) et µ₁(x, t).

En déduire l'expression de la célérité c_ℓ des ondes longitudinales de compression-dilatation dans le barreau en fonction de E et de la masse volumique µ. La calculer pour le fer à 293 K et sous…

Proposer une interprétation physique pour les différences observées entre les célérités des ondes longitudinales c₁, c₂ et c_ℓ.

Comment peut-on déduire de la mesure de c_s et de la relation établie à la question 29, une valeur pour la constante de Boltzmann ?

On cherche à résoudre l'équation de propagation pour la surpression p₁ dans le cas de la sphère. Que devient cette équation dans le cas général ?

Pourquoi peut-on se limiter à l'étude des solutions de la forme, en notation complexe, p₁(r, t) = A/r exp (i(ω t - kr)) + B/r exp (i(ω t + kr)), où A, B, ω et k sont des constantes ?

Citer quelques sources d'incertitude de la méthode utilisée au LNE.

En déduire les fréquences fₙ de résonance du barreau en fonction de c, L et d'un entier n non nul. Calculer la fréquence minimale f₀ pour une céramique PZT de longueur L = 2 cm. Que devient…

À l'aide d'un bilan d'énergie, montrer que l'intensité réverbérée I_r(t) obéit à l'équation différentielle du premier ordre : dI_r/dt + (αₘ S c)/4V I_r = 0 Donner la loi d'évolution I_r(t). On…

Exprimer le temps de réverbération T_r en fonction de τ. Vérifier qu'on retrouve la formule semi-numérique de Sabine : T_r = 0,16 V/(αₘ S), où le rapport V/S est exprimé en m et T_r en s. On prendra…

Montrer que la tranche d'air dans le col oscille de façon harmonique. Vérifier que la fréquence propre f₀ de ce système oscillant s'écrit : f₀ = 1/2π √((c² s)/(ℓ V_c)).

Le facteur de qualité est suffisamment grand pour considérer que le système oscille à sa fréquence propre f₀. Comparer la valeur mesurée de cette fréquence à celle déduite du modèle utilisé. En…

Établir l'expression de x(t). En déduire que la vitesse de la tranche d'air dans le col s'écrit en représentation complexe : v(t) = vₘ ejω t où vₘ = (jω pₘ)/(ρ₀ ℓ (ω₀² - ω²)). Que dire de |vₘ| dans…

Identifier à l'aide des courbes de la figure 11 la nature du filtre acoustique que constitue le résonateur de Helmholtz relié à la conduite. Pour une valeur du coefficient β donnée, expliquer à…

En considérant que la première impulsion a été émise en E à la date t = 0, exprimer en fonction de x₀, c₀ et de v, la date t₁ à laquelle cette première impulsion est reçue en R. Sachant que la…

En déduire la fréquence f_R du train d'impulsions reçue en R en fonction de f_E, v et de c₀.

À l'aide des oscillogrammes 2 et 3, évaluer avec un seul chiffre significatif, la vitesse v de la voiturette, lorsqu'elle roule sur le support horizontal.

À partir de la question précédente, quel aurait été le problème rencontré si ces pales avaient eu un rayon de 1 m ?

On part d'une situation à p_sat. On s'intéresse aux variations de pression et de masse volumique au foyer acoustique. On suppose que les variations de pression au foyer sont sinusoïdales et…

On note χ_S le coefficient de compressibilité isentropique. Donner sa définition générale, puis son expression linéarisée dans l'approximation acoustique. Pourquoi est-il pertinent de l'introduire…

En traduisant la continuité de la vitesse en x ≈ 0 (au niveau de la cloison), déterminer une relation entre v_im, v_rm et vₜₘ. Pourquoi peut-on écrire cette condition aux limites en x ≈ 0 malgré le…

Dans le modèle du gaz parfait, établir la loi de variation de la célérité avec la température. Calculer c₀ dans le dihydrogène en sortie du cœur de réacteur.

Préciser la nature subsonique ou supersonique de l'écoulement de dihydrogène en sortie du cœur de réacteur.

En déduire la température en sortie de tuyère T₁ ainsi que la nature subsonique ou supersonique de l'écoulement.

Déduire de la question 41 la relation T(1 + C₃ M²) = C₄ où l'on exprimera les constantes C₃ et C₄ en fonction de γ et T₀.

Justifier que |k_i|=|k_r|=k_i puis exprimer k_i et kₜ=|kₜ| en fonction de ω, c₁ et c₂.

Traduire la continuité de la pression en un point P quelconque de l'interface et la mettre sous la forme p_i 0+p_r 0 exp (i(k_i-k_r) · O P)=pₜ ₀ exp (i(k_i-kₜ) · O P).

D'après la question 32, quelle grandeur faisant intervenir θ et c est conservée au cours du trajet des ondes acoustiques ?

Par quelle équation simple peut-on décrire l'évolution de la vitesse de propagation du son c(z) dans l'océan avec la profondeur, pour des profondeurs inférieures à 1000 m ? Donner une évaluation…

Reprendre la même démarche pour des profondeurs supérieures à 1000 m.

On cherche une solution de pulsation ω. Démontrer que, en notation complexe, il existe deux solutions p₊ et p₋ telle que p₊(r, t) = (ei⁽kr⁻ω t⁾)/r et p₋(r, t) = (ei⁽⁻kr⁻ω t⁾)/r où l'on exprimera k…

Calculer le champ de vitesse v₊(r, t) associé à p₊(r, t) et le champ de vitesse v₋(r, t) associé à p₋(r, t).

Calculer le terme dominant de la vitesse en r → 0 et démontrer que la condition a₊ = -a₋ est nécessaire pour que celui-ci s'annule.

En utilisant une représentation graphique de l'équation, montrer qu'il existe un nombre infini et discret de solutions ωₙ avec n N (correspondant à une solution xₙ). Donner une borne inférieure et…

Démontrer que cette équation peut se mettre sous une seconde forme tan x = x. À l'aide d'une représentation graphique donner la limite de xₙ - nπ pour n → ∞.

Il n'existe pas de solution analytique simple à cette équation. Décrire en quelques lignes un algorithme permettant de calculer numériquement la solution xₙ.

Dans le cas à une dimension, on suppose que l'équation possède des solutions de la forme ρ(x, t) = ρ₀ + R₀ ei⁽kx⁻ω t⁾. Démontrer que dans la limite ω τ_r ≪ 1, deux valeurs de k sont possibles, qui…

Tracer schématiquement l'amplitude pour x > 0 et t = 0 d'une onde se propageant vers les x > 0 et pour R₀ réel. Quelles sont les deux échelles caractéristiques de longueur présentes sur ce graphe ?…

Tracer schématiquement v(x, t) et p(x, t) pour une onde se propageant vers les x > 0 et pour R₀ réel. Comment se traduit graphiquement le fait que Z possède une partie imaginaire non nulle ?

En utilisant la condition de réflexion parfaite sur la paroi en x = L, calculer a₋ en fonction de a₊.

À partir de la loi des gaz parfaits, démontrer que, au premier ordre, p/P₀ - τ/T₀ + (∂ u)/(∂ x) = 0 où τ = T - T₀ représente la variation de température autour de l'équilibre.

Quels types de solutions à l'équation précédente s'attend-on à avoir (en faisant l'hypothèse que les variations de température correspondent à une source ponctuelle) ? Notamment, quel comportement…

On donne sur la figure 3 le champ de pression en fonction du temps à la surface de la nanoparticule suite à son élévation de température. Au vu de ce graphe, déterminer la fréquence et la longueur…

Suite à cette excitation, représenter le champ de pression qui sera enregistré par un capteur ultrasonore considéré comme ponctuel placé à la coordonnée (x, y, z) = (0, 0, 0) alors que la…

Pourquoi ne peut-on pas reconstruire une image du milieu si on ne connaît que le signal temporel reçu sur le capteur précédent ?

On remplace le capteur ponctuel précédent par un capteur sous forme de disque de diamètre D = 1 cm qui présente une concavité de manière à focaliser les ultrasons à la distance F = 3 cm. Par…

On souhaite mesurer la célérité des ondes acoustiques dans l'air. Pour cela, on place deux récepteurs ultrasonores en face d'un émetteur ultrasonore, qui fonctionnent tous sur le même principe que…

Pour une OPPM, établir l'expression de l'impédance acoustique Zₐ. Exprimer l'intensité en décibel I_dB en fonction de vₘ l'amplitude de la vitesse acoustique, I₀ = 1,0 × 10⁻¹² W.m⁻² l'intensité…

Justifier que l'on cherche une solution du problème sous la forme p₁(M,t) = p(z) cos (ω t - kx + φ) puis caractériser physiquement une telle onde. On prendra k > 0 et ω > 0.

En utilisant les figures 5 et 6, préciser dans quel domaine sonore ce « clic » est émis. Évaluer l'ordre de grandeur de sa largeur spectrale à mi-hauteur. En déduire le temps de cohérence τ_c de la…

On définit l'impédance acoustique pour une onde plane progressive par la relation Z = (P₁(M,t))/(v₁(M,t)). Montrer que l'on a Z = µ₀ c pour l'onde plane progressive dans le sens des x croissants. On…

Calculer la puissance de la force de surpression s'exerçant sur la membrane en fonction de µ₀, c, S et v₁. En déduire que la force que le fluide exerce sur la membrane est de la forme F_f = -α v, où…

Exprimer Ψ(Sₙ, t) puis Ψ'(S, t) en fonction notamment de la fonction s.

Exprimer la phase φ'ₙ(t) à l'instant t de la composante harmonique de pulsation ω de l'onde retour en S diffractée en Sₙ, en fonction notamment de dₙ.

Exprimer Δφ'ₙ en fonction notamment des distances dₙ et dₙ₊₁.

En exploitant la figure 12 déterminer la distance d_N entre le sommet de l'escalier et S. On fixe l'origine temporelle à l'instant du clap. Calculer numériquement la date t₁ d'arrivée du début de…

Calculer numériquement les fréquences ν₁(t₁) et ν₁(t_N).

Donner les expressions linéarisées des relations locales traduisant, d'une part la conservation de la masse, et d'autre part le caractère isentropique de l'évolution du fluide sous l'effet de l'onde…

On s'intéresse à l'onde sonore résultante entre le transducteur et le réflecteur. Justifier la condition aux limites uₘ(t) ≈ v₁(h,t)

Déterminer les positions spatiales des maxima de vitesse en fonction de λ et d'un entier n. Commenter ce résultat. Montrer que l'amplitude V₁ des maxima diverge pour certaines pulsations ωₙ. En…

On admet que la surpression p₂(z,t) est de la forme p₂(z,t) = 1/4 µ₀ℓ V₁q cos ((2ω z)/c) + f(z) cos (2ω t) où f(z) est une fonction dont il n'est pas nécessaire de connaître l'expression. Déterminer…

Calculer µ_b, max et proposer une estimation de la masse maximale m_b, max d'une bille susceptible de léviter avec le dispositif présenté ici. Commenter les valeurs numériques.

Comme on le voit sur la figure 1 le dispositif permet de faire léviter plusieurs objets. Quelle est la distance qui les sépare ? Exprimer le nombre maximal de ces objets en fonction de λ et h.

Démontrer la relation de dispersion de ces ondes. Quelle est la propriété importante de ce type de relation de dispersion ?

Dans le cas où U < c, proposer une représentation graphique à un instant t, dans le référentiel où l'air est immobile, de quelques surfaces d'ondes émises par l'avion avant l'instant t.

En déduire une explication du phénomène d'effet Doppler.

Dans le cas où U > c, proposer la même représentation. À un instant donné, que dire de la forme de l'enveloppe de toutes les ondes émises auparavant ?

Réécrire la relation entre les amplitudes complexes V et I en faisant intervenir, cette fois, les grandeurs M_ms*, C_ms, R_ms, B₀, ℓ et ω. Dans la suite, on appelle cette relation « l'équation…

Le bouchon est désormais retiré. On observe alors une nouvelle onde stationnaire dans le tuyau, notée Ψₒ(x, t), de même amplitude ψₘ. L'ouverture du tuyau modifie les conditions aux limites, la…

En introduisant l'entier m > 0, déterminer l'expression des longueurs d'ondes λₘ des ondes stationnaires qui peuvent exister dans le tuyau: A) λₘ = L/2m B) λₘ = L/m C) λₘ = L/(m/2 + 1/4) D) λₘ =…

Représenter les modes n = 1 et n = 2 sur un schéma montrant les ondes de pression et de vitesse, dans deux couleurs (ou styles de traits) différentes.

On se place dans un premier temps dans le régime des hautes fréquences dans lequel ω ≫ 2π N. Simplifier l'expression de k_r et montrer que l'on retrouve la relation de dispersion correspondant aux…

Dans quelles bandes spectrales s'attend-on à trouver les modes p d'une part et le mode g d'autre part ? Quels modes sont les plus visibles sur la figure 3 ? Les données expérimentales sont le…

La solution modèle que nous avons choisie était une OPPH se propageant selon e_z. Pourquoi ce choix, qui semble a priori restrictif, ne l'est-il en fait pas pour le problème considéré ?

On définit la température locale absolue comme la somme T₀ + T(r, t), où T₀ est la température de l'air à l'équilibre à 20°C et T(r, t) est la perturbation due au passage de l'onde acoustique. En…

Montrer alors que le jeu d'équations vérifié par une solution modèle d'OPPH (6) prenant en compte le couplage entre les grandeurs mécaniques p, ρ, v et thermodynamiques s et T s'écrit A(ω, k) & 0 &…

Utiliser l'invariance du problème par renversement du temps pour trouver une deuxième solution de l'équation de propagation, indépendante de celle écrite à la question précédente.

Montrer, à partir de l'équation de conservation de la matière (4), que la masse M(r, t) d'air contenu dans un volume sphérique de rayon r centré en O varie en fonction du temps comme (dM(r, t))/dt =…

En utilisant l'équation de conservation de la quantité de mouvement (5), justifier que le champ de vitesse de l'OSPH définie en Q31 est radial et montrer qu'il peut se mettre sous la forme v_r(r, t)…

En utilisant la condition aux limites sur la sphère, trouver une relation entre R(t) et v_r(R(t), t). Utiliser cette condition aux limites pour exprimer ε_ω en fonction de B_ω, ω, k, R₀ et g(R₀)…

La sphère pulsante peut aussi être vue comme une source de débit volumique S(t). Écrire S(t) en fonction de R et v_r. En déduire la relation entre l'amplitude monochromatique S_ω de ce débit…

Exprimer la puissance acoustique moyenne totale Φ(r) traversant la sphère de rayon r centrée sur la source acoustique, en fonction de r, Π(r) et e_r. Montrer que Φ(r) est indépendante du rayon r…

Exprimer l'amplitude |ε_ω| de l'oscillation de la sphère pulsante, en fonction de son rayon moyen R₀, de la pulsation ω, de c, de l'impédance acoustique Z de l'air et de la puissance acoustique Φ…

En supposant que le corps est principalement constitué d'eau et que la vitesse du son dans l'eau est de 1500 m⁻¹, évaluer numériquement l'impédance acoustique de l'eau. En déduire une estimation des…

Pourquoi ce délai est-il nécessairement plus grand que l'ITD maximal ?

Quelle est la direction perçue θ_perçu des ondes sonores pour une source sonore à la distance D et produisant un ITD Δ t donné ? Notre cerveau étant habitué à percevoir les sons dans l'air, comment…

Dans quelle direction relative à la tête la précision angulaire du repérage par ITD est-elle la meilleure ? On justifiera la réponse.

On rappelle que l'oreille humaine perçoit les sons compris entre 20 Hz et 20 kHz. En déduire une estimation de l'ITD minimale perceptible à partir de la condition d'échantillonnage de…

La solution de ce problème dans le demi-espace au dessus du sol est donnée par p(r, t) = p₁(|r - r₀|, t) + p₁(|r - r_S|, t), où r₀ est la position de la source, r_S est la position d'une source…

En supposant que la source émet monochromatiquement à la pulsation ω, que vaut la surpression p(r, t) perçue à la position de l'auditeur en fonction de h, H, L, A_ω, k et ω ?

On note I₀ l'intensité sonore perçue en l'absence de sol. Que vaut I₀ en fonction de I₁ et I₂ ? On suppose que la source est à grande distance, soit L ≫ H et L ≫ h. Montrer qu'à une telle distance…

Montrer que pour certaines valeurs ωₙ de la pulsation, l'intensité perçue chute brutalement. Comment varie l'intervalle Δω entre deux telles pulsations d'annulation lorsque la hauteur h de la source…

Quelles sont les fréquences d'émission oto-acoustiques attendues ? Les retrouve-t-on sur la figure 5A ? D'après Q68, comment doit varier l'amplitude sonore du pic d'émission à 2500 Hz en fonction…

Expliquer où se trouvent les sources chaude et froide, ainsi que d'où provient le travail mécanique reçu par la particule de fluide au cours d'un cycle.

Établir l’équation de couplage liant et p au voisinage de l’état de repos de l’air caractérisé par le triplet (₀, P₀, T₀).

Écrire une fonction `plus_proches` qui reçoit en argument une liste `distances` de nombres réels représentants la distance entre le point à classifier et chaque point de la base d'apprentissage et…

À partir de la matrice de confusion et de la représentation des prédictions (figure 11), expliquer si le modèle permet une bonne prédiction de l'origine du son. Calculer la précision globale et les…

On effectue l'opération de renversement du temps (t' = -t). Comment s'écrit l'onde, dite non-causale, u₀(x, t' ≤ 0) ? Interpréter le résultat.

Faire le schéma de la situation précédente en supposant un renversement du temps (on pensera à bien préciser les différentes amplitudes des ondes en jeu). Combien d'ondes sont incidentes sur…

Donner l'expression de R_RT(t) en fonction du signal s évalué à un instant t' que l'on précisera en fonction de t, T, x₀ et c₀.

Suite à l'émission de R_RT(t) par le point M, des ondes se propagent dans notre milieu unidimensionnel, mais on ne va se concentrer que sur les ondes produites pour x ≤ x₀ (on oublie les ondes…