Dispersion, paquets d'ondes et chaînes d'oscillateurs : 253 questions de concours corrigées

Écrire l'équation du mouvement pour la n-ième masse.

On définit l'inclinaison locale de la plaque par rapport à la position au repos horizontale, notée α(x, t). Pour rappel, on se place dans le régime des faibles déformations. Donner alors la relation…

La chaîne de billes est un milieu continu, considéré comme unidimensionnel, à travers lequel l'onde mécanique se propage. Sa propagation doit alors être décrite par un champ de déplacement continu…

Rappeler le sens physique de la vitesse de phase d'une onde (un schéma peut être éclairant). Exprimer la vitesse de phase v_φ de cette onde.

Au voisinage des rivages, pour des hauteurs d'eau suffisamment faibles, on peut adopter cette fois le modèle de la houle en eau peu profonde suivant la condition kh ≪ 1. Simplifier dans ce cas la…

Rappeler les définitions et les significations de la vitesse de groupe v_g et de la vitesse de phase v_φ. Comment lit-on ces vitesses sur le graphe de la question Q9 ?

Indiquer à quelle condition le milieu peut être considéré comme non dispersif.

Quelles sont les définitions et significations des vitesses de phase et de groupe ? Donner l'expression de la vitesse de phase en fonction de g, h et k.

Chercher une solution en notation complexe sous la forme uₙ = U₀ ei⁽kⁿa⁻ω t⁾ et en déduire la relation de dispersion ω(k) des ondes se propageant dans cette chaîne. On rappelle la formule de…

Discuter la signification physique de la pente en k = 0.

En cherchant les solutions non-nulles du problème précédent, montrer que la relation de dispersion ω(k) des ondes se propageant dans cette chaîne dimérisée s'écrit : ω² = ω₁² + ω₂² ± √(ω₁⁴ + ω₂⁴ +…

Cette relation de dispersion (établie par une approche énergétique) peut permettre de remonter à l'équation d'onde qui régit les déformations du milieu. En effet, la dérivée temporelle d'une OPPH…

Montrer que la vitesse de groupe vaut le double de la vitesse de phase. Comment ces vitesses varient-elles avec la fréquence de l'OPPH ? Quelles conséquences cela a-t-il sur la propagation d'un…

On lit souvent dans la littérature que les ondes transverses S (que l'on assimilera abusivement ici aux ondes de flexion étudiées) se propagent à une vitesse de 4 km/s. Pour que cette affirmation…

Rappeler la définition des vitesses de phase et de groupe. Déterminer celles-ci pour les ondes de gravité étudiées ici en fonction de g et de la valeur k du vecteur d'onde. Quelle est la relation…

Montrer que dans cette chaîne d'oscillateurs harmoniques les pulsations Ω dépendent des vecteurs d'onde k selon la relation de dispersion : Ω² = Ωₐ² (1 - β cos (kH)) avec Ωₐ² = 1/(Γ L) et β = 2Γ/C_c…

On parle de houle en eau profonde lorsque kh ≫ 1. Simplifier dans ce cas la relation de dispersion précédente, puis calculer la vitesse de phase et la vitesse de groupe en fonction de g et k…

Établir l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle du déplacement du plan de rang n en fonction notamment de ξₙ₋₁(t), ξₙ₊₁(t) et ξₙ(t).

Calculer la vitesse de phase v_φ de la vague linéaire. Déterminer les deux expressions limites de v_φ lorsque la profondeur du réservoir H est petite ou grande devant la longueur d'onde de la vague…

Montrer que la vague résultante (surface du fluide) peut se mettre sous la forme η(x,t) = 2A cos (kx - ω t) cos (k'x - ω't). On donnera l'expression des 4 paramètres k < k' et ω < ω' en fonction de…

Calculer la vitesse de phase v_φ de la vague linéaire. Déterminer les deux expressions limites de v_φ lorsque la profondeur du réservoir H est petite ou grande devant la longueur d'onde de la vague…

Montrer que la vague résultante (surface du fluide) peut se mettre sous la forme η(x,t) = 2A cos (kx - ω t) cos (k'x - ω' t). On donnera l'expression des 4 paramètres k < k' et ω < ω' en fonction de…

Établir que l'équation du mouvement de la nième masse, se met sous la forme : uₙ = ωₒ² [uₙ₊₁ + uₙ₋₁ - α uₙ] avec α, constante réelle à déterminer.

Montrer que la relation de dispersion, reliant ω et q, est ω² = 4 ωₒ² ( sin qa/2 )². Représenter graphiquement la fonction : [q ω(q)] en se restreignant à l'intervalle [0, 2π/a].

En l'absence de la force de Coriolis, déterminer l'équation vérifiée par η. On notera c une quantité homogène à une vitesse caractéristique, et on donnera son expression. Comment s'appelle cette…

Donner la relation de dispersion des ondes sonores dans le milieu. On note Q = |Q|. Développer l'expression de Q au premier ordre en Γ' et le mettre sous la forme Q = a - ib avec a et b deux…

Établir l'équation différentielle reliant uₙ(t), uₙ₋₁(t) et uₙ₊₁(t).

Pour cette question uniquement, nous nous plaçons dans l'approximation des milieux continus. Cette approximation consiste à considérer que les atomes sont très rapprochés vis-à-vis de la distance…

Montrer que la relation de dispersion ω(q) se met sous la forme suivante : ω(q) = A | sin (qa/2) | , où A est une constante à exprimer en fonction des données.

Trouver la relation de dispersion pour chaque mode propre et montrer l'existence d'une pulsation de coupure ω_c,n à partir de laquelle le mode propre n > 0 peut se propager. En déduire la vitesse de…

En appliquant la seconde loi de Newton au tronçon numéro n, établir l'équation xₙ(t) = Γ(xₙ₊₁(t) + xₙ₋₁(t) - 2xₙ(t)) (II.1) et donner l'expression de Γ en fonction de K et m.

En utilisant la notation complexe, montrer que la relation entre ω et k s'écrit ω² = 4Γ sin ²(ka/2).

Représenter l'allure graphique de la fonction ω = ω(k). On précisera ses comportements limite et asymptotique.

Déduire de la relation (1), dans la limite kH ≪ 1, l'expression de la célérité c des ondes de surface. Calculer sa valeur numérique. Vérifier la compatibilité de cette valeur avec celle de c_exp…

Introduire, dans le système différentiel (7), les fonctions sous leur forme donnée par l'équation (6) afin d'établir un système linéaire d'équations algébriques vérifié par les amplitudes complexes…

Établir la relation entre iₙ₋₁, iₙ, iₙ₊₁, leurs dérivées et L, C ainsi que C_c.

En utilisant la condition de surface au repos non encore utilisée, établir la relation de dispersion de l'onde entre ω, g, k et la tangente hyperbolique de kH.

Établir la relation de dispersion. Exprimer k'' en notant que k' ≃ ω/c.

Cette relation de dispersion montre une périodicité en k. On appelle première zone de Brillouin, la période de k centrée sur l'origine. Quel intervalle de k correspond à la première zone de…

Donner l'expression, sous forme d'une somme discrète de l'énergie potentielle élastique emmagasinée sur une longueur d'onde, notée E_pλ.

Proposer en notation réelle deux expressions de h(x,t) correspondant aux deux sens de propagation des vagues et donner la relation entre U, ω_v et k_v.

Les quantités physiques doivent être périodiques en x, de période 2π R, correspondant à un tour complet autour du Soleil. Quelles sont alors les valeurs possibles de kₓ ? On les repérera par un…

En déduire la façon dont varie la direction de propagation des vagues lorsqu'elles approchent du bord de mer, en supposant une variation continue de la profondeur.

Qualitativement, quelles sont les modifications qu'apportent les phénomènes dissipatifs sur les fréquences de résonance et sur les amplitudes à ces fréquences ?

Pour n N, écrire la position initiale de la nième masse (xₙ(0)) en fonction de n et de a. En déduire son écart uₙ(t) par rapport à sa position d'équilibre en fonction de xₙ(t), n et de a.

Cette onde est-elle harmonique ? Que représentent Uₒ et ω ?

Établir l'expression de la longueur d'onde λ en fonction de a. Que représente finalement q ?

La comparaison de la longueur d'onde au paramètre a permet d'écrire uₙ(t) = u(x, t) (figure 2) et d'obtenir une équation de D'Alembert de la forme (∂² u)/(∂ t²) = k/m a² (∂² u)/(∂ x²). Calculer la…

Représenter sur la sphère S_K de rayon K et de centre O la définition de θ, φ. On précisera les axes de la figure.

Que représentent physiquement les constantes X₀, ω et k ?

Calculer la valeur numérique de c.

Comment se simplifient les expressions de la relation de dispersion et de la vitesse de phase lorsque h → ∞, cas de figure nommé « en eaux profondes » ?

Donner la forme générale de la phase de ζ(r, t) pour une onde plane de pulsation ω et de vecteur d'onde k (le nombre d'onde est donc k = |k|).

Représenter la relation de dispersion ω(k) dans la première zone de Brillouin.

Que vaut la vitesse de groupe pour k = ± π/a ? Qu'est ce que cela signifie concernant la propagation des ondes ?

Établir les équations du mouvement des masses paires (2n) et impaires (2n + 1).

On cherche des solutions adaptées à la nouvelle maille de ce réseau en notation complexe sous la forme : u₂ₙ(t) u₂ₙ₊₁(t) = U₀ U₁ ei⁽²kⁿa⁻ω t⁾. Montrer que les équations du mouvement peuvent s'écrire…

Commenter sur la différence entre les cas ω₁/ω₂ = 2/3 et ω₁/ω₂ = 3/2.

Étant donné la périodicité de cette relation de dispersion, comparer la première zone de Brillouin de cette chaine à celle de la partie précédente ? Commenter.

Identifier sur ce diagramme les bandes de propagation et les bandes correspondant à des ondes évanescentes, dites bandes interdites. Que se passe-t-il en ω₁/ω₂ = 1 ?

Écrire en explicitant d₀, dₓ(k) et d_y(k) la matrice dynamique D(k) sous la forme : D(k) = d₀ I + dₓ(k) σₓ + d_y(k) σ_y.

Les ondes de Rossby correspondent approximativement aux solutions du problème : ω = (-β kₓ)/(kₓ² + β/c(2n + 1)) avec n N*. Évaluer la vitesse de phase de ces ondes et montrer qu'elle est toujours…

Donner, sous la forme d'une intégrale, l'énergie cinétique E_cλ sur une longueur correspondant à une longueur d'onde.

Donner l'expression de c en fonction de la raideur K et de la masse volumique du matériau ρ. Calculer sa valeur numérique et commenter. On prendra K = 70 GPa et ρ = 2500 kg/m³, valeurs typiques pour…

A cause des conditions aux limites (ici périodiques), le nombre d'onde correspondant à un mode propre est quantifié. Citer un système d'un autre domaine de la physique dans lequel une telle…

Dans le cas de la flûte, exprimer cette condition de quantification sur le nombre d'onde k.

Faire l'application numérique et discuter du résultat obtenu (pour rappel : K = 70 GPa, ρ = 2500 kg/m³).

Lors d'un séisme, les ondes de compression longitudinales (ondes P) se propagent à une vitesse de 6 km/s. Cette valeur est-elle cohérente avec les résultats précédents ?

a) Indiquer la direction et le sens de propagation de l'onde. b) Établir la relation de dispersion, reliant ω et k.

À l'interface entre l'eau et l'air, que traduit la relation v(x,z,t) · e_z = (∂ h)/(∂ t) ? En déduire que ω = (gk)β. Déterminer l'exposant β et vérifier l'homogénéité de cette relation. Comment…

À partir d'une analyse dimensionnelle, déterminer la forme de la dépendance de q vis-à-vis de Y et a. Dans la suite, nous fixerons arbitrairement à 1 la valeur du préfacteur numérique que cette…

Établir que ∂ u/∂ x ≤ 0.

Exprimer la dérivée partielle ∂ u/∂ t comme fonction de la variable θ.

Estimer la valeur de la vitesse c du soliton généré par une bille incidente percutant la chaîne avec la valeur de la vitesse d'impact v₀ = 1 m⁻¹ (valeur adoptée à la question (14)). Donnée…

En cherchant une solution des équation obtenues aux questions 13 et 14 sous la forme V(x,t) = V₀ ei⁽ω t ⁻ kx⁾, déterminer les relations de dispersion associées à ces équations.

L'état associé à cette fonction d'onde est-il stationnaire ? Dans quel sens le mouvement de la particule décrite par cette onde a-t-il lieu ? Exprimer les vitesses de phase v_φ et de groupe v_g en…

Répondre aux mêmes questions dans le cas d'une particule vérifiant l'équation de Klein–Gordon (5).

Répondre aux mêmes questions dans le cas d'une particule vérifiant l'équation de KLEIN–GORDON (5).

Ajouter sur ce graphique les trois points correspondant aux trois modes propres étudiés à la question précédente. La relation de dispersion donnée par l'équation Q20 est-elle validée ? Si oui, que…

En utilisant la loi de Bragg, montrer que f_r - f = ± f_B et exprimer la fréquence de Bragg f_B en fonction de g et λ.

Exprimer la condition de propagation de l'onde pour une position x quelconque comprise entre 0 et x_r. En déduire que ω_r(x) est nécessairement monotone décroissante. Relier la pulsation ω de l'onde…

Préciser les sens de variation de A(x) et k(x), puis proposer un tracé de l'allure de l'onde (réelle) de pression qui se propage dans la cochlée le long de (Ox).

Représenter sur un même graphique la variation de ω₀, ω₁ et ω₂ en fonction de kₓ dans ce modèle.

Écrire la relation de dispersion reliant ω, kₓ, k_z(z) et c(z), où nous notons k_z(z) la composante verticale du vecteur d'onde à l'altitude z.

Représenter l'allure de la norme de F en fonction du désaccord δ.

Calculer la fréquence et la longueur d'onde d'une onde de gravité se propageant à la vitesse de phase v = 20 m⁻¹. Ces données correspondent aux mesures effectuées par des microbarographes (sondes de…

Montrer que l'hypothèse d'un niveau stationnaire définit le sillage par la relation de Kelvin, ω = k.

En déduire que la connaissance de l'angle θ du sillage et de la vitesse V de sa source permettent de déterminer la vitesse de phase v_φ de l'onde.

Le rapport des masses volumiques vérifiant ρ₂/ρ₁ ≪ 1, montrer la relation de dispersion de l'onde associée à la houle sans vent s'écrit : ω² = gk tanh (kh).

Montrer que la vitesse de phase peut s'écrire c = c₀/(n(h)) où n(h), fonction de h sans dimension, joue le rôle d'indice de réfraction. Exprimer n(h) en fonction de h et h₀.

Déterminer l'expression de l'indice de réfraction n(x) pour x [0 ; h₀/β] en fonction de x, β et h₀.

Montrer que pour tout x [0 ; h₀/β], l'angle θ(x) vérifie l'égalité : sin (θ(x)) = sin (θ₀) √(1 - β x/h₀).

Obtenir la relation de dispersion entre k et ω. L'écrire sous la forme ω = f(k, d, ω₀) avec ω₀ = √(C/m).

Tracer l'allure de la courbe donnant ω en fonction de k pour k ]-π/d, π/d[. Montrer que le cristal se comporte comme un filtre passe-bas dont on déterminera la pulsation de coupure ω_c.

Établir les expressions littérales de la vitesse de phase v_φ et de la vitesse de groupe v_g en fonction de k, ω₀ et d pour k ]0, π/d[.

Déduire la célérité cₜ des ondes transversales dans le cadre de cette approximation en fonction de d, C et m.

Montrer que les fonctions X(x,t) et Z(z) sont solutions du système d'équations suivant : (∂² X)/(∂ x²) = -µ X (d² Z)/(d z²) = µ Z où µ est une constante qui ne dépend ni des coordonnées spatiales ni…

En utilisant l'une des conditions de surface au repos montrer que les expressions X(x,t) = sin (kx - ω t) et .(d Z)/(d z)|_z=0 = γ = cste résolvent le problème. On exprimera la constante γ en…

En déduire la façon dont varie la direction de propagation des vagues lorsqu'elles approchent du bord de mer, en supposant une variation continue de la profondeur.

Montrer que les fonctions X(x,t) et Z(z) sont solutions du système d'équations suivant : (∂² X)/(∂ x²) = -µ X (d² Z)/dz² = µ Z où µ est une constante qui ne dépend ni des coordonnées spatiales ni du…

En utilisant l'une des conditions de surface au repos montrer que les expressions X(x,t) = sin (kx - ω t) et .(d Z)/(d z)|_z=0 = γ = cste résolvent le problème. On exprimera la constante γ en…

La chaîne est-elle dispersive ? Quelle condition doit satisfaire ω pour que q existe ? Préciser la nature du filtre que constitue la chaîne d'oscillateurs vis-à-vis de ces ondes.

Déterminer v_g et v_φ pour q ≪ π/a et pour q = π/a. On précisera la nature de l'onde dans les deux cas.

Exprimer la valeur moyenne temporelle de l'énergie cinétique E_c d'un atome indicé par n en fonction de m, Uₒ et ω. En déduire l'énergie cinétique moyenne pour N atomes.

Justifier que l'énergie potentielle moyenne E_p du nième atome se met sous la forme : E_p = k/4 ( |uₙ₊₁ - uₙ|² - |uₙ₋₁ - uₙ|² ).

À partir de la relation de dispersion, exprimer la longueur d'onde λ de l'onde qui se propage en fonction de ω, ω₀ et de a. Calculer λ pour des fréquences ultrasonores (f = 500 kHz). Commenter.

Toujours en l'absence de force de Coriolis, exprimer et représenter graphiquement la relation de dispersion ω(k) associée. Que dire de la propagation d'une perturbation ?

Proposer un choix de vecteur Ψ_S qui conviendrait pour le pôle sud.

Déduire des résultats qui précèdent l'expression de la pulsation ω_k des oscillations associée au mode k.

En déduire la relation de dispersion liant ω, k, V et Γ pour chacune des branches de propagation. Γ est appelé intensité de cisaillement. On prendra Γ > 0.

En explicitant l'expression de Ψ(x, z, t) = Re(Ψ(x, z, t)), montrer que la vitesse de phase de l'onde a pour expression v_φ = Re(c) = ω_re/k. L'exprimer en fonction de V .

Indiquer, en justifiant, la branche de la relation de dispersion à retenir pour qu'une instabilité puisse se développer. Comment cette instabilité évolue-t-elle avec l'intensité de cisaillement Γ ?

Donner alors une expression définitive de la fonction courant réelle Ψ(x, z, t) en fonction de z, x, t, k, σ, V et A₁ ou A₂ pour z > 0 et pour z < 0.

On s'intéresse dans cette question au profil de la fonction courant en fonction de x, à z fixé. Représenter ce profil à un instant t quelconque puis expliquer soigneusement l'évolution de celui-ci…

Dans le cas à une dimension, on suppose que l'équation possède des solutions de la forme ρ(x, t) = ρ₀ + R₀ ei⁽kx⁻ω t⁾. Démontrer que dans la limite ω τ_r ≪ 1, deux valeurs de k sont possibles, qui…

Tracer schématiquement l'amplitude pour x > 0 et t = 0 d'une onde se propageant vers les x > 0 et pour R₀ réel. Quelles sont les deux échelles caractéristiques de longueur présentes sur ce graphe ?…

Représenter graphiquement sur cet intervalle, appelé première zone de Brillouin, l'évolution de la pulsation ω(q) en fonction de q.

Montrer que la relation de dispersion se simplifie et en déduire que la célérité c de l'onde s'écrit c = √(Γ)a.

Commenter ces résultats.

Montrer que cela revient à écrire, avec α et β deux constantes : d²X/dx² ± α² X = 0 et d²Y/dy² ± β² Y = 0.

Associer la célérité c_exp calculée à la question (15) à l'une des vitesses de groupe ou de phase.

Écrire cette relation de dispersion en faisant apparaître l'angle θ que forme le vecteur d'onde k avec l'axe horizontal (Ox).

À partir de la définition du nombre de Froude expliquée dans l'annexe 1, quelle est, en ordre de grandeur, l'expression de la vitesse des ondes de gravité ayant une longueur d'onde égale à L, la…

Déterminer, en fonction des paramètres du problème, la fréquence de production de ces vagues, ainsi que l'ordre de grandeur de leur largeur.

Commenter la forme de cette solution.

En déduire la relation de dispersion.

Démontrer la relation de dispersion de ces ondes. Quelle est la propriété importante de ce type de relation de dispersion ?

Montrer que cette relation se met aussi sous la forme v_φ(k) = U cos θ, l'angle θ étant défini sur la figure 2 : angle entre la direction du déplacement du navire et celle du vecteur k.

En déduire les deux relations données en (I.1).

Déterminer la relation entre la vitesse de phase v_φ et la vitesse de groupe v_g.

On se place dans un premier temps dans le régime des hautes fréquences dans lequel ω ≫ 2π N. Simplifier l'expression de k_r et montrer que l'on retrouve la relation de dispersion correspondant aux…

On place une source d'excitation sur la masse d'indice 0 qui impose le déplacement en notation complexe u₀ = U₀ e⁻iω t. On choisit une pulsation d'excitation ω = α √(β/m) avec α > 2. 7.1. En…

Afin de représenter la relation de dispersion sur la première zone de Brillouin on se propose de déterminer quelques propriétés caractéristiques de celle-ci. 13.1. Quelles sont les solutions pour ω…

À la lumière de tous ces calculs, tracer la relation de dispersion, en précisant les tangentes et points remarquables de la question précédente, sur la première zone de Brillouin pour les 2 cas : -…

Lorsque k parcourt l'intervalle [-π/2a, π/2a], tracer la trajectoire du vecteur d(k) = dₓ(k) d_y(k) dans le plan (Oxy). Distinguer les 2 cas ω₁ > ω₂ et ω₁ < ω₂. Sur chacune des trajectoires, ajouter…

En parcourant la trajectoire du vecteur d(k) lorsque k [-π/2a, π/2a], évaluer graphiquement l'intégrale de l'invariant topologique ν défini par : ν = 1/2π ∫_-π/(2a)π/⁽²a⁾ dφ(k). Donner la valeur de…

Calculer les invariants topologiques à gauche (ν_g) et à droite (ν_d) dans les différentes parties de ce graphique. Vérifier que le nombre de solutions dans la zone blanche est directement prédit…

En vous aidant du résultat de la question 15, représenter qualitativement le profil spatial de la solution obtenue dans la zone blanche pour ω₁g/ω₂g = 0,7. Pourquoi parle-t-on de mode de bord ?

De même, évaluer la vitesse de groupe de ces ondes et montrer qu'elle change de signe pour une valeur caractéristique de kₓ définissant une longueur d'onde critique λ_c que l'on évaluera. En déduire…

Si la fonction u(x, t) était constante selon x, cela signifierait que les molécules ont avancé en bloc, et donc qu'aucun des ressorts n'aurait été comprimé. Ainsi, dans le cas général, l'élongation…

On admettra qu'au passage de l'onde, l'énergie mécanique est également répartie entre ses composantes cinétique E_cλ et potentielle E_pλ. En déduire la relation suivante : ω² = k² c² où c est une…

Calculer alors l'énergie potentielle élastique intégrée sur une longueur d'onde, notée E_pλ.

Donner l'expression de l'énergie cinétique totale sur une longueur d'onde, notée E_cλ, en fonction des paramètres de l'OPPH.

On admettra que lors de la propagation de l'onde, les moyennes temporelles des énergies potentielles élastique et cinétique sont égales. Etablir alors la relation de dispersion : 12 ω² = e² c² k⁴

En reprenant la méthode de la question 6, proposer une équation de propagation linéaire pour l'équation d'onde. Commenter chacun des termes de cette équation.

Lorsque l'on cherche à faire chanter une flûte avec le doigt mouillé, le second mode propre est naturellement sélectionné. Donner l'expression de la fréquence (temporelle) de ce mode.

D'après ces données, calculer la longueur d'onde des ondes S.

La figure 6 montre le diagramme temps-fréquence d'un enregistrement acoustique à une certaine distance de l'impact. Deux pierres ont été lancées. L'origine des temps est arbitraire. Commentez cette…

Expliquer pourquoi le son perçu sera différent pour des observateurs situés à une distance de 50 m ou 500 m de l'impact.

a) Déterminer la relation reliant ω, k, c_s et η. On se place dans le cas où ω/c_s² ≫ η. b) En développant à l'ordre un en (η c_s²)/ω et en écrivant k = k_r + ι k_i, exprimer k_r = Re(k) et k_i =…

Sur la base de la loi de Hooke, proposer un argument qualitatif justifiant que l'exposant affecté à δₙ₊₁, dans l'expression de la force de Hertz (équation (5)), doit effectivement être supérieur à…

Établir que le comportement dynamique de la chaîne de billes est alors décrit par l'équation suivante (nous supposons que l'indice n ne désigne ni la première bille, ni de la dernière) : a¹/² uₙ =…

Commenter la dépendance, vis-à-vis de A, de la vitesse de phase v_φ.

Représenter l'allure graphique de l'évolution temporelle des fonctions ∂ u/∂ t et u, pour une abscisse x fixée. On veillera à ce que les axes des temps se correspondent. Aucun calcul d'intégrale…

Représenter l'allure graphique de l'évolution spatiale des fonctions ∂ u/∂ t et u, pour un temps t fixé. On veillera à ce que les axes des espaces se correspondent. Aucun calcul d'intégrale n'est…

L'onde étudiée semble-t-elle entrer dans le cadre défini dans la question (17) ? Une argumentation est attendue.

Nous notons Δ u = u_après - u_avant la variation de position des billes entre avant et après le passage de l'onde. Exprimer Δ u en fonction de A et a. Donnée : I = ∫₀π (sin s)⁴ ds = 3π/8 (10)

Commenter l'expression mathématique de la relation de dispersion obtenue à partir de l'équation de la question 13 et comparer à la relation de dispersion obtenue pour une équation de D'Alembert…

Quelle est la nature de l'onde dans le domaine x [0, a] ? On notera qu'en introduisant ε = E - V₀, on a q² = ((ε - mc²)(ε + mc²))/c² > 0.

Montrer que k² = (f₀(ω, cₐ))/(1 + iω/ω_c) et exprimer ω_c en fonction de η et χ. Proposer une interprétation simple de la grandeur ω_c et commenter sa valeur numérique.

Par analogie, à partir de la question précédente, indiquer à quelles fréquences de résonance correspondent les trois modes propres du champ électrique présentés à la figure 7. On pourra raisonner…

Déterminer la relation de dispersion ω = f(K), puis les vitesses de phase v_φ et de groupe v_g de ces ondes en fonction de ω, D, ρ et h. Expliquer, en justifiant, si les ondes se propagent avec ou…

Établir l'expression mathématique de Kₓ et K_y et montrer que ces grandeurs sont quantifiées par des entiers naturels, notés respectivement m et n. En déduire les pulsations propres ωₘₙ en fonction…

Comparer quantitativement l'ajustement tiré des résultats expérimentaux de la figure 6 et la relation de dispersion trouvée à la question 20. Conclure.

Que devient l'équation de Bernoulli au niveau de la surface libre de l'eau ? En déduire l'équation de dispersion ω² = gk. La propagation est-elle dispersive ? On notera que cette équation de dépend…

Au vu de la figure 5, pouvez-vous déterminer et éventuellement commenter le sens et la vitesse de déplacement de l'éclipse ainsi que la vitesse de phase de l'onde générée et sa nature ?

Indiquer, justification à l'appui, quel doit être le signe de ω'' permettant, à partir de l'état de repos, le démarrage des oscillations de la surface de séparation en présence du vent de vitesse U.

Toujours dans le cas limite d'une profondeur h infinie, calculer la longueur d'onde maximale observable lorsque la vitesse du vent vaut 100 km/h. Proposer en conséquence dans ce cas une discussion…

Justifications à l'appui, préciser si les figures 5(a) et 5(b) correspondent toutes deux à un phénomène de propagation dispersif et déterminer celle qui peut correspondre à la relation de dispersion…

Compléter cette figure pour une houle en eau peu profonde en représentant le profil spatial à t_r = 300 sachant que son centre est situé à l'abscisse réduite x_r = 150.

Compléter soigneusement le document réponse 8 de sorte à y faire apparaître quelques courbes équiphases correspondant à la crête d'une vague pour divers instants. Commenter l'évolution de ces…

Discuter la relation cₜ = √(L/µ) compte tenu du résultat de la question précédente. Calculer cₜ pour le fer à 293 K et à pression atmosphérique.

En explicitant la démarche, attribuer aux vitesses des ondes P et S les profils en tirets ou en pointillés de la figure 3. Discuter la cohérence de cette figure avec la structure interne de la Terre…

En utilisant les résultats précédents complétés par la condition (7) au fond du réservoir, montrer qu'alors Z(z) = ζ (cosh [k(z+H)])/(sinh (kH)) où l'on exprimera la constante ζ en fonction de A, ω…

En utilisant la condition de surface au repos non encore utilisée, établir la relation de dispersion de l'onde entre ω, g, k et la tangente hyperbolique de kH.

Déterminer l'expression de la vitesse de groupe v_g de la vague linéaire en profondeur arbitraire. Montrer la relation v_g = v_φ/n[1 + n k H / sinh (2kH)] où n est un entier que l'on déterminera. En…

Que représentent les lignes pointillées orthogonales aux vecteurs d'ondes sur la figure 4 ? Montrer que la condition de continuité des profils de vague à l'interface impose d'une part des amplitudes…

Déterminer l'expression de la vitesse de groupe v_g de la vague linéaire en profondeur arbitraire. Montrer la relation v_g = v_φ/n [1 + nkH / sinh (2kH)] où n est un entier que l'on déterminera. En…

Que représentent les lignes pointillées orthogonales aux vecteurs d'ondes sur la figure 4 ? Montrer que la condition de continuité des profils de vague à l'interface impose d'une part des amplitudes…

Établir la nouvelle équation des ondes.

Grâce à la forme de l'onde et à la formule de dispersion obtenue précédemment, exprimer E_p en fonction de m, Uₒ et de ω.

On s'intéresse à des solutions en ondes planes progressives harmoniques dont on écrit la représentation complexe vₓ = v_x,0 ei⁽kₓ x ⁺ k_y y ⁻ ω t⁾ et de même pour v_y et η. Montrer que le problème…

En déduire les relations de dispersion vérifiées par ω. On les notera ω_j(k, f'), 1 ≤ j ≤ 3, de telle sorte que ω_j < ω_j' si j < j'.

Représenter graphiquement les ω_j en fonction de |k|. Mettre en relation ce résultat avec celui de la question 48. Commenter.

Montrer que rotA_N = rotA_S. On notera B ce vecteur commun.

Cette situation est analogue à celle du monopole magnétique. Dresser un tableau explicitant les quantités correspondantes dans les deux problèmes.

Montrer que |N(τ)| est maximum pour τ = 0. Par analogie avec l'optique, justifier qualitativement que |N(τ)| tend vers 0 en un temps caractéristique t_coh ∼ 1/Δω, où Δω est la dispersion des…

En effet, l'atome interagit ici avec un mode du champ contenant un état cohérent, qui est un état pour lequel le nombre de photons n'est pas défini. Le nombre N_i de photons dans la cavité est une…

Déduire alors des résultats des trois questions précédentes que ζ(t) varie sinusoïdalement en fonction de t avec une pulsation Ω dont on donnera l’expression en fonction de g, k, γ_s et ρ_l.

Le mouvement du liquide est la superposition d’un mouvement rapide, imprimé par la vibration du récipient, et d’un mouvement lent sous l’effet des autres forces en présence, gravité et tension…

En utilisant le résultat de la question 27, écrire la relation de dispersion vérifiée par les oscillations de la surface inférieure du liquide.

On néglige la tension superficielle. En utilisant les résultats des questions 18 et 29, montrer que l’interface liquide-air inférieure est stable si Lₓ < L*, où L* est une longueur critique qu’on…

En supposant que la déformation z(x,t) de la corde est de la même forme que précédemment, établir la relation de dispersion donnant k en fonction de ω et des paramètres du problème. Montrer que les…

En supposant que la déformation z(x,t) de la corde est de la même forme que précédemment, établir la relation de dispersion donnant k en fonction de ω et des paramètres du problème. Montrer que les…

Préciser, pour chaque branche, le sens de propagation de l'onde. Indiquer si l'onde est plane et s'il y a dispersion.

Montrer que la fonction courant peut s'écrire sous la forme Ψ(x, z > 0, t) = A₁ exp (-z/δ) F(x, t) exp (±σ t) & pour z > 0 Ψ(x, z < 0, t) = A₂ exp (z/δ) F(x, t) exp (±σ t) & pour z < 0 où δ et σ…

On s'intéresse dans cette question au profil de la fonction courant en fonction de z, à x fixé. Représenter ce profil à un instant t quelconque et positionner judicieusement sur le tracé la grandeur…

On suppose que le cristal est de longueur L suffisamment grande pour négliger les effets de bord et considérer le cristal comme infini. Afin de faire disparaître les effets de bord, nous utilisons…

En considérant q et q' deux nombres d'onde tels que q' - q = h × 2π/a, où h Z, expliquer pourquoi nous pouvons restreindre l'étude aux nombres d'onde q appartenant à l'intervalle [-π/a ; π/a[.

Proposer un critère quantitatif permettant de fixer un domaine sur lequel la relation de dispersion ω(q) peut être linéarisée. Comparer ce critère à celui utilisé dans le cadre de l'approximation…

En utilisant la loi de Hooke et les données du préambule, estimer la valeur numérique de la constante de raideur K.

En déduire l'expression du flux (moyen) d'énergie potentielle Φ_p = Φ_p(ρ, g, L, A, c) ([Φ_p] = W) traversant une section verticale d'abscisse donnée.

Déduire de ce système d'équations la relation de dispersion liant ω, kₓ et k_y. Vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme : ω²(kₓ² + k_y²) = α² kₓ² (8) où α est une constante positive, propre au…

Analyser cette relation de dispersion. On s'interrogera notamment sur la façon dont le vecteur d'onde k est lié à la pulsation d'excitation ω.

Exprimer, en faisant apparaître les composantes kₓ et k_y, la vitesse de phase V_φ de ces ondes. Rappelons que cette vitesse est celle des plans de phase.

Établir que les vitesses de phase et de groupe sont orthogonales. Établir que leurs composantes selon l'axe (Ox) sont de même signe. En s'appuyant sur la première équation du système (7), montrer…

Représenter, sur un schéma, la vitesse de groupe, la vitesse de phase ainsi que la direction de la vitesse , dans le cas où kₓ = 2k_y > 0.

Commenter cette cartographie. Le champ représenté peut-il être décrit par une unique onde plane (une argumentation est attendue) ?

Estimer, à partir de la cartographie représentée figure (5), la valeur de la pulsation excitatrice ω.

Quel commentaire peut-on faire entre l'élargissement temporel de C_b(τ) et celui fréquentiel de S_b(f) ? Citer un autre phénomène où cette propriété apparaît.

Déterminer complètement l'expression générale de φ et donner une interprétation pour la signification de k.

En pratique, en considérant qu'une erreur relative de e = 1 % est acceptable sur l'évaluation de la vitesse de phase, à partir de quelle profondeur h_∞ peut-on traiter des vagues comme si elles…

Interpréter l'évolution de la vitesse de phase lorsque les fonds marins remontent, notamment lorsqu'une vague s'approche d'un rivage.

En exprimant cette phase en fonction de r', montrer que le sillage peut être considéré stationnaire dans le référentiel du bateau si la relation, dite de stationnarité, ω = U · k est vérifiée.

Sur le graphique de la figure 4, réalisé à l'instant t dans le référentiel où le fluide est immobile, on a représenté un point M situé dans une direction faisant un angle θ avec la trajectoire du…

En déduire l'angle β, sous lequel le navire voit le point M par rapport à l'axe du navire et depuis celui-ci, en fonction de θ.

Sur le schéma précédent, représenter la position P du maximum du paquet d'onde émis à l'instant t = 0 depuis O et se propageant dans la direction faisant un angle θ avec la trajectoire du navire…

Montrer la relation tan (β - α) = 1/2 tan β.

En déduire l'expression explicite de α en fonction de β.

Montrer, en introduisant y = tan α et x = tan β, que α atteint un maximum αₘₐₓ à déterminer numériquement.

Montrer que τ₁ = 1/c ∫₀H₀ (c/v_g - 1) dz où v_g est la vitesse de groupe de l'onde. Sachant que v_g = c √(1 - f_p²/f₁²), montrer que L₁ ≈ a/f₁² C_ET où C_ET = ∫₀H₀ nₑ dz est appelé « Contenu…

Dans le cadre du Soleil à symétrie sphérique, la vitesse de groupe est un vecteur v_g qui s'exprime sous la forme v_g = ∂ω/(∂ k_r)u_r + ∂ω/(∂ k_h)u_θ dans la base locale. En déduire la nature…

En utilisant un développement limité de detM(ω, k) = 0 au premier ordre en ε, au voisinage de k₀, montrer que ε ≃ ((κ ρ₀)/(c_P T₀)(k₀ ω)²)/(.(∂ detA)/(∂ k)|_k_0 detB(ω, k₀) - 2 (κ ρ₀)/(c_P T₀) ω²…

En déduire la partie imaginaire de k, à l'ordre le plus bas en κ, en fonction de k₀ et ω / ω_th, où ω_th = 2c_P² T₀ ρ₀ / κ. En déduire l'expression de la longueur d'atténuation δ de l'intensité…

Cette question fait écho à la question 7 dans le cas de la chaine monoatomique. Ici, on choisit une pulsation dans l'intervalle entre √(2)ω₁ et √(2)ω₂. Comme on n'a pas de solution possible avec k…

La figure 5 correspond au second mode propre. Représenter sur un schéma similaire le premier mode propre et décrire le mouvement du verre correspondant.

Expliquer comment, sur le principe, ces données pourraient permettre de calculer l'épaisseur de la couche de glace.

Effectuer un développement de Taylor du second membre de l'équation différentielle (6), jusqu'à l'ordre deux vis-à-vis du pas spatial a de discrétisation. Établir qu'il conduit à l'équation aux…

Exprimer Δ u en fonction de la vitesse d'impact v₀, de la célérité du son c_son et du diamètre a des billes.

Nous omettons désormais les préfacteurs numériques intervenant dans les relations (comme nous l'avons déjà fait dans l'expression de q). Par exemple, la relation liant la célérité du soliton à celle…

Établir deux équations différentielles vérifiées par φ(x) et A(x). En déduire la relation A(x)=H/(√(φ'(x))) où φ' = dφ/dx et H est une constante d'intégration (à ne pas chercher à déterminer)…

À quelles conditions sur l et n l'approximation géométrique, qui conduit à l'équation (3), est-elle pleinement justifiée ?

Analyser la cohérence des résultats avec le modèle. Expliquer les origines des éventuels écarts au modèle.

Montrer que OQ = 0.

En utilisant l'équation de la question Q 34, établir la relation suivante notée V.1 : ρ₁ [ ((jω)²)/(tanh (kh)) + kg ] = ρ₂ [ kg - (j(ω - kU))² ]. V.1

Montrer que, dans le cas limite d'une profondeur h infinie et en notant que ρ₂/ρ₁ ≪ 1, le démarrage des oscillations s'observe lorsque la vitesse du vent U vérifie U² > g/k ρ₁/ρ₂.

Déterminer l'expression du rapport des amplitudes de vagues dans les deux zones en fonction du rapport des vitesses de groupe. Comment varie l'amplitude de la vague à l'approche du rivage ?…

Déterminer l'expression du rapport des amplitudes de vagues dans les deux zones en fonction du rapport des vitesses de groupe. Comment varie l'amplitude de la vague à l'approche du rivage ?…

Sur la sphère S_K, on appelle pôle nord le point (kₓ = 0, k_y = 0, k_z = K) et pôle sud le point (kₓ = 0, k_y = 0, k_z = -K). Montrer que ces pôles sont les seuls points de S_K où Ψ₃ n'est pas…

On définit le vecteur A_N (resp. A_S) associé au vecteur propre Ψ_N (resp. Ψ_S), par A_N = (-i)/(K sin θ) ( Ψ_N · (∂ Ψ_N)/(∂ φ) ) e_φ (resp. A_S = (-i)/(K sin θ) ( Ψ_S · (∂ Ψ_S)/(∂ φ) ) e_φ ) (23)…

Calculer cette grandeur, en utilisant une méthode similaire à celle utilisée dans la partie 4. Que peut-on en déduire ?

En déduire que sous une condition à préciser on a α₀(t) = -(∫₀∞ N(τ)dτ) α₀(t) (46) En déduire qu'en couplant un oscillateur à un grand nombre d'oscillateurs de fréquences différentes, il est…

Définir l'ensemble des valeurs que peut prendre le paramètre k pour décrire effectivement des modes vibratoires de flexion de la coque cylindrique. Préciser la nature, propagative ou stationnaire…

La figure (10) représente le signal temporel électrique s=s(t) délivré par un microphone soumis au son émis par un verre de forme générale cylindrique présentant les caractéristiques suivantes : b ∼…

En se plaçant au premier ordre en ε et dans la limite h₀ ≪ a soit x → 0, montrer que la fonction ε(t) vérifie l'équation différentielle dε/dt + δ(k⁴a² - k²)ε = 0, dans laquelle on précisera…

Montrer, en résolvant ce système, que la quantité c peut s'exprimer sous la forme c± = Re(c) + iIm(c) = V ± iΓ/2 où les exposants + et - sont relatifs à deux modes différents de propagation, appelés…

Proposer une démarche permettant d'accéder, à l'aide de cette figure, au temps caractéristique τ du développement de l'instabilité. En donner une estimation numérique. Ce résultat est-il cohérent…

Ce tuyau est alimenté par des salves d'une durée de 4 périodes. Les différents modes propres se propageant sous forme de paquets d'ondes, quelle longueur de tuyau faut-il choisir pour pouvoir les…

En reliant la variation d'énergie par unité de temps du flotteur au flux Φ_p qu'il rayonne par le biais des ondes de surface, établir que l'amplitude B de ses oscillations vérifie l'équation…

Exprimer, en faisant apparaître les composantes kₓ et k_y, la vitesse de groupe V_g de ces ondes. Nous admettrons que chacune de ses composantes s'exprime de la même manière que dans le cas…

Les ondes internes peuvent interagir avec le relief sous-marin et subir des réflexions. Représenter, sur un schéma (inspiré de la figure (6)), le vecteur d'onde et la vitesse de groupe (orientant…

Le vecteur d'onde incident est toujours tel que kₓ = 2k_y > 0 mais le plan représentant la paroi sous-marine a maintenant pour équation cartésienne y - 2x = Cste. Représenter, sur un schéma inspiré…

Expliquer pourquoi le sillage est observé dans la direction αₘₐₓ . On pourra s'aider d'une analogie avec un phénomène optique. Comparer avec les résultats cités dans l'article de l'annexe 1.