Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2026

a) D'après le théorème de Gauss pour le champ de gravitation (ou le théorème de Newton pour une distribution sphérique homogène de masse), le champ créé à l'extérieur de la planète par une sphère de masse M_{\mathrm{p}} est identique à celui d'une masse ponctuelle M_{\mathrm{p}} située en son centre.

À l'altitude z au-dessus du sol, la masse ponctuelle m se trouve à une distance r = R_{\mathrm{p}} + z du centre de la planète. L'intensité de la force de gravitation s'écrit donc :

Comme z \ll R_{\mathrm{p}}, on effectue un développement limité à l'ordre 1 en \frac{z}{R_{\mathrm{p}}} :

On obtient bien la forme recherchée :

avec le champ de gravitation au niveau du sol (z=0) :

b) La variation relative de l'intensité de la force de gravitation par rapport à sa valeur au sol vaut :

La condition pour que cette variation reste inférieure à 1\,\% = 10^{-2} s'écrit :

Application numérique avec R_{\mathrm{p}} = 4\,000\text{ km} :

Commentaire : Une altitude de 20\text{ km} est considérable par rapport aux dimensions caractéristiques d'une expérience de laboratoire (où le pendule oscille sur quelques dizaines de centimètres, soit z \sim 1\text{ m}) et dépasse même l'épaisseur usuelle de la troposphère. À l'échelle de l'expérience du pendule, la variation du champ de gravitation est donc de l'ordre de 2z/R_{\mathrm{p}} \sim 5 \cdot 10^{-7}, ce qui justifie parfaitement de considérer le champ \vec{g}_{\mathrm{o}} comme rigoureusement uniforme au voisinage de la surface.

1. Équation différentielle du mouvement

On étudie le système constitué de la masse ponctuelle m dans le référentiel lié au sol, supposé galiléen.

On repère la position de la masse dans le plan vertical d'oscillation à l'aide des coordonnées polaires de centre O et de base locale (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta) :

Le moment cinétique de la masse m par rapport au point fixe O s'écrit :

où \vec{u}_y = \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan d'oscillation.

La masse est soumise à deux actions mécaniques :

• la tension du fil : \vec{T} = -T\,\vec{u}_r, dont le moment en O est nul car sa ligne d'action passe par O :

  \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{T}) = \vec{OM} \wedge \vec{T} = \vec{0}

• la force de gravitation : \vec{F} = m\vec{g}_0 = -m g_0 \vec{u}_z = mg_0(\cos\theta\,\vec{u}_r - \sin\theta\,\vec{u}_\theta), d'où :

  \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{F}) = \ell\,\vec{u}_r \wedge m\vec{g}_0 = -m g_0 \ell \sin\theta\,\vec{u}_y

En appliquant le théorème du moment cinétique en O dans le référentiel galiléen :

On obtient l'équation différentielle non linéaire exacte :

2. Mesure de g_0 au chronomètre

Dans l'approximation des petites oscillations (\theta \ll 1\text{ rad}, soit \sin\theta \simeq \theta), l'équation devient celle d'un oscillateur harmonique :

La période propre des oscillations est alors indépendante de l'amplitude (isochronisme des petites oscillations) :

Pour mesurer g_0 avec précision à l'aide d'un chronomètre :

1. On écarte le pendule d'un angle faible (typiquement \theta_{\max} \lesssim 10^\circ) sans vitesse initiale.
2. Pour s'affranchir de l'incertitude liée au temps de réaction de l'expérimentateur lors du déclenchement et de l'arrêt du chronomètre, on mesure la durée \Delta t correspondant à un nombre entier N élevé d'oscillations complètes (par exemple N = 10 ou 20).
3. On en déduit la période propre T_0 = \frac{\Delta t}{N}.
4. Connaissant par ailleurs la longueur \ell du pendule (mesurée préalablement avec une règle), on calcule la valeur de l'accélération de la pesanteur :

Le référentiel lié au sol est en rotation uniforme à la vitesse angulaire \vec{\Omega} par rapport au référentiel galiléen de la planète. L'accélération d'entraînement d'un point M fixe dans le référentiel relatif s'écrit :

où H est le projeté orthogonal du point M sur l'axe de rotation de la planète.

D'après la figure 2, la latitude \lambda est définie par rapport au plan équatorial, de sorte que la distance à l'axe de rotation vaut :

Le vecteur unitaire \vec{u} étant orthogonal à l'axe de rotation et dirigé vers l'extérieur, on a \vec{HM} = R_{\mathrm{p}} \cos\lambda \, \vec{u}.

La force d'inertie d'entraînement (ou force centrifuge) s'en déduit directement :

soit :

a) D'après le rappel de l'énoncé, le poids \vec{P} = m\vec{g} d'un corps ponctuel de masse m au repos à la surface de la planète est la résultante de la force d'attraction gravitationnelle et de la force d'inertie d'entraînement :

En utilisant l'expression de \vec{F}_{ie} obtenue à la question Q3, il vient :

En simplifiant par la masse m, on obtient :

b) Pour que l'on puisse considérer g \simeq g_{\mathrm{o}} à toute latitude \lambda, la norme de l'accélération axifuge d'entraînement a_{ie} = R_{\mathrm{p}}\Omega^2\cos\lambda doit être négligeable devant celle du champ gravitationnel g_{\mathrm{o}}, en particulier à l'équateur (\lambda = 0) où elle est maximale :

En remplaçant g_{\mathrm{o}} par son expression issue de la question Q1, g_{\mathrm{o}} = \dfrac{G M_{\mathrm{p}}}{R_{\mathrm{p}}^2}, la condition s'écrit :

Soit sous forme adimensionnée :

On étudie la masse quasi ponctuelle m dans le référentiel du laboratoire lié au sol, supposé galiléen.

À l'équilibre, le système est soumis à deux forces :

• son poids : \vec{P} = m\vec{g}, dirigé vers le bas ;
• la force de rappel élastique exercée par le ressort : \vec{F}_{\text{él}} = -k(\ell_{\text{éq}} - \ell_{\mathrm{o}})\vec{u}_{z} = -k h \vec{u}_{z}, dirigée vers le haut, avec \vec{u}_{z} un vecteur unitaire vertical descendant et h = \ell_{\text{éq}} - \ell_{\mathrm{o}} l'allongement à l'équilibre.

La masse du ressort m_{\mathrm{o}} étant négligée devant m, la condition d'équilibre statique de la masse m s'écrit :

En projetant sur la verticale descendante \vec{u}_{z}, il vient :

D'où l'expression de la norme g de l'accélération de la pesanteur :

D'après la question Q5, la pesanteur s'exprime par :

1. Application numérique

Avec les données fournies :

• k = 50{,}0\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} ;
• h = 2{,}0\text{ cm} = 2{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ m} ;
• m = 0{,}200\text{ kg}.

On obtient :

2. Estimation de l'incertitude-type relative

Les grandeurs k, h et m étant mesurées indépendamment, la loi de propagation des incertitudes donne :

Estimons l'ordre de grandeur de chaque terme :

• La mesure de l'allongement h = 2{,}0\text{ cm} est réalisée à l'aide d'une règle millimétrée (résolution \Delta = 1\text{ mm} = 0{,}1\text{ cm}). Pour une double lecture (repérage de l'origine et de l'extrémité), l'évaluation de type B donne une incertitude-type :

  \begin{aligned} u(h) &= \frac{\Delta}{\sqrt{6}} \simeq \frac{1\text{ mm}}{2{,}45} \simeq 0{,}4\text{ mm} \end{aligned}

  soit une incertitude relative de :

  \begin{aligned} \frac{u(h)}{h} &\simeq \frac{0{,}4\text{ mm}}{20\text{ mm}} \simeq 2\% \end{aligned}
• Les valeurs de k et de m étant données avec trois chiffres significatifs, leurs incertitudes-types relatives sont de l'ordre de quelques pour mille (\sim 0{,}2\% pour k et \sim 0{,}3\% pour m), donc négligeables devant celle sur h.

L'incertitude sur la mesure de h est donc largement dominante :

(On trouve \frac{u(g)}{g} \simeq 1{,}5\% dans l'hypothèse d'une simple lecture avec u(h) = \frac{\Delta}{\sqrt{12}}, ce qui confirme un ordre de grandeur d'environ 2\%.)

On étudie la masse quasi ponctuelle m dans le référentiel du laboratoire lié au sol, supposé galiléen.

On repère la position de la masse le long d'un axe vertical (Ox) orienté vers le bas, dont l'origine O coïncide avec la position d'équilibre de la masse. La longueur instantanée du ressort s'écrit alors :

Le système \{m\} est soumis à deux forces :

• son poids : \vec{P} = m g \, \vec{u}_x ;
• la force de rappel élastique exercée par le ressort : \vec{F} = -k(\ell(t) - \ell_0) \, \vec{u}_x = -k(h + x(t)) \, \vec{u}_x.

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse m en projection sur l'axe (Ox) :

À l'équilibre, la masse vérifie mg - kh = 0 (d'après la question Q5). Il reste donc :

Soit finalement :

D'après la question Q7, l'équation différentielle régissant le mouvement de la masse m s'écrit :

En identifiant à la forme canonique d'un oscillateur harmonique non amorti \ddot{x}(t) + \omega_{\mathrm{o}}^2 x(t) = 0, on identifie la pulsation propre :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est :

où A et B sont deux constantes réelles déterminées par les conditions initiales. La vitesse de la masse s'écrit alors :

Les conditions initiales imposent :

• à t = 0, x(0) = x_{\mathrm{o}}, d'où A = x_{\mathrm{o}} ;
• le lâcher étant sans vitesse initiale, \dot{x}(0) = 0, d'où B \omega_{\mathrm{o}} = 0, soit B = 0.

On en déduit l'expression de la loi horaire du mouvement :

a) D'après la question Q5, la condition d'équilibre statique s'écrit :

D'après la question Q8, la pulsation propre des oscillations libres est \omega_{\mathrm{o}} = \sqrt{\frac{k}{m}}, d'où \frac{k}{m} = \omega_{\mathrm{o}}^2. On en déduit :

b) La durée de N allers-retours correspond à N périodes d'oscillation T_{\mathrm{o}} :

La pulsation propre s'exprime donc par :

Ce qui conduit à l'expression littérale de g :

Application numérique :

En utilisant la donnée de l'énoncé \pi^2 \simeq 10 :

Commentaire : La valeur obtenue par cette méthode dynamique est strictement identique à celle issue de la mesure purement statique de la question Q6 (g = 5{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}). Cependant, la méthode dynamique présente un intérêt métrologique majeur : le comptage de N périodes permet de diviser l'incertitude liée au temps de réaction de l'expérimentateur par N, conférant une bien meilleure précision à la mesure de \omega_{\mathrm{o}}, et donc à la détermination de g.

a) D'après l'énoncé, le déplacement d'un point du ressort situé à l'abscisse \tau \in [0, \ell] est donné par :

La vitesse de cet élément s'obtient par dérivation temporelle à \tau fixé :

L'énergie cinétique élémentaire associée à la tranche de masse \delta m = \frac{m_{\mathrm{o}}}{\ell}\,\mathrm{d}\tau vaut donc :

L'énergie cinétique totale du ressort nu s'obtient en intégrant sur toute la longueur du ressort, pour \tau variant de 0 à \ell :

On obtient ainsi :

b) La fonction \sin^2(\Gamma t) oscillant entre 0 et 1, l'énergie cinétique maximale au cours du mouvement est atteinte lorsque \sin^2(\Gamma t) = 1, d'où :

L'extrémité inférieure du ressort (\tau = \ell) porte la masse ponctuelle m. Son déplacement par rapport à l'équilibre est :

Sa vitesse est alors :

L'énergie cinétique de la masse m s'écrit :

D'après la question Q10, l'énergie cinétique du ressort nu vaut :

L'énergie cinétique totale de l'ensemble {ressort pesant + masse} est donc :

Par ailleurs, les forces conservatives appliquées au système sont le poids et les forces élastiques. L'énergie potentielle totale (élastique et de pesanteur) repérée à partir de la position d'équilibre statique (pour laquelle la résultante des forces est nulle) s'écrit au second ordre :

En l'absence de frottements, l'énergie mécanique totale E_m = E_c + E_p est conservée au cours du mouvement :

Pour que cette somme soit constante à tout instant t, les amplitudes des termes en \sin^2 et \cos^2 doivent être égales, ce qui revient à égaler l'énergie cinétique maximale et l'énergie potentielle maximale :

On en déduit :

Sachant que \omega_{\mathrm{o}} = \sqrt{\frac{k}{m}} (question Q8), on obtient :

avec :

D'après la question Q9a, lorsque la loi de force de rappel élastique (loi de Hooke) reste inchangée à l'équilibre statique, la condition d'équilibre s'écrit toujours :

Cette relation ne dépend pas du paramètre inertiel \beta. Or, expérimentalement, la méthode dynamique (mesure de la période d'oscillation par chronométrage en Q9b) mesure la pulsation propre effective \Gamma des oscillations du système pesant, et non la pulsation théorique \omega_{\mathrm{o}}.

D'après le résultat de la question Q11, la pulsation propre effective \Gamma est reliée à \omega_{\mathrm{o}} par :

L'énoncé présente ici une légère coquille : pour pouvoir recalculer g en Q13 à partir des données de la mesure dynamique, il s'agit d'exprimer g en fonction de la pulsation réelle \Gamma, de h et de \beta. En substituant \omega_{\mathrm{o}}^2, on obtient :

D'après la question Q11, le rapport d'inertie adimensionné s'écrit :

Pour m_{\mathrm{o}} = \dfrac{m}{10}, on a :

D'après la relation établie en Q12, la valeur corrigée de l'accélération de la pesanteur est liée à la pulsation propre mesurée \Gamma par :

En utilisant la valeur brute obtenue à la question Q9.b (g_{\text{brut}} = \Gamma^2 h = 5{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) :

Avec deux chiffres significatifs cohérents avec les données expérimentales (h = 2{,}0\text{ cm}) :

Commentaire :

• La prise en compte de la masse du ressort induit une correction relative positive :

  \frac{\Delta g}{g} = \beta = \frac{1}{30} \simeq 3{,}3\,\%
• L'inertie non négligeable du ressort ralentit le mouvement d'oscillation (\Gamma < \omega_{\mathrm{o}}). Si l'on néglige cette masse, on sous-estime l'accélération de la pesanteur g.
• Cette correction de 3{,}3\,\% est du même ordre de grandeur que l'incertitude relative sur la mesure statique estimée en Q6 (\simeq 2\,\%) : elle est donc significative et indispensable si l'on cherche une mesure gravimétrique de précision.

1. Définitions et exemples :

   • Une onde longitudinale est une onde pour laquelle la direction de la perturbation (déplacement de matière, déformation) est parallèle à la direction de propagation de l'onde.

     \text{\textit{Exemples} : une onde sonore dans un fluide, une onde de compression le long d'un ressort, ou les ondes sismiques primaires (ondes P).}

   • Une onde transversale est une onde pour laquelle la direction de la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde.

     \text{\textit{Exemples} : la vibration d'une corde de Melde, une onde électromagnétique dans le vide, ou les ondes sismiques secondaires de cisaillement (ondes S).}

2. Signification de c_{\mathrm{s}} :

   Dans l'équation de D'Alembert unidimensionnelle \dfrac{\partial^2 \underline{s}}{\partial z^2} - \dfrac{1}{c_{\mathrm{s}}^2} \dfrac{\partial^2 \underline{s}}{\partial t^2} = 0, la constante réelle positive c_{\mathrm{s}} représente la célérité (ou vitesse de propagation) de l'onde sismique dans le milieu considéré.

   \boxed{c_{\mathrm{s}} \text{ est la célérité de propagation de l'onde mécanique dans le sol (en }\mathrm{m\cdot s^{-1}}\text{).}}

a) L'onde harmonique s'écrit sous forme complexe :

La phase de cette onde est \phi(z,t) = \omega t - kz. Les surfaces d'onde correspondent à une phase constante (\phi = \text{cte}), ce qui donne par différentiation :

La vitesse de déplacement des surfaces d'onde étant positive le long de l'axe (Oz), la propagation a lieu :

• selon la direction de l'axe (Oz) ;
• dans le sens des z croissants (sens positif de l'axe).

b) L'onde vérifie l'équation de d'Alembert :

Calculons les dérivées partielles d'ordre deux de \underline{s}(z, t) :

En injectant ces expressions dans l'équation de propagation, il vient :

Comme l'amplitude n'est pas identiquement nulle et que les constantes \omega, k et c_{\mathrm{s}} sont réelles et positives, on aboutit à la relation de dispersion :

a) En notation complexe, les dérivées partielles temporelles et spatiales appliquées à \underline{s}(z,t) = S_{\mathrm{o}}\mathrm{e}^{\iota(\omega t - kz)} s'écrivent :

L'équation de propagation \dfrac{1}{c_{\mathrm{s}}^2} \dfrac{\partial^2 \underline{s}}{\partial t^2} + \eta \dfrac{\partial \underline{s}}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 \underline{s}}{\partial z^2} devient ainsi :

b) On factorise par \dfrac{\omega^2}{c_{\mathrm{s}}^2} dans l'expression de k^2 :

Comme \dfrac{\omega}{c_{\mathrm{s}}^2} \gg \eta, on a \varepsilon = \dfrac{\eta c_{\mathrm{s}}^2}{\omega} \ll 1. En prenant la racine avec une partie réelle positive (propagation vers les z croissants) :

Par identification avec k = k_r + \iota k_i :

c) En réinjectant k = k_r + \iota k_i dans l'expression de l'onde complexe :

L'onde réelle associée est donnée par la partie réelle :

Par identification avec la forme s(z,t) = S_{\mathrm{o}} \cos(\omega t - az) \mathrm{e}^{-\frac{z}{b}}, on obtient :

d) La constante b représente la longueur d'atténuation (ou profondeur de pénétration) de l'onde sismique : c'est la distance de propagation au bout de laquelle l'amplitude de l'onde est divisée par \mathrm{e} \simeq 2{,}72.

À un instant t fixé (choisi ici tel que \cos(\omega t) = 1 pour fixer l'origine des phases spatiales à son maximum), le profil spatial est contenu dans l'enveloppe \pm S_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-z/b} avec une périodicité spatiale (longueur d'onde) \lambda = \dfrac{2\pi}{a} = \dfrac{2\pi c_{\mathrm{s}}}{\omega} :

On étudie le solide de masse M, assimilé à un point matériel, dans le référentiel \mathcal{R}_{\mathrm{b}} lié au bâti, muni de l'axe vertical (Ox) orienté vers le bas selon le vecteur unitaire \vec{e}_x.

Le référentiel \mathcal{R}_{\mathrm{b}} est en translation par rapport au référentiel de la planète (supposé galiléen), avec une accélération d'entraînement :

Puisqu'il n'y a pas de rotation propre du bâti, l'accélération de Coriolis est nulle (\vec{a}_c = \vec{0}).

Le bilan des forces appliquées à la masse M dans \mathcal{R}_{\mathrm{b}} comprend :

• le poids : \vec{P} = M g\,\vec{e}_x ;
• la force de rappel du ressort : \vec{F}_r = -k(\ell(t) - \ell_{\mathrm{o}})\,\vec{e}_x ;
• la force de frottement fluide : \vec{F}_f = -\alpha \vec{v}_r = -\alpha \dot{\ell}\,\vec{e}_x = -\alpha \dot{u}\,\vec{e}_x ;
• la force d'inertie d'entraînement : \vec{F}_{ie} = -M\vec{a}_e = -M\ddot{X}(t)\,\vec{e}_x ;
• la force d'inertie de Coriolis, identiquement nulle : \vec{F}_{ic} = \vec{0}.

À l'équilibre relatif, en l'absence de vibration (\ddot{X} = 0, u = 0, \dot{u} = 0 et \ell = \ell_{eq}) :

En exprimant la longueur du ressort par \ell(t) = \ell_{eq} + u(t), la force de rappel s'écrit :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à M dans \mathcal{R}_{\mathrm{b}} donne :

En projetant sur l'axe \vec{e}_x avec \vec{a}_r = \ddot{u}\,\vec{e}_x :

En divisant par M, on obtient l'équation différentielle canonique :

Par identification avec la forme demandée \ddot{u} + \left(\frac{\Omega_{\mathrm{o}}}{Q}\right)\dot{u} + \Omega_{\mathrm{o}}^2 u = -\ddot{X}, on en déduit :

D'après les expressions données en notation complexe :

• A est l'amplitude (ou l'élongation maximale) des oscillations du sol (et donc du bâti solidaire du sol) associées à l'onde sismique, exprimée en mètres.
• B est l'amplitude (ou l'élongation maximale) du mouvement relatif de la masse M par rapport à sa position d'équilibre relatif dans le référentiel du bâti, exprimée en mètres.
• \phi est le déphasage (ou l'avance de phase) de la réponse relative de la masse u(t) par rapport à l'excitation imposée par le sol X(t), exprimé en radians.

D'après la question Q17, le déplacement relatif u(t) vérifie l'équation différentielle :

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, les grandeurs s'écrivent en notation complexe \underline{u}(t) = B e^{\iota(\omega t + \phi)} et \underline{X}(t) = A e^{\iota\omega t}. La dérivation temporelle correspond à la multiplication par \iota\omega :

L'équation différentielle devient ainsi :

On en déduit la fonction de transfert complexe :

Le gain de cette fonction de transfert s'obtient en prenant le module :

1. Ligne 11 :

   La pulsation propre \Omega_0 (notée omega0) est reliée à la fréquence propre f_0 (notée f0) par la relation \Omega_0 = 2\pi f_0 :

   omega0 = 2 * np.pi * f0

2. Ligne 12 :

   Le coefficient du terme d'amortissement de l'équation différentielle \ddot{u} + \left(\frac{\Omega_0}{Q}\right)\dot{u} + \Omega_0^2 u = -\ddot{X} s'écrit \frac{\Omega_0}{Q}. Dans le contexte du filtre, la variable alpha représente ce coefficient d'amortissement (ou alternativement le facteur d'amortissement adimensionné 1/Q) :

   alpha = omega0 / Q   (ou   alpha = 1 / Q)

3. Ligne 18 :

   Le gain en décibels est défini par G_{\mathrm{dB}} = 20 \log_{10}(H) = 20 \log_{10}\left(g\left(\frac{f}{f_0}, Q\right)\right).

   En réutilisant la fonction g définie dans le script 1 :

   gain_db = 20 * np.log10(g(frequencies / f0, Q))

   Sans faire appel à la fonction g, on peut également expliciter directement le calcul :

   gain_db = 20 * np.log10((frequencies / f0)**2 / np.sqrt((1 - (frequencies / f0)**2)**2 + (frequencies / (f0 * Q))**2))

D'après la question Q19, le gain en tension s'écrit en fonction de la variable réduite x = \frac{\omega}{\Omega_{\mathrm{o}}} = \frac{f}{f_{\mathrm{o}}} :

a) Comportements asymptotiques de H :

• En basse fréquence (f \ll f_{\mathrm{o}}, soit x \ll 1) :

  \left(1 - x^2\right)^2 + \left(\frac{x}{Q}\right)^2 \underset{x \to 0}{\sim} 1 \implies \boxed{H_{\mathrm{BF}}(f) \sim x^2 = \left(\frac{f}{f_{\mathrm{o}}}\right)^2}

• En haute fréquence (f \gg f_{\mathrm{o}}, soit x \gg 1) :

  \left(1 - x^2\right)^2 + \left(\frac{x}{Q}\right)^2 \underset{x \to +\infty}{\sim} x^4 \implies \boxed{H_{\mathrm{HF}}(f) \sim \frac{x^2}{\sqrt{x^4}} = 1}

b) Droites asymptotiques du gain en décibels G_{\mathrm{dB}} = 20\log_{10} H :

• En basse fréquence :

  \boxed{G_{\mathrm{dB, BF}} = 40 \log_{10}\left(\frac{f}{f_{\mathrm{o}}}\right)}

  Il s'agit d'une droite de pente +40\text{ dB/décade}.

• En haute fréquence :

  \boxed{G_{\mathrm{dB, HF}} = 0\text{ dB}}

  Il s'agit d'une droite horizontale d'ordonnée 0\text{ dB} (pente 0\text{ dB/décade}).

c) Coordonnées du point d'intersection des deux asymptotes : L'intersection est définie par G_{\mathrm{dB, BF}} = G_{\mathrm{dB, HF}}, soit :

Les coordonnées du point d'intersection dans le plan de Bode \left(\log_{10}\left(\frac{f}{f_{\mathrm{o}}}\right),\, G_{\mathrm{dB}}\right) sont donc :

d) Nature et ordre du filtre : Le gain s'annule en basse fréquence et tend vers 1 en haute fréquence : il s'agit d'un filtre passe-haut. Le comportement asymptotique à basse fréquence présente une pente de +40\text{ dB/décade} et le dénominateur de la fonction de transfert est du second degré en pulsation : il s'agit d'un filtre du second ordre.

e) Calcul de la pulsation de résonance \omega_{\text{rés}} : Le maximum de H correspond au minimum de la fonction \psi(x) = \frac{1}{H(x)^2} :

En effectuant le changement de variable u = \frac{1}{x^2} > 0 :

Ce trinôme admet un extremum pour :

Une pulsation de résonance n'existe que si u_{\text{rés}} > 0, c'est-à-dire pour Q > \frac{1}{\sqrt{2}}. On en déduit :

Soit, en revenant à la pulsation \omega = \Omega_{\mathrm{o}} x :

f) Détermination numérique de Q et estimation de \alpha :

• Au maximum de résonance, la valeur de H vaut :

  H_{\max} = \frac{1}{\sqrt{\tilde{\psi}(u_{\text{rés}})}} = \frac{Q}{\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}} \underset{Q \gg 1}{\simeq} Q

  Sur la figure 6, le pic de g(x) atteint g_{\max} = 100. Sur la figure 7, le diagramme de Bode présente un pic à G_{\mathrm{dB, \max}} = 40\text{ dB}, ce qui donne 10^{40/20} = 100. On lit ainsi directement :

  \boxed{Q = 100}

• Sur la figure 7, la fréquence propre est repérée par l'asymptote verticale :

  f_{\mathrm{o}} = 10^1\text{ Hz} = 10\text{ Hz} \implies \Omega_{\mathrm{o}} = 2\pi f_{\mathrm{o}} = 20\pi\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

  D'après la question Q17, \Omega_{\mathrm{o}}^2 = \frac{k}{M}, ce qui permet d'évaluer la masse M à l'aide de l'approximation \pi^2 \simeq 10 :

  M = \frac{k}{4\pi^2 f_{\mathrm{o}}^2} \simeq \frac{50{,}0}{4 \times 10 \times 10^2} = \frac{50{,}0}{4000} = 1{,}25 \cdot 10^{-2}\text{ kg}

  Toujours d'après Q17, Q = \frac{\sqrt{k M}}{\alpha}, d'où :

  \alpha = \frac{\sqrt{k M}}{Q}

  Avec k M = 50{,}0 \times 1{,}25 \cdot 10^{-2} = 0{,}625 = \frac{2{,}5}{4}, et la donnée \sqrt{2{,}5} \simeq 1{,}6 :

  \sqrt{k M} = \frac{\sqrt{2{,}5}}{2} \simeq \frac{1{,}6}{2} = 0{,}80\text{ N}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-1}

  On obtient finalement :

  \alpha = \frac{0{,}80}{100} \implies \boxed{\alpha \simeq 8{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ N}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-1} \quad (\text{ou kg}\cdot\text{s}^{-1})}

a) D'après le second principe de la thermodynamique, la variation élémentaire d'entropie s'écrit :

• la transformation étant adiabatique, le transfert thermique est nul : \delta Q = 0, soit \delta S_{\text{e}} = \frac{\delta Q}{T} = 0 ;
• la transformation étant réversible, la création d'entropie est nulle : \delta S_{\text{c}} = 0.

On en déduit :

Une transformation adiabatique réversible est donc isentropique.

b) L'expression de la différentielle de l'entropie donnée par l'énoncé est :

Pour un gaz parfait vérifiant l'équation d'état P V = n R T, on a :

Puisque la transformation est isentropique (\mathrm{d}S = 0), il vient :

En multipliant cette équation par \frac{\gamma - 1}{nR} \neq 0, on obtient bien :

c) En intégrant cette relation différentielle, le coefficient \gamma étant constant :

On en déduit la relation :

Cette relation est connue sous le nom de loi de Laplace.

a) Signification physique de C_\ell

Lors d'une transformation réversible élémentaire à longueur constante (\mathrm{d}\ell = 0), le transfert thermique élémentaire reçu par le ressort s'écrit :

Par analogie directe avec la capacité thermique isochore C_V du gaz parfait, C_\ell représente la capacité thermique du ressort à longueur constante. Elle s'exprime en \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1} et correspond à l'énergie thermique qu'il faut fournir au ressort pour élever sa température d'un kelvin en maintenant sa longueur constante.

b) Expression de T_f pour une transformation isentropique

Pour une transformation isentropique, l'entropie du ressort reste constante : \mathrm{d}S(T, \ell) = 0. Il vient :

C_\ell et D étant indépendants de T et de \ell, on intègre entre l'état initial (T_i, \ell_i) et l'état final (T_f, \ell_f) :

En passant à l'exponentielle, on obtient :

c) Protocole de mesure de la température atmosphérique

Compte tenu du résultat précédent, Major Tom peut exploiter l'effet élastocalorique du ressort selon le protocole suivant :

1. Mise à l'équilibre thermique initial : Laisser le ressort au repos à sa longueur à vide \ell_i = \ell_{\mathrm{o}} (ou à une longueur fixée \ell_i) en contact avec l'atmosphère suffisamment longtemps pour que l'équilibre thermique soit atteint ; ainsi, la température initiale du ressort est la température atmosphérique recherchée : T_i = T_{\text{atm}}.
2. Déformation isentropique : Étirer (ou relâcher) le ressort jusqu'à une longueur mesurée \ell_f de façon suffisamment rapide pour que les transferts thermiques avec l'air ambiant restent négligeables (condition adiabatique), mais suffisamment lente devant le temps de propagation des ondes acoustiques dans le ressort pour que le mouvement soit quasi-statique (donc réversible, ce qui assure \mathrm{d}S = 0).
3. Mesure de la température finale : Mesurer immédiatement la température T_f atteinte par le ressort au moyen d'un capteur thermique (thermocouple ou caméra infrarouge) avant que la rééquilibration thermique avec l'atmosphère ne s'opère.

4. Calcul de la température atmosphérique : Connaissant les paramètres étalonnés du ressort (C_\ell, D et \ell_{\mathrm{o}}) et les longueurs \ell_i, \ell_f, remonter à T_{\text{atm}} en inversant la formule établie :

   T_{\text{atm}} = T_f \exp\left( \frac{D}{2C_\ell} \left[ (\ell_f - \ell_{\mathrm{o}})^2 - (\ell_i - \ell_{\mathrm{o}})^2 \right] \right)

Le noyau atomique est constitué de nucléons (protons et neutrons) dont la masse individuelle vaut m_p \simeq 1{,}67 \cdot 10^{-27}\text{ kg}. Même pour le plus léger des noyaux (le proton pour l'hydrogène), le rapport entre la masse du noyau M_{\text{noyau}} et la masse m de l'électron vaut :

Pour des atomes plus lourds, ce rapport est encore plus grand (de l'ordre de 10^4 à 10^5).

D'après le principe fondamental de la dynamique, sous l'action de forces d'interaction électrostatique d'intensités comparables, l'accélération subie par une particule est inversement proportionnelle à sa masse :

Le noyau possède ainsi une inertie considérablement plus grande que celle des électrons : son déplacement en réponse aux sollicitations électromagnétiques est négligeable devant celui des électrons.

Il est donc tout à fait légitime de considérer le noyau comme immobile au centre de l'atome (approximation du noyau fixe).

a) Soit un point M repéré en coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) de pôle O, centre de la boule chargée.

• Direction du champ : Tout plan passant par le centre O et le point M est un plan de symétrie de la distribution de charges. En particulier, les plans (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta) et (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\varphi) sont des plans de symétrie. Le champ électrostatique \vec{E}(M) appartient à l'intersection de ces plans, il est donc purement radial :

  \vec{E}(M) = E(r, \theta, \varphi)\,\vec{u}_r

• Dépendance du champ : La distribution de charge présente une invariance par toute rotation autour de son centre O. Les coordonnées angulaires \theta et \varphi n'influencent donc pas le champ, qui ne dépend que de la distance radiale r :

  \vec{E}(M) = E(r)\,\vec{u}_r

b) On applique le théorème de Gauss à une surface sphérique fermée \mathcal{S}_G de centre O et de rayon r \leqslant R_{\mathrm{o}}, orientée vers l'extérieur.

• Le flux du champ électrique à travers \mathcal{S}_G s'écrit :

  \Phi = \iint_{\mathcal{S}_G} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = E(r) \iint_{\mathcal{S}_G} \mathrm{d}S = 4\pi r^2 E(r)

• La distribution étant uniforme en volume, la densité volumique de charge est :

  \rho = \frac{Q_{\mathrm{o}}}{\frac{4}{3}\pi R_{\mathrm{o}}^3}

  La charge intérieure à la sphère de Gauss de rayon r vaut donc :

  Q_{\text{int}} = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3 = Q_{\mathrm{o}}\left(\frac{r}{R_{\mathrm{o}}}\right)^3

• D'après le théorème de Gauss, \Phi = \dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{\mathrm{o}}}, soit :

  \begin{aligned} 4\pi r^2 E(r) &= \frac{Q_{\mathrm{o}} r^3}{\varepsilon_{\mathrm{o}} R_{\mathrm{o}}^3} \\ E(r) &= \frac{Q_{\mathrm{o}} r}{4\pi\varepsilon_{\mathrm{o}} R_{\mathrm{o}}^3} \end{aligned}

On en déduit l'expression vectorielle du champ électrique à l'intérieur de la boule (r \leqslant R_{\mathrm{o}}) :

c) Un électron de charge q = -e, situé en M (avec \vec{r} = \overrightarrow{OM}), subit de la part de cette distribution de charge positive la force de Coulomb :

La force de rappel \vec{f}_r = -\kappa \vec{r} modélise donc l'attraction électrostatique exercée par la sphère de charge positive sur l'électron lorsqu'il s'écarte du centre de l'atome.

Par identification terme à terme, la constante de raideur \kappa s'écrit :

Dans le vide dépourvu de charges et de courants (\rho = 0 et \vec{\jmath} = \vec{0}), les équations de Maxwell s'écrivent :

La comparaison avec les équations données dans le milieu isolant montre que :

• Les équations de Maxwell-Thomson, de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Faraday sont strictement identiques à celles dans le vide (absence de charges libres et loi d'induction inchangée).

• L'équation de Maxwell-Ampère est modifiée : la permittivité diélectrique du vide \varepsilon_0 est remplacée par la permittivité diélectrique complexe du milieu :

  \boxed{\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r}

L'expression complexe du champ électrique est donnée par :

• Direction et sens de propagation : la dépendance spatio-temporelle de la phase est de la forme \omega t - kz = \omega t - \vec{k} \cdot \vec{r}. Pour \mathrm{Re}(k) > 0, les plans d'onde se déplacent vers les z croissants. L'onde se propage donc suivant la direction de l'axe (Oz), dans le sens de \vec{u}_z (sens des z croissants).

• Vecteur d'onde : par identification du produit scalaire \vec{k}\cdot\vec{r} = kz, on en déduit :

  \boxed{\vec{k} = k\,\vec{u}_z}
• Direction de polarisation : par convention, l'état de polarisation d'une onde électromagnétique est déterminé par la direction d'oscillation de son champ électrique. Le vecteur \underline{\vec{E}} étant constamment colinéaire au vecteur unitaire \vec{u}_x, l'onde présente une polarisation rectiligne suivant la direction de l'axe (Ox), portée par \vec{u}_x.

Une onde électromagnétique est dite transverse pour le champ électrique lorsque ce dernier est orthogonal à la direction de propagation de l'onde.

D'après la question Q27 :

• la direction de propagation de l'onde est portée par le vecteur unitaire \vec{u}_z (vecteur d'onde \vec{k} = k\,\vec{u}_z) ;

• le champ électrique est polarisé rectilignement suivant l'axe (Ox) :

  \underline{\vec{E}}(z,t) = E_0 e^{\iota(\omega t - kz)}\,\vec{u}_x.

Comme (\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) forme une base orthonormée, on a :

Le champ électrique \underline{\vec{E}} est orthogonal à la direction de propagation :

Le champ électrique est donc bien transverse.

L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit dans le milieu :

Pour une onde plane progressive harmonique dépendant des variables d'espace et de temps sous la forme e^{\iota(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})}, les opérateurs différentiels spatio-temporels se traduisent en notation complexe par :

L'équation de Maxwell-Faraday devient donc :

En simplifiant par -\iota\omega (avec \omega \neq 0), on obtient :

Avec \vec{k} = k\vec{u}_z et \underline{\vec{E}} = E_0 e^{\iota(\omega t - kz)}\vec{u}_x, on a explicitement :

Une onde est dite transverse pour le champ magnétique si ce dernier est orthogonal à la direction de propagation repérée par \vec{k}.

D'après l'expression précédente, \underline{\vec{B}} est proportionnel au produit vectoriel \vec{k} \wedge \underline{\vec{E}}, donc par propriété fondamentale du produit vectoriel :

(On vérifie également de façon directe : \vec{u}_z \cdot \vec{u}_y = 0).

Par ailleurs, cela est en parfait accord avec l'équation de Maxwell-Thomson \operatorname{div}(\underline{\vec{B}}) = 0, qui impose -\iota \vec{k} \cdot \underline{\vec{B}} = 0.

Le champ magnétique \underline{\vec{B}} est donc bien transverse.

La force électromagnétique exercée par le rayonnement sur l'électron (de charge q_e = -e) est donnée par la force de Lorentz :

Elle se décompose en une composante électrique \vec{f}_E = -e\vec{E} et une composante magnétique \vec{f}_B = -e(\vec{v}\wedge\vec{B}).

En ordre de grandeur, les normes de ces deux forces vérifient :

D'après la relation établie à la question Q29, le champ magnétique de l'onde vérifie \underline{\vec{B}} = \frac{\vec{k} \wedge \underline{\vec{E}}}{\omega}. Les amplitudes des champs sont donc liées par :

où v_\varphi = \frac{\omega}{\mathrm{Re}(k)} est la vitesse de phase de l'onde. Dans un milieu matériel peu dense, l'indice optique est proche de l'unité et la vitesse de phase est de l'ordre de la célérité de la lumière dans le vide : v_\varphi \simeq c. Le rapport des forces s'écrit donc :

Pour que la force magnétique soit négligeable devant la force électrique (\|\vec{f}_B\| \ll \|\vec{f}_E\|), les conditions requises sont :

c'est-à-dire que le mouvement de l'électron au sein de l'atome doit être non relativiste.

En pratique, cela implique :

• que le champ incident ne soit pas trop intense (faible irradiance lumineuse), afin de ne pas conférer à l'électron une vitesse proche de c ;
• que les vitesses électroniques intra-atomiques d'origine quantique restent petites devant c (valable pour les électrons de valence des atomes légers, où v/c \sim \alpha \simeq 1/137).

L'ordre de grandeur de la taille d'un atome (diamètre typique ou dimension du cortège électronique) est :

Pour un rayonnement ultra-violet de longueur d'onde dans le vide \lambda \sim 200\text{ nm} = 2\cdot 10^{-7}\text{ m}, le rapport des échelles spatiales vaut :

La variation spatiale de la phase du champ électrique sur une distance de l'ordre de la taille atomique \Delta z \sim a_{\text{atome}} s'écrit :

Par conséquent, sur toute l'étendue de l'atome, le terme spatial d'onde vérifie :

On applique la deuxième loi de Newton à l'électron dans le référentiel lié au noyau atomique fixe (Q24), supposé galiléen :

• Système : électron de masse m, de charge q_e = -e, de vecteur position \vec{r}(t) = \overrightarrow{OM}.

• Bilan des forces :

  • force de rappel élastique modélisant l'attraction du nuage de charges positives : \vec{f}_r = -\kappa \vec{r} ;
  • force d'amortissement fluide : \vec{f}_f = -\alpha \vec{v} = -\alpha \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} ;
  • force de Lorentz exercée par l'onde électromagnétique : \vec{f}_{em} = -e(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}) \simeq -e \vec{E}(t), où la composante magnétique est négligée (Q30) et où le champ électrique est uniforme à l'échelle de l'atome (approximation dipolaire électrique, Q31) ;
  • le poids est totalement négligeable devant les forces électrostatiques.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En réorganisant les termes, on obtient l'équation différentielle du mouvement :

D'après le résultat de la question Q32, l'équation différentielle régissant le déplacement \vec{r}(t) de l'électron lié s'écrit :

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, avec la convention adoptée dans l'énoncé \underline{\vec{E}} \propto \mathrm{e}^{\iota \omega t}, les dérivées temporelles se traduisent en notation complexe par :

L'équation différentielle devient ainsi :

En introduisant la pulsation propre \omega_{\mathrm{o}} et le facteur de qualité Q définis classiquement par :

l'expression entre parenthèses se réécrit :

On en déduit directement la forme demandée :

avec :

Le champ électrique s'écrit sous forme complexe :

Comme le champ ne dépend spatialement que de la coordonnée z, le laplacien vectoriel se réduit à la dérivée seconde par rapport à z :

De même, pour la dépendance temporelle harmonique :

En injectant ces deux expressions dans l'équation de propagation \Delta \underline{\vec{E}} = \frac{\varepsilon_r}{c^2} \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2}, on obtient :

Comme cette relation est vérifiée pour tout point (z,t) où l'onde n'est pas identiquement nulle, on en déduit la relation de dispersion :

D'après la relation de dispersion établie à la question Q34 :

En utilisant la décomposition de la norme du vecteur d'onde k(\omega) = k_1(\omega) - \iota k_2(\omega) avec (k_1, k_2) \in \mathbb{R}^2, on développe le membre de gauche :

Par ailleurs, la constante diélectrique relative s'écrit \varepsilon_r(\omega) = \varepsilon_1(\omega) - \iota \varepsilon_2(\omega) avec (\varepsilon_1, \varepsilon_2) \in \mathbb{R}^2. Le membre de droite s'écrit donc :

Par identification des parties réelle et imaginaire, on obtient le système liant (k_1, k_2) à (\varepsilon_1, \varepsilon_2) :

Le champ électrique complexe s'écrit :

En introduisant l'écriture de k(\omega) = k_1(\omega) - \iota k_2(\omega) définie dans l'énoncé, l'exposant se développe sous la forme :

Il vient ainsi pour la forme complexe :

Le champ électrique réel \vec{E}(z,t) s'obtient en prenant la partie réelle de \underline{\vec{E}}(z,t), la constante E_{\mathrm{o}} étant réelle :

D'après le résultat de la question précédente, l'amplitude du champ électrique s'écrit en fonction de la profondeur de pénétration z sous la forme :

La grandeur \delta = \frac{1}{k_2} s'exprime en mètres (\mathrm{m}) et représente la longueur d'atténuation (ou épaisseur de peau, ou profondeur de pénétration) de l'onde électromagnétique dans le milieu diélectrique absorbant.

Après la traversée d'une épaisseur z = \delta, l'amplitude du champ est réduite à environ 37\,\% de sa valeur incidente, et l'intensité lumineuse (proportionnelle au carré du champ) est divisée par \mathrm{e}^2 \approx 7{,}4.

D'après la relation de dispersion obtenue à la question Q34 :

Pour une onde se propageant dans le sens des z croissants, on choisit la racine carrée de partie réelle positive :

L'hypothèse d'un milieu peu absorbant signifie que la composante dissipative est négligeable devant la composante dispersive, soit \varepsilon_2 \ll \varepsilon_1.

En effectuant un développement limité au premier ordre de (1 - u)^{1/2} \simeq 1 - \frac{u}{2} pour u = \iota\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} \ll 1, il vient :

Par identification avec l'écriture k = k_1 - \iota k_2 imposée à la question Q35, on obtient :

La vitesse de phase v_\varphi est la vitesse de déplacement d'une surface d'équiphase (front d'onde). Pour une onde se propageant selon (Oz), la phase s'écrit \varphi(z, t) = \omega t - k_1 z. Le maintien d'une phase constante le long de la propagation impose :

d'où la définition générale :

D'après le résultat de la question Q38, dans l'approximation d'un milieu peu absorbant, on a k_1(\omega) \simeq \frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_1(\omega)}. On en déduit :

Un milieu est dit dispersif si la vitesse de phase dépend de la pulsation \omega. Or, l'expression de \varepsilon_1(\omega) établie à la question Q33 dépend explicitement de \omega :

Par conséquent, la vitesse de phase v_\varphi dépend de \omega : le milieu est dispersif.

D'après les questions Q27, Q29 et Q35, le champ électrique complexe s'écrit :

et le champ magnétique associé est donné par :

Le complexe conjugué du champ magnétique s'exprime donc sous la forme :

Calculons le produit vectoriel \underline{\vec{E}} \wedge \underline{\vec{B}}^* en utilisant \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z :

La valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting est alors :

Comme k_1, k_2, E_{\mathrm{o}}, \mu_{\mathrm{o}} et \omega sont réels, on obtient :