Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2025

1. Référentiel géocentrique : Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de masse (ou centre géométrique) de la Terre et ses trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes (directions invariables par rapport au référentiel de Copernic). Il est en translation circulaire (quasi uniforme) par rapport au référentiel héliocentrique.
2. Référentiel galiléen : Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié : tout système matériel mécaniquement isolé (ou pseudo-isolé) y est soit au repos, soit en mouvement rectiligne et uniforme. Le principe fondamental de la dynamique s'y applique sous sa forme usuelle, sans faire intervenir de forces d'inertie.

La Terre est modélisée par une distribution de masse à symétrie sphérique de centre O.

Direction du champ : Tout plan passant par le centre O et le point M est un plan de symétrie de la distribution de masse. Le champ de gravitation \overrightarrow{\mathcal{G}}(M) appartenant à l'intersection de tous ces plans, il est dirigé selon la droite (OM) :

Invariances : La distribution de masse est invariante par toute rotation autour du centre O (invariance selon les coordonnées angulaires \theta et \varphi). Par conséquent, la composante algébrique \mathcal{G} ne dépend que de la coordonnée radiale r = OM :

Expression du champ de gravitation : On applique le théorème de Gauss gravitationnel à travers une sphère \Sigma centrée en O et de rayon r > R_T, orientée vers l'extérieur par \vec{u} :

D'une part, le flux s'écrit :

D'autre part, la masse totale contenue à l'intérieur de la sphère de rayon r > R_T est la masse terrestre : M_{\text{int}} = M_T. On en déduit :

Le champ de gravitation en un point M extérieur à la Terre s'écrit donc :

Force de gravitation : Par définition, la force exercée par la Terre sur le mobile ponctuel de masse m s'écrit :

soit :

Le mobile M de masse m évolue dans le référentiel géocentrique \mathcal{R}_T supposé galiléen. Le point O, centre de la Terre, est fixe dans ce référentiel.

Le théorème du moment cinétique appliqué en O au point matériel M s'écrit :

D'après la question Q2, la force gravitationnelle est une force centrale de centre O :

Le moment de la force par rapport à O est donc nul :

Il s'ensuit que la dérivée temporelle de \overrightarrow{\mathcal{L}_O} est nulle :

Le moment cinétique par rapport à O est bien une constante du mouvement.

Par définition du moment cinétique :

• Si \overrightarrow{\mathcal{L}_O} \neq \vec{0}, les propriétés du produit vectoriel imposent :

  \overrightarrow{OM}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{L}_O} = 0 \quad \text{à tout instant } t

  Le vecteur position \overrightarrow{OM}(t) appartient en permanence au plan fixe passant par O et orthogonal au vecteur constant \overrightarrow{\mathcal{L}_O}.

• Si \overrightarrow{\mathcal{L}_O} = \vec{0}, \overrightarrow{OM} et \vec{v} sont constamment colinéaires : le mouvement est rectiligne selon une droite passant par O, ce qui constitue un cas particulier de mouvement plan.

Dans tous les cas, on en déduit que :

Le mouvement du mobile étant plan (question Q3), on utilise le système de coordonnées polaires planes (r, \theta) de centre O et de base locale (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta). Le vecteur déplacement élémentaire s'écrit :

D'après le résultat de la question Q2, la force gravitationnelle exercée par la Terre s'écrit \vec{F}_g = -\dfrac{G M_T m}{r^2}\vec{e}_r. Le travail élémentaire de cette force au cours du déplacement \mathrm{d}\vec{r} vaut :

Ce travail ne dépend que de la distance r et s'identifie à l'opposé d'une différentielle totale exacte :

La force gravitationnelle dérive donc bien d'une énergie potentielle \mathcal{E}_p.

Par intégration par rapport à r, on obtient :

où C est une constante d'intégration. En appliquant la convention imposée par l'énoncé, \lim_{r \to +\infty} \mathcal{E}_p(r) = 0, on trouve C = 0.

L'énergie potentielle gravitationnelle du mobile s'écrit donc :

Le mobile de masse m n'est soumis qu'à la force de gravitation \vec{F}_g, qui est une force conservative dérivant de l'énergie potentielle \mathcal{E}_p(r) = -\frac{G M_T m}{r} (d'après la question Q4). Aucune force non conservative ne s'exerce sur le point matériel : le théorème de l'énergie mécanique dans le référentiel géocentrique galiléen donne

donc l'énergie mécanique \mathcal{E}_m est une constante du mouvement.

En coordonnées polaires (r, \theta), le vecteur vitesse s'écrit :

L'énergie cinétique du mobile est ainsi :

D'autre part, le moment cinétique en O s'exprime par :

Par identification avec \overrightarrow{\mathcal{L}_O} = \mathcal{L}_0 \vec{e}_z, on a \mathcal{L}_0 = mr^2\dot{\theta}, d'où :

En injectant cette relation dans l'expression de l'énergie cinétique, il vient :

L'énergie mécanique totale s'écrit donc :

Elle se met bien sous la forme demandée :

avec

D'après l'équation (1) établie à la question Q5, l'énergie mécanique s'écrit :

Le premier terme correspond à l'énergie cinétique radiale du mobile :

La masse m étant strictement positive et le carré de la vitesse radiale vérifiant \dot{r}^2 \ge 0, cette énergie cinétique radiale est toujours positive ou nulle :

On en déduit que l'énergie mécanique du mobile est nécessairement supérieure ou égale à son énergie potentielle effective :

D'après l'expression établie à la question Q5 :

Pour une valeur non nulle donnée du moment cinétique \mathcal{L}_0, la fonction présente le comportement suivant :

• Lorsque r \to 0^+, le terme centrifuge domine : \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r) \sim \frac{\mathcal{L}_0^2}{2mr^2} \to +\infty (barrière centrifuge).
• Lorsque r \to +\infty, le terme gravitationnel domine : \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r) \sim -\frac{GM_Tm}{r} \to 0^- (valeurs négatives).

• La dérivée s'annule en une distance r_0 :

  \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{p,\text{eff}}}{\mathrm{d}r}(r) = -\frac{\mathcal{L}_0^2}{mr^3} + \frac{GM_Tm}{r^2} = 0 \iff r_0 = \frac{\mathcal{L}_0^2}{GM_Tm^2}

  En ce point, le potentiel effectif atteint un minimum absolu négatif :

  \mathcal{E}_{p,\text{eff,min}} = \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r_0) = -\frac{G^2 M_T^2 m^3}{2\mathcal{L}_0^2} < 0

D'après la question Q6, le mouvement radial n'est physiquement permis que si \mathcal{E}_m \ge \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r). Un état lié impose que la coordonnée r reste bornée supérieurement (le mobile ne peut pas s'échapper à l'infini). Dès lors :

La droite d'énergie constante \mathcal{E} = \mathcal{E}_m intersecte la courbe de potentiel effectif en deux points de vitesse radiale nulle (\dot{r} = 0), appelés distances de rebroussement :

• r_{\min} = r_P : distance au périgée ;
• r_{\max} = r_A : distance à l'apogée.

Le mouvement radial est confiné à l'intervalle r \in [r_{\min}, r_{\max}], ce qui correspond bien à une trajectoire elliptique fermée autour du foyer O.

D'après l'équation (1) établie à la question Q5 :

L'égalité \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r) est donc équivalente à :

Ces positions correspondent aux extremums de la distance r au centre attracteur O (points d'arrêt radial ou points tournants). Pour un mouvement elliptique autour de la Terre, il s'agit :

Dans le cas particulier où \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_{p,\text{eff, min}} :

• La courbe d'énergie potentielle effective présente un unique minimum en r = r_0. La seule valeur possible de la coordonnée radiale est donc :

  r(t) = r_0 = \text{cte}

  La trajectoire est ainsi un cercle de centre O et de rayon r_0.

• La conservation de la composante axiale du moment cinétique impose :

  \dot{\theta} = \frac{\mathcal{L}_0}{m r_0^2} = \text{cte}

Le mouvement du mobile est donc un :

Le satellite décrit une trajectoire circulaire de centre O et de rayon R dans le référentiel géocentrique (\mathcal{R}_T) supposé galiléen. En coordonnées polaires, son vecteur accélération s'écrit :

Le mouvement étant soumis à une force purement centrale, la composante orthoradiale de l'accélération est nulle, donc la vitesse scalaire v est constante (mouvement circulaire uniforme) et \vec{a} = -\frac{v^2}{R}\vec{e}_r.

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur le vecteur unitaire radial \vec{e}_r donne :

On en déduit l'expression de l'énergie cinétique du satellite sur l'orbite de référence :

D'après la question Q4, l'énergie potentielle gravitationnelle associée, avec l'origine à l'infini, vaut :

L'énergie mécanique \mathcal{E}_{m,\text{alt}} = \mathcal{E}_c + \mathcal{E}_p(R) s'écrit donc :

Le mouvement du satellite sur l'orbite altimétrique de référence étant circulaire uniforme de rayon R et de vitesse v, la période de révolution T correspond à la durée nécessaire pour parcourir le périmètre 2\pi R à la vitesse v :

D'après la question Q9, la vitesse orbitale vérifie :

En élevant l'expression de la période au carré, on obtient :

On en déduit la troisième loi de Kepler pour l'orbite circulaire considérée :

D'après l'équation (1) établie à la question Q5, l'énergie mécanique du satellite s'écrit à chaque instant :

L'orbite de transfert est une ellipse dont l'apogée est situé en r_A = R et le périgée en r_P = R_c. En ces deux positions extrémales, la distance au centre attracteur est stationnaire, de sorte que \dot{r} = 0. L'énergie mécanique est donc égale à l'énergie potentielle effective en ces deux points :

En égalant ces deux expressions, on obtient :

Soit, en réduisant au même dénominateur :

Puisque R \neq R_c, on simplifie par (R_c - R) \neq 0 :

En réinjectant cette expression dans la formule de \mathcal{E}_{m,\text{tr}} à l'apogée (r = R) :

On aboutit ainsi à la forme recherchée :

D'après les résultats des questions Q9 et Q11, les énergies mécaniques sur l'orbite altimétrique et sur l'orbite de transfert s'écrivent respectivement :

La variation d'énergie mécanique requise pour passer de l'orbite initiale à l'orbite de transfert s'écrit alors :

On en déduit :

Commentaire sur le signe de \Delta\mathcal{E}_m :
L'orbite cimetière étant située à une altitude plus basse que l'orbite altimétrique de référence, on a R_c < R, d'où R - R_c > 0. Par conséquent :

Le demi-grand axe de l'orbite de transfert (a_{\text{tr}} = \frac{R + R_c}{2} < R) est plus petit que celui de l'orbite circulaire initiale : le satellite pénètre dans une orbite plus liée, d'énergie mécanique plus basse. Le théorème de l'énergie mécanique appliqué lors de la manœuvre impulsive en A donne :

Le travail des forces de poussée doit donc être résistant : il est nécessaire de freiner le satellite au point A en allumant les propulseurs dans le sens opposé au vecteur vitesse.

Le satellite arrive au point P (périgée de l'orbite de transfert, situé à la distance r_P = R_c du centre de la Terre) avec l'énergie mécanique \mathcal{E}_{m,\mathrm{tr}} établie à la question Q11 :

Sur l'orbite finale « cimetière », circulaire de rayon R_c, l'énergie mécanique s'écrit (par analogie avec la formule de l'orbite de référence de rayon R obtenue à la question Q9) :

La variation d'énergie mécanique nécessaire pour passer de l'orbite de transfert à l'orbite cimetière vaut :

Comme R_c < R, on a :

La poussée des moteurs étant considérée comme instantanée, la position du satellite ne varie pas pendant la manœuvre (r = R_c = \text{cte}), ce qui implique que l'énergie potentielle gravitationnelle reste constante (\Delta \mathcal{E}_p = 0). Dès lors :

L'énergie cinétique du satellite doit diminuer lors de la manœuvre.

D'après la convention adoptée en préambule, la grandeur complexe associée au signal émis e(t) = A(t)\cos(2\pi f_0 t), où A(t) est une amplitude réelle, s'écrit :

Le signal reçu est une réplique atténuée et retardée de durée t_R, de sorte que :

La grandeur complexe en sortie du filtre adapté est donnée par :

Puisque la fonction d'enveloppe A est à valeurs réelles, le conjugué complexe de \underline{e}(\xi - t) s'écrit :

En évaluant \underline{u}(\xi) à l'instant \xi :

Le produit sous l'intégrale vaut ainsi :

Le facteur de phase e^{2i\pi f_0 (t - t_R)} ainsi que l'amplitude \alpha sont indépendants de la variable d'intégration \xi et peuvent donc être factorisés hors de l'intégrale :

D'après la définition de l'amplitude A(t) :

• A(\xi - t_R) = A_0 pour -\dfrac{\tau}{2} \le \xi - t_R \le \dfrac{\tau}{2}, c'est-à-dire pour \xi \in \left[t_R - \dfrac{\tau}{2},\, t_R + \dfrac{\tau}{2}\right], et 0 sinon ;
• A(\xi - t) = A_0 pour -\dfrac{\tau}{2} \le \xi - t \le \dfrac{\tau}{2}, c'est-à-dire pour \xi \in \left[t - \dfrac{\tau}{2},\, t + \dfrac{\tau}{2}\right], et 0 sinon.

Dans le cas où t_R - \tau \le t \le t_R, on a :

Les deux signaux se chevauchent donc sur l'intervalle \left[t_R - \dfrac{\tau}{2},\, t + \dfrac{\tau}{2}\right].

Sur la zone de recouvrement \left[t_R - \dfrac{\tau}{2},\, t + \dfrac{\tau}{2}\right], le produit A(\xi - t)A(\xi - t_R) vaut A_0^2 ; il est nul en dehors de cette zone. L'intégrale intervenant dans l'expression de \underline{s}(t) établie à la question précédente vaut donc :

En injectant ce résultat dans l'expression de \underline{s}(t), il vient :

D'après l'expression de la sortie complexe \underline{s}(t) fournie dans l'énoncé, le signal réel associé s'obtient par la prise de la partie réelle :

où la fonction triangle \Lambda(t - t_R) est nulle en dehors de l'intervalle [t_R - \tau,\, t_R + \tau] et atteint sa valeur maximale \tau en t = t_R.

Puisque f_0 \gg 1/\tau, le signal réel s(t) correspond à une porteuse sinusoïdale oscillant très rapidement à la fréquence f_0, confinée sous une enveloppe triangulaire symétrique d'amplitude crête \alpha A_0^2 \tau.

De même, le second écho réfléchi par une surface plus éloignée est caractérisé par un temps de parcours t'_R > t_R :

dont l'enveloppe triangulaire atteint son maximum à l'instant t = t'_R.

Pour que les deux signaux soient discernables, leurs maxima doivent être espacés d'une durée supérieure ou égale à \tau, c'est-à-dire t'_R - t_R \ge \tau.

Le temps d'aller-retour d'une onde se propageant à la vitesse c sur une distance d vaut :

Pour deux surfaces réfléchissantes situées respectivement aux distances d et d', la différence de durée de trajet aller-retour s'écrit :

D'après l'énoncé, deux échos sont discernables si les maxima de leurs enveloppes sont séparés d'au moins la durée d'une impulsion, soit \Delta t_R \ge \tau. Le plus petit écart temporel détectable est donc :

On en déduit l'expression du plus petit écart de distances discernable :

Avec les données de l'énoncé :

• c = 3,0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• \tau \simeq 1,10 \cdot 10^{-4}\text{ s}.

L'application numérique donne :

Soit, en respectant la précision des données :

Commentaire : Cette résolution spatiale de l'ordre d'une dizaine de kilomètres est extrêmement médiocre. Elle est totalement incompatible avec l'objectif des missions altimétriques océanographiques qui doivent mesurer des variations d'altitude de la surface marine de l'ordre du centimètre (voire du millimètre par an). Cela motive la technique de compression d'impulsion introduite dans la sous-partie suivante.

D'après l'équation (4), le signal s'écrit pour t \in [-\tau/2, \, \tau/2] sous la forme :

Par définition de la fréquence instantanée f_e(t), on dérive la phase par rapport au temps :

soit :

La fréquence instantanée f_e(t) est une fonction affine du temps de pente constante K = \frac{\mathrm{d}f_e}{\mathrm{d}t} : elle varie donc bien linéairement avec le temps sur l'intervalle [-\tau/2, \, \tau/2].

• Fréquence centrale f_c : elle correspond à la valeur moyenne de la fréquence ou à sa valeur au centre temporel de l'impulsion (t = 0) :

  f_c = f_e(0) = \frac{f_e(-\tau/2) + f_e(\tau/2)}{2} = f_0
  \boxed{f_c = f_0}

• Largeur de bande B : elle correspond à l'excursion totale en fréquence sur la durée \tau de l'impulsion (avec K > 0 d'après la figure 8) :

  \begin{aligned} B &= f_e\left(\frac{\tau}{2}\right) - f_e\left(-\frac{\tau}{2}\right) \\ &= \left(f_0 + K\frac{\tau}{2}\right) - \left(f_0 - K\frac{\tau}{2}\right) = K\tau \end{aligned}
  \boxed{B = K\tau}

L'enveloppe du signal en sortie du filtre adapté est proportionnelle à la fonction sinus cardinal :

Le maximum de cette enveloppe est atteint pour t = t_R (où \operatorname{sinc}(0) = 1). La première annulation se produit lorsque l'argument du sinus cardinal atteint \pi, soit :

D'après la question Q18, la largeur de la bande de fréquences vaut B = K\tau, d'où :

Le retard de réception entre deux échos associés à deux cibles séparées d'une distance \Delta d = d' - d correspond au temps d'aller-retour supplémentaire :

Selon le critère de discernabilité imposé, les deux échos sont séparables si le délai entre leurs maxima vérifie \Delta t_R \ge \Delta t_{\text{ann}}, ce qui conduit au plus petit écart de distances discernable :

Application numérique : avec c = 3,0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et B = 320\text{ MHz} = 3,2 \cdot 10^8\text{ Hz} :

Commentaire :

• La résolution spatiale passe de 17\text{ km} pour l'impulsion simple non modulée (Q17) à environ 0,5\text{ m} (soit 47\text{ cm}) grâce à la compression d'impulsion, ce qui représente un gain d'un facteur d'environ 3,5 \cdot 10^4.
• La technique du « chirp » permet ainsi de concilier une grande énergie émise (longue durée d'impulsion \tau \simeq 110\,\mu\text{s}, assurant un bon rapport signal sur bruit) avec une résolution temporelle effective extrêmement fine (\tau_{\text{eff}} \sim 1/B \simeq 3\text{ ns}), indispensable pour l'altimétrie spatiale de précision.

L'expression du champ électrique complexe associée à l'onde s'écrit :

1. Direction de propagation éventuelle : La dépendance spatiale de la phase ne fait intervenir que la coordonnée d'espace z. Dans l'éventualité où une propagation a lieu (c'est-à-dire si le nombre d'onde k admet une partie réelle strictement positive), les surfaces équiphases sont les plans d'équation z = \text{cte}.

   L'onde se propage alors selon la direction de l'axe (Oz), dans le sens des z croissants, soit selon le vecteur unitaire \vec{e}_z (direction verticale descendante, dirigée du satellite vers la surface de l'océan).

   \boxed{\text{Direction et sens de propagation éventuelle : selon } +\vec{e}_z \text{ (verticale descendante)}}

2. Polarisation de l'onde : Le champ électrique est à tout instant colinéaire au vecteur unitaire fixe \vec{e}_x. Sa direction spatiale restant constante au cours du temps et orthogonale à la direction de propagation (\vec{e}_x \cdot \vec{e}_z = 0), l'onde présente une :

   \boxed{\text{Polarisation rectiligne selon la direction de l'axe } (Ox) \text{ (portée par } \vec{e}_x\text{)}}

Une particule de charge q animée d'une vitesse \vec{v} dans le plasma est soumise à la force de Lorentz :

L'ordre de grandeur de la composante électrique de cette force est :

et celui de la composante magnétique est majoré par :

D'après l'énoncé, le rapport des amplitudes du champ magnétique et du champ électrique dans le plasma est du même ordre de grandeur que dans le vide, soit :

Le rapport des normes s'écrit alors :

Pour que la composante magnétique soit négligeable devant la composante électrique (\|\vec{F}_m\| \ll \|\vec{F}_e\|), la vitesse des particules chargées doit vérifier la condition :

Le mouvement des électrons et des cations doit donc être non relativiste.

On étudie le mouvement d'une particule chargée dans le référentiel lié au satellite, considéré comme galiléen. D'après le résultat de la question Q21, la composante magnétique de la force de Lorentz est négligeable devant la composante électrique. De plus, le poids est totalement négligeable devant l'action du champ électrique de l'onde, et l'agitation thermique est écartée par hypothèse.

Mouvement d'un électron : L'électron, de masse m_e et de charge q_e = -e, est soumis à la seule force électrique :

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En adoptant la représentation complexe associée à l'évolution temporelle harmonique en e^{i\omega t}, la dérivation temporelle se traduit par une multiplication par i\omega :

On en déduit l'expression de la vitesse complexe de l'électron :

Mouvement d'un cation : Le cation, de masse m_c et de charge q_c = +e, est soumis à la force électrique :

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit de même :

En notation complexe :

D'où l'expression de la vitesse complexe du cation :

Le milieu contient n électrons de charge -e et n cations de charge +e par unité de volume. Le vecteur densité volumique de courant s'écrit donc :

En notation complexe, à la pulsation \omega :

En injectant les expressions des vitesses complexes établies à la question Q22 :

Comme la masse des cations est très supérieure à celle des électrons (m_c \gg m_e), on a \frac{1}{m_c} \ll \frac{1}{m_e}, d'où :

Le courant volumique est donc quasi exclusivement porté par les électrons, plus légers et plus mobiles :

D'après la loi d'Ohm locale sous forme complexe \underline{\vec{j}} = \underline{\gamma}(\omega)\underline{\vec{E}}, la conductivité complexe s'identifie à :

avec :

D'après l'énoncé, le champ électrique de l'onde s'écrit :

Ce champ est dirigé selon \vec{e}_x et ne dépend spatialement que de la coordonnée z. Par conséquent, sa divergence est identiquement nulle :

D'après l'équation de Maxwell-Gauss :

De façon équivalente, la densité de courant induite \vec{j} = \gamma\,\vec{E} est purement selon \vec{e}_x et ne dépend que de z, d'où \mathrm{div}\,\vec{j} = 0. L'équation locale de conservation de la charge s'écrit alors :

Le plasma étant localement neutre avant le passage de l'onde (\rho = 0), il conserve cette neutralité à tout instant.

La caractéristique de l'onde qui assure ce résultat est donc son caractère transverse (\vec{E} \perp \vec{k} avec un champ spatialement homogène dans les plans d'onde orthogonaux à la direction de propagation).

Pour une pseudo-onde plane progressive harmonique de la forme \underline{\vec{E}}(M, t) = \underline{\vec{E}}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})} avec \vec{k} = k\vec{e}_z, les opérateurs différentiels d'espace et de temps se traduisent par :

Dans le plasma, la densité volumique de charge est nulle (\rho = 0, question Q24) et le vecteur densité volumique de courant s'écrit \underline{\vec{\jmath}} = \underline{\gamma}(\omega)\underline{\vec{E}}. Les équations de Maxwell s'écrivent donc sous forme complexe :

Appliquons le produit vectoriel par \vec{k} à l'équation de Maxwell-Faraday :

D'après la formule du double produit vectoriel fournie en préambule :

D'autre part, en utilisant l'expression de \underline{\gamma}(\omega) = -i\varepsilon_0 \frac{\omega_p^2}{\omega} (question Q23) et la relation c^2\varepsilon_0\mu_0 = 1 dans Maxwell-Ampère :

En reportant cette expression dans la relation vectorielle précédente :

Comme l'amplitude \underline{\vec{E}} est non nulle, on en déduit la relation de dispersion :

D'après la relation de dispersion (équation 5) :

Pour \omega < \omega_p, on a k^2 < 0. Les solutions sont donc imaginaires pures :

Le champ électrique complexe s'écrit :

L'onde pénètre dans l'ionosphère en z = z_0 et se propage vers les z > z_0 (l'axe Oz étant vertical descendant). En l'absence de source à l'infini, l'amplitude de l'onde doit rester bornée lorsque z - z_0 > 0. Il faut donc que le terme spatial soit exponentiellement décroissant, soit -ik < 0. On retient ainsi la racine à partie imaginaire négative :

En introduisant la distance caractéristique d'atténuation (ou profondeur de pénétration) :

le nombre d'onde s'écrit k = -\dfrac{i}{\delta}, d'où le champ électrique complexe :

En prenant la partie réelle, on obtient le champ électrique réel :

Le champ magnétique associé est déterminé par l'équation de Maxwell-Faraday :

Comme \underline{\vec{E}} = \underline{E}_x(z,t) \vec{e}_x, le rotationnel se réduit à :

Il vient ainsi :

En prenant la partie réelle (sachant que \operatorname{Re}(-i e^{i\omega t}) = \sin(\omega t)) :

Une telle onde, dont l'amplitude décroît exponentiellement avec la distance et dont les oscillations spatiales sont absentes (phase spatiale constante), est appelée une onde évanescente.

Le vecteur de Poynting instantané s'écrit par définition :

En utilisant les expressions réelles obtenues à la question Q26 :

Sachant que \vec{e}_x \wedge \vec{e}_y = \vec{e}_z et \cos(\omega t)\sin(\omega t) = \frac{1}{2}\sin(2\omega t), on obtient :

En prenant la moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega}, la moyenne de la fonction sinus étant nulle (\langle \sin(2\omega t) \rangle = 0), il vient :

Commentaire :

• La moyenne temporelle du flux de puissance électromagnétique est rigoureusement nulle : une onde évanescente ne transporte aucune puissance en moyenne dans le plasma selon la direction de propagation d'origine.
• Les champs \vec{E} et \vec{B} sont en quadrature de phase spatio-temporelle (\pi/2), ce qui témoigne d'un régime purement réactif : l'énergie électromagnétique oscille alternativement entre le champ et l'énergie cinétique des électrons sans propagation nette vers l'aval.
• Ainsi, pour une couche d'ionosphère d'épaisseur très grande devant \delta, toute onde incidente de pulsation \omega < \omega_p subit une réflexion totale et ne pénètre pas au sein de l'atmosphère inférieure.

Pour \omega > \omega_p, la relation de dispersion issue de la question Q25 :

admet deux solutions réelles :

La phase de l'onde s'écrit \phi(z, t) = \omega t - k(z - z_0). La vitesse de phase associée est :

L'onde émise depuis le satellite situé en altitude se propage vers la Terre, c'est-à-dire dans le sens de l'axe Oz vertical descendant (z croissants, pour z \ge z_0). La vitesse de phase doit donc être strictement positive (v_\varphi > 0). Avec \omega > 0, on retient nécessairement la racine positive :

Le champ électrique réel est obtenu en prenant la partie réelle du champ complexe \underline{\vec{E}}(M, t) :

Le champ magnétique \underline{\vec{B}}(M, t) se déduit de l'équation de Maxwell-Faraday :

Puisque le champ ne dépend spatialement que de z via l'exponentielle e^{-ikz}, l'opérateur gradient complexe s'identifie à -ik\vec{e}_z. Ainsi :

En prenant la partie réelle :

Nature de l'onde : Il s'agit d'une onde plane progressive harmonique (OPPH) non amortie (propagative), polarisée rectilignement selon \vec{e}_x et transverse électromagnétique (TEM).

D'après les résultats établis aux questions précédentes :

• pour \omega < \omega_p (questions Q26 et Q27), le nombre d'onde k est imaginaire pur. L'onde est évanescente, son amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur dans le plasma et le flux d'énergie moyen est nul (\langle \vec{\Pi} \rangle = \vec{0}) : l'onde ne se propage pas et subit une réflexion totale ;
• pour \omega > \omega_p (question Q28), le nombre d'onde k est réel. L'onde est une onde plane progressive harmonique qui se propage sans amortissement et transporte de l'énergie.

Le plasma ne laisse donc passer que les ondes dont la pulsation est strictement supérieure à un seuil : il se comporte comme un filtre passe-haut pour la propagation des ondes électromagnétiques.

La pulsation de coupure de ce filtre est la pulsation plasma \omega_p définie à la question Q23 :

D'après la question Q29, le plasma se comporte comme un filtre passe-haut de pulsation de coupure \omega_p(z) = \sqrt{\frac{n(z)e^2}{m_e\varepsilon_0}}. Pour que l'onde émise par le satellite atteigne la surface de l'océan, elle doit traverser l'ionosphère sur toute son épaisseur, de jour comme de nuit, sans entrer en régime évanescent (\omega < \omega_p). Il est donc nécessaire que sa pulsation \omega soit supérieure à la pulsation plasma maximale rencontrée :

D'après la figure 9, la densité électronique atteint son maximum de jour, vers 300\text{ km} d'altitude, avec :

En utilisant les données numériques :

Le domaine de fréquences requis pour traverser l'ionosphère est donc :

Commentaire sur le choix de la bande de fréquences des satellites Jason :

• La fréquence centrale utilisée est f_0 \simeq 13,6\text{ GHz} = 13\,600\text{ MHz}, et la bande s'étend de 13,44\text{ GHz} à 13,76\text{ GHz}. On a :

  f_0 \gg f_{p,\max} \quad (\text{d'un facteur supérieur à } 10^3)

  L'onde se propage donc sans aucune atténuation par réflexion dans l'ionosphère, quelles que soient l'heure et l'activité solaire.

• De plus, à de telles hyperfréquences, l'indice de réfraction du plasma n_\varphi = \sqrt{1 - \frac{f_p^2}{f^2}} \simeq 1 - \frac{f_p^2}{2f^2} est extrêmement proche de 1 : la dispersion ainsi que le retard induit par le milieu sont très faibles, ce qui limite considérablement les distorsions et maximise la précision altimétrique.
• Enfin, la largeur de bande relative est très faible (\frac{B}{f_0} \simeq \frac{0,32}{13,6} \simeq 2,4\,\%) : toutes les composantes spectrales de l'impulsion se propagent pratiquement à la même vitesse de groupe.

Pour une onde se propageant dans le plasma (\omega > \omega_p), le nombre d'onde réel vérifie d'après la question Q28 :

Par définition, la vitesse de phase s'écrit :

Soit :

La vitesse de groupe est définie par :

En différentiant la relation de dispersion \omega^2 = c^2 k^2 + \omega_p^2 par rapport à k, on obtient :

On en déduit l'expression de la vitesse de groupe :

On constate la relation remarquable de Rayleigh : v_\varphi v_g = c^2.

Étudions les comportements asymptotiques pour \omega \in ]\omega_p, +\infty[ :

• Lorsque \omega \to \omega_p^+, \dfrac{v_\varphi}{c} \to +\infty (asymptote verticale en \omega = \omega_p) et \dfrac{v_g}{c} \to 0 ;
• Lorsque \omega \to +\infty, \dfrac{v_\varphi}{c} \to 1^+ et \dfrac{v_g}{c} \to 1^- (asymptote horizontale commune d'ordonnée 1).

Par définition, un milieu de propagation est dispersif si la vitesse de phase v_\varphi dépend de la pulsation \omega (ou de la fréquence) de l'onde.

D'après les résultats de la question Q31, pour \omega > \omega_p, la vitesse de phase s'écrit :

Elle dépend explicitement de la pulsation \omega (de même que la vitesse de groupe v_g(\omega)).

Une impulsion de fréquence centrale \omega transporte de l'énergie et de l'information sous la forme d'un paquet d'ondes ; elle se propage donc à la vitesse de groupe v_g(\omega) dans l'ionosphère et à la vitesse c dans les zones assimilées au vide.

L'écho effectue un trajet aller-retour sur la distance totale d séparant le satellite de l'océan. La traversée de l'ionosphère correspond à un aller-retour sur une épaisseur \ell, soit une distance 2\ell, le reste du parcours s'effectuant dans le vide sur une distance 2(d - \ell).

La durée totale d'aller-retour t(\omega) s'écrit donc :

D'après le résultat de la question Q31, la vitesse de groupe s'exprime par :

Puisque les fréquences utilisées (f_1 \simeq 5,3\text{ GHz} et f_0 \simeq 13,6\text{ GHz}) sont très supérieures à la fréquence plasma (f_p \lesssim 10\text{ MHz}, question Q30), on a \frac{\omega_p^2}{\omega^2} \ll 1. En utilisant le développement limité (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x avec x = -\frac{\omega_p^2}{\omega^2} et \alpha = -\frac{1}{2}, il vient :

Le temps d'aller-retour prend ainsi la forme approchée :

Appliqué aux deux impulsions de pulsations centrales \omega_0 et \omega_1, on obtient :

Le décalage temporel \Delta t = t_1 - t_0 s'en déduit directement :

D'après l'étude menée à la question Q33, l'instant t_0 de détection de l'écho associé à l'impulsion de pulsation centrale \omega_0 s'écrit :

En multipliant par \frac{c}{2} et en isolant la distance d, on obtient directement :

Par identification avec la forme proposée d \simeq \frac{ct_0}{2} - \varepsilon, le terme correctif s'écrit :

Toujours d'après la question Q33, le décalage temporel \Delta t = t_1 - t_0 entre les deux échos est relié aux paramètres du milieu par :

On en déduit l'expression du groupement \ell\omega_p^2 en fonction des grandeurs mesurables :

En réinjectant cette expression dans celle de \varepsilon, il vient :

soit finalement :

Si l'on suppose que l'onde se propage à la célérité c dans tout le trajet (y compris dans l'ionosphère), la distance estimée entre le satellite et la surface de l'océan s'écrit :

D'après la relation établie à la question Q34, la distance réelle d s'écrit :

L'erreur absolue commise sur la détermination de la distance vaut donc :

En injectant l'expression de la pulsation plasma \omega_p^2 = \dfrac{n e^2}{m_e \varepsilon_0} démontrée à la question Q23, il vient :

Procédons à l'application numérique avec les valeurs fournies :

• \ell = 500\text{ km} = 5\cdot 10^5\text{ m} ;
• n = 5\cdot 10^{11}\text{ m}^{-3} ;
• e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\text{ C} ;
• m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\text{ kg} ;
• \varepsilon_0 = 8{,}9\cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} ;
• f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} \simeq 13{,}6\text{ GHz} = 13{,}6\cdot 10^9\text{ Hz}.

Calculons le numérateur :

Puis le dénominateur :

On en déduit :

Commentaire : Cette erreur d'environ 5\text{ cm} est prépondérante et inacceptable devant la précision recherchée sur l'altimétrie :

• la position GPS du satellite est connue à mieux que le centimètre près ;
• l'élévation moyenne du niveau des océans à mesurer est de l'ordre de (3{,}6 \pm 0{,}1)\text{ mm/an}.

Une erreur de 5\text{ cm} masquerait complètement le phénomène climatique étudié ; l'utilisation conjointe de deux fréquences pour calibrer et soustraire la correction ionosphérique \varepsilon est donc strictement indispensable.

La voile solaire est modélisée par un conducteur parfait occupant le demi-espace x \ge 0 (milieu 2), dans lequel le champ électromagnétique est nul :

Dans le vide (x < 0, milieu 1), le champ électrique résulte de la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie :

Au voisinage immédiat de la surface de la voile, en x = 0^-, le champ s'écrit :

La relation de passage du champ électrique à l'interface, avec la normale \vec{n}_{12} = \vec{e}_x orientée du milieu 1 vers le milieu 2, est :

En projetant cette relation sur les directions tangentielles à l'interface \vec{e}_y et \vec{e}_z, on traduit la continuité de la composante tangentielle du champ électrique :

Le champ électrique complexe de l'onde réfléchie se simplifie ainsi en :

Dans le vide (x < 0), l'onde électromagnétique est la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie.

Pour une onde plane progressive harmonique de vecteur d'onde \vec{k} et de pulsation \omega se propageant dans le vide, l'équation de Maxwell-Faraday s'écrit en notation complexe :

• Pour l'onde incidente, \vec{k}_i = k\vec{e}_x et \underline{\vec{E}}_i(M, t) = E_0 e^{i(\omega t - kx)}\vec{e}_z :

  \begin{aligned} \underline{\vec{B}}_i(M, t) &= \frac{k}{\omega}\vec{e}_x \wedge \left(E_0 e^{i(\omega t - kx)}\vec{e}_z\right) \\ &= \frac{1}{c} E_0 e^{i(\omega t - kx)} (\vec{e}_x \wedge \vec{e}_z) \\ &= -\frac{E_0}{c} e^{i(\omega t - kx)}\vec{e}_y \end{aligned}

• Pour l'onde réfléchie déterminée en Q36, \vec{k}_r = -k\vec{e}_x et \underline{\vec{E}}_r(M, t) = -E_0 e^{i(\omega t + kx)}\vec{e}_z :

  \begin{aligned} \underline{\vec{B}}_r(M, t) &= \frac{-k}{\omega}\vec{e}_x \wedge \left(-E_0 e^{i(\omega t + kx)}\vec{e}_z\right) \\ &= \frac{1}{c} E_0 e^{i(\omega t + kx)} (\vec{e}_x \wedge \vec{e}_z) \\ &= -\frac{E_0}{c} e^{i(\omega t + kx)}\vec{e}_y \end{aligned}

Le champ magnétique complexe total régnant dans le demi-espace x < 0 s'écrit donc :

Au voisinage extérieur immédiat de la voile, en x = 0^- :

Le champ magnétique réel correspondant est :

Appliquons la relation de passage à l'interface x = 0 entre le milieu 1 (x < 0, vide) et le milieu 2 (x > 0, conducteur parfait), de normale \vec{n}_{12} = \vec{e}_x :

Le conducteur étant parfait, le champ magnétique y est identiquement nul : \vec{B}_2 = \vec{0}. De plus, \vec{B}_1 = \vec{B}_{\text{tot}}(0^-, t), d'où :

En effectuant le produit vectoriel à gauche par \vec{e}_x et en utilisant la formule du double produit vectoriel :

Comme les courants surfaciques circulent dans le plan de l'interface (yOz), on a \vec{e}_x \cdot \vec{j}_s(t) = 0, et comme \vec{e}_x^2 = 1, il vient :

En remplaçant par l'expression du champ magnétique réel :

Comme \vec{e}_x \wedge \vec{e}_y = \vec{e}_z, on obtient :

D'après l'énoncé, le champ magnétique responsable de la force de Laplace s'exerçant sur la voile est :

Or, en x = 0, les champs incidents et réfléchis s'ajoutent :

D'après la question Q37, \vec{B}_r(0, t) = \vec{B}_i(0, t), de sorte que :

Considérons l'élément rectiligne de voile de longueur a suivant \vec{e}_z et de largeur \mathrm{d}y, parcouru par le courant \delta i = j_s(t)\,\mathrm{d}y orienté selon \vec{e}_z. La force de Laplace élémentaire qui s'exerce sur cette bande s'écrit :

On obtient ainsi :

La force électromagnétique totale \vec{F}_L exercée sur l'ensemble de la voile s'obtient en sommant sur la largeur totale a selon y. Les champs et la densité de courant étant uniformes dans le plan de la voile :

D'où :