Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MP 2022

Dans un milieu matériel isotrope de conductivité thermique \lambda, le vecteur densité de flux thermique \vec{\jmath}_Q est proportionnel à l'opposé du gradient de température :

Dans le cadre de l'approximation unidimensionnelle adoptée, où le champ de température ne dépend que de l'abscisse axiale x, cette relation projetée sur l'axe (Ox) orienté par le vecteur unitaire \vec{u}_x devient :

où :

• \vec{\jmath}_Q est le vecteur densité volumique de flux thermique (en \mathrm{W\cdot m^{-2}}) ;
• \lambda est la conductivité thermique du matériau constituant l'ailette (en \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}) ;
• \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} est le gradient de température le long de l'ailette (en \mathrm{K\cdot m^{-1}}).

Considérons le système fermé constitué de la tranche d'ailette cylindrique comprise entre les plans de section droite d'abscisses x et x+\mathrm{d}x.

• L'aire de la section droite est S = \pi a^2.
• L'aire de la surface latérale d'échange avec l'air est \mathrm{d}\Sigma_{\mathrm{lat}} = 2\pi a\,\mathrm{d}x.

En régime stationnaire, la variation d'énergie interne du système par unité de temps est nulle :

Ce bilan de puissance thermique entrant dans la tranche fait intervenir :

• le flux conductif entrant en x :

  \Phi_{\mathrm{cond}}(x) = j_Q(x)\,S = -\lambda \pi a^2 \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}(x)

• le flux conductif sortant en x+\mathrm{d}x :

  \Phi_{\mathrm{cond}}(x+\mathrm{d}x) = -\lambda \pi a^2 \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}(x+\mathrm{d}x)

• le flux conducto-convectif sortant à travers la surface latérale vers l'air à température T_a, modélisé par la loi de Newton :

  \delta\Phi_{\mathrm{cc}} = \vec{\jmath}_{\mathrm{cc}} \cdot \vec{n}\,\mathrm{d}\Sigma_{\mathrm{lat}} = h\left(T(x) - T_a\right) 2\pi a\,\mathrm{d}x

Le bilan de puissance s'écrit donc :

soit, au premier ordre en \mathrm{d}x :

En remplaçant l'expression de \Phi_{\mathrm{cond}}(x) :

En divisant par \lambda \pi a^2\,\mathrm{d}x \neq 0, on obtient :

En posant \delta = \sqrt{\dfrac{\lambda a}{2h}}, l'équation différentielle régissant le champ de température prend la forme :

1. Homogénéité de \delta

D'après la définition de \delta :

À partir des unités des données :

• [\lambda] = \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}} ;
• [a] = \mathrm{m} ;
• [h] = \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}}.

L'unité de \delta^2 s'écrit donc :

Par conséquent, [\delta] = \mathrm{m} : le paramètre \delta est bien homogène à une longueur.

On peut également le vérifier directement dans l'équation différentielle (I.1) : le terme \dfrac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} étant homogène à \mathrm{K\cdot m^{-2}}, le terme \dfrac{T}{\delta^2} l'est aussi, ce qui confirme que \delta est homogène à une longueur.

2. Estimation numérique

L'introduction de la sous-partie I.A précise que « des ventilateurs sont installés afin de renouveler en permanence l'air au contact des composants ». Il convient donc d'utiliser le coefficient d'échange en air renouvelé :

Avec \lambda_{\mathrm{Si}} = 148\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et a = 1\text{ mm} = 1{,}0\times 10^{-3}\text{ m} :

1. Condition aux limites en x = 0 :

Le contact thermique entre le composant à température T_d et l'ailette en x = 0 est supposé parfait. Par continuité de la température à l'interface, on a directement :

2. Condition aux limites en x = b :

En x = b, la section droite d'aire S = \pi a^2 échange de la chaleur avec l'air à la température T_a par transfert conducto-convectif. La continuité de la composante normale de la densité de flux s'écrit, en appliquant la loi de Fourier et la loi de Newton :

Cependant, l'énoncé précise que l'ailette est très élancée : b \gg a. L'aire de la surface terminale S = \pi a^2 est ainsi négligeable devant l'aire latérale d'échange S_{\mathrm{lat}} = 2\pi a b (leur rapport valant a/(2b) \ll 1). Le flux thermique cédé par cette face est négligeable, ce qui permet d'assimiler l'extrémité x = b à une frontière thermiquement isolée (extrémité athermane ou adiabatique) :

L'observation de la figure 2 confirme ce choix : à l'abscisse adimensionnée x/b = 1, toutes les courbes présentent une tangente horizontale, caractéristique d'une dérivée spatiale nulle.

Posons \theta(x) = T(x) - T_a. D'après l'équation (I.1), \theta(x) vérifie l'équation différentielle :

dont la solution générale s'écrit :

où C_1 et C_2 sont des constantes déterminées par les conditions aux limites établies en Q4.

Approximation effectuée : Dans le cas d'une ailette très longue devant la longueur caractéristique de diffusion conducto-convective (b \gg \delta), les pertes thermiques latérales sont telles que la perturbation thermique introduite en x=0 s'atténue complètement avant d'atteindre l'extrémité. On peut donc :

• soit assimiler l'ailette à une ailette semi-infinie (b \to +\infty), ce qui impose d'éliminer la solution divergente en posant C_2 = 0 pour que la température reste bornée ;

• soit partir de la solution exacte associée à l'extrémité athermane \left.\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}\right|_{x=b} = 0, soit \theta(x) = (T_d - T_a)\frac{\cosh\left(\frac{b-x}{\delta}\right)}{\cosh(b/\delta)}, et constater que pour b/\delta \gg 1, on a :

  \frac{\cosh\left(\frac{b-x}{\delta}\right)}{\cosh(b/\delta)} = \frac{\mathrm{e}^{\frac{b-x}{\delta}} + \mathrm{e}^{-\frac{b-x}{\delta}}}{\mathrm{e}^{b/\delta} + \mathrm{e}^{-b/\delta}} \simeq \mathrm{e}^{-x/\delta}.

Avec la condition en x = 0 : \theta(0) = T_d - T_a = C_1, il vient immédiatement :

Cohérence avec la figure 2 : En grandeurs adimensionnées, l'expression approchée s'écrit :

• Pour b/\delta = 10, cette fonction prédit une valeur de \mathrm{e}^{-1} \simeq 0{,}37 en x/b = 1/10 = 0{,}10. Sur la figure 2, la courbe en trait plein (b/\delta = 10) passe précisément par l'ordonnée 0{,}37 en x/b = 0{,}1. Elle s'annule quasiment dès x/b \geqslant 0{,}4 (car \mathrm{e}^{-4} \simeq 0{,}018).
• Pour b/\delta = 5, la valeur \mathrm{e}^{-1} \simeq 0{,}37 est attendue en x/b = 1/5 = 0{,}20, ce qui est également parfaitement conforme au tracé en tirets courts de la figure 2.

L'expression obtenue est donc en parfait accord avec le réseau de courbes fourni.

Lorsque b \ll \delta, la longueur caractéristique de diffusion thermique \delta est bien supérieure à la longueur géométrique b de l'ailette. La résistance thermique de conduction au sein du solide devient négligeable devant la résistance d'échange convectif avec l'air ambiant : la température est quasi-uniforme dans toute l'ailette, soit :

La puissance thermique totale évacuée s'écrit alors :

où S_{\mathrm{tot}} = S_{\mathrm{lat}} + S désigne la surface totale en contact avec le fluide, avec S_{\mathrm{lat}} = 2\pi a b la surface latérale et S = \pi a^2 la section droite terminale (en x=b).

Lorsque b/\delta \to 0 (ce qui correspond à b \to 0 à matériau et rayon fixés), la surface latérale devient négligeable devant la surface de la section terminale (S_{\mathrm{lat}} \ll S). La surface d'échange se réduit à la section droite S = \pi a^2, ce qui correspond à l'absence d'ailette (le composant échange directement par sa section de contact).

Le transfert thermique est alors uniquement limité par la convection superficielle entre cette surface à température T_d et l'air à T_a, sans que la conductivité thermique \lambda du matériau n'intervienne. Cela explique pourquoi la valeur asymptotique de R_{\mathrm{th}} est commune à tous les matériaux.

L'expression théorique de cette résistance thermique asymptotique est donc :

D'après la légende de la figure 3, les ailettes sont étudiées « en présence de ventilation ». On utilise donc le coefficient conducto-convectif en air renouvelé :

Avec un rayon a = 1\text{ mm} = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ m} :

Cette valeur correspond parfaitement au plateau horizontal observé sur la figure 3 pour b/\delta \leqslant 10^{-3}, situé légèrement au-dessus de la graduation 10^3\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}.

En régime stationnaire, un bilan d'énergie sur l'ensemble de l'ailette montre que la puissance thermique totale \mathcal{P} cédée à l'air ambiant est égale à la puissance thermique reçue par conduction en x = 0 à travers la section droite S = \pi a^2 :

D'après la question Q5, dans la limite d'une ailette longue (b \gg \delta), le champ de température est donné par :

La dérivée en x = 0 s'écrit alors :

On en déduit l'expression de la puissance thermique dissipée :

La résistance thermique de l'ailette atteint ainsi une valeur limite indépendante de la longueur b :

En remplaçant \delta = \sqrt{\dfrac{\lambda a}{2h_r}}, on obtient :

Pour le silicium, avec a = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}, \lambda_{\mathrm{Si}} = 148\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, h_r = 300\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} et \delta_{\mathrm{Si}} \simeq 1{,}57 \times 10^{-2}\text{ m} (d'après Q3) :

1. Justification du choix de l'aluminium et de la longueur b = 2\text{ cm}

• Choix du matériau : D'après les données de l'énoncé, l'aluminium possède la conductivité thermique la plus élevée parmi les trois matériaux considérés :

  \lambda_{\mathrm{Al}} = 237\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} > \lambda_{\mathrm{Si}} = 148\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} > \lambda_{\mathrm{acier}} = 50\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

  Sur la figure 3, la courbe de l'aluminium (en tirets) présente la résistance thermique asymptotique la plus faible (R_{\mathrm{th},\infty} \simeq 27\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}, contre 34\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} pour le silicium et environ 58\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} pour l'acier). L'aluminium permet donc d'évacuer le plus efficacement la puissance thermique. De plus, il est peu dense, peu coûteux et facile à usiner.

• Choix de la longueur b = 2\text{ cm} : Calculons la longueur caractéristique pour l'aluminium en air renouvelé (h = h_r = 300\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}) et pour a = 1\text{ mm} :

  \delta_{\mathrm{Al}} = \sqrt{\frac{\lambda_{\mathrm{Al}} a}{2 h_r}} = \sqrt{\frac{237 \times 10^{-3}}{2 \times 300}} \simeq 1{,}99 \times 10^{-2}\text{ m} \simeq 2\text{ cm}

  Pour b = 2\text{ cm}, on a précisément b/\delta \simeq 1. Or, la figure 3 montre que pour b/\delta \ge 1, la résistance thermique R_{\mathrm{th}} a presque atteint son asymptote minimale. Allonger l'ailette au-delà de 2\text{ cm} n'apporterait aucun gain thermique appréciable, tout en augmentant inutilement la masse, le coût et l'encombrement. Le choix b = 2\text{ cm} constitue donc le compromis optimal.

2. Estimation du nombre d'ailettes

Considérons une température de l'air ambiant de la pièce T_a \simeq 20\,^{\circ}\mathrm{C} (initiative du candidat). L'écart maximal toléré est :

La résistance thermique globale équivalente de l'ensemble des ailettes doit vérifier :

Sur la figure 3, pour l'aluminium à l'abscisse b/\delta = 1, on lit pour une ailette :

Les ailettes étant fixées en parallèle sur la surface du microprocesseur, la résistance thermique globale de N ailettes s'écrit R_{\mathrm{th, global}} = \frac{R_{\mathrm{th, 1}}}{N}, d'où :

(Si l'on retient une température ambiante plus élevée en été, par exemple T_a = 25\,^{\circ}\mathrm{C}, on trouve N \simeq \frac{35 \times 200}{35} = 200).

3. Commentaire

Chaque ailette cylindrique possède un diamètre de 2a = 2\text{ mm} et une section droite S = \pi a^2 \simeq 3{,}1\text{ mm}^2. En espaçant les ailettes d'environ 2\text{ mm} pour favoriser l'écoulement de l'air, chaque ailette occupe une cellule d'environ 4\text{ mm} \times 4\text{ mm} = 16\text{ mm}^2. Une matrice de 14 \times 14 \simeq 200 ailettes occuperait une surface de base de :

Cet encombrement correspond tout à fait à l'emprise standard d'un ventirad de microprocesseur de PC de bureau ou de serveur.

Pour maintenir la température de la salle constante en régime stationnaire, le système de conditionnement d'air doit évacuer en permanence une quantité de chaleur égale à celle dissipée par les serveurs.

Chaque jour, les serveurs dégagent une énergie thermique E_{\mathrm{jour}} = 100\text{ kW}\cdot\text{h}. Sur une année civile standard de 365 jours, l'énergie thermique totale à prélever de la salle (source froide) est donc :

Par définition, le coefficient de performance (\mathrm{COP}) d'une machine frigorifique relie le transfert thermique utile prélevé à la source froide Q_{\mathrm{th}} au travail électrique (énergie électrique) W_{\mathrm{e}} consommé par le compresseur :

L'énergie électrique annuelle absorbée par le climatiseur s'écrit alors :

Le prix de l'électricité étant fixé à p = 0{,}17\text{ €}\cdot(\text{kW}\cdot\text{h})^{-1}, le coût annuel total C s'exprime par :

Application numérique :

En ne conservant que deux chiffres significatifs cohérents avec les données :

L'air est modélisé par un mélange de gaz parfaits diatomiques constitué d'environ 80\,\% de diazote \mathrm{N}_2 et 20\,\% de dioxygène \mathrm{O}_2 en fractions molaires. Sa masse molaire moyenne s'écrit :

D'après l'équation d'état des gaz parfaits appliquée à une masse m d'air occupant un volume V sous la pression atmosphérique P_0 et à la température T_{\mathrm{max}} :

On en déduit l'expression de la masse volumique de l'air :

Avec P_0 = 1{,}013 \times 10^5\text{ Pa}, R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} et T_{\mathrm{max}} = 35\,^\circ\text{C} = 308{,}15\text{ K} :

Le débit massique D_{\mathrm{m}} traversant le ventilateur est relié au débit volumique D_{\mathrm{v}} par :

Avec D_{\mathrm{v}} = 830\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1} = \frac{830}{3600}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} \simeq 0{,}231\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} :

1. Température extérieure maximale admissible pour le free-cooling

Les serveurs dégagent en moyenne une puissance thermique continue :

L'air extérieur pénètre dans la salle à la température T_{\mathrm{ext}} et en ressort à une température au plus égale à T_{\mathrm{max}} = 35\,^\circ\text{C}. En régime stationnaire, le premier principe appliqué au fluide en écoulement donne la puissance thermique évacuée par le flux d'air :

où c_p = \frac{\gamma R}{(\gamma - 1) M_{\mathrm{air}}} = \frac{7}{2}\frac{R}{M_{\mathrm{air}}} désigne la capacité thermique massique isobare de l'air (gaz parfait diatomique, \gamma = 7/5) :

La puissance électrique dissipée par le ventilateur (\mathcal{P}_{\mathrm{v}} = 60\text{ W}) étant négligeable devant \mathcal{P}_{\mathrm{th}}, la condition de maintien de la pièce à T \le T_{\mathrm{max}} s'écrit \mathcal{P}_{\mathrm{evac}} \ge \mathcal{P}_{\mathrm{th}}, soit :

Avec D_{\mathrm{m}} \simeq 0{,}263\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} (obtenu à la question Q10) :

Le système de free-cooling est donc fonctionnel tant que la température extérieure vérifie :

2. Estimation de la période de fonctionnement

D'après le relevé de la figure 4 :

• De début octobre à la mi-mai (environ 7{,}5 à 8 mois), la température extérieure maximale reste presque constamment inférieure à 19\,^\circ\text{C}, ou sa moyenne journalière permet sans encombre une évacuation suffisante de chaleur.
• De la mi-mai à la fin septembre (environ 4 à 4{,}5 mois), les maximales dépassent quotidiennement 20 à 35\,^\circ\text{C}, rendant le free-cooling insuffisant en journée ; le système de conditionnement d'air doit alors prendre le relais.

On estime donc la durée de fonctionnement annuel du free-cooling à environ :

3. Gain économique annuel

Durant une journée de fonctionnement :

• Le système de climatisation consomme une énergie électrique :

  E_{\mathrm{clim, jour}} = \frac{E_{\mathrm{jour}}}{\mathrm{COP}} = \frac{100}{3} \simeq 33{,}3\text{ kW}\cdot\text{h}

• Le ventilateur de free-cooling consomme une énergie électrique :

  E_{\mathrm{v, jour}} = \mathcal{P}_{\mathrm{v}} \times 24\text{ h} = 0{,}060\text{ kW} \times 24\text{ h} = 1{,}44\text{ kW}\cdot\text{h}

L'économie d'énergie électrique réalisée par jour de free-cooling s'élève à :

Avec le prix du kilowatt-heure p = 0{,}17\text{ €}/(\text{kW}\cdot\text{h}), l'économie financière journalière est :

Sur les N \approx 240\text{ jours} d'exploitation du système :

On étudie le satellite, assimilé à un point matériel M de masse m_{\mathrm{S}}, dans le référentiel géocentrique \mathcal{R}_{\mathrm{g}} supposé galiléen.

La seule force agissant sur le satellite est la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre (supposée à symétrie sphérique) :

où r = R_{\mathrm{T}} + h désigne la distance constante séparant le centre O de la Terre du satellite.

La trajectoire étant circulaire de rayon r = \mathrm{cste}, les dérivées temporelles du rayon sont nulles (\dot{r} = 0 et \ddot{r} = 0). Dans la base polaire (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta), le vecteur position s'écrit \vec{r} = r \vec{u}_r, le vecteur vitesse est orthoradial :

et le vecteur accélération s'écrit :

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué au satellite :

En projetant cette relation vectorielle selon le vecteur orthoradial \vec{u}_\theta, on obtient :

Comme m_{\mathrm{S}} \neq 0 et r > 0, il vient :

La vitesse scalaire orbitale vérifie ainsi :

Le système étudié est le satellite, assimilé à un point matériel M de masse m_{\mathrm{S}}, dans le référentiel géocentrique \mathcal{R}_{\mathrm{g}} supposé galiléen.

Sur son orbite circulaire de rayon r = R_{\mathrm{T}} + h, le satellite n'est soumis qu'à l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre, modélisée par une répartition de masse à symétrie sphérique :

La trajectoire étant un cercle de rayon r parcouru à la vitesse scalaire constante v_0 = r\dot{\theta} (d'après la question Q12), le vecteur accélération s'écrit :

En appliquant la deuxième loi de Newton au satellite :

La projection selon le vecteur unitaire radial \vec{u}_r donne :

En remplaçant le rayon de l'orbite par r = R_{\mathrm{T}} + h, on obtient :

D'après la question Q13, la vitesse orbitale du satellite est donnée par :

Avec les données numériques de l'énoncé :

• G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} ;
• M_{\mathrm{T}} = 5{,}97 \times 10^{24}\text{ kg} ;
• R_{\mathrm{T}} = 6{,}40 \times 10^6\text{ m} ;
• h = 650\text{ km} = 0{,}65 \times 10^6\text{ m}, d'où r = R_{\mathrm{T}} + h = 7{,}05 \times 10^6\text{ m}.

L'application numérique donne :

Le mouvement étant circulaire uniforme de rayon r = R_{\mathrm{T}} + h (d'après Q12), la période de révolution T_0 correspond à la durée nécessaire pour parcourir le périmètre 2\pi r à la vitesse v_0 :

Numériquement :

Considérons une station d'émission-réception S située à la surface de la Terre de rayon R_{\mathrm{T}}. Pour qu'une onde radio en propagation rectiligne directe puisse être reçue sans être masquée par la rotondité de la Terre, le satellite M doit être au-dessus du plan tangent à la Terre en S (l'horizon local).

La durée maximale de visibilité correspond à un passage du satellite directement à la verticale de la station (au zénith). À l'apparition et à la disparition du satellite à l'horizon, le segment (SM) est tangent à la sphère terrestre en S. Dans le triangle rectangle OSM en S, l'angle au centre \theta_{\max} vérifie :

L'angle orbital total parcouru par le satellite pendant cette phase de visibilité est 2\theta_{\max}. Comme le mouvement orbital est circulaire uniforme de pulsation \omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}, la durée maximale de communication directe est :

Application numérique :

• Pour l'ISS (h = 400\text{ km}, v_0 \approx 7{,}6\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}, T_0 \approx 92{,}6\text{ min}) :

  \begin{aligned} \cos\theta_{\max} &= \frac{6\,400}{6\,800} \simeq 0{,}9412 \implies \theta_{\max} \simeq 0{,}345\text{ rad} \simeq 19{,}8^\circ \\ \Delta t_{\max} &= \frac{2 \times 19{,}8^\circ}{360^\circ} \times 92{,}6\text{ min} \simeq 10{,}2\text{ min} \simeq 610\text{ s} \end{aligned}

• Pour les satellites du sujet (h = 650\text{ km}, v_0 \simeq 7{,}52\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}, T_0 \simeq 98{,}2\text{ min}) :

  \begin{aligned} \cos\theta_{\max} &= \frac{6\,400}{7\,050} \simeq 0{,}9078 \implies \theta_{\max} \simeq 0{,}433\text{ rad} \simeq 24{,}8^\circ \\ \Delta t_{\max} &= \frac{2 \times 24{,}8^\circ}{360^\circ} \times 98{,}2\text{ min} \simeq 13{,}5\text{ min} \simeq 810\text{ s} \end{aligned}

Même en introduisant un angle de site minimal au-dessus de l'horizon de l'ordre de 5^\circ à 10^\circ pour limiter le bruit thermique et les masques du relief urbain ou naturel, la durée de contact reste de l'ordre de 6 à 8\text{ minutes}.

L'affirmation journalistique selon laquelle la communication directe est « impossible à établir plus d'une minute » est donc quantitativement erronée : elle sous-estime la durée maximale d'environ un ordre de grandeur (un facteur 10).

Néanmoins, sur le plan opérationnel, l'argument de fond reste valable : une fenêtre de transmission d'une dizaine de minutes toutes les 90 minutes (et beaucoup moins fréquemment en tenant compte de la rotation de la Terre qui décale la trace au sol) est beaucoup trop discontinue pour assurer un échange de flux de données continu. L'utilisation de satellites relais géostationnaires est donc indispensable.

Dans le vide, en l'absence de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations locales de Maxwell régissant les champs électrique \vec{E} et magnétique \vec{B} s'écrivent :

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

En permutant les opérateurs différentiels d'espace et de temps (théorème de Schwarz) et en utilisant l'identité vectorielle de l'énoncé \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{a}) = \vec{\operatorname{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{a}) - \Delta \vec{a} :

En tenant compte de l'absence de charges (\mathrm{div}\,\vec{E} = 0 d'après MG) et en remplaçant \vec{\operatorname{rot}}\,\vec{B} par son expression issue de MA :

En introduisant la célérité de la lumière dans le vide c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}, on obtient l'équation de d'Alembert :

D'après l'énoncé, le champ électrique complexe de l'onde s'écrit :

Calculons les dérivées spatiales et temporelles intervenant dans l'équation de propagation établie à la question Q16 :

En injectant ces dérivées dans l'équation d'onde dans le vide \Delta \underline{\vec{E}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2} = \vec{0}, il vient :

Cette relation étant vérifiée en tout point M et à tout instant t pour une amplitude E_0 \neq 0, on en déduit la relation de dispersion :

La vitesse de phase associée à cette onde s'écrit :

La vitesse de phase est une constante indépendante de la pulsation \omega (et la vitesse de groupe vaut également v_{\mathrm{g}} = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = c = v_{\varphi}).

Le vide n'est donc pas un milieu dispersif.

L'équation de Maxwell-Faraday dans le vide s'écrit :

En notation complexe, avec une dépendance temporelle en \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, l'opérateur de dérivation temporelle se traduit par \frac{\partial}{\partial t} \to \mathrm{i}\omega, soit :

Le champ électrique s'écrit \underline{\vec{E}}(M, t) = \underline{E}_y(x, t)\,\vec{u}_y = E_0 \exp(\mathrm{i}(\omega t - kx))\vec{u}_y. Son rotationnel en coordonnées cartésiennes se réduit à :

On en déduit immédiatement le champ magnétique complexe :

D'après la relation de dispersion dans le vide établie à la question Q17, \frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}, d'où :

Une particule chargée de charge q (électron de charge -e ou cation de charge +e), animée d'une vitesse \vec{v} dans le plasma, est soumise à la force de Lorentz :

La norme de la force électrique s'écrit :

La norme de la force magnétique vérifie l'inégalité :

où v = \|\vec{v}\| est la norme de la vitesse de la particule.

D'après le résultat de la question Q18, dans le vide, les amplitudes des champs électrique et magnétique sont reliées par :

En admettant, selon l'énoncé, que ce rapport reste valable dans le plasma pour les ordres de grandeur des champs, on a :

On en déduit la majoration du rapport des deux composantes de la force de Lorentz :

L'énoncé précisant que les particules du plasma possèdent des vitesses très petites devant la célérité de la lumière dans le vide (v \ll c), il vient immédiatement :

Les effets de la partie magnétique de la force de Lorentz sont donc rigoureusement négligeables devant ceux de la partie électrique.

D'après la question Q19, la composante magnétique de la force de Lorentz est négligeable devant sa composante électrique. De plus, les autres interactions étant négligées, le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron libre de charge -e et de masse m_{\mathrm{e}} s'écrit :

En adoptant la notation complexe avec la dépendance temporelle en \exp(\mathrm{i}\omega t), l'opérateur \frac{\partial}{\partial t} s'identifie au facteur multiplicatif \mathrm{i}\omega. On a ainsi :

D'où l'expression de la vitesse complexe de l'électron :

Pour un cation de charge +e et de masse m_{\mathrm{c}}, la même équation conduit à :

Soit :

En comparant les normes des vecteurs vitesse complexes, on obtient :

Le cation le plus léger étant l'ion hydrogène \mathrm{H}^+ (proton) de masse m_{\mathrm{p}} \simeq 1\,836 \, m_{\mathrm{e}} (les ions de l'ionosphère tels que \mathrm{O}^+ ou \mathrm{NO}^+ étant encore plus massifs), on a m_{\mathrm{c}} \gg m_{\mathrm{e}}. Il s'ensuit que :

Sous l'action du champ électrique de l'onde, les porteurs de charge du plasma (électrons libres de charge q_{\mathrm{e}} = -e et cations de charge q_{\mathrm{c}} = +e) sont mis en mouvement avec des vitesses respectives \vec{v}_{\mathrm{e}} et \vec{v}_{\mathrm{c}}. Ce déplacement macroscopique de charges engendre un courant électrique volumique modélisé par le vecteur densité de courant :

En notation complexe, compte tenu de la neutralité locale (n_{\mathrm{c}} = n_{\mathrm{e}}), cette grandeur s'écrit :

D'après la question Q20, l'inertie des ions est très supérieure à celle des électrons (m_{\mathrm{c}} \gg m_{\mathrm{e}}), de sorte que \|\underline{\vec{v}}_{\mathrm{c}}\| \ll \|\underline{\vec{v}}_{\mathrm{e}}\|. La contribution des cations au courant est donc tout à fait négligeable, ce qui conduit à :

En remplaçant le vecteur vitesse complexe de l'électron obtenu à la question Q20, \underline{\vec{v}}_{\mathrm{e}} = \mathrm{i}\frac{e}{m_{\mathrm{e}}\omega}\underline{\vec{E}}(M, t), il vient :

Par identification avec la loi d'Ohm locale en régime harmonique \underline{\vec{\jmath}}(M, t) = \underline{\gamma}\,\underline{\vec{E}}(M, t), on obtient bien :

La puissance volumique instantanée fournie par le champ électromagnétique aux électrons libres est donnée par la densité volumique de puissance de Lorentz :

puisque la force magnétique ne travaille pas (\vec{v}_{\mathrm{e}} \cdot (\vec{v}_{\mathrm{e}} \times \vec{B}) = 0).

D'après le formulaire de l'énoncé, la moyenne temporelle de ce produit scalaire entre grandeurs harmoniques de même pulsation s'exprime en notation complexe selon :

En utilisant la loi d'Ohm locale établie à la question Q21, \underline{\vec{\jmath}}(M,t) = \underline{\gamma} \, \underline{\vec{E}}(M,t), il vient :

Or, d'après le résultat de la question Q21, la conductivité complexe du plasma est un imaginaire pur :

On en déduit :

Commentaire :

• Le courant \vec{\jmath}(t) et le champ électrique \vec{E}(t) sont en quadrature de phase (\Delta \varphi = -\pi/2), de sorte que la moyenne temporelle du produit instantané est strictement nulle (\langle \cos(\omega t) \sin(\omega t) \rangle = 0).
• Il n'y a donc aucune dissipation d'énergie par effet Joule au sein du plasma ionosphérique : le milieu est conservatif (non dispersif en énergie ou non dissipatif).
• L'échange d'énergie entre le champ électromagnétique et les électrons libres est purement réactif : l'énergie oscille continûment entre l'énergie du champ et l'énergie cinétique macroscopique des électrons sans perte nette sur une période. Cela résulte directement du modèle sans collisions (plasma très dilué).

Dans le plasma, de permittivité \varepsilon_0 et de perméabilité \mu_0, les équations de Maxwell s'écrivent :

où c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}.

Le champ électrique est polarisé rectilignement selon \vec{u}_y et ne dépend spatialement que de la coordonnée x :

Ainsi, la densité volumique de charge associée à l'onde est nulle (\underline{\rho} = 0) : la neutralité locale est préservée.

En utilisant l'identité vectorielle fournie :

D'autre part, en prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en intervertissant les dérivées spatiales et temporelles :

En égalant les deux expressions, on obtient :

D'après les questions Q20 et Q21, le courant est porté par les seuls électrons :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron donne m_{\mathrm{e}}\frac{\partial \underline{\vec{v}}_{\mathrm{e}}}{\partial t} = -e\underline{\vec{E}}, d'où :

(on retrouve le même résultat en régime harmonique via \frac{\partial \underline{\vec{\jmath}}}{\partial t} = \mathrm{i}\omega \underline{\vec{\jmath}} = \mathrm{i}\omega \underline{\gamma} \underline{\vec{E}}).

On en déduit l'équation de propagation du champ électrique dans le plasma :

Compte tenu de la géométrie unidimensionnelle selon (Ox), cette équation s'écrit également :

Le champ électrique s'écrit sous forme d'une onde plane se propageant selon l'axe (Ox) :

Ses dérivées partielles temporelles et spatiales sont données par :

En injectant ces expressions dans l'équation de propagation établie à la question Q23 :

on obtient, le champ électrique \underline{\vec{E}} étant non identiquement nul :

En utilisant la relation liant la célérité de la lumière dans le vide aux constantes diélectrique et magnétique, \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1, soit \mu_0 = 1/(\varepsilon_0 c^2), le terme constant se réécrit :

On introduit la pulsation caractéristique du plasma, notée \omega_{\mathrm{p}}, définie par :

L'expression de \underline{k}^2 dans le plasma s'écrit alors :

D'après le résultat de la question Q24, la relation de dispersion s'écrit :

Pour \omega < \omega_{\mathrm{p}}, le terme \omega_{\mathrm{p}}^2 - \omega^2 est strictement positif, de sorte que \underline{k}^2 < 0. Ainsi, \underline{k} est un imaginaire pur :

L'énoncé précise que \underline{k} = k' + \mathrm{i}k'' avec k' \geqslant 0 et k'' \leqslant 0. On en déduit :

En introduisant l'épaisseur caractéristique (ou profondeur de pénétration) :

le vecteur d'onde complexe s'écrit simplement :

\delta_{\mathrm{p}} représente la distance caractéristique sur laquelle l'amplitude des champs décroît d'un facteur \mathrm{e}.

Le champ électrique complexe devient :

En prenant la partie réelle, on obtient le champ électrique réel :

Le champ magnétique associé s'obtient via l'équation de Maxwell-Faraday sous forme complexe :

Le calcul du rotationnel donne :

d'où :

Sachant que \operatorname{Re}(-\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}) = \operatorname{Re}(-\mathrm{i}\cos(\omega t) + \sin(\omega t)) = \sin(\omega t), le champ magnétique réel s'écrit :

D'après les résultats de la question Q25, les composantes scalaires non nulles des champs s'écrivent :

1. Profils spatiaux à un instant fixé À tout instant t fixé, la dépendance spatiale le long de l'axe (Ox) est une décroissance exponentielle pure sans oscillation spatiale. L'amplitude des champs est amortie d'un facteur \mathrm{e} \simeq 2{,}72 sur une épaisseur caractéristique égale à la profondeur de pénétration \delta_{\mathrm{p}}.

2. Description de l'évolution temporelle

• Oscillations harmoniques : en tout point M(x) du plasma, les champs \vec{E} et \vec{B} oscillent de façon purement sinusoïdale à la pulsation \omega de l'onde incidente, avec la période T = \frac{2\pi}{\omega}.
• Quadrature de phase temporelle : \vec{E} varie en \cos(\omega t) alors que \vec{B} varie en \sin(\omega t) = \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right). Les deux champs oscillent en quadrature temporelle : le champ magnétique est en retard d'un quart de période (T/4) sur le champ électrique. Lorsque l'un des deux champs est maximal en amplitude, l'autre s'annule identiquement sur tout l'espace x \geqslant 0.
• Absence de propagation : la phase des champs ne dépend pas de x (tous les points oscillent en phase). Il s'agit d'une onde stationnaire amortie (ou onde évanescente).

Le vecteur de Poynting instantané associé au champ électromagnétique est défini par :

D'après les résultats de la question Q25, pour \omega < \omega_{\mathrm{p}}, les champs réels s'écrivent :

Puisque \vec{u}_y \times \vec{u}_z = \vec{u}_x, le vecteur de Poynting instantané s'exprime sous la forme :

La valeur moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} d'une fonction sinusoïdale de pulsation 2\omega est nulle (\langle \sin(2\omega t) \rangle = 0). On en déduit immédiatement :

Remarque (formalisme complexe) : En utilisant la relation du formulaire \langle \vec{\Pi} \rangle = \frac{1}{2\mu_0} \operatorname{Re}\left(\underline{\vec{E}} \times \underline{\vec{B}}^*\right) avec \underline{\vec{B}} = -\mathrm{i} \frac{E_0}{\omega \delta_{\mathrm{p}}} \mathrm{e}^{-x/\delta_{\mathrm{p}}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \vec{u}_z, le produit vectoriel \underline{\vec{E}} \times \underline{\vec{B}}^* = \mathrm{i}\frac{E_0^2}{\omega\delta_{\mathrm{p}}}\mathrm{e}^{-2x/\delta_{\mathrm{p}}}\vec{u}_x est imaginaire pur, de partie réelle nulle.

Caractérisation de l'onde :

• C'est une onde évanescente : son amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur de pénétration x sans déphasage spatial supplémentaire le long de (Ox).
• C'est une onde stationnaire : les variables spatiale x et temporelle t sont séparées dans l'expression des champs (il n'y a pas de terme de la forme \omega t \pm k' x).
• Il s'agit d'une onde purement réactive : en moyenne temporelle, il n'y a aucun transport net d'énergie à travers l'ionosphère (\langle \vec{\Pi} \rangle = \vec{0}). L'énergie oscille localement deux fois par période entre le champ électromagnétique et l'énergie cinétique des électrons.

D'après la question Q24, la relation de dispersion dans le plasma s'écrit :

Pour \omega > \omega_{\mathrm{p}}, \underline{k}^2 est strictement positif. En écrivant \underline{k} = k' + \mathrm{i}k'' avec la contrainte imposée par l'énoncé k' \geqslant 0 et k'' \leqslant 0, on en déduit que \underline{k} est un réel pur (k'' = 0) :

Le champ électrique complexe s'écrit alors :

En prenant la partie réelle (puisque E_0 \in \mathbb{R}), on obtient le champ électrique réel :

L'équation de Maxwell-Faraday appliquée aux champs complexes harmoniques donne :

Le nombre d'onde k étant réel positif, le passage à la partie réelle conduit directement au champ magnétique réel :

Le vecteur de Poynting instantané s'exprime par :

Puisque la moyenne temporelle de \cos^2(\omega t - kx) vaut \frac{1}{2} (ou via la formule \langle \vec{\Pi} \rangle = \frac{1}{2\mu_0}\operatorname{Re}(\underline{\vec{E}} \times \underline{\vec{B}}^*)), on trouve :

D'après la question Q28, pour \omega > \omega_{\mathrm{p}}, le nombre d'onde s'écrit :

1. Vitesse de phase

Par définition, la vitesse de phase est v_{\varphi} = \dfrac{\omega}{k} :

2. Vitesse de groupe

Par définition, la vitesse de groupe est v_{\mathrm{g}} = \dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}. En différenciant la relation de dispersion \omega^2 = \omega_{\mathrm{p}}^2 + c^2 k^2 :

Il vient ainsi :

On remarque la relation remarquable propre aux ondes de type Klein-Gordon :

3. Tracé des vitesses en fonction de \omega

Pour \omega \in {]\omega_{\mathrm{p}}, +\infty[} :

• lorsque \omega \to \omega_{\mathrm{p}}^+, v_{\varphi} \to +\infty et v_{\mathrm{g}} \to 0 ;
• lorsque \omega \to +\infty, v_{\varphi} \to c^+ et v_{\mathrm{g}} \to c^-.

4. Caractère dispersif du milieu

La vitesse de phase v_{\varphi} dépend explicitement de la pulsation \omega (et v_{\varphi} \neq v_{\mathrm{g}}) : le plasma est donc un milieu dispersif.

5. Comparaison à c et commentaires physiques

• Vitesse de phase : on a v_{\varphi} > c. La vitesse de phase correspond à la vitesse de déplacement des surfaces d'onde d'une onde monochromatique idéale (infinie dans le temps et dans l'espace). Elle ne transporte ni énergie ni information, et peut donc excéder c sans enfreindre la relativité restreinte.
• Vitesse de groupe : on a v_{\mathrm{g}} < c. Dans un milieu transparent non absorbant, la vitesse de groupe est la vitesse de déplacement de l'enveloppe d'un paquet d'ondes, c'est-à-dire la vitesse de propagation de l'énergie et des signaux porteurs d'information. Le fait que v_{\mathrm{g}} < c garantit le respect du principe de causalité et des postulats de la relativité restreinte.

Pour qu'une onde électromagnétique émise depuis la Terre puisse traverser l'ionosphère et atteindre un satellite sans subir de réflexion totale (caractérisée par un comportement évanescent pour \omega < \omega_{\mathrm{p}}), sa pulsation doit être supérieure à la pulsation plasma en tout point du trajet :

La fréquence f = \dfrac{\omega}{2\pi} doit donc satisfaire :

D'après la figure 6, la densité électronique atteint sa valeur maximale de jour, vers 300\text{ km} d'altitude. On lit :

En utilisant les valeurs numériques des données :

• e = 1{,}602 \times 10^{-19}\text{ C}
• m_{\mathrm{e}} = 9{,}109 \times 10^{-31}\text{ kg}
• \varepsilon_0 = 8{,}854 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}

il vient :

Cette fréquence appartient au domaine des ondes radio (plus précisément les ondes courtes ou hautes fréquences, bande HF).

D'après la notation isotopique ^{7}_{3}\mathrm{Li}, le numéro atomique de l'élément lithium est Z = 3. L'atome neutre de lithium possède donc 3 électrons.

En appliquant les règles de remplissage dans l'état fondamental (principe de stabilité régi par la règle de Klechkowski et principe d'exclusion de Pauli), les sous-couches se remplissent dans l'ordre croissant d'énergie : 1\mathrm{s} puis 2\mathrm{s}. La configuration électronique du lithium dans l'état fondamental est donc :

L'atome présente un unique électron sur sa couche de valence (n=2). Il se situe ainsi dans la première colonne (groupe 1) de la classification périodique des éléments, et appartient à la famille des :

Un réducteur est une espèce chimique capable de céder un ou plusieurs électrons au cours d'une réaction d'oxydoréduction.

D'après la question précédente, le lithium possède la configuration électronique 1\mathrm{s}^2\, 2\mathrm{s}^1. L'atome de lithium ne comporte ainsi qu'un unique électron de valence sur sa sous-couche externe 2\mathrm{s}.

En cédant cet électron peu lié selon la demi-équation :

le lithium acquiert la configuration électronique particulièrement stable en duet 1\mathrm{s}^2, identique à celle du gaz noble le plus proche, l'hélium. Sa première énergie d'ionisation est donc relativement faible, ce qui lui confère un fort caractère réducteur.

L'arrachement d'un second électron nécessiterait de briser la couche de cœur saturée 1\mathrm{s}^2 (énergie de seconde ionisation prohibitive). L'ion que le lithium forme le plus facilement est donc le cation :

Le carbonate de lithium est un solide ionique de formule brute \mathrm{Li}_2\mathrm{CO}_{3(\mathrm{s})}, constitué de cations lithium \mathrm{Li}^+ (établis à la question Q32) et d'anions carbonate \mathrm{CO}_3^{2-}.

La réaction (\mathrm{R}) de dissolution dans l'eau s'écrit :

D'après l'équation de dissolution établie à la question précédente :

À saturation, en notant s la solubilité molaire (en \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}) et c^\circ = 1\text{ mol}\cdot\mathrm{L}^{-1} la concentration standard, les concentrations à l'équilibre s'écrivent :

Le produit de solubilité K^\circ(T) s'exprime donc par :

où M est la masse molaire de \mathrm{Li}_2\mathrm{CO}_3 et s_m la solubilité massique. Le rapport des constantes d'équilibre aux deux températures T_1 et T_2 s'affranchit ainsi de M :

La variation de la constante d'équilibre avec la température est régie par la relation de Van 't Hoff :

En supposant \Delta_{\mathrm{r}} H^\circ constante sur le domaine de température considéré (approximation d'Ellingham), l'intégration entre T_1 et T_2 donne :

D'où l'expression littérale de l'enthalpie standard de dissolution :

Avec les données numériques de l'énoncé :

• T_1 = 20\ ^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\text{ K} et s_m(T_1) = 13{,}1\text{ g}\cdot\text{L}^{-1} ;
• T_2 = 100\ ^\circ\mathrm{C} = 373{,}15\text{ K} et s_m(T_2) = 7{,}2\text{ g}\cdot\text{L}^{-1} ;
• R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}.

On obtient :

Commentaire du signe : L'enthalpie standard de réaction est strictement négative (\Delta_{\mathrm{r}} H^\circ < 0) : la dissolution du carbonate de lithium est donc exothermique.

D'après le principe de modération de Le Chatelier (ou la loi de Van 't Hoff), une élévation de température favorise le sens endothermique, c'est-à-dire ici le sens indirect (précipitation). Cela explique pourquoi la solubilité du carbonate de lithium diminue lorsque la température augmente (solubilité dite rétrograde), contrairement au comportement usuel de la plupart des sels solides dans l'eau.

D'après le texte de l'énoncé, le processus de charge à l'électrode négative s'analyse en deux étapes successives :

1. La réduction des ions lithium \mathrm{Li}^+ provenant de l'électrolyte :

   \boxed{\mathrm{Li}^+ + \mathrm{e}^- = \mathrm{Li}}

2. L'insertion des atomes de lithium formés au sein du réseau carboné du graphite noté \mathrm{C}_{6(\mathrm{s})} :

   \boxed{\mathrm{Li} + \mathrm{C}_{6(\mathrm{s})} = \mathrm{LiC}_{6(\mathrm{s})}}

En sommant ces deux étapes, on obtient la demi-équation électronique bilan modélisant les phénomènes à cette électrode lors de la charge :

D'après la formule chimique du composé d'insertion \mathrm{LiC}_6, un atome de lithium s'insère pour 6 atomes de carbone :

Dans une masse m = 1\text{ g} de carbone graphite, la quantité de matière de carbone est :

Le nombre maximal d'atomes de lithium insérables dans cette masse s'écrit donc :

Application numérique avec m = 1{,}00\text{ g}, M_{\mathrm{C}} = 12{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} et \mathcal{N}_A = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} :

Lors de la décharge, chaque atome de lithium inséré est oxydé et libère un électron selon la réaction inverse de la question Q35 :

Pour une masse m_{\mathrm{graphite}} = 1\text{ kg} = 10^3\text{ g} de graphite, la quantité maximale d'électrons libérés vaut :

La charge électrique correspondante, exprimée en coulombs, est donnée par la loi de Faraday :

Sachant que 1\text{ A}\cdot\text{h} = 3600\text{ C}, la capacité spécifique massique q_{\max} en \mathrm{A}\cdot\mathrm{h} par kilogramme de graphite est :

Application numérique avec \mathcal{F} = 9{,}65 \times 10^4\text{ C}\cdot\text{mol}^{-1} et m_{\mathrm{graphite}} = 1\text{ kg} :

D'après la question Q32, le lithium forme préférentiellement le cation monoatomique \mathrm{Li}^+. Son nombre d'oxydation dans l'édifice \mathrm{LiCoO}_2 vaut donc :

L'oxygène possédant le nombre d'oxydation usuel \mathrm{n.o.}(\mathrm{O}) = -\mathrm{II}, la neutralité électrique des solides permet de déterminer le nombre d'oxydation du cobalt dans chaque espèce :

• Dans \mathrm{LiCoO}_2 :

  \begin{aligned} \mathrm{n.o.}(\mathrm{Li}) + \mathrm{n.o.}(\mathrm{Co}) + 2\,\mathrm{n.o.}(\mathrm{O}) = 0 &\implies (+1) + \mathrm{n.o.}(\mathrm{Co}) + 2(-2) = 0 \\ &\implies \mathrm{n.o.}(\mathrm{Co}) = +\mathrm{III} \end{aligned}

• Dans \mathrm{CoO}_2 :

  \begin{aligned} \mathrm{n.o.}(\mathrm{Co}) + 2\,\mathrm{n.o.}(\mathrm{O}) = 0 &\implies \mathrm{n.o.}(\mathrm{Co}) + 2(-2) = 0 \\ &\implies \mathrm{n.o.}(\mathrm{Co}) = +\mathrm{IV} \end{aligned}

L'atome de cobalt présente un degré d'oxydation supérieur dans \mathrm{CoO}_2 que dans \mathrm{LiCoO}_2. Par conséquent :

Le couple rédox s'écrit formellement \mathrm{CoO}_2 / \mathrm{LiCoO}_2 et la demi-équation associée s'écrit :

Lors de la charge, l'accumulateur fonctionne en récepteur :

• au pôle négatif \ominus, les ions \mathrm{Li}^+ sont réduits en lithium inséré (d'après Q35) ;
• au pôle positif \oplus, il se produit nécessairement une oxydation pour fournir les électrons et les ions \mathrm{Li}^+ au circuit.

La demi-équation électronique qui a lieu lors de la charge au niveau de cette électrode est donc :

Lors de la charge de l'accumulateur (processus forcé par un générateur extérieur) :

• au pôle \ominus (cathode), les ions \mathrm{Li}^+ sont réduits et s'insèrent dans le graphite (d'après la question Q35) :

  \mathrm{Li}^+ + \mathrm{e}^- + \mathrm{C}_{6(\mathrm{s})} \longrightarrow \mathrm{LiC}_{6(\mathrm{s})}

• au pôle \oplus (anode), le cobalt est oxydé du degré +III au degré +IV (d'après la question Q37) :

  \mathrm{LiCoO}_{2(\mathrm{s})} \longrightarrow \mathrm{CoO}_{2(\mathrm{s})} + \mathrm{Li}^+ + \mathrm{e}^-

En sommant membre à membre ces deux demi-équations, les électrons et les ions \mathrm{Li}^+ s'éliminent, ce qui donne pour la charge :

Lors de la décharge de l'accumulateur (fonctionnement spontané en générateur débitant dans un circuit extérieur) :

• au pôle \ominus (anode), il y a oxydation du composé d'insertion :

  \mathrm{LiC}_{6(\mathrm{s})} \longrightarrow \mathrm{C}_{6(\mathrm{s})} + \mathrm{Li}^+ + \mathrm{e}^-

• au pôle \oplus (cathode), il y a réduction de l'oxyde de cobalt :

  \mathrm{CoO}_{2(\mathrm{s})} + \mathrm{Li}^+ + \mathrm{e}^- \longrightarrow \mathrm{LiCoO}_{2(\mathrm{s})}

L'équation bilan de la décharge est donc la réaction inverse de la précédente :

Pendant que le satellite se trouve dans l'ombre de la Terre, les batteries montées en série fournissent l'énergie électrique. Chacune d'elles est parcourue par le courant I = 10\text{ A} pendant la durée \Delta t = 35\text{ min} = 2\,100\text{ s}.

La charge totale délivrée par la batterie lors de cette phase de décharge vaut :

soit, en ampères-heures :

D'après la demi-équation d'oxydation à l'électrode négative lors de la décharge (établie aux questions Q35 et Q38) :

l'échange d'une quantité de matière n(\mathrm{e}^-) = \dfrac{Q}{\mathcal{F}} d'électrons nécessite la mise en jeu d'une quantité de carbone égale à :

La masse minimale de graphite correspondante s'écrit donc :

On retrouve identiquement cette expression à partir de la capacité massique maximale q_{\max} \simeq 372\text{ A}\cdot\text{h}\cdot\text{kg}^{-1} calculée à la question Q36 :

Application numérique avec les données :

• M_{\mathrm{C}} = 12{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 12{,}0 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• I = 10\text{ A}
• \Delta t = 2\,100\text{ s}
• \mathcal{F} = 9{,}65 \times 10^4\text{ C}\cdot\text{mol}^{-1}