Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2021

Le système considéré est la masse d'eau m_e contenue dans la cuve fermée, modélisée comme une phase condensée indilatable et incompressible de capacité thermique massique c_e constante.

La masse d'eau s'exprime en fonction de sa masse volumique \rho_e et de son volume V :

En l'absence de travail mécanique utile reçu par l'eau et en négligeant les pertes thermiques à travers la paroi de la cuve, le premier principe de la thermodynamique appliqué à l'eau entre l'état initial à la température T_{e1} et l'état final à la température T_{e2} s'écrit :

Application numérique :

• \rho_e = 1,0\text{ kg}\cdot\text{L}^{-1}
• V = 200\text{ L}, soit m_e = 200\text{ kg}
• c_e = 4\,180\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}
• T_{e2} - T_{e1} = 338 - 288 = 50\text{ K}

Les pertes thermiques à travers la paroi de la cuve étant négligées, toute l'énergie électrique fournie par la résistance chauffante de puissance électrique constante P est intégralement transférée à l'eau sous forme d'énergie calorifique Q :

On en déduit l'expression de la durée de chauffe :

Calculons cette durée en secondes :

Pour exprimer le résultat en heures, on divise par 3\,600\text{ s}\cdot\text{h}^{-1} :

D'après l'aide aux calculs fournie, \dfrac{2{,}09}{3{,}6} \approx 0{,}58, d'où :

Une pompe à chaleur est une machine thermodynamique réceptrice qui prélève de la chaleur à une source froide à la température T_f pour en céder à une source chaude à la température T_c > T_f, grâce à un apport de travail mécanique fourni par le milieu extérieur (compresseur).

En adoptant la convention thermodynamique récepteur (grandeurs comptées positivement lorsqu'elles sont reçues par le fluide frigorigène) :

• W > 0 : le fluide reçoit du travail de la part du compresseur ;
• Q_f > 0 : le fluide reçoit un transfert thermique de la part de la source froide ;
• Q_c < 0 : le fluide cède un transfert thermique à la source chaude.

D'après l'énoncé et le principe de fonctionnement de la pompe à chaleur :

• La source froide est l'air environnant (à la température T_f = T_a = 280\text{ K} = 7\text{ }^\circ\text{C}), auquel le fluide frigorigène prélève de l'énergie thermique (Q_f > 0) au niveau de l'évaporateur.
• La source chaude est l'eau de la cuve du chauffe-eau (à la température T_c = T_{e2} = 338\text{ K} = 65\text{ }^\circ\text{C}), à laquelle le fluide frigorigène cède de l'énergie thermique (Q_c < 0) au niveau du condenseur.

• Une transformation isotherme est une transformation au cours de laquelle la température du système thermodynamique demeure constante tout au long de l'évolution :

  \forall t, \quad T(t) = \text{cte}

• Une transformation adiabatique est une transformation au cours de laquelle le système n'effectue aucun échange de chaleur (transfert thermique) avec le milieu extérieur :

  \delta Q = 0 \quad \text{soit} \quad Q = 0

Le travail élémentaire des forces de pression reçu par l'unité de masse (ou la masse) du fluide s'écrit \delta w = - P\,\mathrm{d}v. Sur un cycle fermé, le travail total reçu est donné par :

Une pompe à chaleur est une machine réceptrice : elle consomme du travail mécanique fourni par le compresseur, d'où W > 0 (confirmé à la question Q3). Il en résulte :

En diagramme de Clapeyron (P, v), l'intégrale \oint P\,\mathrm{d}v représente l'aire algébrique délimitée par la courbe fermée. Elle est strictement négative lorsque le cycle est parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :

D'après la relation de Reech (ou les lois des gaz parfaits avec le coefficient isentropique \gamma > 1), les adiabatiques réversibles ont une pente plus abrupte que les isothermes :

Le cycle se compose de quatre évolutions réversibles :

• 1 \to 2 : compression adiabatique réversible réchauffant le fluide de T_f à T_c ;
• 2 \to 3 : compression isotherme à la température T_c, le fluide cédant de la chaleur à la source chaude (Q_c < 0) ;
• 3 \to 4 : détente adiabatique réversible refroidissant le fluide de T_c à T_f ;
• 4 \to 1 : détente isotherme à la température T_f, le fluide recevant de la chaleur de la source froide (Q_f > 0).

On applique le premier principe de la thermodynamique au fluide frigorigène (système fermé) sur l'ensemble d'un cycle de fonctionnement :

L'énergie interne U étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle fermé est identiquement nulle (\Delta U = 0).

On en déduit la relation issue du premier principe :

On applique le second principe de la thermodynamique au fluide frigorigène (système fermé) décrivant un cycle complet :

• L'entropie S étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle fermé est nulle : \Delta S = 0.
• Le cycle étant réversible, l'entropie créée au cours du cycle est nulle : S_{\text{créée}} = 0.

• Les échanges thermiques s'effectuent avec deux thermostats de températures respectives T_f et T_c, d'où l'entropie échangée :

  S_{\text{éch}} = \frac{Q_f}{T_f} + \frac{Q_c}{T_c}

On en déduit l'égalité de Clausius pour un cycle ditherme réversible :

Le coefficient de performance (\mathrm{COP}), ou efficacité thermique e, d'une machine thermique est le rapport entre le bénéfice énergétique utile fourni à l'utilisateur et le coût énergétique nécessaire pour faire fonctionner la machine :

Pour une pompe à chaleur :

• l'énergie utile est le transfert thermique fourni à la source chaude (l'eau de la cuve), qui correspond à l'énergie cédée par le fluide frigorigène : -Q_c (grandeur positive, puisque Q_c < 0) ;
• l'énergie coûteuse est le travail mécanique fourni par le compresseur et reçu par le fluide : W > 0.

Le coefficient de performance d'une pompe à chaleur est donc défini par :

D'après l'égalité de Clausius obtenue à la question Q8 pour un cycle ditherme réversible :

Le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide sur un cycle (question Q7) donne :

En substituant Q_f par son expression, on obtient :

Le coefficient de performance maximal \mathrm{COP}_{\text{max}} est celui d'une machine fonctionnant de façon réversible. D'après la définition de la question Q9 :

D'où l'expression du coefficient de performance de Carnot :

D'après la question Q10, le coefficient de performance maximal s'écrit :

Avec les températures des sources chaude et froide données par l'énoncé :

• T_c = T_{e2} = 338\text{ K} ;
• T_f = T_a = 280\text{ K},

on obtient :

À l'aide de la table d'aide aux calculs, où \dfrac{338}{58} \approx 5{,}8, on en déduit :

Le coefficient de performance maximal \mathrm{COP}_{\max} \approx 5{,}8 a été établi sous l'hypothèse d'un cycle de Carnot totalement réversible.

Dans une machine réelle, le coefficient de performance effectif est inférieur (\mathrm{COP} = 3{,}6 < \mathrm{COP}_{\max}) en raison de la présence d'irréversibilités (S_{\text{cr}} > 0) :

• Irréversibilités thermiques : les transferts de chaleur au niveau des échangeurs (évaporateur et condenseur) s'effectuent avec des écarts finis de température entre le fluide frigorigène et les milieux extérieurs (T_{\text{fluide, f}} < T_a et T_{\text{fluide, c}} > T_{e2}) afin d'assurer un débit de chaleur suffisant ;
• Irréversibilités mécaniques : frottements visqueux et pertes de charge lors de la circulation du fluide, détente irréversible dans le détendeur (détente isenthalpique sans travail récupéré), et pertes internes dans le compresseur (rendement isentropique inférieur à 1) ;
• Pertes électromécaniques au niveau du moteur électrique entraînant le compresseur.

D'après le second principe de la thermodynamique (théorème de Carnot), ces irréversibilités diminuent inévitablement le coefficient de performance de l'installation :

D'après l'expression établie à la question Q10, le coefficient de performance théorique s'écrit :

où T_a = T_f désigne la température de l'air de la pièce (source froide) et T_c la température de consigne de l'eau.

Deux arguments physiques justifient la recommandation du constructeur :

1. Maintien d'une performance énergétique élevée : Si la température ambiante T_a diminue (par exemple en hiver dans une pièce non tempérée), l'écart thermique T_c - T_a augmente, ce qui entraîne une diminution du \mathrm{COP} (théorique comme réel). Le travail électrique W = \frac{-Q_c}{\mathrm{COP}} à fournir pour chauffer un même volume d'eau est alors plus important. Une température ambiante suffisamment élevée garantit donc une consommation électrique minimale.
2. Choix d'une pièce technique (cellier, lingerie) : Ces pièces abritent fréquemment des appareils électroménagers (congélateur, lave-linge, sèche-linge) qui dissipent de la chaleur par effet Joule et par pertes mécaniques. L'air y reste donc tempéré en hiver (T_a plus élevée qu'à l'extérieur ou dans un garage non isolé), ce qui améliore le rendement de la pompe à chaleur et évite le recours fréquent à la résistance électrique d'appoint ou aux cycles de dégivrage de l'évaporateur.

On applique le premier principe de la thermodynamique au fluide frigorigène (système fermé) au cours d'un cycle.

L'énergie interne U étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle complet est nulle :

Or, d'après le premier principe, la variation d'énergie interne est égale à la somme des énergies échangées sous forme de travail et de chaleur par le fluide avec le milieu extérieur. Ainsi :

Considérons le fluide frigorigène effectuant un cycle élémentaire réversible entre l'air ambiant à la température constante T_a et l'eau de la cuve à la température instantanée T_e(t).

D'après le second principe de la thermodynamique appliqué au fluide :

• L'entropie S étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle est nulle : \Delta S = 0.
• Le cycle étant supposé réversible, la création d'entropie est nulle : S_{\text{cr}} = 0.

• Les échanges thermiques s'effectuent avec deux thermostats aux températures T_a (source froide) et T_e(t) (source chaude), d'où :

  S_{\text{éch}} = \frac{\delta Q_f}{T_a} + \frac{\delta Q_c}{T_e(t)}

Le bilan entropique conduit à l'égalité de Clausius pour ce cycle élémentaire réversible :

On en déduit la relation liant les transferts thermiques élémentaires aux températures :

Considérons le système constitué par la masse m_e d'eau présente dans la cuve.

L'eau est modélisée par une phase condensée indéformable, de sorte que le travail des forces de pression est nul : \delta W_{\text{eau}} = 0. La cuve étant thermiquement isolée de l'extérieur, l'eau n'échange de la chaleur qu'avec le fluide frigorigène. Le transfert thermique élémentaire reçu par l'eau s'écrit, d'après le principe des actions réciproques (ou bilan à l'interface fluide/eau) :

où \delta Q_c désigne le transfert thermique élémentaire reçu par le fluide frigorigène de la part de la source chaude (l'eau).

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à l'eau pour cette évolution élémentaire s'écrit :

On en déduit immédiatement :

D'après la question Q15, la relation issue du second principe de la thermodynamique pour un cycle élémentaire réversible s'écrit :

En utilisant l'expression de \delta Q_c établie à la question Q16, \delta Q_c = - m_e c_e \,\mathrm{d}T_e, il vient immédiatement :

D'après le premier principe appliqué au fluide sur ce même cycle (question Q14) :

En remplaçant \delta Q_c et \delta Q_f par leurs expressions respectives :

D'où l'expression du travail élémentaire reçu par le fluide :

Pour faire évoluer la température de l'eau de la cuve de T_{e1} à T_{e2}, le travail total W fourni par le compresseur s'obtient en intégrant le travail élémentaire \delta W établi à la question précédente :

Les grandeurs m_e, c_e et T_a étant supposées constantes au cours du chauffage, l'intégration donne directement :

On obtient ainsi :

Dans un chauffe-eau électrique, en négligeant les pertes thermiques, la totalité de l'énergie électrique fournie est convertie en chaleur par effet Joule :

Cette énergie thermique permet d'élever la température de la masse d'eau m_e d'une quantité \Delta T_{\text{élec}} telle que :

On en déduit l'élévation de température :

Application numérique : Avec W \approx 4{,}3\text{ MJ} = 4{,}3 \cdot 10^6\text{ J}, \rho_e V = 200\text{ kg} et c_e = 4\,180\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} :

En utilisant l'aide aux calculs \dfrac{4{,}3}{2 \times 4{,}18} \approx 0{,}51 :

Commentaire : Avec une même quantité d'énergie électrique consommée (W = 4{,}33\text{ MJ}) :

• le chauffe-eau électrique n'élève la température de l'eau que de \Delta T_{\text{élec}} \approx 5{,}1\text{ }^\circ\text{C} ;
• le chauffe-eau thermodynamique permet d'élever l'eau de T_{e1} = 15\text{ }^\circ\text{C} à T_{e2} = 65\text{ }^\circ\text{C}, soit une élévation de température \Delta T = 50\text{ }^\circ\text{C}, soit environ 10 fois plus.

Le chauffe-eau thermodynamique est donc nettement plus performant et économique, car la majeure partie de l'énergie thermique transférée à l'eau provient gratuitement de l'air environnant (source froide).