Corrigé détaillé Banque PT Physique B PT 2025

D'après le descriptif du cycle frigorifique et les annotations de la figure 1 :

• Le détendeur est le tube capillaire, car sa très faible section et sa longueur provoquent de fortes pertes de charge régulières par frottement visqueux, assurant ainsi la chute de pression du fluide frigorigène sans pièces mobiles ni travail échangé avec l'extérieur ;
• L'échangeur 1 est le condenseur, parce qu'il évacue l'énergie thermique du fluide vers l'air qui le traverse, permettant ainsi le refroidissement puis la liquéfaction totale du fluide frigorigène à haute pression (le fluide cède de la chaleur) ;
• L'échangeur 2 est l'évaporateur, parce qu'il apporte de l'énergie thermique au fluide frigorigène à basse pression afin de provoquer sa vaporisation complète, cette chaleur étant prélevée à l'air humide qui se refroidit et se déshumidifie par condensation de sa vapeur d'eau (le fluide reçoit de la chaleur).

Le fluide doit circuler obligatoirement dans le sens 1 pour deux raisons complémentaires :

• Fonctionnement des organes du circuit :

  • Le compresseur aspire le fluide frigorigène à basse pression (en \text{A}) et le refoule à haute pression (en \text{B}).
  • Le détendeur (tube capillaire) est un élément passif qui ne peut faire s'écouler le fluide que du domaine de haute pression vers le domaine de basse pression (P_C > P_D).
• Objectif thermodynamique (machine frigorifique) : Pour condenser la vapeur d'eau contenue dans l'air humide, il est nécessaire de refroidir cet air. Le fluide réfrigérant doit donc recevoir de la chaleur de l'air au niveau de l'évaporateur (q_F > 0, vaporisation à basse température), puis évacuer de la chaleur au niveau du condenseur (q_C < 0, liquéfaction à plus haute température).

Le fluide doit ainsi obligatoirement décrire la boucle :

ce qui correspond bien au sens 1.

1. Intérêt de forcer l'air à traverser le condenseur :

   • Amélioration du transfert thermique : Le passage forcé de l'air crée un régime de convection forcée, ce qui augmente notablement le coefficient d'échange convectif par rapport à la convection naturelle. Cela permet d'évacuer efficacement la chaleur cédée lors de la désurchauffe et de la condensation du fluide frigorigène R134a, tout en limitant l'encombrement de l'échangeur.
   • Gain thermodynamique : L'air guidé vers le condenseur sort tout juste de l'évaporateur : il a été préalablement refroidi (et déshumidifié). Utiliser cet air frais comme source chaude plutôt que l'air ambiant abaisse la température de condensation, ce qui réduit le saut de pression imposé par le compresseur et améliore ainsi le coefficient de performance (COP) de la machine.

2. Comparaison avec un réfrigérateur :

   • Dans un réfrigérateur domestique usuel, ce n'est pas le cas : la condensation s'effectue au niveau de la grille située à l'arrière de l'appareil par convection naturelle (et rayonnement) avec l'air de la pièce, évitant ainsi le bruit, l'usure mécanique et la consommation électrique supplémentaire d'un ventilateur.

D'après l'énoncé et l'étude des organes de la machine frigorifique :

• Point A (entrée du compresseur / sortie de l'évaporateur) : Le fluide est sous basse pression P_A = 3\text{ bar} = 0{,}3\text{ MPa}. Il se trouve à l'état de vapeur saturante sèche sans surchauffe, ce qui le place sur la courbe de rosée (titre massique en vapeur x_A = 1).
  Sur le diagramme, on lit :

  P_A = 3\text{ bar} \quad \text{et} \quad h_A \approx 400\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

• Transformation \text{A} \to \text{B} et Point B (sortie du compresseur / entrée du condenseur) : La compression est supposée adiabatique réversible, c'est-à-dire isentropique (s = \text{cte}), et s'effectue jusqu'à la haute pression P_B = 20\text{ bar} = 2\text{ MPa}. On suit donc la courbe isentrope passant par A (s \approx 1{,}73\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}) jusqu'à la droite isobare P = 20\text{ bar}. Le point B se situe dans le domaine de vapeur surchauffée.
  Sur le diagramme, on lit :

  P_B = 20\text{ bar} \quad \text{et} \quad h_B \approx 435\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

• Transformation \text{B} \to \text{C} et Point C (sortie du condenseur / entrée du détendeur) : Dans le condenseur, la transformation est isobare (P = 20\text{ bar}) : la vapeur surchauffée se désurchauffe puis se condense totalement sans sous-refroidissement. Le point C est donc situé à l'intersection de l'isobare P = 20\text{ bar} et de la courbe d'ébullition (x_C = 0). La transformation est représentée par un segment horizontal orienté vers la gauche.
  Sur le diagramme, on lit :

  P_C = 20\text{ bar} \quad \text{et} \quad h_C \approx 300\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

• Transformation \text{C} \to \text{D} et Point D (sortie du détendeur / entrée de l'évaporateur) : Le détendeur capillaire est indéformable (w_u = 0), athermane (q = 0), et les variations d'énergies cinétique et potentielle sont négligeables. D'après le premier principe en écoulement stationnaire, la détente de Joule-Thomson est isenthalpique :

  h_D = h_C \approx 300\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

  Elle s'accompagne d'une chute de pression jusqu'à P_D = P_A = 3\text{ bar}. Cette détente est représentée par un segment vertical descendant. Le point D se trouve dans le domaine diphasique liquide-vapeur.

• Transformation \text{D} \to \text{A} (évaporateur) : Le fluide s'évapore totalement de manière isobare à P = 3\text{ bar}. La transformation est représentée par un segment horizontal orienté vers la droite, rejoignant le point A.

Sens du cycle : Le cycle est parcouru selon la séquence \text{A} \to \text{B} \to \text{C} \to \text{D} \to \text{A}, c'est-à-dire dans le sens anti-horaire (sens trigonométrique) sur le diagramme (h, \log P).

D'après l'étude du cycle effectuée à la question précédente :

• À l'entrée du condenseur (point B) : le fluide est sous forme de vapeur surchauffée à la haute pression P_B = 20\text{ bar}. Au point B de coordonnées (h_B \approx 435\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, P_B = 20\text{ bar}), le point se situe entre les isothermes 80\text{ }^\circ\text{C} et 90\text{ }^\circ\text{C}. Par lecture graphique sur le diagramme (h, \log P), on relève :

  \boxed{T_{\text{entrée}} = T_B \approx 83\text{ }^\circ\text{C} \quad (\text{soit entre } 80\text{ }^\circ\text{C} \text{ et } 85\text{ }^\circ\text{C})}

• À la sortie du condenseur (point C) : l'énoncé précise qu'il n'y a pas de sous-refroidissement. Le fluide quitte donc le condenseur à l'état de liquide saturé (x_C = 0) sous la pression isobare P_C = 20\text{ bar}. Sa température est la température d'ébullition/condensation sous 20\text{ bar} :

  \boxed{T_{\text{sortie}} = T_C = T_{\text{sat}}(20\text{ bar}) \approx 68\text{ }^\circ\text{C} \quad (\text{ou } 69\text{ }^\circ\text{C})}

À la sortie du détendeur, le fluide est dans l'état D caractérisé par :

Méthode 1 : Lecture directe
Sur le diagramme (h, \log P) du R134a fourni en annexe, le point D se situe exactement sur la courbe d'iso-titre massique en vapeur repérée par l'indication \text{\textit{quality}} = 0{,}5. On lit donc directement :

Méthode 2 : Règle des moments
Sur le palier de changement d'état à P = 3\text{ bar}, on relève les enthalpies massiques du liquide saturant (x=0) et de la vapeur saturante (x=1) :

• Enthalpie massique du liquide saturant : h_L(3\text{ bar}) \approx 200\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• Enthalpie massique de la vapeur saturante : h_V(3\text{ bar}) \approx 400\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

Le titre massique en vapeur x_D s'exprime par :

On applique le premier principe de la thermodynamique pour un fluide en écoulement stationnaire à travers l'évaporateur (système ouvert délimité par l'entrée D et la sortie A).

L'évaporateur ne comporte aucune pièce mobile, le travail massique indiqué est donc nul (w_i = 0). De plus, les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de pesanteur entre l'entrée et la sortie sont négligeables par rapport aux variations d'enthalpie. Le bilan enthalpique s'écrit alors :

Le transfert thermique massique reçu par le fluide s'exprime ainsi :

D'après les lectures effectuées sur le diagramme (h, \log P) à la question Q4 :

• h_A \approx 400\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (vapeur saturante à 3\text{ bars}) ;
• h_D = h_C \approx 300\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (sortie du détendeur à 3\text{ bars}).

On en déduit la valeur numérique :

Le compresseur est un système ouvert traversé en régime permanent par le fluide réfrigérant R134a. En négligeant les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de pesanteur entre l'entrée et la sortie, le premier principe industriel s'écrit :

où w_i est le travail massique indiqué (travail utile d'écoulement et de compression transvasé au fluide) et q_{comp} est le transfert thermique massique reçu lors de la traversée du compresseur.

La compression étant modélisée comme isentropique, elle est en particulier adiabatique :

On en déduit l'expression littérale du travail massique indiqué :

D'après les lectures réalisées sur le diagramme (h, \log P) à la question Q4 :

• h_A \approx 400\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• h_B \approx 435\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

L'application numérique donne :

Le coefficient de performance (ou efficacité frigorifique) d'une machine thermodynamique est défini par le rapport entre le transfert énergétique utile et le travail payant fourni au compresseur.

Dans le cas de ce générateur d'eau atmosphérique, l'effet recherché est le refroidissement de l'air humide afin de condenser la vapeur d'eau qu'il contient : le transfert utile est donc le transfert thermique massique q_F absorbé par le fluide frigorigène à l'évaporateur. La dépense énergétique correspond au travail massique w_i reçu par le fluide dans le compresseur :

En utilisant les valeurs déterminées aux questions Q7 et Q8 :

• q_F \approx 100\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• w_i \approx 35\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

On obtient :

1. Justification du choix des températures des sources :

• Source chaude (T_C \approx 30~^{\circ}\text{C}) : L'évacuation de la chaleur au condenseur s'effectue vers l'air ambiant, dont la température typique est de l'ordre de 27~^{\circ}\text{C} à 30~^{\circ}\text{C}. Une température de source chaude de 30~^{\circ}\text{C} (303\text{ K}) est donc tout à fait représentative.
• Source froide (T_F \approx 0~^{\circ}\text{C}) : Le but de l'évaporateur est de refroidir l'air humide pour condenser la vapeur d'eau qu'il contient. Pour maximiser la quantité d'eau liquide extraite sans risquer la formation de givre (glace) qui obstruerait les ailettes de l'échangeur, la température de consigne doit être la plus basse possible au-dessus du point de congélation, soit environ 0~^{\circ}\text{C} (273\text{ K}). Cela est d'ailleurs en accord avec la pression d'évaporation de 3\text{ bars} pour laquelle la température de changement d'état du R134a est proche de 0~^{\circ}\text{C}.

2. Calcul du COP de Carnot : Pour une machine frigorifique fonctionnant de manière réversible entre deux sources à températures thermodynamiques T_F et T_C, le coefficient de performance de Carnot s'écrit :

Avec T_F = 0~^{\circ}\text{C} = 273\text{ K} et T_C = 30~^{\circ}\text{C} = 303\text{ K}, on obtient :

3. Comparaison et conclusion : D'après la question Q9, la machine étudiée présente un coefficient de performance :

On constate bien que :

Le rendement par rapport au cycle de Carnot (efficacité du second principe) vaut :

Conclusion : Cette valeur est tout à fait conforme au deuxième principe de la thermodynamique. L'écart important entre le cycle réel et le cycle de Carnot s'explique par les nombreuses irréversibilités du système :

• les écarts de température finis entre le fluide frigorigène et les sources extérieures nécessaires aux transferts thermiques (notamment au condenseur où le R134a est à environ 70~^{\circ}\text{C} pour céder de la chaleur à l'air ambiant) ;
• le caractère fortement irréversible de la détente isenthalpique dans le tube capillaire ;
• la désurchauffe du gaz en sortie de compresseur avant sa condensation.

Un COP réel proche de 3 reste une valeur classique et tout à fait satisfaisante pour une installation frigorifique réelle de cette gamme de puissance.