Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2020 (page 3/3 : Partie III (questions 31 à 45))

On applique le premier principe de la thermodynamique pour une unité de masse (m = 1\text{ kg}) d'air traversant le diffuseur entre l'entrée (état 1) et la sortie (état 2), dans le référentiel lié au turboréacteur :

D'après les données et hypothèses de l'énoncé :

• Le diffuseur est fixe et ne comporte aucune partie mobile : w_u = 0 ;
• La transformation est adiabatique : q_e = 0 ;
• Les variations d'énergie potentielle sont négligeables : g\,\Delta z \approx 0 ;
• L'air entre dans le diffuseur à la vitesse de vol de l'avion : v_1 = V_a ;
• L'énergie cinétique du gaz en sortie de diffuseur est négligeable devant les autres termes : v_2 \approx 0 ;
• Pour un gaz parfait à capacité thermique massique c_p constante (première loi de Joule) : \Delta h = h_2 - h_1 = c_p (T_2 - T_1).

Le bilan énergétique se simplifie donc en :

On en déduit l'expression littérale de la température T_2 :

Application numérique :

• T_1 = -40\ ^\circ\text{C} = 273{,}15 - 40 = 233{,}15\text{ K}
• V_a = 260\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• c_p = 1{,}1\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} = 1{,}1 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

L'écoulement au sein du diffuseur idéal est modélisé par une transformation adiabatique et réversible (donc isentropique) d'un gaz parfait de rapport de capacités thermiques \gamma constant. La loi de Laplace reliant la pression P et la température T s'écrit :

Entre l'état d'entrée (1) et l'état de sortie (2) du diffuseur, on a donc :

En prenant la puissance \frac{1}{\gamma-1}, on en déduit l'expression de la pression P_2 en entrée du compresseur :

Application numérique :

• P_1 = 34{,}5\text{ kPa},
• T_1 = -40\,^\circ\text{C} = 233{,}15\text{ K},
• T_2 \approx 263{,}9\text{ K} (résultat obtenu à la question Q31),

• \gamma = 1{,}35, d'où l'exposant isentropique :

  \frac{\gamma}{\gamma - 1} = \frac{1{,}35}{0{,}35} = \frac{27}{7} \approx 3{,}857.

Il vient :

Le premier principe pour un écoulement permanent à travers une machine s'écrit, pour une masse m = 1\text{ kg} de fluide :

Appliqué au compresseur entre l'état (2) et l'état (3), ce bilan se simplifie compte tenu des hypothèses de l'énoncé :

• la compression est adiabatique, soit q_e = 0 ;
• les variations d'énergie potentielle de pesanteur sont négligeables, soit g\,\Delta z = 0 ;
• l'énergie cinétique est négligée entre l'entrée du compresseur et la sortie de la turbine, soit \frac{\Delta v^2}{2} = 0.

Le travail utile massique reçu par l'air, noté w_{\text{comp}}, est donc égal à la variation d'enthalpie massique :

L'air étant modélisé par un gaz parfait de capacité thermique isobare massique c_p constante, la seconde loi de Joule donne :

La puissance utile mécanique fournie à l'air par le compresseur s'en déduit à l'aide du débit massique D_m :

Application numérique : Avec c_p = 1{,}1\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} = 1{,}1 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, T_3 = 480\text{ K}, T_2 \approx 264\text{ K} (issu de la question Q31) et D_m = 45\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} :

Le premier principe pour un fluide en écoulement stationnaire à travers la turbine (entre l'état (4) et l'état (5)) s'écrit :

L'écoulement étant adiabatique (q_e = 0), en négligeant l'énergie potentielle de pesanteur et les variations d'énergie cinétique entre l'entrée du compresseur et la sortie de la turbine (\Delta v^2 = 0), il vient :

Le travail massique fourni par le gaz à la turbine est -w_{u,\text{turb}} = c_p\,(T_4 - T_5). Ce travail étant intégralement reçu par le compresseur, on a :

Or, d'après la question Q33, w_{\text{comp}} = c_p\,(T_3 - T_2). Il vient donc :

D'où l'expression de la température T_5 :

Application numérique : avec T_4 = 1400\text{ K}, T_3 = 480\text{ K} et T_2 \approx 264\text{ K} (obtenue en Q31) :

Pour déterminer la pression P_5, on note que la combustion entre (3) et (4) est isobare, d'où :

La détente du gaz parfait dans la turbine étant adiabatique et réversible, la relation de Laplace donne :

Application numérique : avec P_2 \approx 55{,}6\text{ kPa} (obtenue en Q32), \frac{\gamma}{\gamma - 1} = \frac{1{,}35}{0{,}35} \approx 3{,}857, T_5 \approx 1184\text{ K} et T_4 = 1400\text{ K} :

Appliquons le premier principe pour une masse m = 1\text{ kg} d'air traversant la tuyère entre l'état d'entrée (5) (en sortie de turbine) et l'état de sortie (6) :

D'après les hypothèses du sujet :

• la détente est adiabatique, donc q_e = 0 ;
• la tuyère ne comporte aucune pièce mobile, donc w_u = 0 ;
• les variations d'énergie potentielle de pesanteur sont négligées : g\,\Delta z = 0 ;
• l'énergie cinétique est négligeable entre l'entrée du compresseur et la sortie de la turbine, d'où v_5 \approx 0, ce qui donne \Delta v^2 = v_s^2 - v_5^2 \approx v_s^2.

Pour l'air modélisé par un gaz parfait à capacité thermique isobare constante :

Le bilan s'écrit alors :

On en déduit l'expression de la vitesse de sortie v_s du gaz :

Application numérique : Avec c_p = 1{,}1\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} = 1{,}1 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, T_5 \approx 1184\text{ K} (d'après Q34) et T_6 = 680\text{ K} :

D'après les questions Q29 et Q30, la résultante propulsive exercée par l'air sur le réacteur (et donc sur l'avion) est dirigée vers l'avant et a pour intensité :

où la vitesse de l'air entrant dans le réacteur (dans le référentiel de l'avion) est égale à la vitesse de vol de l'avion par rapport à l'air au repos : v_e = V_a.

Dans le référentiel terrestre, l'avion se déplace en translation rectiligne à la vitesse \vec{V}_a, colinéaire et de même sens que la force propulsive \vec{F}_{\text{prop}}. La puissance mécanique développée par la force propulsive s'écrit donc :

Avec les valeurs numériques :

• D_m = 45\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1},
• V_a = 260\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},
• v_s \approx 1{,}053 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après Q35).

La force propulsive vaut :

D'où la puissance associée :

Par définition donnée par l'énoncé, le rendement global \eta du turboréacteur s'exprime par le rapport entre la puissance utile liée à la force propulsive \mathcal{P}_{\text{prop}} (déterminée à la question Q36) et la puissance thermique fournie dans la chambre de combustion P_{\text{chamb}} :

Avec \mathcal{P}_{\text{prop}} \approx 9{,}28\text{ MW} et P_{\text{chamb}} = 45{,}5\text{ MW}, on obtient :

Comparaison avec d'autres machines thermiques :

• Ce rendement est du même ordre de grandeur que celui d'un moteur thermique automobile à allumage commandé (essence), dont le rendement typique est compris entre 25\% et 30\%.
• Il est en revanche nettement inférieur à celui d'un moteur Diesel (35\% à 40\%), d'une centrale thermique à flamme ou nucléaire (environ 33\% à 40\%) ou d'une centrale à cycle combiné gaz-vapeur (qui dépasse 55\%).
• Il est également inférieur à celui des turboréacteurs civils modernes à double flux (environ 30\% à 35\%).

Pour vérifier l'homogénéité de la grandeur v_m = \sqrt{2\,c_p\,T_e}, effectuons une analyse dimensionnelle :

• La capacité thermique massique isobare c_p s'exprime en \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}. Or, le joule est l'unité d'une énergie, équivalente au travail d'une force :

  1\text{ J} = 1\text{ N}\cdot\text{m} = 1\text{ kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2} \implies [c_p] = \mathrm{L^2\cdot T^{-2}\cdot \Theta^{-1}}

• La température T_e a pour dimension une température thermodynamique :

  [T_e] = \Theta

Le produit c_p\,T_e a donc pour dimension :

Le facteur 2 étant un scalaire sans dimension, on en déduit immédiatement :

L'écoulement étant permanent et unidirectionnel selon l'axe horizontal (x'x), le débit massique d'air traversant la section droite S(x) à l'abscisse x s'écrit :

L'air étant modélisé par un gaz parfait subissant une détente adiabatique réversible (isentropique) à capacité thermique massique constante, la loi de Laplace s'applique :

D'après l'énoncé et la définition de v_m = \sqrt{2\,c_p\,T_e} établie à la question précédente, la vitesse v(x) s'exprime sous la forme :

En injectant les expressions de \rho(x) et de v(x) dans celle du débit massique, il vient :

On identifie ainsi l'expression demandée D_m = \rho_e \cdot v_m \cdot S(x) \cdot G(x), avec :

À l'entrée de la tuyère (x = 0), la pression vaut P(0) = P_e. Par définition du rapport de pression \alpha(x) = \dfrac{P(x)}{P_e}, on a immédiatement :

D'après l'expression donnée dans l'énoncé pour la vitesse :

Comme \gamma > 1, la fonction \alpha \mapsto \alpha^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} est strictement croissante. Ainsi, pour que la vitesse v(x) augmente (v(x) > v_e), le terme entre crochets doit être strictement positif, ce qui impose une diminution du rapport de pression :

D'après la question Q39, l'écoulement étant stationnaire, le débit massique D_m est conservé le long de la tuyère :

La section locale S(x) est donc inversement proportionnelle à G(\alpha).

Sur la figure 13, lorsque \alpha diminue à partir de sa valeur initiale \alpha = 1, la fonction G(\alpha) est croissante jusqu'à atteindre un maximum (autour de \alpha \approx 0{,}5).

Par conséquent, lorsque l'écoulement se détend (\alpha décroît à partir de 1), G(\alpha) augmente, ce qui impose que la section S(x) diminue.

Pour que la vitesse augmente depuis l'entrée, la tuyère doit donc impérativement avoir une section décroissante dans le sens de l'écoulement : elle doit d'abord être convergente.

D'après la conservation du débit massique établie à la question Q39 :

Dans une tuyère uniquement convergente, la section S(x) diminue au fur et à mesure que le fluide progresse, ce qui impose que la fonction G(\alpha) soit strictement croissante depuis l'entrée (\alpha = 1).

D'après l'étude de la fonction G, celle-ci croît lorsque \alpha diminue depuis 1 jusqu'à atteindre un maximum en \alpha = \alpha_c. Au-delà de ce point, pour \alpha < \alpha_c, la fonction G(\alpha) devient décroissante : une diminution supplémentaire de pression nécessiterait alors une augmentation de la section S(x) (tuyère divergente).

Ainsi, dans une tuyère exclusivement convergente, le rapport de pression ne peut pas descendre en dessous de la valeur critique \alpha_c :

Puisque la détente s'accompagne d'une accélération du fluide, la vitesse v(\alpha) augmente lorsque \alpha diminue. Elle atteint donc sa valeur maximale pour la plus faible pression réalisable, c'est-à-dire en \alpha = \alpha_c :

En négligeant v_e^2 devant v_m^2, l'expression de la vitesse devient :

En remplaçant \alpha par \alpha_c :

ce qui donne :

On en déduit l'expression de la vitesse limite :

L'écoulement étant stationnaire et unidirectionnel, le débit massique D_m se conserve le long de la tuyère.

• À l'entrée de la tuyère (x = 0), le débit massique s'écrit par définition :

  D_m = \rho_e \, v_e \, S_e

  Remarque : La formule générale issue de Q39, D_m = \rho_e \, v_m \, S_e \, G(\alpha=1), redonne bien cette relation puisque G(1) = \frac{v_e}{v_m}.

• Au col de la tuyère (x = x_{\text{col}}), où \alpha = \alpha_c et la section vaut S_{\text{col}}, la relation de la question Q39 donne :

  D_m = \rho_e \, v_m \, S_{\text{col}} \, G(\alpha_c)

En égalant ces deux expressions du débit massique :

On en déduit l'expression du rapport des sections :

Application numérique :

• D'après l'énoncé, v_e = 100\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (Q41) et v_m \approx 1\,000\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (Q38), d'où \frac{v_e}{v_m} = 0{,}10.

• Sur la figure 13, le maximum de la courbe C_G est atteint au col pour \alpha_c \approx 0{,}54. La lecture directe de l'axe des ordonnées donne un sommet atteignant la graduation notée 5 :

  G(\alpha_c) \approx 5

  On obtient ainsi :

  \frac{S_{\text{col}}}{S_e} \approx \frac{0{,}10}{5} = \boxed{0{,}02}

Discussion sur la graduation de la figure 13 : L'expression théorique adimensionnée établie en Q39 donne au maximum :

L'ordonnée de la figure 13 comporte manifestement un facteur d'échelle 20 (ou une graduation où les 5 interlignes représentent 0{,}25, soit 0{,}05 par division). En utilisant la valeur théorique sans ce facteur d'échelle, soit G(\alpha_c) \approx 0{,}25, on trouve :

ce qui correspond à un rétrécissement géométrique de la tuyère de 60\,\%, valeur nettement plus réaliste pour un turboréacteur.

Pour un gaz parfait de masse molaire M, la relation de Mayer s'écrit :

Avec \gamma = \dfrac{c_p}{c_v}, on a c_v = \dfrac{c_p}{\gamma}, ce qui conduit à :

D'après la question Q38, la vitesse caractéristique v_m vérifie v_m^2 = 2\,c_p\,T_e, soit :

D'après le résultat de la question Q41, la vitesse limite dans la section minimale vaut :

En remplaçant v_m^2 par son expression :

On en déduit l'expression demandée :

Déterminons à présent la célérité du son c_{\text{col}} au niveau du col S_{\text{col}}. D'après l'équation d'état du gaz parfait, P = \dfrac{\rho}{M} R T, soit :

La célérité du son s'exprime donc en fonction de la température locale T par :

Au niveau du col, la température est T_{\text{col}}. La détente étant adiabatique réversible pour un gaz parfait, la loi de Laplace donne :

Or, d'après l'énoncé, \alpha_c = \left[\dfrac{2}{1+\gamma}\right]^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}, d'où :

La célérité du son dans la section du col est donc :

On constate ainsi directement que :

La tuyère étant purement convergente, la vitesse maximale est atteinte à la section de sortie qui joue le rôle de col (S = S_{\text{col}}). Puisque le gaz y atteint la célérité locale du son (v_s = c_{\text{col}} = v_{\text{lim}}), le rapport de pression à la sortie correspond à la valeur critique \alpha_c définie à la question Q41 :

La pression en sortie de tuyère étant égale à la pression extérieure P_{\text{atm}}, on a P(x_s) = P_{\text{atm}}, d'où :

On en déduit l'expression de la pression P_e à l'entrée de la tuyère :

Application numérique : Avec P_{\text{atm}} = 34{,}5\text{ kPa} et \gamma = 1{,}35 :

Il vient :

D'après l'expression de la vitesse établie dans le préambule :

la vitesse v est une fonction strictement décroissante de \alpha. Pour obtenir une vitesse supersonique (v > v_{\text{lim}} = c_{\text{col}}), il faut poursuivre la détente du fluide à des pressions encore plus faibles, soit pour \alpha < \alpha_c.

La section de la tuyère à l'abscisse x s'exprime selon :

D'après la figure 13, pour \alpha < \alpha_c, la fonction G(\alpha) est strictement croissante en fonction de \alpha, ce qui signifie que lorsque \alpha diminue le long de l'écoulement, G(\alpha) décroît. Par conséquent, la section S(x) doit croître vers l'aval :

L'ensemble constitue une tuyère convergent-divergent, également appelée tuyère de Laval.