Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2020 (page 2/3 : Partie II et partie III (questions 25 à 30))

Le fluide étant en régime permanent autour d'un obstacle profilé :

• La ligne de courant arrivant sur l'axe de symétrie du tube aboutit directement à l'orifice frontal F, qui constitue un point d'arrêt (la vitesse s'y annule : v_F = 0).
• Une ligne de courant située légèrement au-dessus de l'axe est déviée par le nez du tube, puis longe la paroi cylindrique de manière rectiligne et parallèle à celle-ci au niveau de la prise de pression statique G.

Le fluide étant en écoulement permanent, parfait, homogène, incompressible et les effets de la pesanteur étant négligés, la quantité P + \frac{1}{2}\rho_\infty v^2 est conservée le long de chaque ligne de courant.

1. Étude au point F (prise de pression totale) :

• Le tube 1 est fermé par le liquide manométrique : aucun débit macroscopique n'y circule. Le point F, situé sur l'axe face à l'écoulement incident, est donc un point d'arrêt :

  \boxed{v_F = 0}

• En appliquant le théorème de Bernoulli le long de la ligne de courant reliant l'amont lointain au point d'arrêt F :

  P_\infty + \frac{1}{2}\rho_\infty v_\infty^2 = P_F + \frac{1}{2}\rho_\infty v_F^2 = P_F

  D'où la pression au point F (pression totale ou pression d'arrêt) :

  \boxed{P_F = P_\infty + \frac{1}{2}\rho_\infty v_\infty^2}

2. Étude au point G (prise de pression statique) :

• Le tube étant très fin et orienté parallèlement à l'écoulement incident, la ligne de courant qui longe la paroi au voisinage de la prise latérale G n'est pas déviée et l'écoulement y demeure non perturbé :

  \boxed{v_G = v_\infty}

• En appliquant le théorème de Bernoulli le long de cette ligne de courant entre l'amont lointain et le voisinage immédiat de G :

  P_\infty + \frac{1}{2}\rho_\infty v_\infty^2 = P_G + \frac{1}{2}\rho_\infty v_G^2

  Comme v_G = v_\infty, on obtient la pression statique :

  \boxed{P_G = P_\infty}

Le liquide manométrique de masse volumique \rho_l est au repos dans le référentiel de l'avion. En choisissant un axe vertical ascendant (Oz) tel que l'accélération de la pesanteur soit \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, la loi de l'hydrostatique s'écrit :

Par intégration entre l'altitude z_H de la surface libre en H et l'altitude z_I de la surface libre en I, avec z_I - z_H = h d'après la figure 9 :

On en déduit l'expression de la différence de pression :

L'air contenu dans les tubes 1 et 2 est au repos. De plus, les effets de la gravité sur l'air étant négligés conformément à l'énoncé, la pression de l'air est uniforme au sein de chaque tube :

La différence de pression mesurée par le manomètre différentiel s'écrit donc :

En utilisant le résultat de la question Q18 (P_F - P_G = \frac{1}{2}\rho_\infty v_\infty^2) et celui de la question Q19 (P_H - P_I = \rho_l g h), on obtient :

D'où l'expression de la vitesse de l'écoulement :

En inversant cette relation, la dénivellation manométrique s'exprime sous la forme :

Comme \rho_\infty, \rho_l et g sont des constantes positives, la dénivellation h augmente lorsque la vitesse v_\infty augmente (elle varie comme le carré de la vitesse).

1. Champ créé par un plan infini uniformément chargé de densité \sigma_0 :

• Invariances et symétries : Tout plan orthogonal au plan chargé est plan de symétrie de la distribution. Le champ électrostatique est donc perpendiculaire au plan, soit suivant l'axe (Oz) : \vec{E} = E(z)\,\vec{u}_z. De plus, la distribution est invariante par translation parallèlement au plan (selon x et y), d'où E = E(z). Le plan chargé étant un plan de symétrie, le champ est antisymétrique par rapport à ce plan : E(z - z_0) = -E(-(z - z_0)).

• Théorème de Gauss : On choisit comme surface de Gauss un cylindre d'axe (Oz), de section droite d'aire S_c, traversant symétriquement le plan situé en z_0. Le flux à travers la surface latérale est nul (\vec{E} \cdot \vec{n}_{\text{ext}} = 0). Le flux à travers les deux bases s'écrit :

  \Phi = 2\, E(z)\, S_c = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma_0\, S_c}{\varepsilon_0}

  On en déduit l'expression du champ créé par ce plan :

  \vec{E}_{\text{plan}}(z) = \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\,\operatorname{sgn}(z - z_0)\,\vec{u}_z

2. Superposition des deux armatures :

• L'armature A_1 est située en z = e et porte la densité superficielle +\sigma. Pour z < e, elle crée un champ :

  \vec{E}_1 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\vec{u}_z

• L'armature A_2 est située en z = 0 et porte la densité superficielle -\sigma. Pour z > 0, elle crée un champ :

  \vec{E}_2 = \frac{-\sigma}{2\varepsilon_0}\,\vec{u}_z = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\vec{u}_z

D'après le principe de superposition, le champ électrostatique régnant entre les deux armatures (0 < z < e) vaut :

D'après la question Q21, le champ électrostatique régnant entre les deux armatures s'écrit :

La relation locale reliant le potentiel électrostatique V(z) au champ s'écrit \vec{E} = -\vec{\nabla}V, soit ici :

La différence de potentiel U = V(e) - V(0) entre l'armature A_1 (à z = e) et l'armature A_2 (à z = 0) vaut alors :

La charge totale portée par l'armature positive A_1, de surface S et uniformément chargée avec la densité \sigma, est donnée par :

Par définition, la capacité C du condensateur relie la charge Q de l'armature positive à la tension U entre les armatures selon Q = C\,U. On en déduit :

Soit finalement :

Principe de la mesure capacitive :

• Les électrodes coplanaires intégrées à la paroi de l'aile créent un champ électrostatique dont les lignes de champ se déploient dans le demi-espace situé au-dessus de la paroi (figure 11).
• D'après le résultat admis, la capacité d'un système d'électrodes est proportionnelle à la permittivité diélectrique \varepsilon = \varepsilon_0\,\varepsilon_r du milieu environnant traversé par les lignes de champ.
• En l'absence de glace, les lignes de champ se développent dans l'air (\varepsilon_{r,\text{air}} \approx 1), conférant au condensateur une capacité de base C_0.
• Lorsque du givre se forme, l'air est progressivement remplacé par de la glace dont la permittivité relative est très élevée (\varepsilon_{r,\text{glace}} = 80). La permittivité effective du milieu traversé par les lignes de champ augmente notablement, ce qui entraîne une hausse mesurable de la capacité C.
• La mesure de la capacité permet ainsi de détecter l'apparition du givre et de quantifier son épaisseur.

Nécessité d'utiliser plusieurs capteurs de tailles différentes :

• La portée spatiale en altitude (profondeur de pénétration) des lignes de champ au-dessus de l'aile est de l'ordre de grandeur de l'espacement et de la dimension des électrodes.
• Dès que l'épaisseur de givre dépasse cette portée, la quasi-totalité des lignes de champ baigne déjà dans la glace : toute couche de glace supplémentaire ne modifie plus l'environnement diélectrique traversé par les lignes de champ, et la capacité sature à un palier maximal (courbe de la figure 11).
• Le petit capteur (capacité C_1) offre une excellente sensibilité aux très faibles dépôts (détection précoce du givrage), mais sature pour de faibles épaisseurs.
• Les capteurs plus larges et plus espacés (C_2 puis C_3) possèdent une zone de détection plus étendue en altitude : ils saturent à des épaisseurs de glace bien plus grandes, mais sont moins sensibles aux tout premiers micromètres de givre.
• L'association de plusieurs capteurs de tailles échelonnées permet donc d'allier détection précoce et large dynamique de mesure de l'épaisseur de glace accumulée.

Le principe de la mesure d'épaisseur par ultrasons repose sur la méthode échographique (temps de vol) :

1. Émission et propagation : Un transducteur piézoélectrique placé sur la paroi de la structure émet une impulsion ultrasonore brève qui se propage à travers la couche de glace à la célérité c_{\text{glace}}.
2. Réflexion à l'interface : Lorsque l'onde atteint l'interface glace/air, la rupture d'impédance acoustique entre les deux milieux entraîne la réflexion partielle (ou quasi-totale) de l'onde, générant un écho en retour vers le transducteur.
3. Mesure du retard : Le même transducteur (ou un récepteur associé) détecte l'écho après une durée d'aller-retour \Delta t.

L'onde ayant parcouru une distance égale à deux fois l'épaisseur e de la couche de givre, on en déduit directement :

La connaissance préalable de la célérité du son dans la glace c_{\text{glace}} permet ainsi de déterminer précisément l'épaisseur e.

À l'instant t, le système fermé \Sigma^* est constitué par l'union :

• de la masse d'air M(t) contenue à cet instant dans le volume de contrôle \Sigma du réacteur, dont la quantité de mouvement associée est notée \vec{p}(t) ;
• de la masse élémentaire d'air \delta m_e qui va pénétrer dans le réacteur pendant le court intervalle [t, t + \mathrm{d}t], animée de la vitesse \vec{v}_e et possédant donc la quantité de mouvement \delta m_e \, \vec{v}_e.

Par additivité de la quantité de mouvement pour un ensemble de parties disjointes, on obtient :

À l'instant t + \mathrm{d}t, le système fermé (\Sigma^*) est constitué :

• de la masse de fluide M(t+\mathrm{d}t) contenue dans le volume de contrôle (\Sigma) du turboréacteur, de quantité de mouvement \vec{p}(t+\mathrm{d}t) ;
• de la masse élémentaire de gaz sortie pendant la durée \mathrm{d}t, \delta m_s, animée de la vitesse \vec{v}_s.

Par additivité de la quantité de mouvement pour un système matériel, il vient :

La variation élémentaire de la quantité de mouvement du système fermé \Sigma^* entre les instants t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q25 et Q26 :

En régime stationnaire :

• l'état du fluide dans le volume fixe du réacteur ne dépend pas du temps, la quantité de mouvement contenue dans le réacteur est constante :

  \vec{p}(t+\mathrm{d}t) - \vec{p}(t) = \vec{0}

• la masse totale M(t) dans le réacteur est constante (\mathrm{d}M = 0), d'où la conservation de la masse entrante et sortante pendant la durée \mathrm{d}t :

  \delta m_e = \delta m_s = \delta m = D_m\,\mathrm{d}t

  où D_m désigne le débit massique traversant le turboréacteur.

Il vient alors :

En divisant par \mathrm{d}t, on obtient :

On applique les lois de la dynamique au système fermé \Sigma^*, constitué de l'air contenu dans le turboréacteur à l'instant t complété par la tranche de fluide entrante \delta m_e.

On se place dans le référentiel lié au turboréacteur (référentiel de l'avion), supposé galiléen (en vol rectiligne uniforme).

Le bilan des forces extérieures exercées sur le système fermé \Sigma^* comprend :

• L'action à distance de la pesanteur : le poids du fluide, négligé d'après les hypothèses générales du problème (« Les effets de la gravité sur l'air seront négligés dans l'ensemble du problème »).
• Les actions de contact aux parois solides : la résultante des forces de pression et de frottement visqueux exercées par les parois internes et les pièces mobiles du turboréacteur (carter, aubes de compresseur et de turbine) sur l'air, notée \vec{F}_{\text{avion}\to\text{air}}.

• Les actions de contact de pression du fluide extérieur :

  • sur la section d'entrée S_e, la force pressante exercée par l'air amont, dirigée vers l'intérieur :

    \vec{F}_{P,e} = \iint_{S_e} P_e\,\vec{n}_e\,\mathrm{d}S = P_e\,S_e\,\vec{u}_x

    en supposant la pression P_e uniforme et où \vec{u}_x est unitaire orienté dans le sens de l'écoulement ;

  • sur la section de sortie S_s, la force pressante exercée par l'air aval, dirigée vers l'intérieur (opposée à l'écoulement) :

    \vec{F}_{P,s} = \iint_{S_s} P_s\,\vec{n}_s\,\mathrm{d}S = -P_s\,S_s\,\vec{u}_x

    en supposant la pression P_s uniforme.

La résultante des forces extérieures appliquées à \Sigma^* s'écrit donc :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué au système fermé \Sigma^* en régime stationnaire s'écrit :

D'après la question Q27, le membre de gauche vaut D_m(\vec{v}_s - \vec{v}_e).

D'après le bilan des forces établi en Q28, la résultante des forces extérieures appliquées à \Sigma^* s'écrit :

où \vec{P}_{\text{air}} est le poids de l'air (négligé d'après les hypothèses générales du sujet).

Pour conclure que \vec{F}_{\text{avion}\to\text{air}} = D_m(\vec{v}_s - \vec{v}_e), les approximations suivantes sont nécessaires :

1. Négliger les forces de pression sur les sections d'entrée et de sortie (ou supposer une tuyère adaptée P_s = P_0 et une entrée non comprimée P_e = P_0, ou encore que les termes de pression différentielle (P_e - P_0)S_e et (P_s - P_0)S_s sont négligeables devant la poussée cinétique).
2. Négliger l'apport de masse du carburant injecté dans la chambre de combustion devant le débit massique d'air (D_{m,\text{carburant}} \ll D_m), ce qui permet de poser D_{m,s} = D_{m,e} = D_m.
3. Modèle d'écoulement unidirectionnel et uniforme dans les sections d'entrée et de sortie, permettant de caractériser le flux de quantité de mouvement par une vitesse unique \vec{v}_e et \vec{v}_s sur chaque section.

D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force exercée par l'air sur l'avion est l'opposée de la force exercée par le réacteur sur l'air :

En utilisant le résultat de la question Q29 :

Orientons un axe horizontal (Ox) selon le vecteur unitaire \vec{u}_x dirigé de gauche à droite (sens de l'écoulement de l'air à travers le réacteur). Dans le référentiel du réacteur :

Il vient ainsi :

L'entrée d'air étant située à gauche, l'avion vole vers la gauche dans le référentiel de l'air au repos. Pour que la force exercée par l'air sur l'avion soit propulsive (poussée motrice dans le sens du mouvement de l'aéronef), elle doit être dirigée vers l'avant de l'appareil, c'est-à-dire vers la gauche (-\vec{u}_x) :

La norme de la vitesse du gaz en sortie de tuyère v_s doit donc être strictement supérieure à celle de l'air en entrée de réacteur v_e.