Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie PSI 2024

Non, on ne peut pas appliquer directement le principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) à ce système.

En effet, le principe fondamental de la dynamique est formulé pour un système fermé, constitué d'une quantité de matière fixée (de masse constante et d'identité de particules invariante).

Or, le système {candidat + flyboard + eau qu'il contient} est un système ouvert : il échange continûment de la matière avec l'extérieur via l'entrée d'eau par le tuyau d'alimentation (section S_{\mathrm{e}}) et la sortie d'eau par les deux tuyères (section S_{\mathrm{s}}).

Pour déterminer les efforts ou le bilan dynamique, il convient de définir un système fermé coïncident \Sigma entre deux instants voisins t et t + \mathrm{d}t.

Par définition, un écoulement est en régime stationnaire (ou régime permanent) lorsque les grandeurs physiques en tout point fixe de l'espace sont indépendantes du temps :

Concrètement, pour les grandeurs associées aux sections d'entrée et de sortie du système :

• les sections S_{\mathrm{e}} et S_{\mathrm{s}} des conduites sont géométriquement indéformables au cours du temps :

  \boxed{\frac{\mathrm{d}S_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t} = 0 \quad \text{et} \quad \frac{\mathrm{d}S_{\mathrm{s}}}{\mathrm{d}t} = 0}

• les normes des vitesses de l'eau à l'entrée v_{\mathrm{e}} et aux sorties v_{\mathrm{s}} (ainsi que les vecteurs vitesse \vec{v}_{\mathrm{e}} et \vec{v}_{\mathrm{s}}) sont constantes au cours du temps :

  \boxed{\frac{\mathrm{d}v_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t} = 0 \quad \text{et} \quad \frac{\mathrm{d}v_{\mathrm{s}}}{\mathrm{d}t} = 0}

Le système fermé \Sigma est constitué de l'ensemble de la matière présente dans le flyboard à l'instant t, complétée par la masse d'eau qui y entre entre t et t + \mathrm{d}t.

Sa composition aux deux instants s'écrit :

• À l'instant t :

  \Sigma(t) = \Sigma^*(t) \cup \mathrm{d}m_{\mathrm{e}}

  où \Sigma^*(t) est l'eau contenue dans le flyboard à l'instant t, et \mathrm{d}m_{\mathrm{e}} = \mu S_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{e}} \, \mathrm{d}t est la tranche infinitésimale de fluide située juste avant la section d'entrée, qui va pénétrer dans le flyboard durant l'intervalle [t, t + \mathrm{d}t].

• À l'instant t + \mathrm{d}t :

  \Sigma(t + \mathrm{d}t) = \Sigma^*(t + \mathrm{d}t) \cup \mathrm{d}m_{\mathrm{s}}

  où \Sigma^*(t + \mathrm{d}t) est l'eau contenue dans le flyboard à l'instant t + \mathrm{d}t, et \mathrm{d}m_{\mathrm{s}} = \mathrm{d}m_{\mathrm{s},1} + \mathrm{d}m_{\mathrm{s},2} = 2 \mu S_{\mathrm{s}} v_{\mathrm{s}} \, \mathrm{d}t représente la masse d'eau expulsée à travers les deux tuyères de sortie durant l'intervalle [t, t + \mathrm{d}t].

Le débit volumique D_{\mathrm{v}} à travers une surface orientée \mathcal{S} traversée par un fluide de vitesse \vec{v} est défini par le flux du champ de vitesse :

Il représente le volume de fluide traversant cette surface par unité de temps : D_{\mathrm{v}} = \dfrac{\delta V}{\mathrm{d}t}.

Le fluide étant supposé incompressible et homogène (\mu = \text{cste}), l'équation locale de conservation de la masse s'écrit \mathrm{div}\,\vec{v} = 0. De plus, en régime stationnaire, il n'y a pas d'accumulation de matière au sein du système. Par conséquent, le débit massique D_{\mathrm{m}} = \mu D_{\mathrm{v}} est conservé le long de l'écoulement. La masse volumique \mu étant uniforme et constante, le débit volumique D_{\mathrm{v}} se conserve également.

L'écoulement étant supposé uniforme sur chaque section :

• À l'entrée, à travers l'unique tuyau de section S_{\mathrm{e}} :

  \boxed{D_{\mathrm{v}} = S_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{e}}}

• À la sortie, à travers les deux tuyères identiques de section S_{\mathrm{s}} chacune :

  \boxed{D_{\mathrm{v}} = 2 S_{\mathrm{s}} v_{\mathrm{s}}}

Considérons le système fermé \Sigma défini à la question Q3, constitué du fluide contenu dans le flyboard \Sigma^*(t) et de la masse entrante \mathrm{d}m_{\mathrm{e}} à l'instant t.

En régime permanent, la masse élémentaire entrant pendant \mathrm{d}t est égale à la masse élémentaire sortant par les deux tuyères :

La quantité de mouvement du système fermé \Sigma s'écrit aux instants t et t+\mathrm{d}t :

Le régime étant stationnaire, l'état du fluide dans \Sigma^* ne dépend pas du temps : \vec{P}_{\Sigma^*}(t+\mathrm{d}t) = \vec{P}_{\Sigma^*}(t).

Avec \vec{v}_{\mathrm{e}} = v_{\mathrm{e}}\vec{e}_z et \vec{v}_{\mathrm{s}} = -v_{\mathrm{s}}\vec{e}_z, la variation de quantité de mouvement est :

Faisons le bilan des forces extérieures s'exerçant sur \Sigma (qui coïncide géométriquement avec \Sigma^* à l'ordre 0 en \mathrm{d}t) :

• le poids de l'eau contenue dans le flyboard : \vec{P}_{\mathrm{poids}} = -M_{\mathrm{eau}}g\vec{e}_z ;
• la force pressante en entrée de section S_{\mathrm{e}} (la normale sortante étant -\vec{e}_z) : \vec{F}_{P,\mathrm{e}} = P_{\mathrm{e}}S_{\mathrm{e}}\vec{e}_z ;
• la force pressante atmosphérique aux deux sorties de section cumulée 2S_{\mathrm{s}} (la normale sortante étant également -\vec{e}_z) : \vec{F}_{P,\mathrm{s}} = 2P_0S_{\mathrm{s}}\vec{e}_z ;
• l'action mécanique exercée par les parois intérieures du flyboard sur le fluide, qui vaut par la troisième loi de Newton : \vec{F}_{\mathrm{parois}\to\mathrm{eau}} = -F\vec{e}_z.

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à \Sigma dans le référentiel d'étude galiléen :

En projetant sur \vec{e}_z :

soit :

En utilisant les relations établies à la question Q4, v_{\mathrm{e}} = \frac{D_{\mathrm{v}}}{S_{\mathrm{e}}} et v_{\mathrm{s}} = \frac{D_{\mathrm{v}}}{2S_{\mathrm{s}}} :

On identifie bien la forme recherchée :

avec :

Pour appliquer le théorème de Bernoulli, les conditions suivantes doivent être satisfaites :

• le fluide est supposé parfait (viscosité négligée) ;
• le fluide est homogène et incompressible (\mu = \text{cte}) ;
• l'écoulement s'effectue en régime stationnaire ;
• la seule force volumique à distance est la pesanteur, qui dérive d'une énergie potentielle volumique e_{\mathrm{p,vol}} = \mu g z.

Ces conditions étant vérifiées, la quantité P + \frac{1}{2}\mu v^2 + \mu g z est constante le long d'une ligne de courant.

On applique ce théorème entre :

• un point \mathrm{E} situé à l'entrée du tube central à la surface libre : z_{\mathrm{e}} = 0, P(\mathrm{E}) = P_{\mathrm{e}} et v(\mathrm{E}) = v_{\mathrm{e}} ;
• un point \mathrm{S} situé à la section de sortie de l'une des deux tuyères : z_{\mathrm{s}} = H, v(\mathrm{S}) = v_{\mathrm{s}}, et la pression y vaut la pression atmosphérique extérieure P(\mathrm{S}) = P_0 par continuité de la pression à la traversée de la surface libre d'un jet libre dans l'air.

La relation de Bernoulli s'écrit :

Soit, avec z_{\mathrm{e}} = 0 et z_{\mathrm{s}} = H :

D'après la question Q4, on a v_{\mathrm{e}} = \dfrac{D_{\mathrm{v}}}{S_{\mathrm{e}}} et v_{\mathrm{s}} = \dfrac{D_{\mathrm{v}}}{2S_{\mathrm{s}}}. On en déduit l'expression demandée :

D'après le résultat de la question Q5, la projection sur \vec{e}_z de la force exercée par l'eau sur les parois intérieures du flyboard s'écrit :

En injectant l'expression de la pression d'entrée P_{\mathrm{e}} établie à la question Q6 :

on obtient :

En remplaçant \alpha par son expression :

On retrouve bien l'expression demandée avec :

D'après l'énoncé, la masse d'eau contenue dans les tuyaux de la plateforme est négligeable devant celle du tube d'alimentation de hauteur H et de section S_{\mathrm{e}} car H \gg h. La masse totale d'eau contenue dans le flyboard s'écrit donc simplement comme le produit de la masse volumique \mu par le volume du tube d'alimentation :

D'après le résultat de la question Q7, la force F exercée par l'eau sur les parois intérieures du flyboard s'exprime selon :

En substituant l'expression de M_{\mathrm{eau}}, les deux termes de pesanteur se compensent exactement :

On obtient ainsi l'expression simplifiée de F :

On applique le principe fondamental de la dynamique (PFD) au système fermé {candidat + flyboard à vide} de masse M, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

À l'équilibre à l'altitude H, l'accélération du système est nulle :

Le système est soumis aux actions extérieures suivantes :

• Son poids :

  \vec{P} = -M g \vec{e}_z

• La force de contact exercée par l'eau sur les parois intérieures, dont l'expression simplifiée a été établie à la question Q8 :

  \vec{F}_{\text{eau} \to \text{parois}} = F \vec{e}_z = \left[ P_0(2S_{\mathrm{s}} + S_{\mathrm{e}}) + \mu D_{\mathrm{v}}^2 \beta \right] \vec{e}_z

• La résultante des forces de pression exercées par l'air atmosphérique uniforme à la pression P_0 sur l'ensemble de la surface extérieure du système, notée \mathcal{S}_{\text{ext}} :

  \vec{F}_{\text{atm}} = \iint_{\mathcal{S}_{\text{ext}}} -P_0 \vec{n}_{\text{ext}} \, \mathrm{d}S

Pour évaluer \vec{F}_{\text{atm}}, on remarque que la surface \mathcal{S}_{\text{ext}}, complétée par la section d'entrée S_{\mathrm{e}} et les deux sections de sortie 2S_{\mathrm{s}}, délimite un volume fermé. Les vecteurs normaux extérieurs à ce volume fermé au niveau des ouvertures sont tous orientés vers le bas, soit \vec{n}_{\text{ext}} = -\vec{e}_z (l'eau entrant par le bas et étant éjectée vers le bas).

Pour une pression uniforme P_0, l'intégrale sur toute surface fermée est nulle :

On en déduit :

La projection du PFD sur l'axe vertical \vec{e}_z s'écrit alors :

soit :

Les termes de pression atmosphérique P_0 se compensent exactement, ce qui conduit à :

Comme \beta > 0 et D_{\mathrm{v,eq}} > 0, on obtient bien :

D'après la question Q4, la conservation du débit volumique s'écrit :

On en déduit immédiatement les expressions littérales des vitesses :

Applications numériques : Avec D_{\mathrm{v,eq}} = 6,0 \cdot 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}, S_{\mathrm{e}} = 80\text{ cm}^2 = 8,0 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2 et S_{\mathrm{s}} = 25\text{ cm}^2 = 2,5 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2 :

D'après l'application du théorème de Bernoulli à la question Q6, la surpression \Delta P = P_{\mathrm{e}} - P_0 s'écrit :

En introduisant les vitesses v_{\mathrm{s}} = \dfrac{D_{\mathrm{v}}}{2S_{\mathrm{s}}} et v_{\mathrm{e}} = \dfrac{D_{\mathrm{v}}}{S_{\mathrm{e}}}, cette relation devient :

Évaluons séparément les deux contributions :

• Contribution de la hauteur de colonne d'eau (pesanteur) :

  \begin{aligned} \Delta P_{\mathrm{pes}} &= \mu g H \\ \Delta P_{\mathrm{pes}} &= 1,0 \cdot 10^3 \times 10 \times 5,0 = 5,0 \cdot 10^4\text{ Pa} = 0,50\text{ bar} \end{aligned}

• Contribution cinétique : avec v_{\mathrm{s}} = 12,0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et v_{\mathrm{e}} = 7,5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q10) :

  \begin{aligned} v_{\mathrm{s}}^2 - v_{\mathrm{e}}^2 &= 12,0^2 - 7,5^2 = 144 - 56,25 = 87,75\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2} \approx 90\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2} \\ \Delta P_{\mathrm{cin}} &= \frac{1}{2} \times 1,0 \cdot 10^3 \times 87,75 \approx 4,4 \cdot 10^4\text{ Pa} = 0,44\text{ bar} \end{aligned}

On en déduit la surpression totale :

Parmi les trois valeurs proposées, la bonne valeur numérique est donc :

La perte de charge \Delta P_{\mathrm{c}} a la dimension d'une pression :

Examinons les dimensions des grandeurs intervenant dans l'expression proposée :

• [\mu] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3} (masse volumique) ;
• [v_{\mathrm{e}}] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1} (vitesse) ;
• [\ell] = \mathrm{L} (longueur du tuyau) ;
• [\varepsilon] = \mathrm{L} (rugosité absolue) ;
• [d] = \mathrm{L} (diamètre du tuyau) ;
• [K] = 1 (K étant un coefficient adimensionné).

Le terme de droite s'écrit dimensionnellement :

Par identification des exposants avec [\Delta P_{\mathrm{c}}] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{T}^{-2} :

• sur la dimension de temps \mathrm{T} :

  -a = -2 \implies a = 2

• sur la dimension de longueur \mathrm{L} :

  a + b - 4 = -1 \implies 2 + b - 4 = -1 \implies b = 1

La dimension de la masse \mathrm{M} est quant à elle automatiquement vérifiée (1 = 1).

On en déduit :

Pour un fluide incompressible s'écoulant avec un débit volumique D_{\mathrm{v}}, la puissance des forces de pression reçue par le fluide lors de sa traversée de la pompe s'écrit :

La pompe aspire l'eau à la pression atmosphérique P_{\text{entrée}} = P_0 et la refoule à la base du tuyau d'alimentation à la pression P_{\text{sortie}} = P_{\mathrm{e}} + \Delta P_{\mathrm{c}}. La rehausse totale de pression procurée par la pompe est donc :

En identifiant la puissance fournie par la pompe à la puissance des forces de pression, on obtient :

Commentaire sur la faiblesse de la puissance obtenue :

La valeur de 12\text{ kW} ne représente que la puissance hydraulique utile minimale nécessaire pour maintenir le flyboard en équilibre stationnaire à H = 5\text{ m}. L'écart très important avec la gamme recommandée (75\text{ kW} à 125\text{ kW}, soit un facteur 6 à 10) s'explique par plusieurs facteurs physiques :

• Le rendement global du groupe moto-pompe : la turbine (hydrojet) et le moteur thermique du jetski présentent un rendement mécanique et hydraulique bien inférieur à 1 (typiquement \eta \approx 0{,}6 pour la pompe et 0{,}35 pour le moteur), ce qui augmente considérablement la puissance moteur requise.
• Les pertes de charge négligées : l'aspiration à la grille du jetski, les singularités (coudes, changements de section, bifurcations dans la plateforme vers les deux tuyères) engendrent des pertes de charge singulières non comptabilisées ici.
• Le besoin d'une réserve de puissance dynamique : la puissance calculée correspond à une sustentation purement statique. Pour décoller, accélérer, compenser les mouvements du pilote, s'élever plus haut ou exécuter des figures acrobatiques, une réserve de puissance importante est impérative.