Feuille d'entraînement : Induction électromagnétique

Corrigés

1. Exercice 1Mines-Ponts Physique 1 PSI 2025, Q17

   La force de Laplace élémentaire subie par un élément de conducteur filiforme \mathrm{d}\vec{\ell}, parcouru par un courant d'intensité I et plongé dans un champ magnétique extérieur \vec{B}, s'écrit :

   \mathrm{d}\vec{F}_L = I\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B}

   Pour un conducteur filiforme orienté dans le sens du courant, la force totale est :

   \vec{F}_L = \int I\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B}

   Pour un barreau rectiligne de vecteur longueur \vec{d} reliant les deux rails dans un champ uniforme \vec{B}, cette expression devient :

   \vec{F}_L = I\,\vec{d} \wedge \vec{B}

   Appliquons le principe fondamental de la dynamique au projectile de masse m dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. En négligeant les frottements et le poids (justifié à la question Q16), la force propulsive est uniquement la force de Laplace :

   m\vec{a} = \vec{F}_L = I\,\vec{d} \wedge \vec{B}

   En norme, la force propulsive vérifie :

   F_L = I\,d\,B |\sin\theta| = m a

   où \theta désigne l'angle entre le vecteur longueur \vec{d} (porté par l'axe transversal reliant les deux rails) et le champ magnétique \vec{B}.

   Pour obtenir l'accélération a souhaitée avec une intensité de champ magnétique minimale B_0, il faut maximiser la force de Laplace pour un champ donné. Il convient donc de choisir :

   1. un champ \vec{B} orthogonal à la tige transversale (\sin\theta = 1) ;
   2. un champ \vec{B} orthogonal à la direction des rails, de sorte que la force \vec{F}_L = I\,\vec{d}\wedge\vec{B} soit entièrement colinéaire à l'axe du canon (direction de l'accélération \vec{a}).

   Sous ces conditions optimales, m a = I d B_0, ce qui donne :

   \boxed{B_0 = \frac{m a}{I d}}

   Résultat

   $$B_0=\frac{ma}{Id}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Mines-Ponts Physique 1 PSI 2025, Q20

   La loi de Faraday stipule que la force électromotrice induite e apparaissant dans un circuit fermé orienté \Gamma, bordant une surface orientée S, est égale à l'opposé de la dérivée par rapport au temps du flux magnétique \Phi à travers ce contour :

   \boxed{e = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}}

   avec :

   \Phi = \iint_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

   la normale à la surface étant orientée selon la règle de la main droite associée au sens de parcours de \Gamma.

   On distingue traditionnellement :

   • l'induction de Neumann : le contour est géométriquement fixe dans le référentiel d'étude, mais le champ magnétique varie dans le temps (\partial\vec{B}/\partial t \neq \vec{0}). La f.é.m. provient de la circulation du champ électrique induit :

     e_{\text{Neumann}} = -\iint_S \frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

   • l'induction de Lorentz : le champ magnétique est stationnaire (\partial\vec{B}/\partial t = \vec{0}), mais le circuit se déplace ou se déforme à une vitesse \vec{v}. La f.é.m. provient de l'action de la force magnétique de Lorentz sur les porteurs de charge :

     e_{\text{Lorentz}} = \oint_\Gamma (\vec{v}\wedge\vec{B})\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}

   Dans le cas de la figure 7 :

   • Le projectile se déplace à la vitesse \vec{v} = \dot{X}\,\vec{e}_x, ce qui entraîne une déformation temporelle du contour du circuit (dont l'aire augmente au fur et à mesure que X(t) croît) : il s'agit d'une induction de Lorentz.
   • Le courant I(t) traversant le circuit n'est pas constant : il varie au cours de la propulsion. Le champ magnétique \vec{B} qu'il engendre dépend donc explicitement du temps (\partial\vec{B}/\partial t \neq \vec{0}), ce qui correspond à une induction de Neumann.

   Cette distinction montre que les deux situations sont présentes simultanément : il y a coexistence d'une induction de Lorentz et d'une induction de Neumann. La loi de Faraday globale e = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} prend naturellement en compte ces deux effets sans qu'il soit nécessaire de les dissocier.

   Résultat

   $$e=-\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 1 PSI 2025, Q21

   Orientons le contour fermé du circuit dans le sens du courant I(t) issu de la borne positive du générateur de tension continue E_0.

   Le flux magnétique total à travers le circuit se réduit ici à son flux propre :

   \Phi(t) = L(X(t))\,I(t)

   D'après la loi de Faraday (rappelée à la question Q20), la force électromotrice induite dans la maille s'écrit :

   e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(L(X)\,I(t)\big)

   La loi des mailles appliquée au circuit fermé (constitué du générateur, des rails et du projectile de résistance totale R(X)) donne :

   E_0 + e(t) = R(X)\,I(t) \iff E_0 = R(X)\,I(t) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(L(X)\,I(t)\big)

   En développant la dérivée du produit, sachant que X dépend du temps :

   \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(L(X)\,I(t)\big) = L(X)\,\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} + I(t)\,\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = L(X)\,\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} + I(t)\,\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}X}\,\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}

   On obtient ainsi l'équation électrique différentielle régissant le système :

   \boxed{E_0 = R(X)\,I(t) + L(X)\,\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} + I(t)\,\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}X}\,\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}}

   Résultat

   $$E_0=R(X)I(t)+L(X)\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+I(t)\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}X}\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}$$

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4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie PSI 2024, Q31

   L'apparition d'un courant dans l'enroulement R_1 s'explique par le phénomène d'induction électromagnétique :

   • les courants alternatifs circulant dans les enroulements statoriques créent un champ magnétique tournant dans l'entrefer ;
   • en raison de la variation temporelle de ce champ et de la rotation éventuelle du rotor, le flux magnétique envoyé par le stator à travers l'enroulement R_1 varie au cours du temps (\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} \neq 0) ;

   • d'après la loi de Faraday, cette variation de flux induit une force électromotrice (f.é.m.) :

     e = -\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}
   • l'enroulement R_1 étant fermé sur lui-même en court-circuit, cette f.é.m. induite fait circuler un courant induit i_{R_1}(t) dans ce circuit conducteur fermé.

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5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2024, Q24

   Le champ magnétique extérieur est uniforme et stationnaire : \vec{B} = B\,\vec{u}_x. À l'instant t, l'axe normal \vec{n}(t) à la spire, orienté selon la règle de la main droite avec le sens positif du courant i(t), forme l'angle \theta(t) = \omega t avec l'axe (Ox) :

   \vec{n}(t) = \cos(\omega t)\,\vec{u}_x + \sin(\omega t)\,\vec{u}_y.

   Le flux magnétique extérieur à travers la spire de surface S s'écrit donc :

   \Phi_{\text{ext}}(t) = \iint_S \vec{B} \cdot \vec{n}\,\mathrm{d}S = B S \cos(\omega t).

   D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite d'origine extérieure est :

   e_{\text{ext}}(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi_{\text{ext}}}{\mathrm{d}t} = B S \omega \sin(\omega t).

   En tenant compte du phénomène d'auto-induction lié à l'inductance propre L, le flux propre est \Phi_p = L i(t), soit une force électromotrice d'auto-induction e_p(t) = -L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}. La loi des mailles appliquée à la spire fermée sur elle-même de résistance R donne :

   e_{\text{ext}}(t) - L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = R i(t),

   soit l'équation différentielle linéaire régissant le courant :

   L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + R i(t) = B S \omega \sin(\omega t).

   En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, en associant à e_{\text{ext}}(t) = \operatorname{Im}\left(B S \omega \mathrm{e}^{j\omega t}\right) l'amplitude complexe \underline{E}_0 = B S \omega, le courant s'écrit i(t) = \operatorname{Im}\left(\underline{I}_0 \mathrm{e}^{j\omega t}\right) avec :

   \begin{aligned} \underline{I}_0 &= \frac{\underline{E}_0}{R + j L \omega} = \frac{B S \omega}{\sqrt{R^2 + L^2 \omega^2}}\,\mathrm{e}^{-j\varphi}, \end{aligned}

   où \varphi désigne le déphasage défini par \tan\varphi = \frac{L\omega}{R} avec \varphi \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right[.

   En revenant à l'expression temporelle, on obtient :

   \boxed{i(t) = \frac{B S \omega}{\sqrt{R^2 + L^2 \omega^2}} \sin(\omega t - \varphi) \quad \text{avec} \quad \tan\varphi = \frac{L\omega}{R}}

   ou, sous forme développée :

   i(t) = \frac{B S \omega}{R^2 + L^2 \omega^2} \left[ R \sin(\omega t) - L\omega \cos(\omega t) \right].

   Résultat

   $$i(t)=\frac{BS\omega }{\sqrt{R^2+L^2{\omega }^2}}\sin (\omega t-\phi )\text{avec}\tan \phi =\frac{L\omega }{R}$$

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6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2024, Q25

   Le rotor est modélisé par une spire plane de surface S, de normale unitaire \vec{n}(t), parcourue par le courant i(t). Son moment magnétique dipolaire s'écrit :

   \vec{M}(t) = i(t)\, S\, \vec{n}(t).

   D'après la figure 7, l'angle entre \vec{u}_x et la normale \vec{n}(t) vaut \omega t, de sorte que :

   \vec{n}(t) = \cos(\omega t)\,\vec{u}_x + \sin(\omega t)\,\vec{u}_y.

   Le champ magnétique est uniforme et constant : \vec{B} = B\,\vec{u}_x. Le moment du couple subi par la spire vaut alors :

   \begin{aligned} \vec{\Gamma}(t) &= \vec{M}(t) \wedge \vec{B} \\ &= i(t)\, S\, \bigl(\cos(\omega t)\,\vec{u}_x + \sin(\omega t)\,\vec{u}_y\bigr) \wedge \bigl(B\,\vec{u}_x\bigr) \\ &= i(t)\, S B \sin(\omega t)\, (\vec{u}_y \wedge \vec{u}_x) \\ &= - i(t)\, S B \sin(\omega t)\, \vec{u}_z. \end{aligned}

   La projection de ce couple sur l'axe de rotation (Oz) est donc :

   \Gamma_z(t) = - B S\, i(t) \sin(\omega t).

   D'après la question Q24, l'intensité en régime sinusoïdal forcé s'écrit :

   i(t) = I_0 \sin(\omega t - \varphi) \quad \text{avec} \quad I_0 = \frac{B S \omega}{\sqrt{R^2 + L^2\omega^2}} \quad \text{et} \quad \tan\varphi = \frac{L\omega}{R} \quad \left(\varphi \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right[\right).

   En injectant cette expression dans \Gamma_z(t) :

   \Gamma_z(t) = - B S I_0 \sin(\omega t)\sin(\omega t - \varphi).

   À l'aide de la formule trigonométrique donnée dans l'énoncé, \sin a \sin b = \frac{1}{2}\bigl[\cos(a-b) - \cos(a+b)\bigr] :

   \sin(\omega t)\sin(\omega t - \varphi) = \frac{1}{2}\bigl[\cos\varphi - \cos(2\omega t - \varphi)\bigr].

   Le terme \cos(2\omega t - \varphi) étant de moyenne temporelle nulle, la valeur moyenne de la projection du moment du couple s'écrit :

   \langle \Gamma_z \rangle = -\frac{1}{2} B S I_0 \cos\varphi.

   Or, à partir du triangle des impédances, on a :

   \cos\varphi = \frac{R}{\sqrt{R^2 + L^2\omega^2}}.

   En remplaçant I_0 et \cos\varphi par leurs expressions :

   \begin{aligned} \langle \Gamma_z \rangle &= -\frac{1}{2} B S \left(\frac{B S \omega}{\sqrt{R^2 + L^2\omega^2}}\right) \left(\frac{R}{\sqrt{R^2 + L^2\omega^2}}\right) \\ &= -\frac{B^2 S^2 \omega R}{2(R^2 + L^2\omega^2)}. \end{aligned}

   \boxed{\langle \Gamma_z \rangle = -\frac{1}{2} B S I_0 \cos\varphi = -\frac{B^2 S^2 \omega R}{2\left(R^2 + L^2\omega^2\right)}}

   Interprétation du signe : Puisque R > 0, \omega > 0, B > 0 et S > 0, la moyenne \langle \Gamma_z \rangle est strictement négative. Le vecteur rotation de la spire étant orienté selon +\vec{u}_z, ce moment s'oppose à la rotation imposée : il s'agit d'un couple de freinage (ou couple résistant). Ce résultat illustre la loi de modération de Lenz, selon laquelle les effets induits (ici les forces de Laplace) s'opposent à la cause qui leur a donné naissance (la rotation du rotor).

   Résultat

   $$⟨{\Gamma }_z⟩=-\frac{1}{2}BS{I}_0\cos \phi =-\frac{B^2{S}^2\omega R}{2\left(R^2+L^2{\omega }^2\right)}$$

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7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 PSI 2024, Q10

   Lors de la chute à vitesse constante \vec{v}, l'intégralité de la puissance mécanique fournie pour vaincre le freinage inductif est convertie en puissance électrique dissipée par effet Joule au sein du tube :

   \mathcal{P}_{\text{méc, cédée}} = -\vec{F}\cdot\vec{v} = \mathcal{P}_\mathrm{J}

   La force de freinage inductif \vec{F} s'oppose au déplacement de l'aimant. Elle est donc colinéaire et de sens opposé à la vitesse \vec{v} :

   \vec{F} = -\lambda \vec{v} \quad \text{avec } \lambda > 0

   La puissance cédée s'écrit alors :

   -\vec{F}\cdot\vec{v} = \lambda v^2

   En identifiant avec l'expression donnée par l'énoncé, \mathcal{P}_\mathrm{J} = K M_0^2 v^2, on obtient directement le coefficient de frottement :

   \lambda = K M_0^2

   D'où l'expression vectorielle de la force de freinage exercée sur l'aimant :

   \boxed{\vec{F} = -K M_0^2 \vec{v}}

   Comme \vec{v} = -v\,\vec{e}_z avec v > 0, cette force est dirigée verticalement vers le haut :

   \vec{F} = K M_0^2 v\,\vec{e}_z

   Résultat

   $$\vec{F}=-K{M}_0^2\vec{v}$$

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8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 PSI 2024, Q15

   Munissons l'espace d'un repère orthonormé direct (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) tel que :

   • \vec{e}_x est horizontal, orienté dans le sens d'avancement du train ;
   • \vec{e}_z est vertical ascendant ;
   • \vec{e}_y = \vec{e}_z \times \vec{e}_x est perpendiculaire au plan de la figure et dirigé vers l'observateur.

   D'après la question précédente, le champ magnétique dans le rail vaut :

   \vec{B}_{\text{gauche}} = B\,\vec{e}_z \quad (B > 0) \quad \text{et} \quad \vec{B}_{\text{droite}} = -B\,\vec{e}_z

   1. Détermination du sens de \vec{j} via le champ électromoteur :

   Dans le référentiel du train, le rail défile vers la gauche à la vitesse relative :

   \vec{v}_{\text{rail}} = -v\,\vec{e}_x \quad (v > 0)

   Le champ électromoteur d'induction s'écrit :

   \vec{E}_m = \vec{v}_{\text{rail}} \times \vec{B}

   Par la loi d'Ohm locale dans le rail (\vec{j} = \gamma \vec{E}_m) :

   • À l'aplomb de la bobine de gauche :

     \vec{j}_{\text{gauche}} = \gamma\,(-v\,\vec{e}_x) \times (B\,\vec{e}_z) = +\gamma v B\,\vec{e}_y

     Le courant induit est orthogonal au plan de la figure et sortant (orienté vers l'observateur, noté \odot).

   • À l'aplomb de la bobine de droite :

     \vec{j}_{\text{droite}} = \gamma\,(-v\,\vec{e}_x) \times (-B\,\vec{e}_z) = -\gamma v B\,\vec{e}_y

     Le courant induit est orthogonal au plan de la figure et entrant (orienté vers le fond, noté \otimes).

   2. Vérification par la loi de Lenz (force de Laplace) :

   La force volumique de Laplace subie par le rail s'écrit :

   \vec{f}_{\mathrm{L,rail}} = \vec{j} \times \vec{B}

   • Sous la bobine gauche : \vec{f}_{\mathrm{L}} = (j_y \vec{e}_y) \times (B \vec{e}_z) = j_y B\,\vec{e}_x. Pour j_y > 0, \vec{f}_{\mathrm{L}} est selon +\vec{e}_x.
   • Sous la bobine droite : \vec{f}_{\mathrm{L}} = (-j_y \vec{e}_y) \times (-B \vec{e}_z) = j_y B\,\vec{e}_x > 0.

   Dans les deux cas, la force sur le rail est dirigée vers l'avant (+\vec{e}_x). D'après la troisième loi de Newton, la force subie par le train est :

   \vec{F}_{\text{train}} = -\vec{F}_{\text{rail}} \propto - \vec{e}_x

   Il s'agit bien d'une force de freinage, conformément à la loi de modération de Lenz.

   \boxed{ \text{À l'aplomb de la bobine gauche : } \vec{j} \text{ est sortant } (\odot), \quad \text{à l'aplomb de la bobine droite : } \vec{j} \text{ est entrant } (\otimes). }

   Résultat

   $$\text{Aˋ l’aplomb de la bobine gauche : }\vec{j}\text{ est sortant }(\odot ),\text{aˋ l’aplomb de la bobine droite : }\vec{j}\text{ est entrant }(\otimes ).$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 2 PSI 2024, Q33

   Considérons le circuit fermé rectangulaire de la figure 7, constitué par le câble mobile de longueur \ell se déplaçant à la vitesse \vec{v} et refermé par le plasma ionosphérique.

   Orientons le contour de ce circuit dans le sens du courant I > 0 indiqué sur la figure 7 (dans le câble, de l'extrémité haute vers l'extrémité basse). Selon la règle du tire-bouchon, le vecteur surface associé \vec{S} est orthogonal au plan du circuit.

   Pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t, le câble balaie une aire élémentaire :

   \mathrm{d}\mathcal{A} = \ell\, v_0\,\mathrm{d}t

   Le champ magnétique terrestre \vec{B}_0, supposé uniforme et orthogonal au plan du mouvement (Oxy) d'après la question Q30 (\vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_z), traverse cette surface. La variation élémentaire de flux magnétique à travers le circuit s'écrit donc, selon le sens de progression choisi :

   |\mathrm{d}\Phi| = B_0\,\mathrm{d}\mathcal{A} = B_0\,\ell\,v_0\,\mathrm{d}t

   D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite orientée dans le sens du courant moteur I > 0 s'exprime par :

   \boxed{e = B_0\,\ell\,v_0}

   Remarque : On retrouve directement cette expression par la circulation du champ électromoteur de Lorentz \vec{E}_m = \vec{v} \times \vec{B}_0 le long du câble mobile :

   e = \int_\text{câble} (\vec{v} \times \vec{B}_0) \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = v_0 B_0 \ell

   Application numérique : Avec B_0 = 20\,\mu\mathrm{T} = 2{,}0 \cdot 10^{-5}\text{ T}, \ell = 5\text{ km} = 5{,}0 \cdot 10^3\text{ m} et v_0 = 7{,}4\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 7{,}4 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

   \begin{aligned} e &= 2{,}0 \cdot 10^{-5} \times 5{,}0 \cdot 10^3 \times 7{,}4 \cdot 10^3 \\ e &= 0{,}10 \times 7{,}4 \cdot 10^3 = 740\text{ V} \end{aligned}

   En se limitant à un chiffre significatif :

   \boxed{e \approx 7 \cdot 10^2\text{ V} \quad (= 740\text{ V})}

   Résultat

   $$e=B_0\ell v_0$$

   $$e\approx 7\cdot 10^2\text{ V}(=740\text{ V})$$

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10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie PSI 2023, Q30

    a) Énergie magnétique stockée dans la machine

    Le système est constitué de trois circuits couplés en régime magnétique linéaire : les deux bobines statoriques (a et b) et la bobine rotorique (R). L'énergie magnétique s'écrit de manière générale :

    \begin{aligned} W_{\text{magn}} &= \frac{1}{2}L_a i_a^2(t) + \frac{1}{2}L_b i_b^2(t) + \frac{1}{2}L_{\mathrm{R}} I_{\mathrm{R}}^2 + M_{ab}\,i_a(t)\,i_b(t) + M_{a\mathrm{R}}\,i_a(t)\,I_{\mathrm{R}} + M_{b\mathrm{R}}\,i_b(t)\,I_{\mathrm{R}} \end{aligned}

    En utilisant les données du problème ainsi que les résultats de la question Q29 :

    • L_a = L_b = L_{\mathrm{S}} ;
    • M_{ab} = 0 (bobines statoriques en quadrature spatiale) ;
    • M_{a\mathrm{R}} = M_0 \cos(\theta_{\mathrm{R}}) ;
    • M_{b\mathrm{R}} = M_0 \sin(\theta_{\mathrm{R}}).

    Il vient ainsi :

    \boxed{W_{\text{magn}} = \frac{1}{2}L_{\mathrm{S}}\left(i_a^2(t) + i_b^2(t)\right) + \frac{1}{2}L_{\mathrm{R}} I_{\mathrm{R}}^2 + M_0 I_{\mathrm{R}}\left(i_a(t)\cos(\theta_{\mathrm{R}}) + i_b(t)\sin(\theta_{\mathrm{R}})\right)}

    b) Couple électromagnétique \Gamma_{\mathrm{em}}

    Le couple électromagnétique s'obtient par dérivation partielle de l'énergie magnétique par rapport à la variable d'espace \theta_{\mathrm{R}}, à courants constants :

    \begin{aligned} \Gamma_{\mathrm{em}} &= \frac{\partial W_{\text{magn}}}{\partial \theta_{\mathrm{R}}} \\ &= M_0 I_{\mathrm{R}}\left( -i_a(t)\sin(\theta_{\mathrm{R}}) + i_b(t)\cos(\theta_{\mathrm{R}}) \right) \end{aligned}

    Injectons les expressions des courants statoriques :

    \begin{aligned} i_a(t) &= I_{\mathrm{Seff}}\sqrt{2}\cos(\omega_{\mathrm{s}}t) \\ i_b(t) &= I_{\mathrm{Seff}}\sqrt{2}\sin(\omega_{\mathrm{s}}t) \end{aligned}

    Le terme entre parenthèses devient :

    \begin{aligned} -i_a(t)\sin(\theta_{\mathrm{R}}) + i_b(t)\cos(\theta_{\mathrm{R}}) &= I_{\mathrm{Seff}}\sqrt{2} \left[ \sin(\omega_{\mathrm{s}}t)\cos(\theta_{\mathrm{R}}) - \cos(\omega_{\mathrm{s}}t)\sin(\theta_{\mathrm{R}}) \right] \end{aligned}

    À l'aide de la formule trigonométrique \sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b, on reconnaît :

    \begin{aligned} \sin(\omega_{\mathrm{s}}t)\cos(\theta_{\mathrm{R}}) - \cos(\omega_{\mathrm{s}}t)\sin(\theta_{\mathrm{R}}) = \sin(\omega_{\mathrm{s}}t - \theta_{\mathrm{R}}) \end{aligned}

    On en déduit l'expression du couple électromagnétique :

    \boxed{\Gamma_{\mathrm{em}} = M_0 I_{\mathrm{R}} I_{\mathrm{Seff}}\sqrt{2} \sin(\omega_{\mathrm{s}}t - \theta_{\mathrm{R}})}

    Résultat

    $$W_{\text{magn}}=\frac{1}{2}{L}_{\mathrm{S}}\left(i_a^2(t)+i_b^2(t)\right)+\frac{1}{2}{L}_{\mathrm{R}}{I}_{\mathrm{R}}^2+M_0{I}_{\mathrm{R}}\left(i_a(t)\cos ({\theta }_{\mathrm{R}})+i_b(t)\sin ({\theta }_{\mathrm{R}})\right)$$

    $${\Gamma }_{\mathrm{em}}=M_0{I}_{\mathrm{R}}{I}_{\mathrm{Seff}}\sqrt{2}\sin ({\omega }_{\mathrm{s}}t-{\theta }_{\mathrm{R}})$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question