Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie PSI 2023 (page 3/3 : Partie IV)

D'après l'énoncé, pour un conducteur aller, le courant d'intensité I circule selon le vecteur +\vec{\mathrm{e}}_z. L'élément de longueur orienté s'écrit donc :

Le champ magnétique statorique dans l'entrefer étant radial, \vec{B}_{\mathrm{s}} = B_{\mathrm{s}}\,\vec{\mathrm{e}}_r, la force de Laplace élémentaire s'exerçant sur une portion de conducteur s'écrit :

La base cylindrique (\vec{\mathrm{e}}_r, \vec{\mathrm{e}}_\theta, \vec{\mathrm{e}}_z) étant directe, on a \vec{\mathrm{e}}_z \wedge \vec{\mathrm{e}}_r = \vec{\mathrm{e}}_\theta. Le champ B_{\mathrm{s}} étant uniforme le long du conducteur, l'intégration sur la longueur L donne directement :

Chaque point du conducteur rotorique est situé à la distance R de l'axe de rotation (Oz), c'est-à-dire à une position repérée par \vec{r} = R\,\vec{\mathrm{e}}_r + z\,\vec{\mathrm{e}}_z. Le moment élémentaire de la force de Laplace par rapport à l'axe (Oz) vaut :

En intégrant le long du conducteur de longueur L, on obtient le moment de la force de Laplace s'exerçant sur le conducteur aller :

D'après la question Q25, le moment de la force de Laplace exercée sur les conducteurs du rotor est proportionnel au rayon R :

Dans une machine synchrone inversée, le rotor est externe (situé en périphérie) et entoure le stator interne :

• Augmentation du couple : À encombrement global fixé, le rayon R des conducteurs (ou des aimants) du rotor est maximalisé, ce qui permet de développer un couple moteur \Gamma nettement plus important qu'avec une machine conventionnelle à rotor interne de même taille.
• Vitesse de rotation adaptée au pédalage : Pour une puissance mécanique donnée (P_{\text{méca}} = \Gamma\,\Omega), l'obtention d'un couple élevé autorise une vitesse de rotation \Omega plus faible, directement compatible avec la cadence de pédalage d'un cycliste (de l'ordre de 60 à 100\text{ tr}\cdot\text{min}^{-1}).
• Suppression du réducteur mécanique : Cette adéquation directe entre la vitesse du moteur et celle du pédalier permet de s'affranchir d'un réducteur mécanique à engrenages (ou de l'alléger considérablement).

Pour le VAE, les bénéfices directs sont :

• un gain de masse significatif, limitant l'alourdissement du vélo ;
• une compacité accrue (intégration aisée dans le moyeu de roue ou le pédalier) ;
• un meilleur rendement énergétique (absence de pertes par frottement mécanique dans le réducteur) ;
• une plus grande fiabilité et une maintenance réduite (moins de pièces mécaniques en mouvement).

1. Tracé de la fonction B_1(\theta) :

D'après les données de l'énoncé, le champ magnétique créé par une spire unique vaut :

2. Répartition des conducteurs pour créer \vec{B}_3 = B_3(\theta)\vec{\mathrm{e}}_r :

D'après le théorème d'Ampère appliqué à un contour traversant l'entrefer, le franchissement d'un conducteur parcouru par un courant d'intensité I impose une discontinuité du champ magnétique radial :

• un conducteur aller (\odot, orienté selon +\vec{\mathrm{e}}_z) provoque une augmentation de champ \Delta B = +2B_0 lorsque \theta croît ;
• un conducteur retour (\otimes, orienté selon -\vec{\mathrm{e}}_z) provoque une diminution de champ \Delta B = -2B_0 lorsque \theta croît.

Sur la figure 17, les sauts de champ s'effectuent par paliers d'amplitude 2B_0 aux abscisses angulaires suivantes :

• en \theta = -\dfrac{2\pi}{3} : saut de -3B_0 à -B_0 (\Delta B = +2B_0) \longrightarrow conducteur aller ;
• en \theta = -\dfrac{\pi}{2} : saut de -B_0 à +B_0 (\Delta B = +2B_0) \longrightarrow conducteur aller ;
• en \theta = -\dfrac{\pi}{3} : saut de +B_0 à +3B_0 (\Delta B = +2B_0) \longrightarrow conducteur aller ;
• en \theta = +\dfrac{\pi}{3} : saut de +3B_0 à +B_0 (\Delta B = -2B_0) \longrightarrow conducteur retour ;
• en \theta = +\dfrac{\pi}{2} : saut de +B_0 à -B_0 (\Delta B = -2B_0) \longrightarrow conducteur retour ;
• en \theta = +\dfrac{2\pi}{3} : saut de -B_0 à -3B_0 (\Delta B = -2B_0) \longrightarrow conducteur retour.

On en déduit la répartition des conducteurs dans l'entrefer :

Il s'agit d'un bobinage réparti d'axe horizontal Ox, constitué de trois spires (connectées en série) dont les conducteurs sont logés dans les encoches à ces six positions angulaires.

Le milieu étant linéaire, le champ magnétique total créé dans l'entrefer par les deux bobines du stator s'obtient par le principe de superposition :

En remplaçant les expressions des champs créés par chaque bobine :

En injectant les expressions des courants d'alimentation i_a(t) = I_{\mathrm{Seff}}\sqrt{2}\cos(\omega_{\mathrm{s}}t) et i_b(t) = I_{\mathrm{Seff}}\sqrt{2}\sin(\omega_{\mathrm{s}}t) :

D'après la formule trigonométrique \cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b), il vient :

Caractère tournant, vitesse et sens de rotation Un point d'amplitude maximale (ou de phase constante \varphi) du champ magnétique radial vérifie la condition :

La répartition spatiale du champ conserve une forme sinusoïdale invariable qui se déplace le long de l'entrefer : il s'agit donc bien d'un champ tournant.

• Sa vitesse angulaire de rotation est :

  \boxed{\Omega_{\mathrm{s}} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \omega_{\mathrm{s}}}

  ce qui correspond à une fréquence de rotation N_{\mathrm{s}} = \dfrac{\omega_{\mathrm{s}}}{2\pi} = f_{\mathrm{s}}.

• Puisque \theta(t) croît avec le temps t, le champ tourne dans le sens trigonométrique (sens direct, orienté par +\vec{\mathrm{e}}_z, de la bobine a vers la bobine b).

1. Expression de la mutuelle-inductance M_{bR} :

La bobine statorique (b) est identique à la bobine (a), mais décalée spatialement d'un angle de +\frac{\pi}{2} dans le sens trigonométrique (son axe magnétique est dirigé selon l'axe \mathrm{O}y).

L'angle relatif entre l'axe de la bobine du rotor et celui de la bobine (b) est donc \theta_{\mathrm{R}} - \frac{\pi}{2}. Sachant que M_{a\mathrm{R}} = M_0 \cos(\theta_{\mathrm{R}}), la mutuelle-inductance entre la bobine (b) et la bobine rotorique s'obtient par déphasage spatial :

En utilisant la relation trigonométrique \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(x), on obtient :

En effet, pour \theta_{\mathrm{R}} = \frac{\pi}{2}, l'axe du rotor coïncide avec celui de la bobine (b), ce qui correspond bien à un couplage magnétique maximal positif (M_{b\mathrm{R}} = M_0).

2. Valeur de la mutuelle-inductance M_{ab} :

Les deux bobines statoriques (a) et (b) possèdent des axes magnétiques orthogonaux (\mathrm{O}x et \mathrm{O}y). Par raison de symétrie, le flux du champ magnétique créé par l'une des bobines à travers les spires de la seconde est rigoureusement nul :

a) Énergie magnétique stockée dans la machine

Le système est constitué de trois circuits couplés en régime magnétique linéaire : les deux bobines statoriques (a et b) et la bobine rotorique (R). L'énergie magnétique s'écrit de manière générale :

En utilisant les données du problème ainsi que les résultats de la question Q29 :

• L_a = L_b = L_{\mathrm{S}} ;
• M_{ab} = 0 (bobines statoriques en quadrature spatiale) ;
• M_{a\mathrm{R}} = M_0 \cos(\theta_{\mathrm{R}}) ;
• M_{b\mathrm{R}} = M_0 \sin(\theta_{\mathrm{R}}).

Il vient ainsi :

b) Couple électromagnétique \Gamma_{\mathrm{em}}

Le couple électromagnétique s'obtient par dérivation partielle de l'énergie magnétique par rapport à la variable d'espace \theta_{\mathrm{R}}, à courants constants :

Injectons les expressions des courants statoriques :

Le terme entre parenthèses devient :

À l'aide de la formule trigonométrique \sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b, on reconnaît :

On en déduit l'expression du couple électromagnétique :

D'après la question Q30.b, le couple électromagnétique instantané s'écrit :

En introduisant la loi horaire \theta_{\mathrm{R}}(t) = \Omega t + \theta_0, il vient :

La valeur moyenne temporelle du couple électromagnétique est définie par :

Pour toute pulsation \omega_{\mathrm{s}} - \Omega \neq 0, le signal est purement alternatif sinusoïdal et sa moyenne temporelle est strictement nulle : \langle \Gamma_{\mathrm{em}} \rangle = 0.

Pour obtenir un couple moyen non nul, l'argument du sinus doit être indépendant du temps, ce qui impose la condition de synchronisme :

À cette vitesse de synchronisme, le couple instantané devient constant au cours du temps et coïncide avec sa valeur moyenne :

soit :

D'après la question Q31, le couple électromagnétique moyen à la pulsation de synchronisme \Omega = \Omega_1 = \omega_{\mathrm{s}} s'écrit :

Ce couple moteur est maximal lorsque la fonction \sin(\theta_0) est minimale, c'est-à-dire :

Ce couple maximal, noté \Gamma_{\mathrm{em,max}}, vaut alors :

L'expression du couple électromagnétique instantané fournie par l'énoncé est :

En regroupant les termes dépendant du temps t dans l'argument du sinus, on obtient :

1. Condition de synchronisme :

• Si \omega_{\mathrm{s}} - p\Omega \neq 0, le couple instantané \Gamma_{\mathrm{em},p}(t) est une fonction purement sinusoïdale du temps de pulsation |\omega_{\mathrm{s}} - p\Omega| \neq 0. Sa valeur moyenne sur une période est nulle :

  \langle \Gamma_{\mathrm{em},p} \rangle = 0

• Pour obtenir un couple moyen non nul, la pulsation apparente doit s'annuler, ce qui impose que l'argument soit indépendant du temps :

  \omega_{\mathrm{s}} - p\Omega = 0 \iff \Omega = \frac{\omega_{\mathrm{s}}}{p}

La nouvelle condition de synchronisme s'écrit donc :

2. Expression du couple électromagnétique moyen :

À la vitesse de synchronisme \Omega = \Omega_p, le couple électromagnétique instantané est indépendant du temps et rigoureusement égal à sa valeur moyenne :

Remarque : si l'on remplaçait strictement \theta_{\mathrm{R}}(t) = \Omega t + \theta_0 dans une expression physique du type \sin(\omega_{\mathrm{s}}t - p\theta_{\mathrm{R}}), l'argument contiendrait -p\theta_0, conduisant à un signe moins supplémentaire. En s'en tenant rigoureusement à la formule donnée dans le texte avec -(\Omega t - \theta_0), le terme de phase s'écrit bien +p\theta_0.

D'après la condition de synchronisme établie à la question Q33, la vitesse angulaire de rotation du rotor s'écrit :

où N est la vitesse de rotation mécanique en tours par seconde et f_{\mathrm{s}} = \frac{\omega_{\mathrm{s}}}{2\pi} la fréquence d'alimentation électrique.

Le choix d'un nombre élevé de paires de pôles p présente un double intérêt majeur :

• Réduction de la vitesse de rotation : à fréquence d'alimentation f_{\mathrm{s}} fixée, la vitesse de rotation mécanique est divisée par p, devenant directement compatible avec les faibles cadences de pédalage d'un cycliste ;
• Augmentation du couple développé : à courants d'alimentation constants, le couple électromagnétique moyen est proportionnel à p (\langle \Gamma_{\mathrm{em},p} \rangle \propto p), permettant de délivrer un couple important à basse vitesse.

Cette architecture à entraînement direct (« direct drive ») supprime le réducteur mécanique à engrenages (ou en réduit fortement le rapport de réduction), ce qui allège le vélo, diminue l'encombrement, élimine les frottements et l'usure mécanique, et supprime les bruits d'engrenage.

Pour une cadence de pédalage de N_{\text{péd}} = 90\text{ tr}\cdot\text{min}^{-1}, la fréquence de rotation du pédalier en tours par seconde est :

Si la machine synchrone est directement accouplée au pédalier avant, son rotor tourne à cette même vitesse (N = 1{,}5\text{ tr}\cdot\text{s}^{-1}). La fréquence des courants statoriques d'alimentation doit alors être :

Pour p = 10 paires de pôles, on obtient :