Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie PSI 2022 (page 3/3 : Parties V et VI)

Les équations des réactions de combustion complète s'écrivent :

• Pour le méthane :

  \mathrm{CH_4(g)} + 2\,\mathrm{O_2(g)} \longrightarrow \mathrm{CO_2(g)} + 2\,\mathrm{H_2O(l)}

  La combustion d'une mole de \mathrm{CH_4} dégage une énergie Q_{\mathrm{CH_4}} = 803\text{ kJ} et produit 1\text{ mol} de \mathrm{CO_2}.

• Pour le fuel :

  \mathrm{C_{16}H_{34}(l)} + \frac{49}{2}\,\mathrm{O_2(g)} \longrightarrow 16\,\mathrm{CO_2(g)} + 17\,\mathrm{H_2O(l)}

  La combustion d'une mole de fuel dégage une énergie Q_{\mathrm{fuel}} = 7\,600\text{ kJ} et produit 16\text{ mol} de \mathrm{CO_2}.

Calculons l'énergie libérée par mole de \mathrm{CO_2} rejetée dans l'atmosphère, notée q_{\mathrm{CO_2}} :

Pour une même production d'énergie thermique E, la quantité de matière de \mathrm{CO_2} rejetée est :

Comme q_{\mathrm{CO_2}}(\text{méthane}) > q_{\mathrm{CO_2}}(\text{fuel}), on a :

Le fuel produit environ \frac{803}{475} \approx 1{,}7 fois plus de \mathrm{CO_2} que le méthane pour une même quantité d'énergie libérée. La combustion du méthane est donc plus avantageuse en termes d'émissions de gaz à effet de serre.

1. Allure du diagramme et tracé du cycle

2. Lecture graphique et remplissage du tableau 1

• Point 4 (liquide saturé à P_4 = 1\text{ bar}, x_v = 0) : Le point se trouve sur la courbe d'ébullition à P = 1\text{ bar}. On y lit la température d'ébullition standard T_4 = 100^\circ\text{C} et l'enthalpie massique :

  h_4 \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• Point 1 (liquide haute pression, P_1 = 10\text{ bar}) : L'évolution dans la pompe étant isenthalpique, on a h_1 = h_4 \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et T_1 \approx 100^\circ\text{C} (le liquide est quasi incompressible).

• Point 3 (vapeur saturante à P_3 = 1\text{ bar}, x_v = 1) : Le point se situe sur la courbe de rosée à P = 1\text{ bar}. La température de changement d'état sous 1 bar est T_3 = 100^\circ\text{C}. On lit l'enthalpie massique de la vapeur saturante :

  h_3 \approx 2\,680\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

  L'entropie massique correspondante est s_3 \approx 7{,}36\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

• Point 2 (vapeur surchauffée, P_2 = 10\text{ bar}) : La détente dans la turbine étant adiabatique et réversible, elle est isentropique : s_2 = s_3 \approx 7{,}36\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}. En suivant l'isentrope passant par le point 3 jusqu'à l'isobare P = 10\text{ bar}, on lit :

  h_2 \approx 3\,100\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad T_2 \approx 320^\circ\text{C}

Le tableau complété est le suivant :

Pour un système ouvert traversé par un fluide en régime stationnaire, en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle macroscopiques, le premier principe s'écrit entre l'entrée e et la sortie s d'un organe :

où w_u est le travail utile massique et q le transfert thermique massique reçus par le fluide (convention récepteur).

1. Expressions en fonction des enthalpies massiques

• Turbine (évolution 2 \to 3) : l'évolution est adiabatique (q = 0), d'où :

  \boxed{w_{iT} = h_3 - h_2}

  En convention récepteur, w_{iT} < 0. Le travail massique récupéré par l'extérieur est |w_{iT}| = h_2 - h_3 > 0.

• Générateur de vapeur (évolution 1 \to 2) : il n'y a pas de parties mobiles (w_u = 0), la chaleur fournie par le générateur au fluide vaut :

  \boxed{q_{GV} = h_2 - h_1}

• Condenseur (évolution 3 \to 4) : sans transfert de travail utile (w_u = 0), le transfert thermique reçu par le fluide est q = h_4 - h_3 < 0. Le transfert thermique massique récupéré par le circuit secondaire est donc :

  \boxed{q_{\text{Cond}} = h_3 - h_4}

2. Applications numériques D'après les valeurs obtenues à la question précédente :

• h_1 \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_2 \approx 3\,100\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_3 \approx 2\,680\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_4 \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

On en déduit :

Remarque : La pompe étant isenthalpique (h_1 = h_4), on vérifie le bilan sur le cycle : |w_{iT}| + q_{\text{Cond}} = 420 + 2\,260 = 2\,680\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} = q_{GV}.

3. Rendement de l'installation Le travail net utile fourni à l'extérieur par cycle provient uniquement de la turbine car l'évolution dans la pompe est supposée isenthalpique (w_{\text{pompe}} \approx 0). Le rendement thermique de l'installation est donc :

Numériquement :

D'après les hypothèses de l'énoncé, les pertes mécaniques de la turbine sont négligées et le rendement de l'alternateur est de 100\,\%. La puissance électrique produite \mathcal{P}_{\text{élec}} est donc égale à la puissance mécanique fournie par le fluide à la turbine :

On en déduit l'expression du débit massique d'eau dans le circuit primaire :

Application numérique : Avec \mathcal{P}_{\text{élec}} \approx 250\text{ kW} = 250\times 10^3\text{ W} et |w_{i\text{T}}| \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} = 420\times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1} (d'après la question Q30) :

Soit, en unité horaire :

La norme du champ magnétique \vec{B} en un point est proportionnelle à la densité locale des lignes de champ.

Sur la figure 7, les lignes de champ ne sont manifestement pas parallèles et équidistantes :

En observant la géométrie du spectre magnétique :

• Zone de champ le plus intense : les lignes de champ sont les plus denses (les plus resserrées) au niveau de la région centrale du rotor, le long de l'axe de symétrie défini par \vec{n}_1, ainsi que dans l'entrefer à la traversée selon cet axe horizontal (\theta = 0 et \theta = \pi).
• Zone de champ le moins intense : les lignes de champ sont les plus espacées à la périphérie extérieure de la culasse du stator ainsi qu'au voisinage du plan contenant les conducteurs aller-retour (\theta \approx \pm \pi/2), où les lignes de champ se séparent et contournent les encoches.

Le théorème d'Ampère pour le champ d'excitation magnétique \vec{H} le long d'un contour fermé \Gamma s'écrit :

où I_{\text{enlacé}} est le courant total traversant une surface s'appuyant sur \Gamma.

On choisit pour contour \Gamma la ligne de champ moyenne représentée sur la figure 7 :

• Ce contour enlace un seul des deux conducteurs de la spire (par exemple le conducteur supérieur ou inférieur), de sorte que le courant libre enlacé est :

  I_{\text{enlacé}} = i_1(t)
• Le contour est une ligne de champ, donc en tout point, le vecteur \vec{H} est colinéaire et de même sens que le vecteur déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{\ell}, d'où \vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = H\,\mathrm{d}\ell.

• La ligne se referme en traversant :

  • le fer (rotor et stator) sur une longueur totale L_{\text{fer}}, avec une norme uniforme H_{\text{fer}} ;
  • l'entrefer à deux reprises (une fois pour aller du rotor vers le stator, une fois pour revenir du stator vers le rotor), sur une épaisseur e à chaque passage, avec une norme uniforme H_{\text{air}}.

La circulation de \vec{H} le long de cette ligne de champ moyenne vaut donc :

On en déduit la relation demandée :

Les relations constitutives dans l'air (assimilé au vide) et dans le fer (milieu magnétique linéaire homogène et isotrope de perméabilité relative \mu_r) s'écrivent :

En reportant ces relations dans le théorème d'Ampère obtenu à la question Q33 (2e H_{\text{air}} + L_{\text{fer}} H_{\text{fer}} = i_1(t)), on obtient :

D'après l'énoncé, la machine vérifie \mu_r e \gg L_{\text{fer}}, c'est-à-dire :

Le terme d'excitation dans le fer est donc négligeable devant celui dans l'entrefer :

On en déduit l'expression de la norme B :

D'après la figure 7 de l'énoncé et la règle du tire-bouchon de Maxwell :

• Pour i_1(t) > 0, le courant sort du plan au conducteur supérieur (\theta = +\frac{\pi}{2}) et entre dans le plan au conducteur inférieur (\theta = -\frac{\pi}{2}).
• Les lignes de champ traversent donc le rotor de la gauche vers la droite le long de l'axe défini par \vec{n}_1.

• Dans l'entrefer, pour \theta \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[, le champ magnétique est dirigé du rotor vers le stator, c'est-à-dire dans le sens de \vec{e}_r :

  \vec{B}_{\text{spire}}(\theta, t) = +B \, \vec{e}_r \implies B_{\text{spire}}(\theta, t) = +B = +\frac{\mu_0 \, i_1(t)}{2e}

• Pour les angles extérieurs, soit \theta \in \left[-\pi, -\frac{\pi}{2}\right[ \cup \left]\frac{\pi}{2}, \pi\right], les lignes de champ se referment en entrant du stator vers le rotor, soit en sens opposé à \vec{e}_r :

  \vec{B}_{\text{spire}}(\theta, t) = -B \, \vec{e}_r \implies B_{\text{spire}}(\theta, t) = -B = -\frac{\mu_0 \, i_1(t)}{2e}

Le champ magnétique radial B_{\text{spire}}(\theta, t) présente donc une allure en créneau alternatif, symétrique, représentée ci-dessous.

Le stator comporte trois spires identiques décalées angulairement de \alpha \approx \frac{\pi}{6} et parcourues par le même courant i_1(t) > 0. D'après le principe de superposition, le champ magnétique total dans l'entrefer est la somme des champs créés par chacune des spires :

Chaque spire k \in \{-1, 0, 1\} présente :

• un conducteur « aller » (\odot) situé à la position angulaire \theta_a^{(k)} = \frac{\pi}{2} + k\alpha ;
• un conducteur « retour » (\otimes) diamétralement opposé situé à \theta_r^{(k)} = -\frac{\pi}{2} + k\alpha.

Pour \alpha = \frac{\pi}{6}, les conducteurs « aller » se situent aux cotes angulaires :

et les conducteurs « retour » aux cotes :

Chaque conducteur traversé dans le sens des \theta croissants fait varier la composante radiale du champ magnétique d'un saut de \pm 2B, avec B = \frac{\mu_0 i_1(t)}{2e} :

• +2B lors du franchissement d'un conducteur « retour » (\otimes) en -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{2} et -\frac{\pi}{3} ;
• -2B lors du franchissement d'un conducteur « aller » (\odot) en \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} et \frac{2\pi}{3}.

La fonction B_1(\theta,t) est donc une fonction en escalier, paire en \theta, prenant les valeurs suivantes :

Par le principe de superposition, le champ magnétique total créé par les deux enroulements statoriques dans l'entrefer s'écrit :

En remplaçant les intensités par leurs expressions i_1(t) = I_{\max}\cos(\omega_s t) et i_2(t) = I_{\max}\sin(\omega_s t), et en posant B_{s0} = K I_{\max} :

D'après la relation trigonométrique \cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b :

Pour un observateur situé à la position angulaire \theta(t) telle que la phase reste constante :

La distribution spatiale du champ magnétique conserve une forme constante et tourne autour de l'axe central avec une vitesse angulaire \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \omega_s.

Il s'agit donc bien d'un champ tournant, de vecteur rotation :

Par le principe de superposition, le champ magnétique total dans l'entrefer est la somme des champs créés par le stator et par le rotor :

L'air de l'entrefer étant assimilé au vide de perméabilité magnétique \mu_0, la densité volumique d'énergie magnétique s'écrit :

L'énergie magnétique totale W_m emmagasinée dans l'entrefer s'obtient par intégration sur le volume de l'entrefer \mathcal{V}_{\text{entrefer}} :

Compte tenu de la géométrie cylindrique, en notant R_e le rayon moyen de l'entrefer, e son épaisseur (e \ll R_e) et L_e sa longueur axiale, l'élément de volume s'écrit \mathrm{d}\tau \approx R_e \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}z. Le champ étant uniforme suivant l'épaisseur e et la direction axiale, l'intégrale se simplifie en :

L'énergie magnétique est obtenue par intégration de la densité volumique d'énergie magnétique sur le volume de l'entrefer :

L'élément de volume en coordonnées cylindriques s'écrit \mathrm{d}\tau = r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}z. Pour un entrefer d'épaisseur e très faible devant le rayon, r \approx R_e, l'intégration sur l'épaisseur radiale donne \int \mathrm{d}r = e et sur la longueur axiale donne \int \mathrm{d}z = L_e.

Le volume total de l'entrefer vaut ainsi :

Le produit R_e L_e e est donc homogène à un volume. Son unité dans le Système International est :

Par identification avec la géométrie cylindrique de la machine :

• R_e est le rayon moyen de l'entrefer (ou rayon du rotor/stator) ;
• L_e est la longueur axiale (selon l'axe Oz) de l'entrefer (ou de la machine).

L'énergie magnétique stockée dans l'entrefer est donnée par :

Le couple électromagnétique selon l'axe (Oz) s'obtient par dérivation partielle par rapport à \theta_R à courants constants :

Or :

En injectant la loi horaire de la position angulaire du rotor \theta_R(t) = \Omega t + \theta_0, il vient :

D'après la question Q40, le couple électromagnétique instantané s'exerçant sur le rotor s'écrit :

La valeur moyenne temporelle du couple est définie par :

• Si \Omega \neq \omega_s, \Gamma_z(t) est une grandeur sinusoïdale de pulsation non nulle |\omega_s - \Omega|. La moyenne temporelle d'un signal sinusoïdal de moyenne nulle étant nulle, on a \langle \Gamma_z \rangle = 0.
• Pour que le couple moyen soit non nul (en dehors du cas particulier où \theta_0 \equiv 0 \ [\pi]), il faut que l'argument du sinus soit indépendant du temps, ce qui impose :

Cette égalité est la condition de synchronisme.

Lorsque la condition de synchronisme \Omega = \omega_s est satisfaite, le couple instantané devient indépendant du temps :

Le couple moyen est alors égal à cette valeur constante :

D'après la question précédente, lorsque la condition de synchronisme \Omega = \omega_s est vérifiée, le couple électromagnétique exercé sur le rotor est constant et s'écrit :

La puissance électromagnétique échangée au niveau du rotor s'écrit \mathcal{P}_{\text{em}} = \Gamma_z \Omega (avec \Omega = \omega_s > 0).

1. Fonctionnement alternateur En régime alternateur (générateur), la machine reçoit de la puissance mécanique d'un moteur d'entraînement extérieur et fournit de la puissance électrique au réseau. Le couple électromagnétique exercé sur le rotor doit donc être résistant :

Sur l'intervalle [-\pi, \pi], la condition pour un fonctionnement alternateur est :

Le rotor est alors en avance angulaire sur le champ tournant statorique.

2. Fonctionnement moteur stable En régime moteur, le couple électromagnétique entraîne le rotor, donc \Gamma_z > 0, ce qui impose :

Pour analyser la stabilité, écrivons le théorème du moment cinétique appliqué au rotor en rotation autour de l'axe Oz :

où \Gamma_{\text{ext}} < 0 est le couple résistant exercé par la charge mécanique. À l'équilibre, \Gamma_z(\theta_0) = -\Gamma_{\text{ext}}.

Considérons une petite perturbation de la position angulaire autour de cet équilibre : \theta_0(t) = \theta_{0,\text{eq}} + \delta \theta_0(t). L'équation linéarisée de la perturbation s'écrit :

La stabilité impose l'existence d'un couple de rappel (pulsation d'oscillation réelle), soit :

En combinant cette condition de stabilité avec la condition de fonctionnement moteur (\sin(\theta_0) < 0), on en déduit :