Corrigé détaillé Mines Physique 2 PSI 2022

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-permanents (ARQP), le courant de déplacement \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t} est négligeable devant la densité volumique de courant. L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit alors :

Le vecteur \vec{\jmath} représente la densité volumique de courant libre (ou courant de conduction), par opposition aux courants liés de polarisation et d'aimantation déjà pris en compte dans la définition du champ d'excitation magnétique \vec{H}.

Pour établir le théorème d'Ampère, considérons un contour fermé et orienté \Gamma, bordant une surface ouverte S orientée selon la règle de la main droite (ou du tire-bouchon). En intégrant l'équation de Maxwell-Ampère sur S et en utilisant le théorème de Stokes :

L'intégrale de flux du courant libre représente le courant libre algébrique total enlacé par le contour \Gamma, noté I_{\text{enlacé}}. On en déduit l'énoncé du théorème d'Ampère :

La circulation du vecteur excitation magnétique \vec{H} le long d'un contour fermé orienté \Gamma est égale à la somme algébrique des courants libres enlacés par ce contour.

L'équation locale de Maxwell-Thomson (ou Maxwell-Flux) s'écrit :

Soit une surface fermée quelconque \Sigma orientée vers l'extérieur et délimitant un volume V. D'après le théorème de Green-Ostrogradski, le flux sortant du champ magnétique \vec{B} à travers \Sigma s'exprime par :

Le flux du champ magnétique à travers toute surface fermée est donc rigoureusement nul :

On en déduit que le flux du champ magnétique est conservatif : à travers toute surface ouverte s'appuyant sur un contour fermé orienté \Gamma, le flux de \vec{B} ne dépend que de ce contour \Gamma et non de la surface choisie.

Dans l'état de référence (z=0), le noyau ferromagnétique est centré en O, et la géométrie de l'ensemble (noyau, culasse, bobinage primaire) est symétrique par rapport au plan \Pi passant par O et orthogonal à \vec{u}_z (plan z=0).

Les courants d'alimentation du circuit primaire circulent de manière orthoradiale, selon \vec{u}_\theta. Par réflexion orthogonale par rapport au plan \Pi (z \mapsto -z) :

Le vecteur densité de courant \vec{\jmath} = j_\theta \vec{u}_\theta est donc invariant par cette réflexion. Ainsi, le plan \Pi est un plan de symétrie pour la distribution de courants.

Le champ magnétique \vec{B} étant un champ de pseudovecteurs (vecteurs axiaux), il est orthogonal à tout plan de symétrie des sources en chacun de ses points :

Comme le plan \Pi est orthogonal au vecteur unitaire \vec{u}_z, le champ magnétique \vec{B} en tout point de ce plan est colinéaire à \vec{u}_z.

L'étude des symétries et invariances de la distribution de courant dans l'état de référence donne :

• Invariance par rotation : le dispositif présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz). La géométrie et la distribution de courant sont donc invariantes par toute rotation d'angle \theta autour de cet axe. Par conséquent, aucune composante du champ magnétique ne dépend de la coordonnée angulaire \theta :

  \frac{\partial B_r}{\partial \theta} = \frac{\partial B_\theta}{\partial \theta} = \frac{\partial B_z}{\partial \theta} = 0

• Plan méridien : considérons en un point M(r,\theta,z) le plan méridien \Pi_m = (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z). Le courant primaire circule dans des spires enroulées autour de l'axe (Oz), de sorte que la densité de courant est purement orthoradiale : \vec{\jmath} = j_\theta(r,z)\,\vec{u}_\theta. Lors de la réflexion par rapport au plan \Pi_m, le vecteur \vec{u}_\theta est changé en son opposé :

  \vec{\jmath}\,' = -\vec{\jmath}

  Tout plan méridien \Pi_m est donc un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant. Le champ magnétique \vec{B} étant un vecteur axial (ou pseudo-vecteur), \Pi_m est un plan de symétrie pour le champ magnétique.

  Puisque le point M appartient à \Pi_m, le vecteur \vec{B}(M) doit être contenu dans ce plan :

  \vec{B}(M) \in \text{Vect}(\vec{u}_r, \vec{u}_z) \implies B_\theta = 0

En conclusion, en tout point M(r,\theta,z), les composantes du champ magnétique vérifient :

Le résultat de la simulation numérique présenté sur la figure 3 est parfaitement compatible avec les conclusions des questions 3 et 4 :

• Compatibilité avec la question 3 : D'après la question 3, le plan passant par l'origine O et orthogonal à \vec{u}_z (le plan z=0) est un plan d'antisymétrie pour \vec{B}, de sorte que le champ y est purement axial :

  \vec{B}(r, \theta, 0) = B_z(r, 0)\,\vec{u}_z \quad \implies \quad B_r(r, 0) = 0

  Sur la figure 3, au niveau de l'axe médian z=0, on constate bien que les lignes de champ coupent la droite radiale perpendiculairement : leur tangente y est strictement parallèle à l'axe (Oz). Le champ y est donc purement dirigé selon \vec{u}_z, ce qui valide le résultat de la question 3.

• Compatibilité avec la question 4 : D'après la question 4, compte tenu des invariances et symétries :

  • B_\theta = 0 en tout point : le champ magnétique est purement méridien. Les lignes de champ sont donc entièrement contenues dans les plans méridiens contenant l'axe (Oz), ce qui permet de les tracer sous forme de boucles fermées dans le plan de coupe de la figure 3 sans composante transverse à la feuille.
  • Les composantes B_r(r, z) et B_z(r, z) sont indépendantes de \theta en raison de la symétrie de révolution. La cartographie représentée dans un plan méridien particulier est donc identique dans n'importe quel autre plan méridien.

Dans l'état de référence, le noyau ferromagnétique cylindrique est centré en O (z=0), la culasse et l'enroulement primaire sont également symétriques par rapport au plan \Pi = (z=0).

Les courants d'alimentation du primaire circulent de manière orthoradiale : \vec{\jmath} = j_\theta\,\vec{u}_\theta. Soit le point M de coordonnées cylindriques (r, \theta, z) et son symétrique par rapport au plan \Pi, le point M'(r, \theta, -z). Par réflexion plane par rapport à \Pi :

Le vecteur densité de courant vérifie donc \vec{\jmath}(M') = \vec{\jmath}(M) : le plan \Pi est un plan de symétrie pour la distribution de courants.

Le champ magnétique \vec{B} étant un pseudovecteur (vecteur axial), il se transforme par une symétrie plane \mathcal{S}_\Pi selon :

Sachant que \vec{B}(M) = B_r(r, z)\,\vec{u}_r + B_z(r, z)\,\vec{u}_z (d'après la question Q4), on a :

Or, par définition du champ en M'(r, \theta, -z) :

Par identification des composantes selon \vec{u}_r et \vec{u}_z, on en déduit les propriétés de parité en z :

Ce résultat est parfaitement conforme aux tracés de la figure 4.

1. Allure et orientation d'une ligne de champ

D'après le préambule de l'énoncé, un courant primaire i_p > 0 génère un flux magnétique algébrique orienté selon +\vec{u}_z. Dans le noyau ferromagnétique (r < a), le champ magnétique est donc globalement dirigé vers les z croissants : la ligne de champ est orientée dans le sens de +\vec{u}_z au cœur du dispositif.

Le champ magnétique étant à flux conservatif (\mathrm{div}\,\vec{B} = 0), ses lignes de champ sont des courbes fermées. Elles se rebouclent par la culasse ferromagnétique externe :

2. Justification du signe des composantes du champ (figure 4)

Pour un point situé dans le noyau (0 < r < a) :

• Composante axiale B_z = \vec{B} \cdot \vec{u}_z : Puisque la ligne de champ parcourt le noyau dans le sens des z croissants pour aller de z_1 vers z_2, le vecteur \vec{B} présente en tout point du noyau une projection positive sur \vec{u}_z :

  \boxed{B_z > 0 \quad \text{pour tout } z \in [z_1, z_2]}

  Cette composante est maximale au centre (z = 0) où les lignes sont les plus resserrées.

• Composante radiale B_r = \vec{B} \cdot \vec{u}_r :

  • Pour z < 0, les lignes de champ proviennent de la culasse et convergent vers l'intérieur du noyau : le vecteur \vec{B} est incliné vers l'axe de révolution (vers les r décroissants). Ainsi, sa projection sur \vec{u}_r est négative :

    \boxed{B_r(r, z) < 0 \quad \text{pour } z < 0}

  • En z = 0, le plan z = 0 étant plan de symétrie des courants (question Q3), le champ magnétique est strictement axial :

    \boxed{B_r(r, z=0) = 0}

  • Pour z > 0, les lignes de champ s'évasent pour quitter le noyau et rejoindre la culasse externe : le vecteur \vec{B} pointe vers l'extérieur (vers les r croissants). Sa projection sur \vec{u}_r est positive :

    \boxed{B_r(r, z) > 0 \quad \text{pour } z > 0}

Ces déductions correspondent exactement aux signes et comportements présentés sur la figure 4.

Considérons l'interface plane en z = z_2 (ou z = z_1) séparant le noyau ferromagnétique (milieu 1) de l'air (milieu 2). La normale à cette interface est orientée selon \vec{u}_z.

Le matériau ferromagnétique est supposé parfait et sans pertes : sa conductivité est nulle (\sigma = 0, donc absence de courants de surface : \vec{\jmath}_s = \vec{0}) et sa perméabilité magnétique relative tend vers l'infini (\mu_r \to \infty).

La relation de passage de la composante tangentielle du champ d'excitation magnétique \vec{H} à l'interface s'écrit :

Dans le milieu ferromagnétique, l'induction magnétique \vec{B}_1 = \mu_0 \mu_r \vec{H}_1 restant bornée, le champ d'excitation y est quasi nul :

Par continuité de la composante tangentielle, on a donc immédiatement dans l'air, au voisinage de l'interface :

Pour les faces planes d'extrémités en z_1 et z_2, la normale est portée par \vec{u}_z, de sorte que la composante tangentielle est la composante radiale (B_\theta = 0) :

Les lignes de champ sortent donc rigoureusement orthogonales à la face plane (c'est-à-dire parallèles à \vec{u}_z), ce qui justifie que |B_r| devienne extrêmement faible juste après z_2 et juste avant z_1.

Autres endroits observables sur la figure 3 : Cette propriété d'orthogonalité du champ magnétique aux frontières d'un matériau de perméabilité infinie (\vec{B} \perp \text{surface}) s'observe en d'autres points de la figure 3 :

• Sur les parois planes verticales internes de la culasse ferromagnétique (en z = -L et z = +L), les lignes de champ arrivent orthogonalement à la paroi, donc selon \vec{u}_z, ce qui correspond là aussi à une composante B_r \approx 0 ;
• Sur la surface cylindrique latérale du noyau (r = a) ainsi que sur la paroi interne de la culasse, les lignes de champ émergent orthogonalement au cylindre, donc de façon purement radiale (B_z \approx 0).

Pour qu'un champ vectoriel soit considéré comme uniforme dans une région de l'espace, sa direction, son sens et sa norme doivent être constants dans cette région.

• Sur la figure 3 (lignes de champ) : Au voisinage du centre du noyau (z \approx 0, r < a), les lignes de champ magnétique sont :

  • rectilignes et parallèles à l'axe Oz, ce qui indique que la direction du champ est constante (\vec{B} \approx B_z\,\vec{u}_z) ;
  • régulièrement espacées, ce qui traduit une densité de flux constante et donc une norme \|\vec{B}\| constante selon la direction radiale r.

• Sur la figure 5 (profil de B_z sur l'axe Oz) : Au voisinage de z = 0, la courbe de B_z / B_{z,\max} :

  • présente un maximum en z = 0 avec une dérivée axiale nulle (\partial B_z / \partial z = 0, tangente horizontale) ;
  • forme un large plateau où la valeur reste très proche de B_{z,\max}, montrant que B_z varie très peu avec la coordonnée axiale z autour du centre.

L'association de ces deux observations justifie pleinement l'approximation d'un champ magnétique \vec{B} uniforme au voisinage du centre du noyau :

Sur la figure 3, deux éléments majeurs caractérisent le comportement des lignes de champ lorsqu'on s'éloigne du centre O vers les extrémités du noyau (z \to z_1 ou z \to z_2) :

• L'incurvation des lignes de champ : au voisinage du centre, les lignes sont pratiquement rectilignes et parallèles à \vec{u}_z. En se rapprochant des bords, elles s'incurvent vers l'extérieur pour rejoindre la culasse ferromagnétique externe. Le vecteur champ magnétique \vec{B} acquiert ainsi une composante radiale B_r significative, ce qui diminue sa composante axiale B_z = \vec{B}\cdot\vec{u}_z = \|\vec{B}\|\cos\alpha (où \alpha est l'angle entre le champ et l'axe Oz).
• L'échappement latéral des lignes de champ (baisse de la densité des lignes) : de nombreuses lignes de champ traversent la surface latérale du cylindre pour se reboucler dans la culasse à travers l'entrefer. Par conservation du flux magnétique (\mathrm{div}\,\vec{B} = 0), le flux axial à travers une section droite du noyau diminue au fur et à mesure que du flux s'échappe radialement, ce qui se traduit par un écartement des lignes de champ résiduelles et une diminution de l'intensité de B_z.

D'après les hypothèses du modèle :

• Pour les spires situées dans la zone où le noyau est présent (z_1 < z < z_2), la composante axiale du champ magnétique vaut B_z = B_m = K i_p dans le noyau (de section S, hypothèse \mathrm{H}_1) et B_z = 0 dans l'espace compris entre le noyau et la culasse (hypothèse \mathrm{H}_3). Le flux propre envoyé par le primaire à travers une telle spire orientée selon \vec{u}_z est donc :

  \phi_{\text{spire}} = \iint_{\text{section}} \vec{B} \cdot \vec{u}_z \, \mathrm{d}S = B_m S = K S i_p
• Pour les spires situées au-delà des extrémités du noyau (z < z_1 ou z > z_2), on a B_z = 0 partout dans la section (hypothèses \mathrm{H}_2 et \mathrm{H}_3). Le flux à travers ces spires est donc nul : \phi_{\text{spire}} = 0.

Dans l'état de référence (z = 0), le noyau est centré en O. D'après les figures 1 et 3, le noyau pénètre de manière parfaitement symétrique dans chacun des deux circuits secondaires sur une même longueur utile L_{\max}.

Chaque bobinage secondaire comportant n spires par unité de longueur, le nombre de spires traversées par le flux non nul du primaire vaut pour les deux circuits :

Le flux total embrassé par le circuit secondaire 1 est donc :

et de même pour le circuit secondaire 2 :

Par définition des inductances mutuelles, avec les conventions de signes associées aux bornes homologues orientées selon \vec{u}_z, \Phi_{p \to 1} = M_1 i_p et \Phi_{p \to 2} = M_2 i_p. On constate ainsi que les deux inductances mutuelles sont strictement égales à une valeur commune notée M_0 :

Les deux circuits secondaires étant non connectés entre eux et ouverts, les courants secondaires sont nuls : i_1(t) = i_2(t) = 0.

Le circuit primaire est modélisé par une résistance R_p en série avec une inductance propre L_p. La loi des mailles s'écrit :

En régime sinusoïdal établi à la pulsation \omega = 2\pi f, l'amplitude I_p du courant primaire est reliée à l'amplitude U_p de la tension par :

Le flux magnétique à travers l'un des secondaires (à l'état de référence z=0) est \Phi_1(t) = M_0\,i_p(t). D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite est e_1(t) = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi_1}{\mathrm{d}t} = -M_0\,\dfrac{\mathrm{d}i_p}{\mathrm{d}t}.

La tension mesurée aux bornes du secondaire à vide a donc pour amplitude :

On en déduit l'expression de l'inductance mutuelle M_0 :

Application numérique :

• Pulsation : \omega = 2\pi f = 10\pi \cdot 10^3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}. Avec l'approximation 10\pi \approx 30, il vient :

  \omega \approx 3{,}0 \cdot 10^4\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

• Impédance inductive du primaire :

  L_p\omega = 6 \cdot 10^{-3} \times 3{,}0 \cdot 10^4 = 180~\Omega

• Impédance totale du primaire :

  \sqrt{R_p^2 + (L_p\omega)^2} = \sqrt{100^2 + 180^2} = \sqrt{10^4 + 3{,}24 \cdot 10^4} = \sqrt{42{,}4 \cdot 10^3} \approx \sqrt{42 \cdot 10^3} \approx 205~\Omega

• Calcul de M_0 avec U_p = 10\text{ V} et U_{\mathrm{sec}} = 1{,}5\text{ V} :

  M_0 = \frac{1{,}5 \times 205}{3{,}0 \cdot 10^4 \times 10} = \frac{307{,}5}{3{,}0 \cdot 10^5} = 1{,}025 \cdot 10^{-3}\text{ H}

En conservant deux chiffres significatifs conformément aux consignes :

Le circuit primaire est fixe par rapport à la culasse et centré en O entre les deux circuits secondaires.

À l'état de référence (z = 0), le noyau ferromagnétique dépasse de part et d'autre de la zone centrale occupée par le primaire et pénètre dans chacun des secondaires d'une longueur au moins égale à la course maximale L_{\max}. Par conséquent, tant que la condition |z| < L_{\max} est satisfaite, le noyau couvre toujours intégralement toute la longueur occupée par l'enroulement primaire : pour toute spire de cet enroulement d'abscisse z', on a :

D'après les hypothèses du modèle :

• selon H_1, à l'intérieur du noyau (z_1 < z' < z_2 et r < a), la composante axiale du champ magnétique est uniforme et vaut B_z = B_m = K i_p ;
• selon H_3, dans l'espace situé entre le noyau et la culasse (a < r et -L < z' < L), la composante axiale est nulle : B_z = 0.

Le flux magnétique à travers une spire quelconque du primaire, orientée selon \vec{u}_z, s'écrit alors :

Ce flux élémentaire est identique pour chacune des N_p spires du circuit primaire et ne dépend pas de la position z du noyau. Le flux propre total embrassé par le circuit primaire vaut donc :

Par définition de l'inductance propre L_p = \dfrac{\Phi_p}{i_p}, on en déduit :

L'inductance propre L_p du circuit primaire est donc indépendante de z tant que |z| < L_{\max}.

D'après les hypothèses de modélisation (H_1, H_2 et H_3) :

• le champ axial est nul en dehors du noyau (\vec{B}\cdot\vec{u}_z = 0 pour z < z_1 ou z > z_2, ainsi qu'entre le noyau et la culasse) ;
• à l'intérieur du noyau (z_1 < z < z_2 et r < a), le champ axial est uniforme et vaut B_m = K i_p.

Le flux magnétique créé par le primaire à travers une spire du secondaire entourant le noyau s'écrit :

tandis que le flux est nul à travers une spire ne recouvrant pas le noyau.

À l'état de référence (z = 0), la longueur de recouvrement du noyau avec le secondaire 1 (situé du côté z < 0) est L_{\max}, ce qui correspond à N_1 = n L_{\max} spires actives. Le flux total est alors :

Lors d'un déplacement algébrique z du noyau selon \vec{u}_z (avec |z| < L_{\max}), le noyau est translaté vers la droite (z > 0). La longueur du noyau présente à l'intérieur du secondaire 1 diminue de la quantité z :

Le nombre de spires du secondaire 1 interceptant le flux du noyau devient donc :

Le flux magnétique total embrassé par le circuit secondaire 1 s'exprime ainsi sous la forme :

Par définition de l'inductance mutuelle \Phi_1(z) = M_1(z) i_p, on en déduit :

Le circuit secondaire 2 est situé du côté z > 0.

Lorsque le noyau ferromagnétique subit un déplacement z selon \vec{u}_z (avec |z| < L_{\max}), la longueur du secondaire 2 occupée par le noyau devient :

Le nombre de spires du secondaire 2 entourant le noyau s'élève donc à :

D'après les hypothèses \mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2 et \mathrm{H}_3, le champ magnétique axial vaut B_z = B_m = K i_p dans la section S du noyau et est nul en dehors. Le flux propre créé par le primaire à travers le secondaire 2 (à spires orientées selon +\vec{u}_z) s'écrit donc :

Par définition de l'inductance mutuelle M_2(z) = \dfrac{\Phi_{p \to 2}(z)}{i_p}, on obtient :

En introduisant M_0 = n K S L_{\max} (établi à la question 11) :

Les circuits secondaires étant à vide (courants secondaires nuls), le champ magnétique dans le dispositif est uniquement créé par le courant d'excitation i_p(t) circulant dans le primaire. Les flux magnétiques totaux à travers les circuits secondaires 1 et 2 s'écrivent donc respectivement :

D'après la loi de Faraday, chaque enroulement est le siège d'une force électromotrice induite e_k = -\frac{\mathrm{d}\Phi_k}{\mathrm{d}t} (k \in \{1, 2\}). En convention récepteur pour la mesure de tension aux bornes des secondaires (u_k = -e_k = \frac{\mathrm{d}\Phi_k}{\mathrm{d}t}), ou en convention générateur (u_k = e_k = -\frac{\mathrm{d}\Phi_k}{\mathrm{d}t}), les deux tensions s'expriment avec la même convention de signe :

La tension différentielle de sortie vaut :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q14 et Q15 :

la différence des inductances mutuelles se simplifie remarquablement :

On en déduit l'expression de la tension différentielle :

avec :

Pour un courant primaire sinusoïdal i_p(t) = I_p \cos(\omega t), la dérivée temporelle vaut :

D'après la question Q16, la tension différentielle s'écrit :

Il s'agit d'une tension sinusoïdale de même pulsation \omega que le courant primaire. Le paramètre permettant de mesurer |z| est son amplitude (ou valeur crête) A, définie positive :

Pour i_p(t) fixé (I_p et \omega constants), l'amplitude A est strictement proportionnelle à |z|.

Tracé de A(z) : La fonction A(z) est affine par morceaux, paire, nulle en z = 0, et croît linéairement jusqu'à A_{\max} = |\lambda| M_0 \omega I_p pour |z| = L_{\max} :

Discernement du signe de z : La seule mesure de l'amplitude A ne donne accès qu'à |z| et ne permet pas de connaître le signe de la position. Pour déterminer si z > 0 ou z < 0, on examine la phase de u_s(t) par rapport au signal de référence \frac{\mathrm{d}i_p}{\mathrm{d}t} (ou i_p(t)) :

• si z > 0, u_s(t) et \frac{\mathrm{d}i_p}{\mathrm{d}t} sont en phase (pour \lambda > 0) ;
• si z < 0, u_s(t) et \frac{\mathrm{d}i_p}{\mathrm{d}t} sont en opposition de phase (déphasage de \pi).

Le signe de z se lit donc directement sur le saut de phase de \pi lors du franchissement de l'origine.

Procédé de génération d'une tension continue :

• Pour obtenir une tension continue proportionnelle à l'amplitude A, on peut employer un détecteur de crête (redresseur sans seuil suivi d'une cellule RC parallèle) ou un redresseur double alternance filtré.
• Pour obtenir une tension continue signée, directement proportionnelle à z (préservant ainsi l'information de sens), le procédé adapté est la détection synchrone (ou démodulation synchrone) : on multiplie u_s(t) par une référence sinusoïdale en phase avec \frac{\mathrm{d}i_p}{\mathrm{d}t}, puis on élimine la composante à fréquence double par un filtrage passe-bas.

Un Amplificateur Linéaire Intégré (ALI) idéal présente les caractéristiques suivantes :

• des impédances d'entrée différentielle et de mode commun infinies, d'où des courants d'entrée nuls :

  i_+ = i_- = 0
• une impédance de sortie nulle ;
• un gain différentiel statique infini (A_0 \to \infty) et une bande passante infinie.

Par conséquent :

• en régime linéaire, la tension différentielle d'entrée est nulle :

  \varepsilon = v_+ - v_- = 0 \iff v_+ = v_-

  avec une tension de sortie bornée : -V_{\mathrm{sat}} \le v_{\mathrm{s}} \le +V_{\mathrm{sat}} ;

• en régime saturé, la tension différentielle n'est pas nulle et la tension de sortie vaut :

  v_{\mathrm{s}} = \pm V_{\mathrm{sat}} = \operatorname{sgn}(\varepsilon)\,V_{\mathrm{sat}}

Examinons la chaîne de rétroaction de chacun des amplificateurs du montage de la figure 8 :

• Pour (A1) : la sortie est rebouclée sur l'entrée inverseuse (-) par l'intermédiaire du conducteur ohmique R_2, tandis que la borne non-inverseuse (+) est reliée à la masse. Il s'agit d'une rétroaction négative stabilisatrice : l'ALI (A1) fonctionne en régime linéaire.
• Pour (A2) : la sortie v_2 est rebouclée sur l'entrée inverseuse (-) par l'intermédiaire du condensateur C, et la borne (+) est à la masse. C'est également une rétroaction négative : l'ALI (A2) fonctionne en régime linéaire (intégrateur inverseur).
• Pour (A3) : la sortie v_s est rebouclée sur l'entrée non-inverseuse (+) par la résistance R_4, tandis que la borne inverseuse (-) est reliée à la masse. Il s'agit d'une rétroaction positive déstabilisatrice : l'ALI (A3) fonctionne en régime saturé (comparateur à hystérésis ou trigger de Schmitt).

1. Relation entre v_e(t) et v_1(t) (étage A1) :

L'ALI (A1) fonctionne en régime linéaire (d'après la question Q18) et est supposé idéal, donc :

La borne non inverseuse étant reliée à la masse, on a V_+^{(1)} = 0, d'où une masse virtuelle à l'entrée inverseuse :

La loi des nœuds appliquée à la borne inverseuse s'écrit :

On en déduit immédiatement la relation propre à un amplificateur inverseur :

2. Relation entre v_1(t) et v_2(t) (étage A2) :

De même, l'ALI (A2) fonctionne en régime linéaire avec sa borne non inverseuse à la masse, soit V_+^{(2)} = 0, d'où :

Le courant traversant la résistance R vers le nœud inverseur est :

Ce courant traverse intégralement le condensateur C vers la sortie au potentiel v_2(t) :

L'égalité de ces deux expressions donne l'équation différentielle régissant cet intégrateur inverseur :

Soit, sous forme intégrale entre un instant t_0 et t :

L'ALI (A3) fonctionne en régime saturé, sa sortie vaut donc soit +V_{\text{sat}}, soit -V_{\text{sat}}.

L'entrée inverseuse est reliée à la tension v_2 :

L'entrée non-inverseuse est connectée au pont diviseur constitué de R_3 et R_4. Le courant d'entrée étant nul (i_+ = 0), on a :

La tension différentielle d'entrée s'écrit donc :

Définissons le seuil haut V_H et le seuil bas V_B :

Le comportement du comparateur dépend de l'état initial et du sens d'évolution de v_2 :

• Si v_s = +V_{\text{sat}} : le basculement vers -V_{\text{sat}} a lieu dès que \varepsilon < 0, soit v_2 > V_H. Ainsi, tant que v_2 augmente et reste inférieur à V_H, la sortie demeure à +V_{\text{sat}}. Elle bascule à -V_{\text{sat}} lorsque v_2 dépasse V_H.
• Si v_s = -V_{\text{sat}} : le basculement vers +V_{\text{sat}} a lieu dès que \varepsilon > 0, soit v_2 < V_B. Ainsi, tant que v_2 diminue et reste supérieur à V_B, la sortie demeure à -V_{\text{sat}}. Elle bascule à +V_{\text{sat}} dès que v_2 franchit V_B par valeurs inférieures.

En résumé, selon les valeurs et le sens de variation de v_2(t) :

avec :

La caractéristique de transfert v_s = f(v_2) décrit un cycle d'hystérésis parcouru dans le sens horaire :

D'après le schéma du circuit (figure 8), la sortie v_s(t) est rebouclée sur l'entrée de l'inverseur :

En combinant les relations obtenues à la question Q19 :

on obtient l'équation régissant l'évolution de v_2(t) :

D'après l'étude du comparateur à seuils (A3) menée à la question Q20, la sortie v_s(t) prend deux valeurs possibles, +V_{\text{sat}} ou -V_{\text{sat}}, séparées par les seuils de basculement V_H = \frac{R_3}{R_3+R_4}V_{\text{sat}} et V_B = -V_H :

• Première demi-période (v_s = +V_{\text{sat}}) : La dérivée est constante et positive :

  \frac{\mathrm{d}v_2}{\mathrm{d}t} = +\frac{R_2}{R_1 RC} V_{\text{sat}} > 0

  La tension v_2(t) croît linéairement à partir de V_B = -V_H. Dès que v_2(t) atteint le seuil haut V_H, le comparateur (A3) bascule instantanément à v_s = -V_{\text{sat}}.

• Seconde demi-période (v_s = -V_{\text{sat}}) : La dérivée est constante et négative :

  \frac{\mathrm{d}v_2}{\mathrm{d}t} = -\frac{R_2}{R_1 RC} V_{\text{sat}} < 0

  La tension v_2(t) décroît linéairement depuis V_H. Dès que v_2(t) atteint le seuil bas V_B = -V_H, le comparateur bascule à nouveau à +V_{\text{sat}}, et le cycle se répète périodiquement.

Parmi les tensions du montage :

• v_s(t) et v_e(t) = v_s(t) sont des tensions en créneaux alternant entre +V_{\text{sat}} et -V_{\text{sat}} ;
• v_1(t) = -\frac{R_2}{R_1}v_s(t) est également un créneau symétrique alternant entre \mp \frac{R_2}{R_1}V_{\text{sat}} ;
• seule v_2(t) est une fonction continue, affine par morceaux : c'est donc la tension triangulaire recherchée :

Pendant une demi-période \Delta t = \frac{T}{2}, la tension v_2(t) varie de V_B = -V_H à V_H :

En remplaçant l'expression du seuil V_H = \frac{R_3}{R_3 + R_4} V_{\text{sat}} :

d'où l'expression de la période T :

1. Calcul de la capacité C

D'après le résultat de la question Q21, la période de la tension triangulaire v_t(t) est :

Avec R_1 = R_2 et R_3 = R_4, cette expression se simplifie en :

La fréquence associée s'écrit f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2RC}, d'où l'expression de la capacité :

Application numérique avec R = 1\text{ k}\Omega = 1{,}0\times 10^3\;\Omega et f = 2\text{ kHz} = 2{,}0\times 10^3\text{ Hz} :

2. Modification de la fréquence par l'utilisateur

L'expression générale de la fréquence est :

Pour faire varier la fréquence f sans modifier l'amplitude E du signal triangulaire (qui ne dépend que du rapport \frac{R_3}{R_3+R_4}), le constructeur permet à l'utilisateur :

• d'ajuster la résistance R à l'aide d'un potentiomètre variable ;
• ou de choisir la valeur d'une capacité externe C branchée sur les broches dédiées du composant.

3. Expression de l'amplitude E et paramètres d'influence

La tension v_t(t) = v_2(t) oscille symétriquement entre les seuils -V_H et +V_H du comparateur à hystérésis (A3) déterminés à la question Q20. L'amplitude E est donc donnée par :

Pour modifier cette amplitude, on peut agir sur les résistances R_3 et R_4 (plus précisément sur le rapport de division \frac{R_3}{R_3 + R_4} ou \frac{R_4}{R_3}) ou sur la tension de saturation V_{\text{sat}} (en modifiant les tensions d'alimentation des ALI).

4. Condition sur les paramètres et valeur numérique de E

Le rapport s'écrit :

La condition sur les résistances est :

soit :

L'amplitude correspondante pour V_{\text{sat}} = 15\text{ V} vaut :

Sur l'intervalle temporel considéré, \theta \in \left[0, \frac{1}{4}\right], la tension v_t(t) est une fonction linéaire et croissante du temps.

D'après le graphe de la tension triangulaire réduite v_t/E en fonction de \theta fourni sur la figure 9 :

• à \theta = 0, la tension est nulle : v_t(0) = 0 ;
• à \theta = \frac{1}{4}, la tension atteint sa valeur crête maximale positive : v_t\left(\frac{1}{4}\right) = E.

La pente de la droite vaut donc :

On en déduit immédiatement l'expression de v_t pour \theta \in \left[0, \frac{1}{4}\right] :

1. Conduction simultanée des deux diodes de la cellule (1)

Notons A le nœud supérieur à la tension v_s (par rapport à la masse de potentiel nul), et B_1 le nœud intermédiaire situé entre les deux diodes et la résistance r_1.

• Pour la diode orientée vers le bas D_{1\downarrow}, l'anode est connectée en A et la cathode en B_1. Sa tension en convention récepteur est :

  u_{d,\downarrow} = v_s - v_{B_1}

• Pour la diode orientée vers le haut D_{1\uparrow}, l'anode est connectée en B_1 et la cathode en A. Sa tension en convention récepteur est :

  u_{d,\uparrow} = v_{B_1} - v_s = - u_{d,\downarrow}

D'après la loi des mailles reliant ces deux branches en parallèle :

Si les deux diodes conduisaient simultanément, on aurait par définition du modèle à seuil :

ce qui conduirait à :

Comme la tension de seuil est strictement positive (U_s = 0{,}7\text{ V} > 0), cette égalité est absurde.

Par conséquent, les deux diodes ne peuvent conduire le courant simultanément.

2. Courant dans la résistance r_1 pour v_s \ge 0

Orientons le courant i_{r1} traversant la résistance r_1 du nœud B_1 vers la masse. La loi d'Ohm s'écrit :

La loi des nœuds en B_1 donne :

Plaçons-nous sous l'hypothèse v_s \ge 0 :

• Si D_{1\uparrow} conduisait, on aurait i_{d,\uparrow} > 0 et i_{d,\downarrow} = 0, donc i_{r1} = -i_{d,\uparrow} < 0, ce qui impliquerait v_{B_1} = r_1 i_{r1} < 0. Or u_{d,\uparrow} = U_s \implies v_s = v_{B_1} - U_s < -U_s < 0, ce qui contredit v_s \ge 0. La diode D_{1\uparrow} est donc nécessairement bloquée (i_{d,\uparrow} = 0).

• Si D_{1\downarrow} est également bloquée, alors i_{d,\downarrow} = 0, d'où i_{r1} = 0 et v_{B_1} = 0. La tension aux bornes de D_{1\downarrow} vaut alors :

  u_{d,\downarrow} = v_s - v_{B_1} = v_s

  Cette situation de blocage est effective tant que :

  u_{d,\downarrow} \le U_s \iff v_s \le U_s

  Ainsi, si 0 \le v_s \le U_s, le courant dans la résistance r_1 est strictement nul (i_{r1} = 0).

• Si v_s > U_s, D_{1\downarrow} ne peut rester bloquée (car cela exigerait u_{d,\downarrow} = v_s > U_s, ce qui est interdit pour une diode bloquée). La diode D_{1\downarrow} devient donc passante :

  u_{d,\downarrow} = U_s \implies v_{B_1} = v_s - U_s > 0

  Le courant traversant la résistance r_1 vaut alors :

  i_{r1} = \frac{v_s - U_s}{r_1} > 0

  Ce courant n'est donc pas nul.

On en déduit l'existence d'une tension seuil U_1 > 0 telle que le courant est nul pour 0 \le v_s \le U_1 et non nul pour v_s > U_1, donnée par :

La cellule (2) est constituée de deux sous-branches montées en tête-bêche en série avec la résistance r_2 :

• la sous-branche descendante comporte deux diodes en série orientées dans le sens de la sortie v_s vers la masse ;
• la sous-branche montante comporte deux diodes en série orientées dans le sens inverse (de la masse vers la sortie v_s).

Pour v_s \ge 0 :

• La sous-branche montante est polarisée en inverse. Ses diodes sont donc bloquées et aucun courant n'y circule.
• Considérons la sous-branche descendante, constituée des deux diodes D_1 et D_2 en série, parcourue par un courant direct i_2 \ge 0.

La loi des mailles appliquée à cette branche s'écrit :

1. Cas où les deux diodes sont bloquées (i_2 = 0) :

Si les diodes sont bloquées, le courant traversant la résistance r_2 est nul (i_2 = 0), d'où :

Or, d'après le modèle fourni pour une diode bloquée (i_d = 0), on a nécessairement :

Ainsi, tant que 0 \le v_s \le 2\,U_s, l'état bloqué (i_2 = 0) est compatible avec les lois de fonctionnement des diodes.

2. Cas où v_s > 2\,U_s :

Il est impossible d'avoir i_2 = 0 car cela impliquerait u_{d1} + u_{d2} > 2\,U_s, ce qui exigerait qu'au moins l'une des deux diodes ait une tension supérieure à U_s, en contradiction avec la caractéristique de diode bloquée.

Les deux diodes de la sous-branche descendante entrent donc en conduction simultanément, de sorte que i_2 > 0 et u_{d1} = u_{d2} = U_s. Le courant dans la résistance r_2 est alors non nul et vaut :

Il existe donc bien une tension de seuil strictement positive U_2 délimitant ces deux régimes, donnée par :

D'après la figure 10, la cellule (3) est directement connectée entre la borne de sortie au potentiel v_s et la masse (potentiel 0\text{ V}), sans résistance en série. Elle est constituée de deux branches montées en tête-bêche :

• une branche comportant trois diodes identiques en série, orientées de la borne de sortie vers la masse ;
• une branche comportant trois diodes identiques en série, orientées de la masse vers la borne de sortie.

Pour des valeurs positives de v_s, la branche orientée de la masse vers la sortie est polarisée en inverse : ses diodes sont bloquées et n'imposent aucune limitation positive.

Considérons la branche descendante (orientée vers la masse). En appliquant la loi d'additivité des tensions le long de cette branche, la tension de sortie s'écrit comme la somme des tensions aux bornes des trois diodes (en convention récepteur) :

D'après le modèle donné pour les diodes :

Par conséquent :

Tant que les trois diodes sont bloquées (i_d = 0), v_s < 3 U_s. Dès que les trois diodes entrent en conduction (i_d > 0), chacune présente à ses bornes la tension de seuil u_{d,k} = U_s, ce qui bloque la tension de sortie à 3 U_s, le surplus de courant fourni par l'entrée s'écoulant vers la masse à travers la cellule (3) via la résistance r_0.

La tension v_s est donc écrêtée à la valeur 3 U_s. La valeur positive maximale de v_s vaut ainsi :

D'après la question Q23, pour \theta \in \left[0, \frac{1}{4}\right], l'expression de la tension triangulaire est :

La pente à l'origine de cette droite par rapport à la variable sans dimension \theta vaut :

Par ailleurs, la fonction sinusoïdale idéale est définie par :

avec V_{\max} = 3 U_s d'après le résultat de la question Q26, soit :

Sa dérivée par rapport à \theta s'écrit :

La pente à l'origine de la courbe s(\theta) vaut donc :

L'égalité des pentes en \theta = 0 impose :

ce qui donne la relation recherchée :

Le rapport E/U_s s'identifie ainsi à une fraction de \pi :

Pour 0 \le v_s < U_1 :

• d'après la question Q24, la cellule (1) ne conduit aucun courant car v_s < U_1 = U_s ;
• d'après la question Q25, la cellule (2) ne conduit aucun courant car v_s < U_1 < U_2 = 2U_s ;
• d'après la question Q26, la cellule (3) ne conduit aucun courant car v_s < U_1 < 3U_s.

Toutes les branches dérivées sont donc bloquées (courants nuls). Comme le courant de sortie est nul (i_s = 0), aucun courant ne traverse la résistance r_0. La loi d'Ohm donne une chute de tension nulle aux bornes de r_0, d'où :

D'après la question Q23, pour \theta \in \left[0, \frac{1}{4}\right], la tension triangulaire s'écrit v_t(\theta) = 4E\theta. On a donc :

Par définition, le temps réduit \theta_1 vérifie v_s(\theta_1) = U_1. Sachant que U_1 = U_s (d'après la question Q24), il vient :

D'après la question Q27, la condition d'égalité des pentes impose \dfrac{E}{U_s} = \dfrac{3\pi}{2}, c'est-à-dire \dfrac{U_s}{E} = \dfrac{2}{3\pi}. On obtient ainsi l'expression simplifiée de \theta_1 :

1. Expression de v_s pour U_1 < v_s < U_2

Pour U_1 < v_s < U_2 avec U_1 = U_s et U_2 = 2U_s :

• dans la cellule (1), la diode orientée vers le bas est passante (sa chute de tension vaut U_s), tandis que la diode tête-bêche est bloquée ;
• les cellules (2) et (3) sont entièrement bloquées car v_s < 2U_s < 3U_s ;
• le courant de sortie étant nul (i_s = 0), le courant traversant la cellule (1) est i_1 = \dfrac{v_s - U_s}{r_1}.

La loi des nœuds au niveau de la sortie s'écrit :

soit :

On en déduit l'expression de v_s :

En utilisant v_t(\theta) = 4E\theta pour 0 \le \theta \le 1/4 (établi à la question Q23) :

2. Détermination du rapport \rho_1 = r_0 / r_1

La pente de v_s(\theta) pour \theta > \theta_1 s'écrit en posant \rho_1 = r_0/r_1 :

Pour la tension sinusoïdale idéale s(\theta) = V_{\max}\sin(2\pi\theta) = 3U_s\sin(2\pi\theta), la dérivée vaut :

D'après la question Q28, \theta_1 = \dfrac{1}{6\pi}, d'où 2\pi\theta_1 = \dfrac{1}{3}\text{ rad}. Ainsi :

Comme E = \dfrac{3\pi}{2}U_s (question Q27), on a 4E = 6\pi U_s. L'égalité des pentes lorsque \theta \to \theta_1^+ s'écrit :

On en déduit :

3. Expression de v_s et détermination de \theta_2

En factorisant par r_1 au numérateur et au dénominateur, la tension v_s s'exprime en fonction de \rho_1 :

L'instant \theta_2 est défini par v_s(\theta_2) = U_2 = 2U_s :

Sachant que 4E\theta_1 = U_1 = U_s (d'après la question Q28), il vient directement :

En remplaçant \rho_1 par son expression :

La relation cherchée est donc bien de la forme \theta_2 = \alpha\theta_1 avec :

Puisque U_1 = U_s et U_2 = 2U_s, la condition U_2 < v_s < 3U_1 correspond à 2U_s < v_s < 3U_s.

Pour v_s dans cet intervalle, examinons l'état des trois cellules à diodes en parallèle :

• Cellule (1) : la tension v_s est supérieure à U_1 = U_s. La diode orientée vers le bas est passante (tension u_d = U_s), tandis que celle orientée vers le haut est bloquée. Le courant traversant la branche vaut :

  i_1 = \frac{v_s - U_s}{r_1}

• Cellule (2) : la tension v_s est supérieure à U_2 = 2U_s. Les deux diodes orientées dans le sens direct du courant (vers le bas) conduisent, présentant chacune une chute de tension égale à U_s. Les deux autres diodes sont bloquées. Le courant dérivé vaut donc :

  i_2 = \frac{v_s - 2U_s}{r_2}

• Cellule (3) : constituée de trois diodes en série, elle ne peut entrer en conduction que si v_s \ge 3U_s = 3U_1. Comme v_s < 3U_1, ces diodes restent bloquées :

  i_3 = 0

Le courant de sortie étant nul (i_s = 0), la loi des nœuds au potentiel v_s s'écrit :

En regroupant les termes en v_s, on obtient :

D'après la question Q23, pour 0 \le \theta \le \frac{1}{4}, on a v_t(\theta) = 4E\theta. Il vient ainsi :

En multipliant le numérateur et le dénominateur par le produit r_0 r_1 r_2, on obtient l'expression recherchée :

D'après la question Q26, la cellule (3) comporte une branche constituée de trois diodes idéales en série orientées dans le sens direct pour v_s > 0.

Chaque diode conduit dès lors qu'un courant direct i_3 > 0 la traverse, imposant alors à ses bornes la tension de seuil constante U_s. Par additivité des tensions, la mise en conduction de cette branche s'effectue dès que :

Par définition, à l'instant réduit \theta = \theta_3, la tension de sortie atteint v_s(\theta_3) = 3U_1.

Pour \theta_3 < \theta \le \frac{1}{4}, la tension d'attaque v_t(\theta) = 4E\theta continue de croître de façon strictement monotone. Le courant débité par l'entrée à travers la résistance r_0 s'écrit, en l'absence de charge de sortie (i_s = 0) :

Les branches (1) et (2) restent également passantes et dérivent des courants constants fixés par la tension v_s = 3U_s :

La loi des nœuds impose pour le courant circulant dans la branche (3) :

Comme v_t(\theta) > v_t(\theta_3) pour \theta > \theta_3, on a :

Le courant i_3(\theta) étant strictement positif, les trois diodes de la cellule (3) demeurent passantes et imposent rigoureusement leur tension de seuil cumulée. La tension de sortie est donc écrêtée :

Le montage conformateur à diodes réalise une synthèse de la sinusoïde par interpolation affine par morceaux. Sur un quart de période, la courbe de v_s(\theta) n'est constituée que de quatre segments de droite (trois seuils de conduction successifs), ce qui laisse subsister des écarts notables avec la fonction sinusoïdale idéale s(\theta) (présence d'harmoniques de rangs élevés).

Pour réduire ces écarts, on peut envisager deux aménagements principaux :

1. Augmenter le nombre de branches à diodes (ou cellules de conduction) : En insérant des cellules intermédiaires supplémentaires en parallèle (constituées de chaînes de diodes en série de seuils 3U_s, 4U_s, etc., associées à des résistances r_3, r_4, \dots judicieusement dimensionnées, et en reportant le niveau d'écrêtage à une tension plus élevée), on augmente le nombre de segments de droite. L'approximation de la courbe par une ligne brisée devient alors plus fine et colle au plus près à la fonction sinus.
2. Ajouter un filtre passe-bas en sortie : Le signal en sortie du conformateur présente des discontinuités de pente (angles vifs) responsables d'harmoniques d'ordres impairs supérieurs (3f, 5f, \dots). L'adjonction d'un filtre passe-bas sélectif (de fréquence de coupure légèrement supérieure à la fréquence fondamentale f=1/T) permet d'atténuer ces harmoniques résiduels et de lisser la tension pour ne conserver que la composante fondamentale purement sinusoïdale.

Deux arguments complémentaires justifient l'annulation de la force électromagnétique reçue par le noyau mobile :

• Absence de courants induits (forces de Laplace) : le texte précise que le noyau ferromagnétique présente une conductivité électrique nulle (\gamma = 0). Il n'apparaît donc aucun courant volumique de Foucault (\vec{\jmath} = \vec{0}), ce qui implique l'absence totale de forces de Laplace volumiques :

  \vec{F}_{\text{Laplace}} = \iiint_{\text{noyau}} (\vec{\jmath} \wedge \vec{B})\,\mathrm{d}\tau = \vec{0}

• Absence de force de réluctance (bilan d'énergie magnétique) : Le système est constitué du circuit primaire parcouru par i_p(t) et des deux circuits secondaires fonctionnant à vide (i_{s1} = i_{s2} = 0). L'énergie magnétique stockée dans le système se réduit donc à :

  E_m = \frac{1}{2} L_p(z)\, i_p^2

  D'après la méthode des travaux virtuels, la force électromagnétique résultante selon l'axe de translation s'exprime à courant fixé par :

  F_z = \left(\frac{\partial E_m^*}{\partial z}\right)_{i_p} = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}L_p}{\mathrm{d}z}\, i_p^2

  Or, d'après le résultat de la question 13, tant que le déplacement vérifie |z| < L_{\max}, la portion de noyau présente sous le primaire reste constante, de sorte que l'inductance propre L_p est strictement indépendante de z (\frac{\mathrm{d}L_p}{\mathrm{d}z} = 0).

On en déduit que la composante axiale de la force électromagnétique est nulle :