Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2023

Considérons le système fermé constitué par la tranche d'eau cylindrique d'aire de base S et d'épaisseur \mathrm{d}z, comprise entre les cotes z et z + \mathrm{d}z. L'axe (Oz) est vertical orienté vers le haut, de sorte que le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = -g_0 \vec{e}_z.

Le fluide étant au repos à l'équilibre dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le principe fondamental de la statique impose :

Les actions mécaniques extérieures appliquées à la tranche de fluide sont :

• Les forces pressantes sur la face inférieure (en z) et sur la face supérieure (en z+\mathrm{d}z) :

  \begin{aligned} \mathrm{d}\vec{F}_{P}(z) &= P(z)\,S\,\vec{e}_z \\ \mathrm{d}\vec{F}_{P}(z+\mathrm{d}z) &= -P(z+\mathrm{d}z)\,S\,\vec{e}_z \end{aligned}
• Les forces pressantes sur la surface latérale, dont la résultante est nulle par raison de symétrie axiale ;

• Le poids de la tranche de fluide de masse \mathrm{d}m = \rho\, S\,\mathrm{d}z :

  \mathrm{d}\vec{P}_{\text{oids}} = \mathrm{d}m\,\vec{g} = -\rho\,g_0\,S\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z

En sommant ces contributions, la condition d'équilibre s'écrit :

En effectuant un développement limité au premier ordre, P(z+\mathrm{d}z) - P(z) = \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}\,\mathrm{d}z, puis en simplifiant par le volume élémentaire \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}z, on obtient :

Sachant que le gradient de pression s'écrit ici \vec{\operatorname{grad}} P = \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}\,\vec{e}_z, on en déduit la relation locale de la statique des fluides :

Ce qui se traduit par la projection scalaire sur l'axe (Oz) :

L'eau liquide étant considérée comme incompressible et homogène, sa masse volumique \rho est uniforme et constante. D'après le résultat de la question 1, la loi de la statique des fluides s'écrit :

L'altitude z = 0 correspondant au sommet de la colonne d'eau libre à l'air libre où P(0) = P^0, une cavité située à la profondeur H se trouve à la cote z = -H. Par intégration entre z = -H et z = 0 :

On en déduit l'expression de la pression absolue au niveau de la cavité :

La surpression par rapport à la pression atmosphérique est définie par \Delta P = P(H) - P^0 = \rho g_0 H.

Application numérique :

• \rho = 1000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• g_0 = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2},
• H = 150\text{ m}.

La pression totale au fond de la cavité vaut alors P(H) = 1 + 15 = 16\text{ bar}.

L'eau liquide se vaporise au sein du fluide (ébullition) si sa pression de vapeur saturante P_{\text{sat}}(T) atteint ou dépasse la pression locale P du liquide :

À la température d'infiltration de l'eau T_{\text{ext}} = 293\text{ K}, la formule empirique donne :

soit, avec P^0 = 1\text{ bar} = 10^5\text{ Pa} :

Or, les transferts thermiques avec les roches chauffées étant très lents devant le temps d'infiltration, l'eau arrive dans les cavités à la température T_{\text{ext}}. La pression locale P dans une cavité située à une profondeur H vaut, d'après la question 2 :

(pour H = 150\text{ m}, P = 16\text{ bar}).

On constate ainsi que :

Pour que l'eau liquide se vaporise au sein de la cavité située à la profondeur H, des bulles de vapeur doivent pouvoir se former et subsister contre la pression imposée par le fluide environnant. La condition d'ébullition s'écrit donc :

D'après la formule empirique fournie à la question 3 :

avec T(H) > 273\text{ K}. En identifiant avec le rapport de pressions, il vient :

En prenant la racine quatrième (puisque T(H) > 273\text{ K}) :

En utilisant l'expression de la pression à la profondeur H établie à la question 2, P(H) = P^0 + \rho g_0 H :

où T(H) est exprimée en kelvins (\text{K}).

D'après l'expression établie à la question 4, la température de changement d'état de l'eau à la profondeur H s'écrit :

Pour H = 150\text{ m}, avec \rho = 1000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, g_0 = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et P^0 = 10^5\text{ Pa}, on a :

Sachant que 16^{1/4} = (2^4)^{1/4} = 2, on obtient directement :

soit en degrés Celsius :

L'énoncé précisant qu'il y a vaporisation totale de l'eau liquide contenue initialement dans la cavité de volume V_0 = 1\text{ L}, la masse d'eau vaporisée est :

Avec \rho = 1000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et V_0 = 1\text{ L} = 10^{-3}\text{ m}^3 :

1. Ordre de grandeur du volume de gaz

L'eau vaporisée (m = 1\text{ kg}) représente une quantité de matière :

En assimilant la vapeur d'eau à un gaz parfait à la température T = 473\text{ K} sous la pression régnant dans la cavité P = 16\text{ bar} = 16 \times 10^5\text{ Pa} (question Q2) :

Numériquement :

Au niveau de la cavité, le volume de gaz est ainsi de l'ordre de grandeur de :

Ce volume est plus de cent fois supérieur au volume initial de la cavité (V_0 = 1\text{ L}). Lorsque ce gaz commence à refouler l'eau dans la cheminée et que la pression hydrostatique diminue, il se détend jusqu'à la pression atmosphérique P^0 = 1\text{ bar}, atteignant alors un volume de l'ordre de 2 \times 10^3\text{ L}.

2. Nécessité de roches non-poreuses

• Confinement de pression : Des roches imperméables sont indispensables pour assurer l'étanchéité du réservoir souterrain. Si la roche était poreuse, l'eau et la vapeur fuiraient latéralement, empêchant toute surpression significative dans la cavité.
• Canalisation de l'éjection : L'imperméabilité des parois oblige la surpression à se décharger exclusivement vers le haut, à travers l'étroite cheminée conique.

3. Caractère intermittent du phénomène

Le fonctionnement du geyser s'explique par un cycle thermodynamique auto-entretenu :

1. Infiltration et chauffage lent : De l'eau froide d'infiltration remplit la cavité et la cheminée. En profondeur, l'eau est soumise à une forte pression hydrostatique (16\text{ bar}), ce qui repousse sa température d'ébullition à 200^\circ\text{C}. L'eau s'échauffe lentement au contact des roches magmatiques (phénomène de conduction thermique lent).
2. Déclenchement et décompression : Lorsque la température atteint 200^\circ\text{C} au fond, des bulles de vapeur se forment. En gonflant, elles chassent un volume d'eau hors du sommet de la cheminée.
3. Ébullition explosive : La perte de cette masse d'eau réduit la hauteur de la colonne liquide, provoquant une baisse brutale de la pression hydrostatique dans tout le conduit. Toute l'eau surchauffée de la colonne se retrouve instantanément au-dessus de sa température d'ébullition : elle se vaporise massivement et de façon quasi-instantanée, projetant violemment l'eau et la vapeur vers le haut (le jaillissement).
4. Réamorçage : Une fois la cheminée vidée et refroidie par la détente, une nouvelle masse d'eau froide s'infiltre. Le cycle recommence.

L'intermittence résulte ainsi du contraste majeur d'échelles de temps entre la phase de remplissage et de chauffage conductif (plusieurs dizaines de minutes) et la phase d'éruption hydrodynamique (quelques secondes à minutes).

La loi de Fourier régit le transfert thermique par conduction au sein de la matière. Elle s'écrit sous forme locale et vectorielle :

où :

• \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} (noté également \vec{\jmath}_Q) est le vecteur densité volumique de courant thermique (ou densité de flux thermique), exprimé en \mathrm{W \cdot m^{-2}}. Sa signification physique est la puissance thermique transitant par conduction à travers une unité de surface orientée : la puissance élémentaire traversant une surface \mathrm{d}\vec{S} s'écrit \delta\phi = \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} \cdot \mathrm{d}\vec{S}.
• \lambda est la conductivité thermique du milieu conducteur, exprimée en \mathrm{W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}}. C'est un paramètre caractéristique du matériau qui quantifie sa capacité à conduire la chaleur.
• T est le champ scalaire de température, exprimé en kelvins (\mathrm{K}).
• \vec{\operatorname{grad}} T est le gradient de température, exprimé en \mathrm{K \cdot m^{-1}}, qui indique la direction et le sens de la plus forte augmentation spatiale de la température.

Considérons le système fermé constitué par la tranche infinitésimale de conducteur comprise entre les cotes z et z + \mathrm{d}z, de section S, pendant une durée \mathrm{d}t :

• Régime stationnaire : la température en tout point est indépendante du temps, donc l'énergie interne du système est constante :

  \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = 0
• Absence de sources et de puits internes d'énergie thermique.
• Isolation latérale : les parois latérales sont calorifugées, aucun échange thermique ne s'effectue à travers la surface latérale (\vec{\jmath}_{\mathrm{th}} \cdot \vec{n}_{\mathrm{lat}} = 0).

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système entre les instants t et t + \mathrm{d}t donne pour le bilan thermique :

où \phi(z) est la puissance thermique pénétrant dans la tranche par la section en z, et \phi(z+\mathrm{d}z) celle qui en ressort en z+\mathrm{d}z.

Il vient alors :

La puissance thermique traversant une section droite quelconque du tuyau est donc rigoureusement indépendante de z.

Le flux thermique \phi à travers une section droite S orientée selon les z croissants s'écrit, d'après la loi de Fourier rappelée en Q7 :

D'après la question Q8, le flux \phi est indépendant de z en régime stationnaire. Par conséquent :

La dérivée spatiale de la température étant constante, le profil de température est affine :

Les conditions aux limites imposées par les thermostats s'écrivent :

• en z = 0 : T(0) = T_0 \implies B = T_0 ;
• en z = L : T(L) = T_1 \implies A L + T_0 = T_1 \implies A = \frac{T_1 - T_0}{L}.

On en déduit la loi de température dans la barre :

En réinjectant le gradient de température \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = \frac{T_1 - T_0}{L} dans l'expression de \phi, on obtient :

Par analogie avec la loi d'Ohm en électrocinétique (U = R_{\text{élec}} I), la résistance thermique R_{\text{th}} d'un élément conducteur reliant une zone à la température T_0 à une zone à la température T_1 est définie par le rapport de l'écart de température sur la puissance thermique \phi qui le traverse de la borne amont vers la borne aval :

D'après l'expression du flux thermique obtenue à la question Q9, \phi = \frac{\lambda S}{L}(T_0 - T_1), on en déduit l'expression de la résistance thermique en fonction des caractéristiques géométriques et thermophysiques de la barre :

Elle s'exprime en kelvins par watt (\mathrm{K\cdot W^{-1}}).

Par définition, la résistance thermique \mathcal{R} d'une paroi cylindrique traversée par un flux thermique \phi orienté de l'intérieur (r = R_{\min}) vers l'extérieur (r = R_{\max}) s'écrit :

Une résistance thermique étant une grandeur intrinsèquement positive, l'expression du flux donnée dans l'énoncé conduit directement à :

Application numérique : Pour une longueur de tuyau l = 1\text{ m} :

• \frac{R_{\max}}{R_{\min}} = \frac{40\text{ cm}}{30\text{ cm}} = \frac{4}{3}
• \ln\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}3
• \lambda = 1\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

En retenant deux chiffres significatifs cohérents avec la donnée \ln(4/3) \sim 0{,}3 :

Le transport thermique radial s'effectue à travers trois milieux successifs :

1. Dans le fluide intérieur (eau chaude) et à l'interface interne (r \le R_{\min}) : L'eau liquide au cœur de la conduite est à une température uniforme T_{\text{eau}}. Au voisinage de la paroi interne (dans la couche limite thermique entre R_{\min}^- et R_{\min}), le phénomène de conducto-convection induit une chute de température de T(R_{\min}^-) = T_{\text{eau}} jusqu'à la température de surface intérieure du tube T(R_{\min}) = T_{R\min}.

2. Dans l'épaisseur de la paroi (R_{\min} \le r \le R_{\max}) : Le transfert thermique a lieu par conduction pure en régime stationnaire. En l'absence de terme source, le flux thermique traversant un cylindre de rayon r et de longueur l est conservatif :

   \phi = j_Q(r) \cdot 2\pi r l = -2\pi \lambda l\, r\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} = \text{cte} > 0

   On en déduit :

   \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} = -\frac{\phi}{2\pi\lambda l}\,\frac{1}{r} < 0 \quad \text{et} \quad \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}r^2} = \frac{\phi}{2\pi\lambda l}\,\frac{1}{r^2} > 0

   Le profil de température est logarithmique, strictement décroissant et strictement convexe :

   T(r) = T_{R\min} - (T_{R\min} - T_{R\max})\,\frac{\ln(r/R_{\min})}{\ln(R_{\max}/R_{\min})}
3. À l'interface externe et dans le fluide extérieur (r \ge R_{\max}) : Entre la surface externe R_{\max} et l'air ambiant non perturbé R_{\max}^+, la conducto-convection provoque une nouvelle chute de température de T(R_{\max}) = T_{R\max} jusqu'à la température ambiante T(R_{\max}^+) = T_{\text{ext}}. Au-delà (r \ge R_{\max}^+), la température est uniforme et égale à T_{\text{ext}}.

Le profil de température T(r) présente donc l'allure suivante :

D'après la loi de Newton rappelée dans les données de l'énoncé, la puissance thermique surfacique échangée entre une surface à la température T et un fluide à la température T_{\text{ext}} s'écrit :

Pour une surface d'échange d'aire S isotherme, le flux thermique total traversant l'interface s'exprime par :

Par analogie avec la loi d'Ohm électrocinétique (\Delta T = \mathcal{R}_{\text{th}}\,\phi), la résistance thermique de conducto-convection associée s'identifie à :

Appliquons cette relation aux deux interfaces du tuyau cylindrique de longueur l :

• À la surface intérieure (r = R_{\min}), la surface d'échange avec l'eau en écoulement a pour aire S_{\text{int}} = 2\pi R_{\min} l. La résistance de conducto-convection interne vaut :

  \boxed{\mathcal{R}_{\text{int}} = \frac{1}{2\pi h R_{\min} l}}

  Pour une longueur de tuyau l = 1\text{ m}, avec R_{\min} = 0{,}30\text{ m} et h = 50\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} :

  \mathcal{R}_{\text{int}} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 0{,}30 \times 1} = \frac{1}{30\pi} \approx 1{,}1 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}

• À la surface extérieure (r = R_{\max}), la surface d'échange avec l'air extérieur a pour aire S_{\text{ext}} = 2\pi R_{\max} l. La résistance de conducto-convection externe vaut :

  \boxed{\mathcal{R}_{\text{ext}} = \frac{1}{2\pi h' R_{\max} l}}

  Pour une longueur de tuyau l = 1\text{ m}, avec R_{\max} = 0{,}40\text{ m} et h' = 10\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} :

  \mathcal{R}_{\text{ext}} = \frac{1}{2\pi \times 10 \times 0{,}40 \times 1} = \frac{1}{8\pi} \approx 4{,}0 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}

En régime stationnaire et en l'absence de sources internes de chaleur, le flux thermique radial \phi traversant la surface de rayon r est indépendant de r. Le flux est ainsi identique à travers :

• la couche limite interne en r = R_{\min} (résistance de conducto-convection \mathcal{R}_{\text{int}}) ;
• la paroi du tuyau pour R_{\min} \le r \le R_{\max} (résistance de conduction \mathcal{R}) ;
• la couche limite externe en r = R_{\max} (résistance de conducto-convection \mathcal{R}_{\text{ext}}).

Ces trois résistances sont donc connectées en série entre la température de l'eau T_{\text{eau}} = T(R_{\min}^-) et la température extérieure T_{\text{ext}} = T(R_{\max}^+).

La résistance thermique totale pour une longueur l de tuyau s'écrit :

En utilisant les expressions obtenues aux questions 11 et 13 :

La conductance thermique G est l'inverse de la résistance thermique, G = \frac{1}{\mathcal{R}_{\text{tot}}}. La conductance thermique par unité de longueur (conductance linéique) est alors définie par :

D'où l'expression :

D'après l'expression établie à la question 14, la conductance thermique par unité de longueur s'écrit :

Calculons séparément chacun des termes du dénominateur :

• Terme de conducto-convection interne :

  \frac{1}{h R_{\min}} = \frac{1}{50 \times 0{,}30} = \frac{1}{15} \approx 0{,}067\text{ m}\cdot\text{K}\cdot\text{W}^{-1}

• Terme de conduction dans la paroi du tuyau :

  \frac{1}{\lambda}\ln\left(\frac{R_{\max}}{R_{\min}}\right) = \frac{1}{1} \times 0{,}3 \approx 0{,}30\text{ m}\cdot\text{K}\cdot\text{W}^{-1}

• Terme de conducto-convection externe :

  \frac{1}{h' R_{\max}} = \frac{1}{10 \times 0{,}40} = \frac{1}{4} = 0{,}25\text{ m}\cdot\text{K}\cdot\text{W}^{-1}

La somme des trois résistances thermiques linéiques vaut :

On en déduit la conductance linéique :

Considérons une conduite parcourue par un fluide en écoulement stationnaire unidimensionnel, présentant une section d'entrée e et une section de sortie s. On note \mathcal{V}_c le volume de contrôle fixe délimité par les parois internes de la conduite entre e et s.

Définissons le système fermé \Sigma^* à deux dates t et t+\mathrm{d}t :

• À l'instant t, \Sigma^*(t) est constitué de la matière contenue dans \mathcal{V}_c à laquelle on ajoute la tranche infinitésimale de masse \mathrm{d}m_e qui va pénétrer par e pendant \mathrm{d}t.
• À l'instant t+\mathrm{d}t, \Sigma^*(t+\mathrm{d}t) est constitué de la matière contenue dans \mathcal{V}_c à laquelle on ajoute la tranche de masse \mathrm{d}m_s qui est sortie par s pendant \mathrm{d}t.

En régime permanent (stationnaire), la conservation de la masse impose :

L'énergie totale d'une masse de fluide est la somme de son énergie interne U et de son énergie mécanique macroscopique E_{\text{mec}} = E_c + E_{p,\text{pes}} :

Pour le système fermé \Sigma^*, la variation d'énergie totale entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

Comme le régime est stationnaire, l'état du fluide dans le volume fixe \mathcal{V}_c est indépendant du temps : E_{\text{tot}}(\mathcal{V}_c, t+\mathrm{d}t) = E_{\text{tot}}(\mathcal{V}_c, t). Il vient :

où \Delta X = X_s - X_e désigne la variation d'une grandeur massique entre la sortie et l'entrée.

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au système fermé \Sigma^* :

Le travail \delta W reçu par \Sigma^* se décompose en :

• le travail des forces de pression extérieures appliquées en entrée et en sortie (forces de transvasement) :

  \delta W_{\text{press}} = \vec{F}_{p,e} \cdot \vec{v}_e\,\mathrm{d}t + \vec{F}_{p,s} \cdot \vec{v}_s\,\mathrm{d}t = P_e S_e v_e\,\mathrm{d}t - P_s S_s v_s\,\mathrm{d}t

  En introduisant les volumes massiques v_{m,e} = 1/\rho_e et v_{m,s} = 1/\rho_s, le volume balayé vaut S v\,\mathrm{d}t = \mathrm{d}m/\rho, d'où :

  \delta W_{\text{press}} = \mathrm{d}m \left( \frac{P_e}{\rho_e} - \frac{P_s}{\rho_s} \right) = -\,\mathrm{d}m\,\Delta\left(\frac{P}{\rho}\right)
• le travail utile \delta W_u = \mathrm{d}m\,w_u échangé avec des parties mobiles (pales de turbine, pompe, etc.) ;
• les parois indéformables de la conduite ne fournissent aucun travail.

Le transfert thermique reçu s'écrit \delta Q = \mathrm{d}m\,q.

En rassemblant les termes dans le premier principe :

En divisant par \mathrm{d}m et en regroupant les grandeurs à l'entrée et à la sortie :

L'enthalpie massique étant définie par h = u + \dfrac{P}{\rho}, on obtient le « principe industriel » :

Signification physique des grandeurs écrites :

• \Delta h = h_s - h_e : variation d'enthalpie massique du fluide entre la sortie et l'entrée (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}) ;
• \Delta e_{\text{mec}} = \Delta\left(\frac{1}{2}v^2 + g z\right) : variation de l'énergie mécanique massique (cinétique et potentielle de pesanteur) du fluide entre la sortie et l'entrée (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}) ;
• q = \dfrac{\delta Q}{\mathrm{d}m} : transfert thermique massique reçu par le fluide à travers les parois de la conduite (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}) ;
• w_u = \dfrac{\delta W_u}{\mathrm{d}m} : travail mécanique utile massique échangé avec l'extérieur, hors travail des forces de pression aux frontières fluides (associé à des organes mobiles tels qu'une turbine ou une pompe) (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}).

L'eau liquide s'écoule à l'intérieur du cylindre creux de rayon intérieur R_{\min}. La section de passage du fluide vaut :

Le débit volumique D_v s'exprime en fonction de la vitesse moyenne v par D_v = v S. On en déduit l'expression de la vitesse de l'eau à l'entrée :

Application numérique : Avec D_v = 500\text{ L}\cdot\text{s}^{-1} = 0{,}500\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} et R_{\min} = 0{,}30\text{ m} :

Uniformité de la vitesse dans le tuyau :

• Sur une section droite transverse : d'après les données de l'énoncé, l'eau liquide présente une « viscosité négligeable ». Dans le cadre de l'écoulement d'un fluide parfait sans frottement visqueux, il n'y a pas de condition d'adhérence aux parois ni de gradient transversal de vitesse (profil plat ou écoulement « bouchon ») ; la vitesse est donc uniforme sur toute la section.
• Le long de la conduite (selon x) : le fluide est supposé incompressible et indilatable (\rho = \text{cte}), la section droite S est constante sur toute la longueur et l'écoulement est stationnaire. La conservation du débit massique D_m = \rho S v = \text{cte} implique que la vitesse v reste constante et uniforme le long de tout le trajet.

Considérons une tranche d'eau s'écoulant de x à x + \mathrm{d}x en régime stationnaire. On applique le premier principe industriel établi à la question Q16 :

Détaillons les différents termes :

• Il n'y a pas de partie mobile (pas de turbine ni de pompe entre x et x+\mathrm{d}x), donc le travail utile massique est nul :

  w_u = 0
• L'écoulement est stationnaire et l'eau est modélisée par un fluide incompressible de masse volumique \rho uniforme dans une conduite de section droite constante. D'après la question Q17, la vitesse d'écoulement v est uniforme le long du tuyau, d'où \Delta e_c = 0.

• L'énoncé indique de négliger la variation d'énergie potentielle de pesanteur : \Delta e_p = 0. On en déduit :

  \Delta e_{\text{mec}} = \Delta e_c + \Delta e_p = 0

• Pour un liquide assimilé à une phase condensée incompressible et indilatable de capacité thermique massique c, la variation massique d'enthalpie se réduit à :

  \Delta h = h(x+\mathrm{d}x) - h(x) = c\,\mathrm{d}T(x) = c\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x

• Pendant la durée \mathrm{d}t, la masse de fluide traversant la tranche est :

  \mathrm{d}m = D_m\,\mathrm{d}t = \rho D_v\,\mathrm{d}t

  Le transfert thermique élémentaire reçu de l'extérieur par le tronçon de longueur \mathrm{d}x s'exprime à l'aide de la conductance thermique linéique G_{\text{lin}} définie à la question Q14 :

  \delta Q = \delta\Phi\,\mathrm{d}t = G_{\text{lin}}\,\mathrm{d}x\,\big(T_{\text{ext}} - T(x)\big)\,\mathrm{d}t

  Le transfert thermique massique s'écrit alors :

  q = \frac{\delta Q}{\mathrm{d}m} = \frac{G_{\text{lin}}\,\big(T_{\text{ext}} - T(x)\big)\,\mathrm{d}x}{\rho D_v}

En injectant ces résultats dans le premier principe, on obtient :

soit, sous forme différentielle :

D'après le bilan énergétique établi à la question Q18, la température de l'eau T(x) vérifie :

En développant et en regroupant les termes dépendant de T(x) dans le membre de gauche :

En divisant cette relation par la quantité non nulle \rho D_v c, il vient :

Par identification directe avec la forme demandée :

on en déduit l'expression de la grandeur \delta :

Dimension de \delta :

• Par l'équation différentielle : le terme \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} est homogène à une température divisée par une longueur, soit [\Theta]\cdot [L]^{-1}. Pour que tous les termes soient homogènes, le terme \frac{T}{\delta} doit posséder la même dimension, d'où :

  [\delta] = [L]

• Par l'expression littérale :

  • \rho D_v c a pour unité \mathrm{(kg\cdot m^{-3})\cdot (m^3\cdot s^{-1})\cdot (J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1})} = \mathrm{J\cdot s^{-1}\cdot K^{-1}} = \mathrm{W\cdot K^{-1}},
  • G_{\text{lin}} s'exprime en \mathrm{W\cdot K^{-1}\cdot m^{-1}},

  ce qui confirme que \delta s'exprime en mètres (\mathrm{m}).

La grandeur \delta est donc homogène à une longueur.

D'après la question Q19, la température T(x) de l'eau vérifie l'équation différentielle linéaire du premier ordre :

La solution générale de l'équation homogène associée est :

Une solution particulière évidente (car constante) est T_p(x) = T_{\text{ext}}. La solution générale de l'équation s'écrit donc :

L'eau pénètre dans la conduite en x = 0 à la température T(0) = T_0, ce qui impose :

On en déduit la loi de température le long de la canalisation :

D'après la question Q20, le profil de température de l'eau le long de la conduite est donné par :

où la longueur caractéristique de transfert thermique s'écrit (d'après la question Q19) :

Calculons numériquement la valeur de cette échelle de longueur :

On obtient :

Pour un transport sur une distance x = 50\text{ km} = 50\times 10^3\text{ m} :

L'énoncé fournissant la valeur \exp(-0{,}25) = 0{,}78, on adopte l'approximation suggérée \frac{x}{\delta} \approx 0{,}25, d'où :

1. En été (T_{\text{ext}1} = 285\text{ K} = 12^\circ\text{C}) :

2. En hiver (T_{\text{ext}2} = 273\text{ K} = 0^\circ\text{C}) :

1. Négligence de la variation d'énergie potentielle de pesanteur

Entre la station de pompage de Svartsengi (altitude z_1 = 240\text{ m}) et Reykjavík (altitude z_2 = 40\text{ m}), la variation d'altitude vaut \Delta z_{\text{alt}} = z_2 - z_1 = -200\text{ m}.

La variation d'énergie potentielle de pesanteur par unité de masse s'écrit :

Parallèlement, la chute de température de l'eau sur le trajet est de l'ordre de |\Delta T| \approx 17\text{ K} à 20\text{ K} (d'après la question Q21). La variation d'enthalpie massique associée vaut :

On constate que :

Sur chaque tranche élémentaire \mathrm{d}x, la variation d'énergie potentielle est donc tout à fait négligeable devant la variation d'enthalpie :

2. Négligence de la variation de température avec la variable z

• Si z désigne la coordonnée axiale du tuyau (axe noté Oz dans les questions 7 à 10 ainsi que dans le rappel du gradient cylindrique) :
  La longueur caractéristique de variation axiale de température est \delta \approx 190\text{ km}, tandis que l'épaisseur radiale de la paroi est e = R_{\max} - R_{\min} = 0{,}10\text{ m}.

  Les gradients thermiques correspondants sont dans un rapport :

  \frac{\left|\frac{\partial T}{\partial x}\right|}{\left|\frac{\partial T}{\partial r}\right|} \sim \frac{\frac{\Delta T_{\text{ligne}}}{L}}{\frac{\Delta T_{\text{paroi}}}{e}} \sim \frac{\frac{20}{50\times 10^3}}{\frac{10}{0{,}10}} \sim \frac{4\times 10^{-4}}{100} \sim 4\times 10^{-6} \ll 1

  Le transfert thermique par conduction le long de l'axe est donc totalement négligeable devant la diffusion thermique radiale à travers la paroi.

• Si z désigne la coordonnée verticale au sein de la section du fluide :
  D'une part, l'énoncé stipule que l'eau liquide possède « une conductivité thermique infinie », ce qui homogénéise instantanément la température dans la section droite.
  D'autre part, le nombre de Reynolds de l'écoulement vaut :

  \mathrm{Re} = \frac{\rho v (2R_{\min})}{\eta} \sim \frac{10^3 \times 1{,}8 \times 0{,}60}{10^{-3}} \approx 10^6 \gg 2000

  L'écoulement est donc fortement turbulent : le brassage convectif empêche toute stratification thermique verticale selon z.

Dans les deux acceptions, l'hypothèse d'invariance selon z est pleinement justifiée.

1. Formes d'énergie transmises :

• De la turbine à l'alternateur, l'énergie est transmise sous forme d'énergie mécanique (travail d'un couple de forces via l'arbre de rotation).
• De l'alternateur au transformateur, l'énergie est transmise sous forme d'énergie électrique (courant alternatif sous tension alternative).

2. Éléments transducteurs : Un transducteur est un système convertissant une forme d'énergie en une autre. Les éléments transducteurs de la chaîne sont :

• La turbine, qui convertit l'énergie thermique et cinétique de la vapeur (énergie fluidique/thermodynamique) en énergie mécanique de rotation ;
• L'alternateur, qui convertit l'énergie mécanique en énergie électrique grâce au phénomène d'induction électromagnétique.

Remarque : Le transformateur n'est pas à proprement parler un transducteur de forme d'énergie, car il modifie les grandeurs électriques (tension, intensité) sans changer la nature électrique de l'énergie.

3. Pertes énergétiques à envisager :

• Canalisations et forage : transferts thermiques dissipatifs avec le milieu extérieur et pertes de charge visqueuses lors de l'écoulement de l'eau et de la vapeur.
• Turbine : frottements mécaniques (paliers, roulements), turbulences du fluide et enthalpie résiduelle emportée par la vapeur à l'échappement.

• Alternateur :

  • pertes mécaniques (frottements d'axe, résistance de l'air) ;
  • pertes par effet Joule dans les bobinages conducteurs (R I^2) ;
  • pertes magnétiques dites « pertes fer » (courants de Foucault et hystérésis dans les matériaux ferromagnétiques).
• Transformateur : pertes par effet Joule dans les enroulements primaire et secondaire, ainsi que des pertes magnétiques (« pertes fer » par courants de Foucault et hystérésis dans le circuit magnétique).

Une année compte :

À une puissance électrique continue \mathcal{P} = 80\text{ MW} = 80 \times 10^3\text{ kW}, l'énergie électrique produite en un an s'élève à :

D'après le préambule de la partie III, la production géothermique libère e_{\text{géo}} = 80\text{ g}\cdot\text{kWh}^{-1} = 0{,}080\text{ kg}\cdot\text{kWh}^{-1} de \mathrm{CO_2}. La masse annuelle de dioxyde de carbone émise par la centrale de Svartsengi est donc :

Pour une « bonne » centrale à charbon produisant la même quantité d'électricité, le taux d'émission vaut e_{\text{charbon}} = 1\text{ kg}\cdot\text{kWh}^{-1}. La masse émise serait alors :

En comparant les deux émissions :

Une centrale à charbon émet ainsi 12{,}5 fois plus de dioxyde de carbone (soit une réduction de 92\,\% grâce à la géothermie).

Le circuit conducteur fermé \mathcal{C}, constitué de N spires de section S = (2a)^2 = 4a^2, est en rotation autour de l'axe (Oz) à la vitesse angulaire \omega = \dot{\theta} dans un champ magnétique extérieur stationnaire et uniforme \vec{B} = B_0\,\vec{e}_x.

1. Approche macroscopique (loi de Faraday) : Le flux magnétique total embrassé par les N spires s'écrit :

où \vec{n} désigne le vecteur unitaire normal au plan des spires. L'angle \theta(t) variant au cours du temps du fait de la rotation du rotor, le flux magnétique \Phi(t) dépend explicitement du temps :

D'après la loi de Faraday, cette variation temporelle du flux magnétique engendre l'apparition d'une force électromotrice induite :

Le circuit étant fermé et de résistance R, cette f.é.m. donne naissance à un courant induit i(t) = \frac{e(t)}{R}.

2. Approche microscopique (induction de Lorentz) : Les électrons de conduction du bobinage possèdent une vitesse d'entraînement \vec{v} liée au mouvement de rotation du circuit. Plongés dans le champ magnétique \vec{B}, ils subissent une force magnétique de Lorentz :

associée au champ électromoteur de Lorentz \vec{E}_m = \vec{v}\wedge\vec{B}. La circulation de ce champ le long du circuit fermé est non nulle et constitue la f.é.m. de Lorentz :

Il s'agit donc d'un phénomène d'induction de mouvement (ou de Lorentz).

Chaque spire est un carré de côté 2a, donc de surface S_1 = (2a)^2 = 4a^2. L'ensemble des N spires orientées selon un vecteur unitaire normal \vec{n} présente une surface orientée totale :

L'angle entre le vecteur normal \vec{n} et le champ \vec{B} = B_0 \vec{e}_x est \theta = (\vec{e}_x, \vec{n}). À l'instant initial t = 0, le plan de la spire est orthogonal à \vec{B}, donc \vec{n} est colinéaire à \vec{B} : \theta(0) = 0. Comme la vitesse angulaire de rotation \omega = \dot{\theta} est constante, on a \theta(t) = \omega t.

Le flux du champ magnétique extérieur à travers les N spires s'écrit :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans le circuit fermé est :

Le champ magnétique propre étant négligé, l'effet d'auto-induction est nul (L \approx 0). D'après la loi d'Ohm, l'intensité i du courant induit dans le circuit de résistance R s'exprime par :

En fonction du temps, i(t) = I_{\max} \sin(\omega t) avec I_{\max} = \frac{4 N a^2 B_0 \omega}{R}. Les caractéristiques du courant alimentant le primaire du transformateur sont :

• forme : courant alternatif purement sinusoïdal, de valeur moyenne nulle ;
• pulsation : \omega (égale à la pulsation mécanique de rotation de la turbine), soit une fréquence f = \frac{\omega}{2\pi} ;
• amplitude : I_{\max} = \frac{4 N a^2 B_0 \omega}{R} (soit une intensité efficace I_{\text{eff}} = \frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}).

Le circuit est constitué de N spires carrées identiques de côté 2a, soit une surface totale embrassée S_{\text{tot}} = N S = 4Na^2. Le vecteur unitaire normal \vec{n} au plan des spires s'écrit, en repérant l'angle \theta par rapport à l'axe (Ox) orthogonal au plan de la spire à t=0 :

Le moment dipolaire magnétique total du circuit s'écrit alors :

Le circuit étant plongé dans le champ magnétique extérieur uniforme \vec{B} = B_0 \vec{e}_x, le moment résultant des actions de Laplace s'exprime par :

En utilisant l'expression du courant induit i(\theta) = \dfrac{4Na^2 B_0 \omega}{R}\sin\theta établie à la question Q26, on obtient :

Commentaires sur le résultat obtenu :

• Caractère résistant : La vitesse angulaire de rotation étant \vec{\omega} = \omega\vec{e}_z avec \omega > 0, la composante de \vec{\Gamma}_L selon \vec{e}_z est constamment négative ou nulle (\sin^2\theta \ge 0). Le couple de Laplace s'oppose donc en permanence à la rotation imposée : il s'agit d'un couple de freinage (ou couple résistant), en parfait accord avec la loi de modération de Lenz.
• Caractère oscillant : Le couple fluctue au cours du temps à la pulsation 2\omega puisque \sin^2(\omega t) = \dfrac{1 - \cos(2\omega t)}{2}.
• Dépendance aux paramètres : Le couple est proportionnel à la pulsation \omega (analogie avec un frottement fluide), au carré du champ magnétique B_0^2, au carré du nombre de spires N^2, et inversement proportionnel à la résistance électrique R.

Le circuit tourne autour de l'axe fixe (Oz) à la vitesse angulaire \vec{\omega} = \omega \vec{e}_z constante. D'après le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au rotor par rapport à cet axe :

où J est le moment d'inertie du rotor, \vec{\Gamma}_L le couple de Laplace déterminé à la question Q27 et \vec{\Gamma}_{\text{ext}} le couple exercé par un opérateur extérieur (en pratique la turbine à vapeur).

Le couple instantané à exercer s'écrit donc :

En moyenne temporelle, la valeur moyenne de \sin^2(\omega t) valant \frac{1}{2}, le couple moyen à fournir est :

La puissance instantanée développée par ce couple extérieur vaut :

Cette puissance est toujours positive (ou nulle aux passages par \theta = 0 \ [\pi]) : le couple exercé par la turbine est donc moteur. Il fournit l'énergie mécanique convertie sous forme électrique par l'alternateur.

Le circuit tourne autour de l'axe Oz avec le vecteur rotation \vec{\omega} = \omega \vec{e}_z. La puissance instantanée développée par les forces de Laplace s'écrit :

En utilisant l'expression du couple de Laplace établie à la question Q27 :

La valeur moyenne temporelle de \sin^2(\omega t) sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} valant \langle \sin^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}, la puissance moyenne du moment des forces de Laplace est :

La puissance électrique instantanée reçue et dissipée par effet Joule dans la résistance R s'exprime à l'aide de l'intensité i(t) trouvée à la question Q26 :

Sa valeur moyenne vaut donc :

Comparaison et interprétation :
On constate l'égalité stricte :

• La puissance des forces de Laplace est négative à tout instant (\mathcal{P}_L \le 0) : les actions de Laplace s'opposent au mouvement de rotation imposé (conséquence directe de la loi de modération de Lenz).
• Pour maintenir la rotation à vitesse angulaire constante, la turbine doit fournir une puissance mécanique extérieure moyenne \langle \mathcal{P}_{\text{ext}} \rangle = -\langle \mathcal{P}_L \rangle.
• Cette puissance mécanique fournie par la turbine est intégralement convertie par l'alternateur en puissance électrique, dissipée ici dans la résistance du circuit. Le modèle sans frottements mécaniques ni pertes magnétiques traduit une conversion électromécanique à rendement unitaire.

D'après les conventions de la figure 7, le primaire est orienté en convention récepteur (la tension U_1 et le courant I_1 sont associés selon cette convention). La puissance électrique instantanée reçue au primaire s'écrit :

Au secondaire, avec les orientations de la figure 7 conduisant à la relation I_2 / I_1 = - N_1 / N_2, les grandeurs sont également en convention récepteur. La puissance cédée (fournie) par le secondaire au circuit aval correspond donc à l'opposée de la puissance reçue au secondaire :

En utilisant les relations de transformation fournies pour ce modèle parfait :

On en déduit :

Cette égalité étant vérifiée à chaque instant, elle est également vraie pour les puissances moyennes (actives) :

D'après la figure 7, le courant \underline{I}_2 est orienté vers l'intérieur de l'enroulement secondaire (convention récepteur pour le secondaire). Le courant qui traverse la charge \underline{Z}_c dans le sens de la chute de potentiel \underline{U}_2 est donc -\underline{I}_2. La loi d'Ohm complexe aux bornes de cette impédance s'écrit :

Par ailleurs, les relations du transformateur parfait fournies dans l'énoncé s'écrivent :

L'impédance d'entrée \underline{Z}_e vue des bornes du primaire est donnée par :

En injectant \dfrac{\underline{U}_2}{\underline{I}_2} = -\underline{Z}_c, les signes négatifs se compensent et l'on obtient :

où m = \dfrac{N_2}{N_1} désigne le rapport de transformation.

Au secondaire, la ligne haute tension est modélisée par une résistance R et une capacité C montées en parallèle. L'admittance complexe de cette charge s'écrit directement :

avec j^2 = -1 (ou i selon la notation choisie).

D'après le résultat de la question Q31, l'impédance d'entrée vue du primaire est reliée à l'impédance de charge \underline{Z}_c par :

L'admittance d'entrée \underline{Y}_e = \frac{1}{\underline{Z}_e} s'en déduit immédiatement :

En substituant l'expression de \underline{Y}_c, on obtient :

D'après la relation de transformation établie pour un transformateur parfait en régime sinusoïdal (rappelée dans le préambule de la partie III-C) :

Ce rapport étant constant et positif à tout instant, le rapport des valeurs efficaces des tensions secondaire U_{2,\text{eff}} et primaire U_{1,\text{eff}} est directement égal au rapport du nombre de spires :

Application numérique avec U_{1,\text{eff}} = 11\text{ kV} et U_{2,\text{eff}} = 132\text{ kV} :

L'alternateur, présentant un comportement inductif, peut être modélisé par une inductance propre L (associée à ses enroulements). Par ailleurs, la ligne de transmission présente un caractère capacitif de capacité C qui, d'après la question 32, se ramène au primaire sous la forme d'une capacité équivalente :

La rotation de l'alternateur à la vitesse angulaire \omega engendre une force électromotrice de pulsation \omega. L'association de l'inductance L et de la capacité C_e constitue un oscillateur électrique de pulsation propre :

Lorsque la vitesse de rotation \omega varie et s'approche de cette pulsation propre (\omega \approx \omega_0), il se produit un phénomène de résonance électrique.

Si la résistance est négligeable, le circuit n'est quasiment plus amorti (facteur de qualité Q \to \infty) :

• les grandeurs électriques (intensité du courant et tension) atteignent des amplitudes considérables (phénomènes de surintensité et de surtension) ;
• ces surtensions et surintensités peuvent provoquer le claquage diélectrique des isolants ou la destruction thermique des bobinages de l'alternateur et du transformateur.

Notons U_s = kU la tension efficace aux bornes de sortie du transformateur rehausseur et I la valeur efficace de l'intensité du courant circulant dans la ligne de transmission.

Le dipôle récepteur D et la résistance de ligne r étant en série, ils sont traversés par le même courant efficace I.

• La puissance active transmise au dipôle D vaut :

  p = R' I^2

• La puissance dissipée par effet Joule dans la ligne de transmission s'écrit :

  \mathcal{P}_J = r I^2

La puissance totale délivrée en sortie du transformateur élévateur est :

Dans une ligne de transport d'électricité conçue pour être efficace, les pertes en ligne sont très faibles devant la puissance transportée (\mathcal{P}_J \ll p, soit r \ll R'). On a donc au premier ordre :

En injectant cette expression de l'intensité dans la puissance Joule dissipée, on obtient :

Pour transporter une puissance donnée p vers le transformateur d'abaissement et l'utilisateur sous une tension efficace U_s = kU, le courant efficace circulant dans la ligne vaut :

L'élévation de tension par un facteur k > 1 permet ainsi de réduire l'intensité du courant circulant dans la ligne d'un même facteur k pour une même puissance utile distribuée.

D'après la question 35, la puissance dissipée par effet Joule dans les conducteurs de résistance globale r s'écrit :

où \mathcal{P}_{J,0} = \dfrac{r p^2}{U^2} représenterait les pertes en l'absence de transformateur rehausseur (transport direct sous la tension d'alternateur U).

Les pertes par effet Joule étant quadratiques en courant, elles sont divisées par le carré du rapport de transformation :

Application numérique à la centrale de Svartsengi :

D'après la question 33, le rapport d'élévation de tension vaut :

Par conséquent, le facteur de réduction des pertes Joule dans la ligne de transport est :

On étudie le point matériel P de masse M à l'équilibre dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Le plateau \Sigma étant fixe, l'extrémité A du ressort est immobile en z_A = 0. La position du point P sur l'axe vertical (Oz) orienté vers le bas est repérée par z_P = L_{\text{eq}}.

Le point P est soumis à deux forces :

• son poids :

  \vec{P} = M \vec{g} = M g_0 \vec{e}_z

• la force de rappel élastique exercée par le ressort :

  \vec{F}_{\text{él}} = - k (L_{\text{eq}} - L_0) \vec{e}_z

La force de frottement fluide est nulle à l'équilibre car la vitesse de P est nulle.

À l'équilibre, le principe fondamental de la statique s'écrit :

En projetant sur le vecteur unitaire \vec{e}_z :

En utilisant la relation donnée par l'énoncé k = M \omega_0^2, il vient :

On étudie le point matériel P de masse M dans le référentiel terrestre supposé galiléen. L'axe vertical (Oz) est orienté vers le bas.

Le plateau \Sigma étant immobile, le point d'attache A est fixe à l'origine (z_A = 0). La position du point P est donc repérée par sa cote :

Ses dérivées temporelles sont :

Le point P est soumis à trois forces :

• son poids : \vec{P} = M g_0 \vec{e}_z ;
• la force de rappel élastique exercée par le ressort : \vec{F}_{\text{ressort}} = -k (L(t) - L_0) \vec{e}_z ;
• la force de frottement fluide : \vec{f} = -2\lambda M \dot{L}(t) \vec{e}_z.

D'après la deuxième loi de Newton :

En projetant sur l'axe vertical descendant \vec{e}_z :

Or, d'après la condition d'équilibre établie à la question Q37, on a :

En réinjectant cette expression dans la somme du poids et de la force de rappel :

Comme Z(t) = L(t) - L_{\text{eq}}, on a de plus \dot{Z}(t) = \dot{L}(t) et \ddot{Z}(t) = \ddot{L}(t). L'équation du mouvement devient alors :

En divisant par la masse M et en posant k/M = \omega_0^2 :

D'après la question 38, l'équation différentielle du mouvement s'écrit :

L'équation caractéristique associée à cette équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est :

Le discriminant réduit de ce trinôme vaut :

Le régime critique marque la transition entre le régime apériodique (\Delta' > 0) et le régime pseudo-périodique (\Delta' < 0). Il correspond à un discriminant nul, soit :

Puisque le coefficient d'amortissement \lambda et la pulsation propre \omega_0 sont des grandeurs positives, la valeur critique est :

L'équation caractéristique admet alors une racine double réelle négative :

La forme générale de la solution Z(t) en régime critique s'écrit donc :

où A et B sont deux constantes réelles déterminées par les conditions initiales.

D'après la question Q39, la solution en régime critique (\lambda = \omega_0) est de la forme :

La dérivée temporelle s'écrit :

Les conditions initiales imposent :

L'expression temporelle du déplacement est donc :

Étudions la fonction pour d > 0 :

• En t = 0 : Z(0) = d et \dot{Z}(0) = 0, la courbe admet une tangente horizontale à l'origine.

• Pour t > 0 : la dérivée vaut

  \dot{Z}(t) = -d\,\omega_0^2\,t\,\mathrm{e}^{-\omega_0 t} < 0

  La fonction Z(t) est strictement décroissante et ne change jamais de signe (aucun dépassement de la position d'équilibre Z = 0, absence d'oscillations).

• Limite : \lim_{t \to +\infty} Z(t) = 0 par croissances comparées.
• La dérivée seconde \ddot{Z}(t) = d\,\omega_0^2(\omega_0 t - 1)\,\mathrm{e}^{-\omega_0 t} s'annule en t = \frac{1}{\omega_0}, ce qui correspond à un point d'inflexion où Z\left(\frac{1}{\omega_0}\right) = \frac{2d}{\mathrm{e}} \approx 0{,}74\,d.

Le référentiel terrestre galiléen est muni de l'axe vertical Oz descendant de vecteur unitaire \vec{e}_z. La position de l'attache A sur le plateau mobile est donnée par z_A(t) = z_\Sigma(t) = z_m \cos(\omega t). La position de la masse M est donc :

Son accélération absolue dans le référentiel terrestre s'écrit ainsi :

Le point matériel P de masse M est soumis à :

• son poids : M\vec{g} = M g_0 \vec{e}_z ;
• la force de rappel élastique du ressort : \vec{T} = -k(L(t) - L_0)\vec{e}_z ;
• la force de frottement fluide : \vec{f} = -2\lambda M \dot{L}(t)\vec{e}_z.

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe Oz donne :

D'après la question Q37, à l'équilibre statique (z_\Sigma = 0), M g_0 - k(L_{\text{eq}} - L_0) = 0. En introduisant Z(t) = L(t) - L_{\text{eq}}, on a \dot{L} = \dot{Z} et \ddot{L} = \ddot{Z}, d'où :

En divisant par M et en posant \omega_0^2 = k/M, on obtient l'équation du mouvement :

Avec la notation complexe \underline{z}_\Sigma(t) = z_m \mathrm{e}^{i\omega t} et \underline{Z}(t) = \underline{A_m}\mathrm{e}^{i\omega t}, on a \ddot{\underline{z}}_\Sigma(t) = -\omega^2 z_m \mathrm{e}^{i\omega t}, d'où :

En divisant l'ensemble par \omega^2 :

En introduisant le rapport r = \frac{\omega_0}{\omega} et le facteur de qualité Q = \frac{\omega_0}{2\lambda}, le terme d'amortissement s'écrit :

On en déduit l'expression de l'amplitude complexe :

Pour le régime critique, le coefficient de frottement vaut \lambda_c = \omega_0 (question Q39), ce qui correspond à un facteur de qualité :

À la pulsation propre \omega = \omega_0, on a r = 1. L'expression de l'amplitude complexe devient alors :

D'après le résultat de la question précédente, l'amplitude complexe s'écrit :

L'amplitude réelle A_m = |\underline{A_m}| vaut donc :

Posons la variable u = r^2 = \left(\frac{\omega_0}{\omega}\right)^2 > 0. Maximiser A_m revient à minimiser la fonction polynomiale f(u) définie par :

La dérivée de cette fonction par rapport à u s'annule pour :

Comme f''(u) = 2 > 0, u_R correspond bien à un minimum de f(u). Puisque la pulsation \omega doit être réelle et non nulle, il est nécessaire que u_R > 0 :

La valeur minimale du facteur de qualité assurant l'existence d'un maximum d'amplitude (phénomène de résonance) est donc :

Si Q > Q_{\min}, la pulsation de résonance \omega_R vérifie :

d'où :

En évaluant le dénominateur en u_R :

L'amplitude maximale vaut ainsi :

Pour un facteur de qualité très grand (Q \gg 1), on obtient par développement limité à l'ordre principal :

D'après le résultat de la question Q41, l'amplitude complexe du déplacement relatif vérifie :

avec r = \frac{\omega_0}{\omega} = \frac{1}{x}, où x = \frac{\omega}{\omega_0} désigne la pulsation réduite. La fonction de transfert s'écrit donc :

Le module de la fonction de transfert (gain linéaire) vaut :

1. Comportement à basse fréquence (x \ll 1, soit \omega \ll \omega_0) : Au dénominateur, (1 - x^2)^2 + \frac{x^2}{Q^2} \sim 1, d'où :

Le gain en décibels admet pour asymptote :

2. Comportement à haute fréquence (x \gg 1, soit \omega \gg \omega_0) : Au dénominateur, les termes de plus haut degré dominent : (1 - x^2)^2 + \frac{x^2}{Q^2} \sim x^4, d'où :

Le gain en décibels tend vers une constante :

3. Justification de l'allure du diagramme de Bode (figure 10) : Le système constitue un filtre passe-haut du second ordre :

• Pour toutes les valeurs de Q, les courbes partent d'une asymptote commune de pente +40\text{ dB/décade} en basse fréquence (valant -40\text{ dB} en x = 0{,}1) et rejoignent l'asymptote horizontale à 0\text{ dB} en haute fréquence (x \ge 10).

• Au voisinage de la pulsation propre (x = 1, soit \omega = \omega_0), on a |H(x=1)| = Q, soit G_{\mathrm{dB}}(1) = 20\log_{10}Q :

  • Pour Q = 0{,}25 < 1/\sqrt{2} : il n'y a pas de résonance (d'après Q42), le gain croît de façon monotone et reste strictement sous 0\text{ dB} (G_{\mathrm{dB}}(1) = 20\log_{10}(0{,}25) \approx -12\text{ dB}).
  • Pour Q = 1/\sqrt{2} \approx 0{,}71 : valeur critique d'apparition de la résonance (réponse de Butterworth), le gain croît sans dépasser 0\text{ dB} (G_{\mathrm{dB}}(1) = -3\text{ dB}).
  • Pour Q = 5 > 1/\sqrt{2} : il apparaît un pic de résonance bien visible sur la figure 10, culminant au-dessus de 0\text{ dB} à une valeur G_{\mathrm{dB}} \approx 20\log_{10}(5) \approx +14\text{ dB}.

Ces caractéristiques correspondent point par point aux trois tracés de la figure 10.

Le sismographe mesure le déplacement relatif de la masse par rapport au support, d'amplitude A_m. Pour que le dispositif reproduise fidèlement les mouvements du sol sans distorsion d'amplitude, il faut que le gain du filtre soit indépendant de la pulsation et vaille 1, c'est-à-dire :

D'après l'étude menée à la question Q43 et le diagramme de Bode (figure 10), cette condition est réalisée sur le plateau haute fréquence, c'est-à-dire pour :

Le spectre des séismes étant contenu dans l'intervalle [\omega_1, \omega_2], toutes les composantes fréquentielles du signal doivent se situer dans cette zone de transmission fidèle. Il faut donc choisir une pulsation propre \omega_0 nettement inférieure à la plus petite pulsation du spectre :