Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2023 (page 3/3 : Partie III (questions 25 à 36) et partie IV)

Le circuit conducteur fermé \mathcal{C}, constitué de N spires de section S = (2a)^2 = 4a^2, est en rotation autour de l'axe (Oz) à la vitesse angulaire \omega = \dot{\theta} dans un champ magnétique extérieur stationnaire et uniforme \vec{B} = B_0\,\vec{e}_x.

1. Approche macroscopique (loi de Faraday) : Le flux magnétique total embrassé par les N spires s'écrit :

où \vec{n} désigne le vecteur unitaire normal au plan des spires. L'angle \theta(t) variant au cours du temps du fait de la rotation du rotor, le flux magnétique \Phi(t) dépend explicitement du temps :

D'après la loi de Faraday, cette variation temporelle du flux magnétique engendre l'apparition d'une force électromotrice induite :

Le circuit étant fermé et de résistance R, cette f.é.m. donne naissance à un courant induit i(t) = \frac{e(t)}{R}.

2. Approche microscopique (induction de Lorentz) : Les électrons de conduction du bobinage possèdent une vitesse d'entraînement \vec{v} liée au mouvement de rotation du circuit. Plongés dans le champ magnétique \vec{B}, ils subissent une force magnétique de Lorentz :

associée au champ électromoteur de Lorentz \vec{E}_m = \vec{v}\wedge\vec{B}. La circulation de ce champ le long du circuit fermé est non nulle et constitue la f.é.m. de Lorentz :

Il s'agit donc d'un phénomène d'induction de mouvement (ou de Lorentz).

Chaque spire est un carré de côté 2a, donc de surface S_1 = (2a)^2 = 4a^2. L'ensemble des N spires orientées selon un vecteur unitaire normal \vec{n} présente une surface orientée totale :

L'angle entre le vecteur normal \vec{n} et le champ \vec{B} = B_0 \vec{e}_x est \theta = (\vec{e}_x, \vec{n}). À l'instant initial t = 0, le plan de la spire est orthogonal à \vec{B}, donc \vec{n} est colinéaire à \vec{B} : \theta(0) = 0. Comme la vitesse angulaire de rotation \omega = \dot{\theta} est constante, on a \theta(t) = \omega t.

Le flux du champ magnétique extérieur à travers les N spires s'écrit :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans le circuit fermé est :

Le champ magnétique propre étant négligé, l'effet d'auto-induction est nul (L \approx 0). D'après la loi d'Ohm, l'intensité i du courant induit dans le circuit de résistance R s'exprime par :

En fonction du temps, i(t) = I_{\max} \sin(\omega t) avec I_{\max} = \frac{4 N a^2 B_0 \omega}{R}. Les caractéristiques du courant alimentant le primaire du transformateur sont :

• forme : courant alternatif purement sinusoïdal, de valeur moyenne nulle ;
• pulsation : \omega (égale à la pulsation mécanique de rotation de la turbine), soit une fréquence f = \frac{\omega}{2\pi} ;
• amplitude : I_{\max} = \frac{4 N a^2 B_0 \omega}{R} (soit une intensité efficace I_{\text{eff}} = \frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}).

Le circuit est constitué de N spires carrées identiques de côté 2a, soit une surface totale embrassée S_{\text{tot}} = N S = 4Na^2. Le vecteur unitaire normal \vec{n} au plan des spires s'écrit, en repérant l'angle \theta par rapport à l'axe (Ox) orthogonal au plan de la spire à t=0 :

Le moment dipolaire magnétique total du circuit s'écrit alors :

Le circuit étant plongé dans le champ magnétique extérieur uniforme \vec{B} = B_0 \vec{e}_x, le moment résultant des actions de Laplace s'exprime par :

En utilisant l'expression du courant induit i(\theta) = \dfrac{4Na^2 B_0 \omega}{R}\sin\theta établie à la question Q26, on obtient :

Commentaires sur le résultat obtenu :

• Caractère résistant : La vitesse angulaire de rotation étant \vec{\omega} = \omega\vec{e}_z avec \omega > 0, la composante de \vec{\Gamma}_L selon \vec{e}_z est constamment négative ou nulle (\sin^2\theta \ge 0). Le couple de Laplace s'oppose donc en permanence à la rotation imposée : il s'agit d'un couple de freinage (ou couple résistant), en parfait accord avec la loi de modération de Lenz.
• Caractère oscillant : Le couple fluctue au cours du temps à la pulsation 2\omega puisque \sin^2(\omega t) = \dfrac{1 - \cos(2\omega t)}{2}.
• Dépendance aux paramètres : Le couple est proportionnel à la pulsation \omega (analogie avec un frottement fluide), au carré du champ magnétique B_0^2, au carré du nombre de spires N^2, et inversement proportionnel à la résistance électrique R.

Le circuit tourne autour de l'axe fixe (Oz) à la vitesse angulaire \vec{\omega} = \omega \vec{e}_z constante. D'après le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au rotor par rapport à cet axe :

où J est le moment d'inertie du rotor, \vec{\Gamma}_L le couple de Laplace déterminé à la question Q27 et \vec{\Gamma}_{\text{ext}} le couple exercé par un opérateur extérieur (en pratique la turbine à vapeur).

Le couple instantané à exercer s'écrit donc :

En moyenne temporelle, la valeur moyenne de \sin^2(\omega t) valant \frac{1}{2}, le couple moyen à fournir est :

La puissance instantanée développée par ce couple extérieur vaut :

Cette puissance est toujours positive (ou nulle aux passages par \theta = 0 \ [\pi]) : le couple exercé par la turbine est donc moteur. Il fournit l'énergie mécanique convertie sous forme électrique par l'alternateur.

Le circuit tourne autour de l'axe Oz avec le vecteur rotation \vec{\omega} = \omega \vec{e}_z. La puissance instantanée développée par les forces de Laplace s'écrit :

En utilisant l'expression du couple de Laplace établie à la question Q27 :

La valeur moyenne temporelle de \sin^2(\omega t) sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} valant \langle \sin^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}, la puissance moyenne du moment des forces de Laplace est :

La puissance électrique instantanée reçue et dissipée par effet Joule dans la résistance R s'exprime à l'aide de l'intensité i(t) trouvée à la question Q26 :

Sa valeur moyenne vaut donc :

Comparaison et interprétation :
On constate l'égalité stricte :

• La puissance des forces de Laplace est négative à tout instant (\mathcal{P}_L \le 0) : les actions de Laplace s'opposent au mouvement de rotation imposé (conséquence directe de la loi de modération de Lenz).
• Pour maintenir la rotation à vitesse angulaire constante, la turbine doit fournir une puissance mécanique extérieure moyenne \langle \mathcal{P}_{\text{ext}} \rangle = -\langle \mathcal{P}_L \rangle.
• Cette puissance mécanique fournie par la turbine est intégralement convertie par l'alternateur en puissance électrique, dissipée ici dans la résistance du circuit. Le modèle sans frottements mécaniques ni pertes magnétiques traduit une conversion électromécanique à rendement unitaire.

D'après les conventions de la figure 7, le primaire est orienté en convention récepteur (la tension U_1 et le courant I_1 sont associés selon cette convention). La puissance électrique instantanée reçue au primaire s'écrit :

Au secondaire, avec les orientations de la figure 7 conduisant à la relation I_2 / I_1 = - N_1 / N_2, les grandeurs sont également en convention récepteur. La puissance cédée (fournie) par le secondaire au circuit aval correspond donc à l'opposée de la puissance reçue au secondaire :

En utilisant les relations de transformation fournies pour ce modèle parfait :

On en déduit :

Cette égalité étant vérifiée à chaque instant, elle est également vraie pour les puissances moyennes (actives) :

D'après la figure 7, le courant \underline{I}_2 est orienté vers l'intérieur de l'enroulement secondaire (convention récepteur pour le secondaire). Le courant qui traverse la charge \underline{Z}_c dans le sens de la chute de potentiel \underline{U}_2 est donc -\underline{I}_2. La loi d'Ohm complexe aux bornes de cette impédance s'écrit :

Par ailleurs, les relations du transformateur parfait fournies dans l'énoncé s'écrivent :

L'impédance d'entrée \underline{Z}_e vue des bornes du primaire est donnée par :

En injectant \dfrac{\underline{U}_2}{\underline{I}_2} = -\underline{Z}_c, les signes négatifs se compensent et l'on obtient :

où m = \dfrac{N_2}{N_1} désigne le rapport de transformation.

Au secondaire, la ligne haute tension est modélisée par une résistance R et une capacité C montées en parallèle. L'admittance complexe de cette charge s'écrit directement :

avec j^2 = -1 (ou i selon la notation choisie).

D'après le résultat de la question Q31, l'impédance d'entrée vue du primaire est reliée à l'impédance de charge \underline{Z}_c par :

L'admittance d'entrée \underline{Y}_e = \frac{1}{\underline{Z}_e} s'en déduit immédiatement :

En substituant l'expression de \underline{Y}_c, on obtient :

D'après la relation de transformation établie pour un transformateur parfait en régime sinusoïdal (rappelée dans le préambule de la partie III-C) :

Ce rapport étant constant et positif à tout instant, le rapport des valeurs efficaces des tensions secondaire U_{2,\text{eff}} et primaire U_{1,\text{eff}} est directement égal au rapport du nombre de spires :

Application numérique avec U_{1,\text{eff}} = 11\text{ kV} et U_{2,\text{eff}} = 132\text{ kV} :

L'alternateur, présentant un comportement inductif, peut être modélisé par une inductance propre L (associée à ses enroulements). Par ailleurs, la ligne de transmission présente un caractère capacitif de capacité C qui, d'après la question 32, se ramène au primaire sous la forme d'une capacité équivalente :

La rotation de l'alternateur à la vitesse angulaire \omega engendre une force électromotrice de pulsation \omega. L'association de l'inductance L et de la capacité C_e constitue un oscillateur électrique de pulsation propre :

Lorsque la vitesse de rotation \omega varie et s'approche de cette pulsation propre (\omega \approx \omega_0), il se produit un phénomène de résonance électrique.

Si la résistance est négligeable, le circuit n'est quasiment plus amorti (facteur de qualité Q \to \infty) :

• les grandeurs électriques (intensité du courant et tension) atteignent des amplitudes considérables (phénomènes de surintensité et de surtension) ;
• ces surtensions et surintensités peuvent provoquer le claquage diélectrique des isolants ou la destruction thermique des bobinages de l'alternateur et du transformateur.

Notons U_s = kU la tension efficace aux bornes de sortie du transformateur rehausseur et I la valeur efficace de l'intensité du courant circulant dans la ligne de transmission.

Le dipôle récepteur D et la résistance de ligne r étant en série, ils sont traversés par le même courant efficace I.

• La puissance active transmise au dipôle D vaut :

  p = R' I^2

• La puissance dissipée par effet Joule dans la ligne de transmission s'écrit :

  \mathcal{P}_J = r I^2

La puissance totale délivrée en sortie du transformateur élévateur est :

Dans une ligne de transport d'électricité conçue pour être efficace, les pertes en ligne sont très faibles devant la puissance transportée (\mathcal{P}_J \ll p, soit r \ll R'). On a donc au premier ordre :

En injectant cette expression de l'intensité dans la puissance Joule dissipée, on obtient :

Pour transporter une puissance donnée p vers le transformateur d'abaissement et l'utilisateur sous une tension efficace U_s = kU, le courant efficace circulant dans la ligne vaut :

L'élévation de tension par un facteur k > 1 permet ainsi de réduire l'intensité du courant circulant dans la ligne d'un même facteur k pour une même puissance utile distribuée.

D'après la question 35, la puissance dissipée par effet Joule dans les conducteurs de résistance globale r s'écrit :

où \mathcal{P}_{J,0} = \dfrac{r p^2}{U^2} représenterait les pertes en l'absence de transformateur rehausseur (transport direct sous la tension d'alternateur U).

Les pertes par effet Joule étant quadratiques en courant, elles sont divisées par le carré du rapport de transformation :

Application numérique à la centrale de Svartsengi :

D'après la question 33, le rapport d'élévation de tension vaut :

Par conséquent, le facteur de réduction des pertes Joule dans la ligne de transport est :

On étudie le point matériel P de masse M à l'équilibre dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Le plateau \Sigma étant fixe, l'extrémité A du ressort est immobile en z_A = 0. La position du point P sur l'axe vertical (Oz) orienté vers le bas est repérée par z_P = L_{\text{eq}}.

Le point P est soumis à deux forces :

• son poids :

  \vec{P} = M \vec{g} = M g_0 \vec{e}_z

• la force de rappel élastique exercée par le ressort :

  \vec{F}_{\text{él}} = - k (L_{\text{eq}} - L_0) \vec{e}_z

La force de frottement fluide est nulle à l'équilibre car la vitesse de P est nulle.

À l'équilibre, le principe fondamental de la statique s'écrit :

En projetant sur le vecteur unitaire \vec{e}_z :

En utilisant la relation donnée par l'énoncé k = M \omega_0^2, il vient :

On étudie le point matériel P de masse M dans le référentiel terrestre supposé galiléen. L'axe vertical (Oz) est orienté vers le bas.

Le plateau \Sigma étant immobile, le point d'attache A est fixe à l'origine (z_A = 0). La position du point P est donc repérée par sa cote :

Ses dérivées temporelles sont :

Le point P est soumis à trois forces :

• son poids : \vec{P} = M g_0 \vec{e}_z ;
• la force de rappel élastique exercée par le ressort : \vec{F}_{\text{ressort}} = -k (L(t) - L_0) \vec{e}_z ;
• la force de frottement fluide : \vec{f} = -2\lambda M \dot{L}(t) \vec{e}_z.

D'après la deuxième loi de Newton :

En projetant sur l'axe vertical descendant \vec{e}_z :

Or, d'après la condition d'équilibre établie à la question Q37, on a :

En réinjectant cette expression dans la somme du poids et de la force de rappel :

Comme Z(t) = L(t) - L_{\text{eq}}, on a de plus \dot{Z}(t) = \dot{L}(t) et \ddot{Z}(t) = \ddot{L}(t). L'équation du mouvement devient alors :

En divisant par la masse M et en posant k/M = \omega_0^2 :

D'après la question 38, l'équation différentielle du mouvement s'écrit :

L'équation caractéristique associée à cette équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est :

Le discriminant réduit de ce trinôme vaut :

Le régime critique marque la transition entre le régime apériodique (\Delta' > 0) et le régime pseudo-périodique (\Delta' < 0). Il correspond à un discriminant nul, soit :

Puisque le coefficient d'amortissement \lambda et la pulsation propre \omega_0 sont des grandeurs positives, la valeur critique est :

L'équation caractéristique admet alors une racine double réelle négative :

La forme générale de la solution Z(t) en régime critique s'écrit donc :

où A et B sont deux constantes réelles déterminées par les conditions initiales.

D'après la question Q39, la solution en régime critique (\lambda = \omega_0) est de la forme :

La dérivée temporelle s'écrit :

Les conditions initiales imposent :

L'expression temporelle du déplacement est donc :

Étudions la fonction pour d > 0 :

• En t = 0 : Z(0) = d et \dot{Z}(0) = 0, la courbe admet une tangente horizontale à l'origine.

• Pour t > 0 : la dérivée vaut

  \dot{Z}(t) = -d\,\omega_0^2\,t\,\mathrm{e}^{-\omega_0 t} < 0

  La fonction Z(t) est strictement décroissante et ne change jamais de signe (aucun dépassement de la position d'équilibre Z = 0, absence d'oscillations).

• Limite : \lim_{t \to +\infty} Z(t) = 0 par croissances comparées.
• La dérivée seconde \ddot{Z}(t) = d\,\omega_0^2(\omega_0 t - 1)\,\mathrm{e}^{-\omega_0 t} s'annule en t = \frac{1}{\omega_0}, ce qui correspond à un point d'inflexion où Z\left(\frac{1}{\omega_0}\right) = \frac{2d}{\mathrm{e}} \approx 0{,}74\,d.

Le référentiel terrestre galiléen est muni de l'axe vertical Oz descendant de vecteur unitaire \vec{e}_z. La position de l'attache A sur le plateau mobile est donnée par z_A(t) = z_\Sigma(t) = z_m \cos(\omega t). La position de la masse M est donc :

Son accélération absolue dans le référentiel terrestre s'écrit ainsi :

Le point matériel P de masse M est soumis à :

• son poids : M\vec{g} = M g_0 \vec{e}_z ;
• la force de rappel élastique du ressort : \vec{T} = -k(L(t) - L_0)\vec{e}_z ;
• la force de frottement fluide : \vec{f} = -2\lambda M \dot{L}(t)\vec{e}_z.

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe Oz donne :

D'après la question Q37, à l'équilibre statique (z_\Sigma = 0), M g_0 - k(L_{\text{eq}} - L_0) = 0. En introduisant Z(t) = L(t) - L_{\text{eq}}, on a \dot{L} = \dot{Z} et \ddot{L} = \ddot{Z}, d'où :

En divisant par M et en posant \omega_0^2 = k/M, on obtient l'équation du mouvement :

Avec la notation complexe \underline{z}_\Sigma(t) = z_m \mathrm{e}^{i\omega t} et \underline{Z}(t) = \underline{A_m}\mathrm{e}^{i\omega t}, on a \ddot{\underline{z}}_\Sigma(t) = -\omega^2 z_m \mathrm{e}^{i\omega t}, d'où :

En divisant l'ensemble par \omega^2 :

En introduisant le rapport r = \frac{\omega_0}{\omega} et le facteur de qualité Q = \frac{\omega_0}{2\lambda}, le terme d'amortissement s'écrit :

On en déduit l'expression de l'amplitude complexe :

Pour le régime critique, le coefficient de frottement vaut \lambda_c = \omega_0 (question Q39), ce qui correspond à un facteur de qualité :

À la pulsation propre \omega = \omega_0, on a r = 1. L'expression de l'amplitude complexe devient alors :

D'après le résultat de la question précédente, l'amplitude complexe s'écrit :

L'amplitude réelle A_m = |\underline{A_m}| vaut donc :

Posons la variable u = r^2 = \left(\frac{\omega_0}{\omega}\right)^2 > 0. Maximiser A_m revient à minimiser la fonction polynomiale f(u) définie par :

La dérivée de cette fonction par rapport à u s'annule pour :

Comme f''(u) = 2 > 0, u_R correspond bien à un minimum de f(u). Puisque la pulsation \omega doit être réelle et non nulle, il est nécessaire que u_R > 0 :

La valeur minimale du facteur de qualité assurant l'existence d'un maximum d'amplitude (phénomène de résonance) est donc :

Si Q > Q_{\min}, la pulsation de résonance \omega_R vérifie :

d'où :

En évaluant le dénominateur en u_R :

L'amplitude maximale vaut ainsi :

Pour un facteur de qualité très grand (Q \gg 1), on obtient par développement limité à l'ordre principal :

D'après le résultat de la question Q41, l'amplitude complexe du déplacement relatif vérifie :

avec r = \frac{\omega_0}{\omega} = \frac{1}{x}, où x = \frac{\omega}{\omega_0} désigne la pulsation réduite. La fonction de transfert s'écrit donc :

Le module de la fonction de transfert (gain linéaire) vaut :

1. Comportement à basse fréquence (x \ll 1, soit \omega \ll \omega_0) : Au dénominateur, (1 - x^2)^2 + \frac{x^2}{Q^2} \sim 1, d'où :

Le gain en décibels admet pour asymptote :

2. Comportement à haute fréquence (x \gg 1, soit \omega \gg \omega_0) : Au dénominateur, les termes de plus haut degré dominent : (1 - x^2)^2 + \frac{x^2}{Q^2} \sim x^4, d'où :

Le gain en décibels tend vers une constante :

3. Justification de l'allure du diagramme de Bode (figure 10) : Le système constitue un filtre passe-haut du second ordre :

• Pour toutes les valeurs de Q, les courbes partent d'une asymptote commune de pente +40\text{ dB/décade} en basse fréquence (valant -40\text{ dB} en x = 0{,}1) et rejoignent l'asymptote horizontale à 0\text{ dB} en haute fréquence (x \ge 10).

• Au voisinage de la pulsation propre (x = 1, soit \omega = \omega_0), on a |H(x=1)| = Q, soit G_{\mathrm{dB}}(1) = 20\log_{10}Q :

  • Pour Q = 0{,}25 < 1/\sqrt{2} : il n'y a pas de résonance (d'après Q42), le gain croît de façon monotone et reste strictement sous 0\text{ dB} (G_{\mathrm{dB}}(1) = 20\log_{10}(0{,}25) \approx -12\text{ dB}).
  • Pour Q = 1/\sqrt{2} \approx 0{,}71 : valeur critique d'apparition de la résonance (réponse de Butterworth), le gain croît sans dépasser 0\text{ dB} (G_{\mathrm{dB}}(1) = -3\text{ dB}).
  • Pour Q = 5 > 1/\sqrt{2} : il apparaît un pic de résonance bien visible sur la figure 10, culminant au-dessus de 0\text{ dB} à une valeur G_{\mathrm{dB}} \approx 20\log_{10}(5) \approx +14\text{ dB}.

Ces caractéristiques correspondent point par point aux trois tracés de la figure 10.

Le sismographe mesure le déplacement relatif de la masse par rapport au support, d'amplitude A_m. Pour que le dispositif reproduise fidèlement les mouvements du sol sans distorsion d'amplitude, il faut que le gain du filtre soit indépendant de la pulsation et vaille 1, c'est-à-dire :

D'après l'étude menée à la question Q43 et le diagramme de Bode (figure 10), cette condition est réalisée sur le plateau haute fréquence, c'est-à-dire pour :

Le spectre des séismes étant contenu dans l'intervalle [\omega_1, \omega_2], toutes les composantes fréquentielles du signal doivent se situer dans cette zone de transmission fidèle. Il faut donc choisir une pulsation propre \omega_0 nettement inférieure à la plus petite pulsation du spectre :