Feuille d'entraînement : Induction et forces de Laplace

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2023, Q26

   Chaque spire est un carré de côté 2a, donc de surface S_1 = (2a)^2 = 4a^2. L'ensemble des N spires orientées selon un vecteur unitaire normal \vec{n} présente une surface orientée totale :

   \vec{S} = 4 N a^2 \vec{n}

   L'angle entre le vecteur normal \vec{n} et le champ \vec{B} = B_0 \vec{e}_x est \theta = (\vec{e}_x, \vec{n}). À l'instant initial t = 0, le plan de la spire est orthogonal à \vec{B}, donc \vec{n} est colinéaire à \vec{B} : \theta(0) = 0. Comme la vitesse angulaire de rotation \omega = \dot{\theta} est constante, on a \theta(t) = \omega t.

   Le flux du champ magnétique extérieur à travers les N spires s'écrit :

   \Phi(\theta) = \vec{B} \cdot \vec{S} = 4 N a^2 B_0 \cos\theta

   D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans le circuit fermé est :

   e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}\theta} \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = 4 N a^2 B_0 \omega \sin\theta

   Le champ magnétique propre étant négligé, l'effet d'auto-induction est nul (L \approx 0). D'après la loi d'Ohm, l'intensité i du courant induit dans le circuit de résistance R s'exprime par :

   \boxed{i(\theta) = \frac{4 N a^2 B_0 \omega}{R} \sin\theta}

   En fonction du temps, i(t) = I_{\max} \sin(\omega t) avec I_{\max} = \frac{4 N a^2 B_0 \omega}{R}. Les caractéristiques du courant alimentant le primaire du transformateur sont :

   • forme : courant alternatif purement sinusoïdal, de valeur moyenne nulle ;
   • pulsation : \omega (égale à la pulsation mécanique de rotation de la turbine), soit une fréquence f = \frac{\omega}{2\pi} ;
   • amplitude : I_{\max} = \frac{4 N a^2 B_0 \omega}{R} (soit une intensité efficace I_{\text{eff}} = \frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}).

   Résultat

   $$i(\theta )=\frac{4N{a}^2{B}_0\omega }{R}\sin \theta$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2022, Q22

   Le champ magnétique \vec{B} = \mu_0 \dfrac{N}{\ell} I\,\vec{u}_z déterminé à la question précédente est uniforme et parallèle à l'axe du solénoïde.

   En orientant chaque spire selon la règle de la main droite associée au sens du courant I, le vecteur surface élémentaire est \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_z. Le flux magnétique à travers une seule spire vaut :

   \phi_1 = \iint_S \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S} = B\,S = \mu_0 \frac{N S}{\ell} I

   Les N spires étant associées en série et traversées par le même champ, le flux propre total \Phi embrassé par la bobine s'obtient par sommation sur l'ensemble des spires :

   \Phi = N\,\phi_1 = \mu_0 \frac{N^2 S}{\ell} I

   \boxed{\Phi = \frac{\mu_0 N^2 S}{\ell} I}

   Par définition de l'inductance propre, le flux propre est proportionnel à l'intensité qui le crée selon la relation \Phi = L_0 I. On en déduit l'expression de l'inductance propre :

   \boxed{L_0 = \frac{\mu_0 N^2 S}{\ell}}

   Vérification numérique : Avec \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}, N = 1000, S = 0{,}001\text{ m}^2 = 10^{-3}\text{ m}^2 et \ell = 5\text{ cm} = 5\cdot 10^{-2}\text{ m} :

   L_0 = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \times (10^3)^2 \times 10^{-3}}{5\cdot 10^{-2}} = \frac{4\pi \cdot 10^{-4}}{5\cdot 10^{-2}} = \frac{4\pi}{5}\cdot 10^{-2}\text{ H} \simeq 0{,}8 \times 3{,}14 \cdot 10^{-2}\text{ H} \simeq 25\cdot 10^{-3}\text{ H} = 25\text{ mH}

   On retrouve bien la valeur donnée par l'énoncé.

   Résultat

   $$\Phi =\frac{{\mu }_0{N}^{2}S}{\ell }I$$

   $$L_0=\frac{{\mu }_0{N}^{2}S}{\ell }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2023, Q25

   Le circuit conducteur fermé \mathcal{C}, constitué de N spires de section S = (2a)^2 = 4a^2, est en rotation autour de l'axe (Oz) à la vitesse angulaire \omega = \dot{\theta} dans un champ magnétique extérieur stationnaire et uniforme \vec{B} = B_0\,\vec{e}_x.

   1. Approche macroscopique (loi de Faraday) : Le flux magnétique total embrassé par les N spires s'écrit :

   \Phi(t) = N \iint \vec{B}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S = N\,B_0\,S\,\cos\theta(t)

   où \vec{n} désigne le vecteur unitaire normal au plan des spires. L'angle \theta(t) variant au cours du temps du fait de la rotation du rotor, le flux magnétique \Phi(t) dépend explicitement du temps :

   \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \neq 0

   D'après la loi de Faraday, cette variation temporelle du flux magnétique engendre l'apparition d'une force électromotrice induite :

   e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}

   Le circuit étant fermé et de résistance R, cette f.é.m. donne naissance à un courant induit i(t) = \frac{e(t)}{R}.

   2. Approche microscopique (induction de Lorentz) : Les électrons de conduction du bobinage possèdent une vitesse d'entraînement \vec{v} liée au mouvement de rotation du circuit. Plongés dans le champ magnétique \vec{B}, ils subissent une force magnétique de Lorentz :

   \vec{f}_m = q\,\vec{v}\wedge\vec{B}

   associée au champ électromoteur de Lorentz \vec{E}_m = \vec{v}\wedge\vec{B}. La circulation de ce champ le long du circuit fermé est non nulle et constitue la f.é.m. de Lorentz :

   e(t) = \oint_{\mathcal{C}} (\vec{v}\wedge\vec{B})\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}

   Il s'agit donc d'un phénomène d'induction de mouvement (ou de Lorentz).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2023, Q27

   Le circuit est constitué de N spires carrées identiques de côté 2a, soit une surface totale embrassée S_{\text{tot}} = N S = 4Na^2. Le vecteur unitaire normal \vec{n} au plan des spires s'écrit, en repérant l'angle \theta par rapport à l'axe (Ox) orthogonal au plan de la spire à t=0 :

   \vec{n} = \cos\theta\,\vec{e}_x + \sin\theta\,\vec{e}_y

   Le moment dipolaire magnétique total du circuit s'écrit alors :

   \vec{M} = N i S\,\vec{n} = 4Na^2 i \left(\cos\theta\,\vec{e}_x + \sin\theta\,\vec{e}_y\right)

   Le circuit étant plongé dans le champ magnétique extérieur uniforme \vec{B} = B_0 \vec{e}_x, le moment résultant des actions de Laplace s'exprime par :

   \begin{aligned} \vec{\Gamma}_L &= \vec{M} \wedge \vec{B} \\ &= 4Na^2 i B_0 \left(\cos\theta\,\vec{e}_x + \sin\theta\,\vec{e}_y\right) \wedge \vec{e}_x \\ &= - 4Na^2 B_0 i \sin\theta\,\vec{e}_z \end{aligned}

   En utilisant l'expression du courant induit i(\theta) = \dfrac{4Na^2 B_0 \omega}{R}\sin\theta établie à la question Q26, on obtient :

   \boxed{\vec{\Gamma}_L = -\frac{16 N^2 a^4 B_0^2 \omega}{R}\sin^2\theta\,\vec{e}_z}

   Commentaires sur le résultat obtenu :

   • Caractère résistant : La vitesse angulaire de rotation étant \vec{\omega} = \omega\vec{e}_z avec \omega > 0, la composante de \vec{\Gamma}_L selon \vec{e}_z est constamment négative ou nulle (\sin^2\theta \ge 0). Le couple de Laplace s'oppose donc en permanence à la rotation imposée : il s'agit d'un couple de freinage (ou couple résistant), en parfait accord avec la loi de modération de Lenz.
   • Caractère oscillant : Le couple fluctue au cours du temps à la pulsation 2\omega puisque \sin^2(\omega t) = \dfrac{1 - \cos(2\omega t)}{2}.
   • Dépendance aux paramètres : Le couple est proportionnel à la pulsation \omega (analogie avec un frottement fluide), au carré du champ magnétique B_0^2, au carré du nombre de spires N^2, et inversement proportionnel à la résistance électrique R.

   Résultat

   $${\vec{\Gamma }}_L=-\frac{16N^2{a}^4{B}_0^2\omega }{R}{\sin }^2\theta {\vec{e}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2022, Q36

   Lorsque l'interrupteur K est fermé, le circuit fermé OCDKO est parcouru par un courant d'intensité i.

   Le circuit comprend :

   • le générateur de f.e.m. continue E ;
   • la force contre-électromotrice induite e, orientée en convention récepteur en sens inverse de la circulation imposée par le générateur ;
   • la résistance totale R du circuit.

   D'après la loi des mailles (loi d'Ohm généralisée en régime quasi-stationnaire) :

   E - e = R\,i

   soit :

   i = \frac{E - e}{R} = \frac{E - \dfrac{\omega B a^2}{2}}{R}

   \boxed{i = \frac{2E - \omega B a^2}{2R}}

   Calculons d'abord la force contre-électromotrice pour \omega = 10\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, B = 1\text{ T} et a = 1\text{ m} :

   e = \frac{10 \times 1 \times 1^2}{2} = 5\text{ V}

   Avec E = 23\text{ V} et R = 6\ \Omega :

   i = \frac{23 - 5}{6} = \frac{18}{6} = 3\text{ A}

   \boxed{i = 3\text{ A}}

   Résultat

   $$i=\frac{2E-\omega B{a}^2}{2R}$$

   $$i=3\text{ A}$$

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6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2022, Q37

   Considérons un élément infinitésimal de la tige OC, situé à la distance r de l'axe (Oz) (0 \le r \le a). Le courant i circule de O vers C, soit dans le sens du vecteur unitaire radial \vec{u}_r. L'élément de courant s'écrit donc :

   i\,\mathrm{d}\vec{\ell} = i\,\mathrm{d}r\,\vec{u}_r

   Cet élément est plongé dans le champ magnétique vertical uniforme \vec{B} = B\,\vec{u}_z. Il subit la force de Laplace élémentaire :

   \mathrm{d}\vec{F}_L = i\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B} = (i\,\mathrm{d}r\,\vec{u}_r) \wedge (B\,\vec{u}_z) = -i B\,\mathrm{d}r\,\vec{u}_\theta

   puisque (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z) forme une base orthonormée directe.

   Le moment élémentaire de cette force par rapport au point O est :

   \mathrm{d}\vec{\mathcal{M}}_O(\vec{F}_L) = \vec{OM} \wedge \mathrm{d}\vec{F}_L = (r\,\vec{u}_r) \wedge (-i B\,\mathrm{d}r\,\vec{u}_\theta) = -i B r\,\mathrm{d}r\,\vec{u}_z

   Par intégration sur la tige de r = 0 à r = a, le moment résultant par rapport à l'axe (Oz) orienté par \vec{u}_z vaut :

   \mathcal{M}_{Oz} = \int_0^a -i B r\,\mathrm{d}r = -\frac{1}{2} i B a^2

   Sur le schéma fourni, le sens positif de rotation indiqué pour \omega est horaire vu de dessus, soit selon -\vec{u}_z (\vec{\omega} = -\omega\,\vec{u}_z). Le moment des forces de Laplace est donc moteur (orienté dans le sens du mouvement), de valeur algébrique le long du sens de rotation :

   \Gamma_L = \frac{1}{2} i B a^2

   \Gamma_L = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 \times 1^2 = 1{,}5\text{ N}\cdot\text{m}

   \boxed{\mathcal{M}_{Oz} = -\frac{1}{2} i B a^2 = -1{,}5\text{ N}\cdot\text{m} \quad (\text{soit un couple moteur de } \Gamma_L = 1{,}5\text{ N}\cdot\text{m})}

   La puissance développée par les forces de Laplace s'exprime par le produit du moment et du vecteur rotation :

   \mathcal{P}_L = \vec{\mathcal{M}}_O \cdot \vec{\omega} = \Gamma_L\,\omega = \frac{1}{2} i B a^2 \omega

   Application numérique avec \omega = 10\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} :

   \mathcal{P}_L = 1{,}5 \times 10 = 15\text{ W}

   \boxed{\mathcal{P}_L = \frac{1}{2} i B a^2 \omega = 15\text{ W}}

   Résultat

   $${\mathcal{M}}_{Oz}=-\frac{1}{2}iB{a}^2=-1,5\text{ N}\cdot \text{m}(\text{soit un couple moteur de }{\Gamma }_L=1,5\text{ N}\cdot \text{m})$$

   $${\mathcal{P}}_L=\frac{1}{2}iB{a}^2\omega =15\text{ W}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Banque PT Physique A PT 2023, Q28

   Le circuit tourne autour de l'axe fixe (Oz) à la vitesse angulaire \vec{\omega} = \omega \vec{e}_z constante. D'après le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au rotor par rapport à cet axe :

   J \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = \Gamma_{L,z} + \Gamma_{\text{ext},z} = 0

   où J est le moment d'inertie du rotor, \vec{\Gamma}_L le couple de Laplace déterminé à la question Q27 et \vec{\Gamma}_{\text{ext}} le couple exercé par un opérateur extérieur (en pratique la turbine à vapeur).

   Le couple instantané à exercer s'écrit donc :

   \vec{\Gamma}_{\text{ext}} = -\vec{\Gamma}_L = \frac{16 N^2 a^4 B_0^2 \omega}{R}\sin^2\theta\,\vec{e}_z

   En moyenne temporelle, la valeur moyenne de \sin^2(\omega t) valant \frac{1}{2}, le couple moyen à fournir est :

   \langle \vec{\Gamma}_{\text{ext}} \rangle = \frac{8 N^2 a^4 B_0^2 \omega}{R}\,\vec{e}_z

   \boxed{\vec{\Gamma}_{\text{ext}} = \frac{16 N^2 a^4 B_0^2 \omega}{R}\sin^2(\omega t)\,\vec{e}_z}

   La puissance instantanée développée par ce couple extérieur vaut :

   \mathcal{P}_{\text{ext}} = \vec{\Gamma}_{\text{ext}} \cdot \vec{\omega} = \frac{16 N^2 a^4 B_0^2 \omega^2}{R}\sin^2(\omega t) \ge 0

   Cette puissance est toujours positive (ou nulle aux passages par \theta = 0 \ [\pi]) : le couple exercé par la turbine est donc moteur. Il fournit l'énergie mécanique convertie sous forme électrique par l'alternateur.

   Résultat

   $${\vec{\Gamma }}_{\text{ext}}=\frac{16N^2{a}^4{B}_0^2\omega }{R}{\sin }^2(\omega t){\vec{e}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Banque PT Physique A PT 2023, Q29

   Le circuit tourne autour de l'axe Oz avec le vecteur rotation \vec{\omega} = \omega \vec{e}_z. La puissance instantanée développée par les forces de Laplace s'écrit :

   \mathcal{P}_L = \vec{\Gamma}_L \cdot \vec{\omega}

   En utilisant l'expression du couple de Laplace établie à la question Q27 :

   \mathcal{P}_L = \left( -\frac{16 N^2 a^4 B_0^2 \omega}{R}\sin^2(\omega t) \,\vec{e}_z \right) \cdot \left(\omega \vec{e}_z\right) = -\frac{16 N^2 a^4 B_0^2 \omega^2}{R}\sin^2(\omega t)

   La valeur moyenne temporelle de \sin^2(\omega t) sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} valant \langle \sin^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}, la puissance moyenne du moment des forces de Laplace est :

   \boxed{\langle \mathcal{P}_L \rangle = -\frac{8 N^2 a^4 B_0^2 \omega^2}{R}}

   La puissance électrique instantanée reçue et dissipée par effet Joule dans la résistance R s'exprime à l'aide de l'intensité i(t) trouvée à la question Q26 :

   \mathcal{P}_J(t) = R \, i(t)^2 = R \left( \frac{4 N a^2 B_0 \omega}{R}\sin(\omega t) \right)^2 = \frac{16 N^2 a^4 B_0^2 \omega^2}{R}\sin^2(\omega t)

   Sa valeur moyenne vaut donc :

   \boxed{\langle \mathcal{P}_J \rangle = \frac{8 N^2 a^4 B_0^2 \omega^2}{R}}

   Comparaison et interprétation :
   On constate l'égalité stricte :

   \langle \mathcal{P}_L \rangle + \langle \mathcal{P}_J \rangle = 0 \quad \iff \quad \langle \mathcal{P}_J \rangle = -\langle \mathcal{P}_L \rangle

   • La puissance des forces de Laplace est négative à tout instant (\mathcal{P}_L \le 0) : les actions de Laplace s'opposent au mouvement de rotation imposé (conséquence directe de la loi de modération de Lenz).
   • Pour maintenir la rotation à vitesse angulaire constante, la turbine doit fournir une puissance mécanique extérieure moyenne \langle \mathcal{P}_{\text{ext}} \rangle = -\langle \mathcal{P}_L \rangle.
   • Cette puissance mécanique fournie par la turbine est intégralement convertie par l'alternateur en puissance électrique, dissipée ici dans la résistance du circuit. Le modèle sans frottements mécaniques ni pertes magnétiques traduit une conversion électromécanique à rendement unitaire.

   Résultat

   $$⟨{\mathcal{P}}_L⟩=-\frac{8N^2{a}^4{B}_0^2{\omega }^2}{R}$$

   $$⟨{\mathcal{P}}_J⟩=\frac{8N^2{a}^4{B}_0^2{\omega }^2}{R}$$

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9. Exercice 9Banque PT Physique A PT 2022, Q38

   Pour maintenir la vitesse de rotation constante \omega = 10\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, le couple moteur total nécessaire à l'avancement du pédalo reste inchangé et vaut \mathcal{M}_m = 5\text{ N}\cdot\text{m}, correspondant à une puissance totale de \mathcal{P}_m = 50\text{ W} (question Q35).

   Avec l'assistance électrique active, le moteur fournit un moment \Gamma_L = 1{,}5\text{ N}\cdot\text{m} et une puissance \mathcal{P}_L = 15\text{ W} (question Q37). Le vacancier ne doit donc plus fournir que le complément :

   \mathcal{P}' = \mathcal{P}_m - \mathcal{P}_L = 50 - 15 = 35\text{ W}

   Le pourcentage de réduction de l'effort s'écrit alors :

   r = \frac{\mathcal{P}_L}{\mathcal{P}_m} = \frac{\Gamma_L}{\mathcal{M}_m}

   Soit numériquement :

   r = \frac{15}{50} = \frac{1{,}5}{5} = 0{,}30 = 30\,\%

   \boxed{r = 30\,\%}

   Résultat

   $$r=30\%$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question