Corrigé détaillé E3A Physique Chimie PSI 2023

Une machine à courant continu (MCC) classique comprend :

• le stator (partie fixe), qui joue le rôle d'inducteur : constitué d'aimants permanents ou de bobinages parcourus par un courant continu I_e, il génère un champ magnétique \vec{B} stationnaire dans l'entrefer ;
• le rotor (partie mobile tournante), qui joue le rôle d'induit : formé d'un ensemble de bobinages logés dans des encoches d'un circuit ferromagnétique. Dans le référentiel lié au rotor, les conducteurs sont parcourus par un courant alternatif périodiquement inversé ;
• le système {collecteur + balais} : les balais, immobiles et solidaires du stator, assurent le contact électrique glissant sur les lames du collecteur, solidaires du rotor. Ce système agit comme un onduleur/redresseur mécanique : il commute le sens du courant dans chaque spire lors de son passage par la ligne neutre, assurant la conservation d'un couple moteur unidirectionnel (ou d'une f.é.m. continue aux bornes extérieures en mode génératrice).

En régime stationnaire, le courant I est constant, donc la tension aux bornes de l'inductance L s'annule :

L'induit se modélise par l'association série d'une résistance R et d'une source de tension (E' ou E).

1. Fonctionnement en moteur (convention récepteur)

Le dipôle induit reçoit de la puissance électrique. On l'oriente en convention récepteur : le courant I entre par la borne au potentiel le plus élevé. La force contre-électromotrice E' s'oppose au courant.

La loi des mailles donne la relation caractéristique du moteur :

2. Fonctionnement en générateur (convention générateur)

Le dipôle induit fournit de la puissance électrique au circuit extérieur. On l'oriente en convention générateur : le courant I sort par la borne au potentiel le plus élevé. La force électromotrice E est orientée dans le sens du courant débité.

La loi des mailles donne la relation caractéristique de la génératrice :

Dans une machine à courant continu à excitation constante, les deux équations de couplage électromécanique s'écrivent :

• Relation pour la force électromotrice (ou contre-électromotrice) :

  \boxed{E = \phi \, \Omega \quad \text{(ou } E' = \phi \, \Omega\text{)}}

• Relation pour le couple électromagnétique :

  \boxed{\Gamma_{\mathrm{em}} = \phi \, I}

avec :

• E ou E' en volt (\mathrm{V}) ;
• \Omega en radian par seconde (\mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}) ;
• \Gamma_{\mathrm{em}} en newton-mètre (\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}) ;
• I en ampère (\mathrm{A}) ;
• \phi la constante électromécanique en \mathrm{V}\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{rad}^{-1} (ou \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}\cdot\mathrm{A}^{-1}, équivalent à des webers \mathrm{Wb}).

Dans l'expérience 1, seul le bobinage inducteur de la machine MCC1 est alimenté par une tension continue constante U_e.

D'après la figure 1 de l'énoncé, le circuit inducteur est modélisé par l'association série d'une résistance R_e et d'une inductance L_e. En régime continu permanent, la dérivée temporelle du courant est nulle :

L'inductance se comporte donc comme un court-circuit (fil parfait). La tension aux bornes de l'inducteur se réduit à la chute de tension ohmique dans la résistance R_e :

Cette première expérience permet donc d'avoir accès à la résistance du circuit inducteur (ou bobinage d'excitation) de la MCC1, notée R_e :

Application numérique :

Si l'on estime l'incertitude absolue maximale par propagation des incertitudes :

d'où \Delta R_e = 460 \times 0,243 \approx 1,1 \cdot 10^2\ \Omega.

Dans l'expérience 2, la machine MCC1 fonctionne en génératrice. L'induit est relié uniquement à un voltmètre considéré comme idéal, dont l'impédance d'entrée est infinie. Le courant débité par l'induit est donc nul :

D'après l'équation de fonctionnement en régime générateur établie à la question Q2 :

De plus, d'après la relation électromécanique rappelée à la question Q3, la force électromotrice s'écrit :

où \Omega est la vitesse angulaire de rotation en \text{rad}\cdot\text{s}^{-1} et \phi la constante électromécanique de la machine. Par conséquent, la tension mesurée s'écrit :

La tension à vide U est donc théoriquement proportionnelle à la vitesse angulaire \Omega, avec un coefficient de proportionnalité égal à la constante électromécanique \phi (pour le courant d'excitation nominal imposé).

Le programme Python effectue la régression linéaire de U en fonction de \Omega = \frac{2\pi}{60}\,n. Le coefficient directeur p obtenu par la fonction linregress s'identifie ainsi directement à \phi :

L'expérience 2 permet donc de déterminer la constante électromécanique \phi de la machine MCC1.

D'après les résultats de la régression linéaire fournis (p = 1{,}49 avec un coefficient de corrélation r^2 = 0{,}998 attestant d'une excellente linéarité), on obtient :

Le débit massique moyen D_m représente la masse de roches déversée par unité de temps :

où m_{\text{j}} est la masse acheminée en une durée \Delta t = 1\text{ jour}.

Les données numériques sont :

• m_{\text{j}} = 25\text{ tonnes} = 25\cdot 10^3\text{ kg} ;
• \Delta t = 1\text{ jour} = 24 \times 3\,600\text{ s} = 86\,400\text{ s}.

L'application numérique donne :

En conservant deux chiffres significatifs conformément aux données :

On se place dans le référentiel terrestre lié au sol, supposé galiléen.

Considérons le volume de contrôle fixe V_c constitué par l'ensemble des roches présentes sur le tapis. On définit le système fermé \Sigma^* constitué :

• à la date t, de la matière contenue dans V_c à cet instant et de la masse \mathrm{d}m_e = D_m\,\mathrm{d}t s'apprêtant à entrer dans V_c sous le réservoir ;
• à la date t+\mathrm{d}t, de la matière contenue dans V_c à cet instant et de la masse \mathrm{d}m_s = D_m\,\mathrm{d}t sortie de V_c à l'extrémité droite.

Les quantités de mouvement du système fermé \Sigma^* aux instants t et t+\mathrm{d}t s'écrivent :

L'écoulement étant stationnaire (régime permanent), la quantité de mouvement contenue dans le volume de contrôle est constante au cours du temps : \vec{P}_{V_c}(t+\mathrm{d}t) = \vec{P}_{V_c}(t). De plus, la conservation de la masse impose \mathrm{d}m_e = \mathrm{d}m_s = D_m\,\mathrm{d}t. Il vient ainsi :

D'après les hypothèses de l'énoncé :

• à l'entrée, les roches tombent verticalement, d'où \vec{v}_e \cdot \vec{u}_x = 0 ;
• à la sortie, les roches sont entraînées à la vitesse du tapis : \vec{v}_s = v\,\vec{u}_x.

En projetant sur l'axe (O,\vec{u}_x) :

Bilan des actions mécaniques extérieures appliquées à \Sigma^* en projection sur \vec{u}_x :

• le poids et les réactions normales de soutien sont verticaux ;
• la seule force ayant une composante horizontale non nulle est la force tangentielle d'entraînement exercée par le tapis sur les roches, notée \vec{F}_{\text{tapis}\to\text{roches}}.

Le théorème de la résultante cinétique (ou principe fondamental de la dynamique) appliqué à \Sigma^* donne :

D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force exercée par les roches sur le tapis est l'opposée de celle exercée par le tapis sur les roches :

Par identification avec \vec{F} = F\,\vec{u}_x, on en déduit la composante algébrique F :

Le circuit d'induit du moteur à courant continu est modélisé, en convention récepteur, par l'association en série d'une résistance R, d'une bobine d'inductance L et d'une source de force contre-électromotrice E'.

La loi des mailles s'écrit :

En régime stationnaire de fonctionnement, les grandeurs électriques sont constantes, ce qui implique L\,\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = 0.

De plus, d'après la relation électromécanique rappelée à la question Q3, la force contre-électromotrice s'exprime en régime permanent par :

En injectant cette relation dans l'équation de maille, on obtient l'équation électrique (\mathrm{E}_1) :

On étudie le système \Sigma = \{\mathscr{C} + \text{rotor}\} en rotation autour de l'axe fixe (O, \vec{u}_z) dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Son moment cinétique par rapport à l'axe (O, \vec{u}_z) s'écrit L_{\Delta} = J \Omega. En régime permanent, la vitesse angulaire \Omega = \Omega_p est constante, d'où :

Effectuons le bilan des moments des actions extérieures s'exerçant sur \Sigma par rapport à cet axe :

• Le couple électromagnétique moteur fourni par la machine à courant continu (d'après la question Q3) :

  \Gamma_{\mathrm{em}} = \phi \, I

• Le couple de frottement visqueux :

  \Gamma_f = -\lambda \, \Omega_p

• Le moment de la force exercée par le tapis sur le cylindre \mathscr{C}. Le tapis étant d'inertie négligeable et le cylindre \mathscr{C}' étant libre en rotation sans frottement, l'effort tangentiel exercé par le tapis sur \mathscr{C} compense exactement l'action mécanique des roches sur le tapis \vec{F} = -D_m v \, \vec{u}_x (établie à la question Q7). Cette action s'exerçant au niveau de la génératrice supérieure du cylindre à une distance a de l'axe, elle crée un couple résistant s'opposant au sens de rotation :

  \Gamma_{\text{tapis}\to\mathscr{C}} = - D_m \, v \, a

Le théorème scalaire du moment cinétique appliqué à \Sigma par rapport à l'axe (O, \vec{u}_z) s'écrit donc :

Ce qui donne l'équation mécanique (\mathbf{E}_2) :

D'après l'équation électrique (E_1) obtenue à la question Q8 :

D'autre part, l'absence de glissement entre le tapis et le cylindre d'entraînement de rayon a impose la relation cinématique :

L'équation mécanique (E_2) établie à la question Q9 s'écrit alors :

En substituant l'expression de l'intensité I, on obtient :

En multipliant par R et en factorisant par \Omega_p :

La vitesse du convoyeur s'en déduit par v = a\,\Omega_p :

À tension d'alimentation U constante, le dénominateur est une fonction strictement croissante du débit massique D_m. Par conséquent, une augmentation du débit de roches D_m entraîne une diminution de la vitesse angulaire \Omega_p et donc un ralentissement du tapis.

• Exemples de convertisseurs :

  • Convertisseur AC/DC (ou redresseur) : un pont de diodes de Graetz (redresseur non commandé) ou un pont mixte diodes/thyristors.
  • Convertisseur DC/DC (ou hacheur) : un hacheur série (abaisseur/dévolteur) ou un pont en H (hacheur quatre quadrants).
• Intérêt du convertisseur AC/DC : L'énergie électrique disponible est généralement issue du réseau de distribution sous forme de tension alternative (AC). La machine étudiée étant un moteur à courant continu (DC), le convertisseur AC/DC (associé au filtre) permet de générer une tension continue à partir du réseau alternatif.
• Justification de la présence du convertisseur DC/DC : Après redressement et filtrage, la tension continue obtenue a une valeur fixe. Le convertisseur DC/DC (hacheur) permet de régler la valeur moyenne de la tension U_m appliquée à l'induit en ajustant le rapport cyclique de commutation. D'après la relation électromécanique établie en régime permanent (questions Q8 et Q10), la vitesse de rotation vérifie \Omega_p \approx U_m/\phi (en négligeant les pertes ohmiques) : faire varier U_m permet donc de piloter et asservir la vitesse de rotation du moteur.

Un amplificateur linéaire intégré (ALI) idéal fonctionnant en régime linéaire est modélisé par les propriétés suivantes :

• des impédances d'entrée infinies, ce qui implique que les courants d'entrée sont nuls :

  \boxed{i^+ = i^- = 0}

• un gain différentiel en boucle ouverte infini (\mu_0 \to \infty), ce qui impose une tension différentielle d'entrée nulle :

  \boxed{\varepsilon = V^+ - V^- = 0 \iff V^+ = V^-}
• une impédance de sortie nulle (R_s = 0) ;
• une tension de sortie comprise strictement entre les tensions de saturation : -V_{\mathrm{sat}} < V_s < +V_{\mathrm{sat}}.

Indice du fonctionnement en régime linéaire :

Sur le schéma de la figure 6, chacun des trois ALI possède une rétroaction négative (bouclage de la sortie sur la borne inverseuse « - ») :

• bouclage direct par un fil de la sortie vers l'entrée inverseuse pour les deux premiers ALI (montages suiveurs) ;
• bouclage de la sortie vers l'entrée inverseuse à travers la résistance R_6 pour le troisième ALI.

La présence d'une rétroaction négative assure la stabilité du point de repos et empêche l'amplificateur de basculer en régime de saturation (sous réserve que l'amplitude de sortie reste inférieure à V_{\mathrm{sat}}), ce qui justifie l'hypothèse de fonctionnement en régime linéaire.

Les deux amplificateurs linéaires intégrés étant modélisés comme idéaux en régime linéaire, leurs courants d'entrée sont nuls :

Aucun courant n'est donc prélevé par les entrées non-inverseuses des ALI reliées respectivement aux potentiels \underline{V}_{C_1} et \underline{V}_{C_2}.

1. Expression de \underline{V}_{C_1} :

Le nœud au potentiel \underline{V}_{C_1} est relié :

• au potentiel \underline{V}_A à travers le conducteur ohmique de résistance R_1 (admittance 1/R_1) ;
• à la masse (potentiel nul) à travers le conducteur ohmique de résistance R_2 (admittance 1/R_2) et le condensateur de capacité C_1 (admittance \jmath C_1 \omega).

D'après le théorème de Millman en ce nœud :

D'où :

2. Expression de \underline{V}_{C_2} :

Par une analyse rigoureusement symétrique au nœud associé au potentiel \underline{V}_{C_2}, relié à \underline{V}_B via R_3, et à la masse via l'association parallèle de R_4 et C_2 :

D'où :

Les deux ALI situés après les filtres sont montés en configuration suiveur de tension :

• Pour l'ALI supérieur, la sortie est rebouclée directement sur l'entrée inverseuse (borne -), ce qui assure un fonctionnement en régime linéaire. Le potentiel de cette borne est donc \underline{V}^- = \underline{V}_{S_A}. L'entrée non-inverseuse (borne +) est au potentiel de la capacité C_1, soit \underline{V}^+ = \underline{V}_{C_1}. L'ALI étant idéal en régime linéaire (\varepsilon = \underline{V}^+ - \underline{V}^- = 0) :

  \boxed{\underline{V}_{S_A} = \underline{V}_{C_1}}

• De même, pour l'ALI inférieur, la sortie est rebouclée sur l'entrée inverseuse (\underline{V}^- = \underline{V}_{S_B}), tandis que l'entrée non-inverseuse est au potentiel \underline{V}^+ = \underline{V}_{C_2}. En régime linéaire :

  \boxed{\underline{V}_{S_B} = \underline{V}_{C_2}}

L'amplificateur linéaire intégré étant supposé idéal, l'intensité du courant entrant par sa borne non-inverseuse est nulle :

Le dipôle constitué par l'association en série des résistances R_7 et R_8 est donc soumis à la tension \underline{V}_{S_A} par rapport à la masse, sans prélèvement de courant au nœud intermédiaire.

Par application directe de la formule du pont diviseur de tension, la tension \underline{V}_{R_8} aux bornes de la résistance R_8 s'écrit :

Le troisième ALI fonctionne en régime linéaire, le courant d'entrée de la borne inverseuse est nul (i^- = 0) et les potentiels d'entrée vérifient :

D'après le schéma du montage (figure 6) :

• Le potentiel de la borne non-inverseuse est égal à la tension aux bornes de R_8, soit :

  \underline{V}^+ = \underline{V}_{R_8}

• Le potentiel \underline{V}^- de la borne inverseuse s'obtient par application du théorème de Millman :

  \underline{V}^- = \frac{\dfrac{\underline{V}_{S_B}}{R_5} + \dfrac{\underline{V}_S}{R_6}}{\dfrac{1}{R_5} + \dfrac{1}{R_6}} = \frac{R_6\,\underline{V}_{S_B} + R_5\,\underline{V}_S}{R_5 + R_6}

L'égalité \underline{V}^- = \underline{V}^+ conduit à :

On en déduit l'expression de la tension de sortie \underline{V}_S :

ou, sous forme factorisée :

D'après les résultats des questions Q14, Q15 et Q16, la tension de sortie s'écrit :

Pour que cet étage se comporte comme un amplificateur de différence parfait, les gains sur les voies non-inverseuse et inverseuse doivent être égaux en valeur absolue, c'est-à-dire :

(Une réalisation courante consiste à choisir R_5 = R_7 et R_6 = R_8).

Sous cette première condition, l'expression de \underline{V}_S devient :

En utilisant les expressions obtenues à la question Q13 avec R_1 = R_3 et R_2 = R_4 :

Pour que \underline{V}_{C_1} - \underline{V}_{C_2} soit directement proportionnel à \underline{V}_A - \underline{V}_B = R_{\text{shunt}}\,\underline{i}(\jmath\omega), il est nécessaire que les fonctions de transfert des deux cellules de filtrage soient identiques, ce qui impose :

Sous ces conditions, la différence s'écrit :

qui est bien de la forme voulue.

D'après le résultat établi à la question Q17 :

Par identification avec la relation :

on obtient immédiatement :

Réponse à l'objectif posé (mesure de la valeur moyenne I) :

• Le courant d'induit i(t) issu du hacheur (ou redresseur) est constitué d'une composante continue I = \langle i(t) \rangle et d'ondulations périodiques à la fréquence de découpage f_d.

• La transmittance se comporte comme un filtre passe-bas du premier ordre de fréquence de coupure f_c = \dfrac{1}{2\pi \tau_i}. En choisissant \tau_i tel que :

  f_c \ll f_d \quad \Longleftrightarrow \quad \tau_i \gg \frac{1}{2\pi f_d}

  les composantes alternatives à fréquence élevée sont fortement atténuées.

• La tension de sortie est alors quasi purement continue et proportionnelle à la valeur moyenne du courant :

  V_S \approx g_i\,\langle i(t) \rangle = g_i\,I

• La résistance R_{\text{shunt}} est obligatoirement choisie très faible afin de minimiser les pertes par effet Joule et ne pas perturber l'alimentation du moteur. Le facteur d'amplification différentiel \dfrac{R_6}{R_5} permet alors d'ajuster g_i de façon à ce que la tension de sortie V_S appartienne à une gamme de mesure standard (par exemple 0 - 5\text{ V}) facilement exploitable par un voltmètre ou une carte d'acquisition. La valeur moyenne cherchée s'obtient simplement par :

  I = \frac{V_S}{g_i}

L'équation de la réaction s'écrit :

Établissons le bilan de conservation de chaque élément chimique :

• Conservation de l'élément uranium (\mathrm{U}) :

  1 = \beta \implies \beta = 1

• Conservation de l'élément fluor (\mathrm{F}) :

  \alpha = 4\,\beta \implies \alpha = 4

• Conservation de l'élément oxygène (\mathrm{O}) :

  2 = \gamma \implies \gamma = 2

• On vérifie la conservation de l'élément hydrogène (\mathrm{H}) :

  \alpha = 2\,\gamma \iff 4 = 2 \times 2 \quad \text{(vérifié)}

Les coefficients stœchiométriques sont donc :

L'équation de la réaction modélisant l'hydrofluoration s'écrit ainsi :

D'après l'équation de la réaction établie à la question Q19 :

Calcul de l'enthalpie standard de réaction : D'après la loi de Hess :

Application numérique avec les données du document 3 :

Calcul de l'entropie standard de réaction : À la température T_{1000} = 1{,}00\cdot 10^3\text{ K}, l'enthalpie libre standard de réaction s'exprime de deux manières :

On en déduit l'expression de \Delta_r S^\circ :

Application numérique :

Commentaires :

• \Delta_r H^\circ < 0 : la réaction est exothermique. Elle dégage de la chaleur vers le milieu extérieur.

• \Delta_r S^\circ < 0 : l'entropie standard diminue au cours de la réaction. Cela est parfaitement cohérent avec la variation du nombre stœchiométrique de constituants gazeux :

  \Delta \nu_g = \sum_{\text{gaz}} \nu_i = 2 - 4 = -2 < 0

  La disparition de 2 moles de gaz par mole d'avancement entraîne une diminution du désordre microscopique du système.

Sous l'approximation d'Ellingham, l'enthalpie standard de réaction \Delta_r H^\circ et l'entropie standard de réaction \Delta_r S^\circ sont indépendantes de la température.

L'enthalpie libre standard de réaction s'écrit :

On en déduit l'expression de la constante d'équilibre standard à la température T :

soit de manière équivalente, en référence à la température T_1 = 1,00 \cdot 10^3\text{ K} (loi de van 't Hoff intégrée) :

Application numérique : Pour T = 6,5 \cdot 10^2\text{ K}, avec :

• T_1 = 1,00 \cdot 10^3\text{ K} et K^\circ(T_1) = 9,0 \cdot 10^2,
• \Delta_r H^\circ = -246\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} = -2,46 \cdot 10^5\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1},
• R = 8,314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1},

on calcule l'argument de l'exponentielle :

D'où :

L'équation de la réaction d'hydrofluoration s'écrit (Q19) :

avec une variation de stœchiométrie gazeuse \Delta\nu_g = 2 - 4 = -2 < 0.

Les solides \mathrm{UO}_{2(s)} et \mathrm{UF}_{4(s)} étant supposés purs et non miscibles, leur activité vaut 1. Le quotient de réaction s'exprime donc en fonction des pressions partielles :

où P est la pression totale et n_{g,\text{tot}} la quantité totale de matière en phase gazeuse.

On cherche à déplacer l'état d'équilibre dans le sens direct (formation de \mathrm{UF}_{4(s)}).

1. Influence de la température : La dépendance en température de la constante d'équilibre est donnée par la loi de van 't Hoff :

D'après la question Q20, la réaction est exothermique : \Delta_r H^\circ = -246\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} < 0.

Par conséquent, \frac{\mathrm{d}\ln K^\circ}{\mathrm{d}T} < 0 : la constante K^\circ(T) augmente si la température diminue. Une diminution de température conduit à K^\circ(T_{\text{finale}}) > Q_r, ce qui provoque un déplacement de l'équilibre dans le sens direct.

2. Influence de la pression totale : À composition chimique donnée, la dépendance du quotient de réaction vis-à-vis de la pression totale est :

Une augmentation de la pression totale P entraîne une diminution de Q_r, de sorte que Q_r < K^\circ(T). Le système réagit alors en évoluant spontanément dans le sens direct pour rétablir l'équilibre (conforme à la loi de modération de Le Chatelier, une hausse de pression favorisant le sens diminuant la quantité de matière de gaz, \Delta\nu_g = -2).

3. Influence de la dilution par un gaz inerte :

• À pression et température constantes : L'ajout d'un gaz inerte augmente la quantité totale de moles de gaz n_{g,\text{tot}}. Comme Q_r \propto n_{g,\text{tot}}^2, l'adjonction de ce gaz fait augmenter Q_r, conduisant à Q_r > K^\circ(T). Le système évolue alors dans le sens indirect (destruction de \mathrm{UF}_4).
• À volume et température constants : L'ajout d'un gaz inerte n'affecte pas les pressions partielles P_i = \frac{n_i R T}{V} des gaz réagissants. Le quotient Q_r reste inchangé, donc il n'y a aucun déplacement d'équilibre.

La réaction d'hydrofluoration considérée (Q19) s'écrit :

À l'équilibre, en présence des deux solides dans leur état standard de référence (a_{\mathrm{UO}_2} = a_{\mathrm{UF}_4} = 1), les activités des constituants gazeux, modélisés par des gaz parfaits, sont données par :

Puisque la pression totale imposée est P = P^\circ = 1,0\text{ bar}, la constante d'équilibre s'exprime selon :

En prenant la racine carrée, on obtient :

En l'absence de tout autre gaz, la somme des fractions molaires de la phase gazeuse vaut 1 :

D'où l'équation en x_{\mathrm{HF}} :

D'après le résultat de la question Q21, à T = 6,5 \cdot 10^2\text{ K}, K^\circ(T) \approx 7,5 \cdot 10^9, soit :

Comme \sqrt{K^\circ(T)} \gg 1, le gaz est quasi-exclusivement constitué de vapeur d'eau : x_{\mathrm{HF}} \ll 1, soit x_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}} \approx 1. Il vient immédiatement :

L'évolution de la concentration C_r(t) est régie par l'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants :

Par séparation des variables ou résolution directe, la solution générale s'écrit sous la forme :

où A est une constante d'intégration déterminée par la condition initiale à t = 0 :

On en déduit immédiatement la loi de décroissance radioactive :

Par définition de la demi-vie (ou période radioactive) T_{1/2}, la concentration à cet instant est égale à la moitié de la concentration initiale :

En utilisant la loi de décroissance radioactive établie à la question Q24, C_r(t) = C_r(0)\,\mathrm{e}^{-\lambda t}, il vient :

On obtient ainsi la relation usuelle :

Chaque atome d^{235}\mathrm{U} qui fissionne libère une énergie :

Soit N(t) le nombre de noyaux d^{235}\mathrm{U} présents dans le réacteur à l'instant t. Le nombre de fissions se produisant par unité de temps correspond au taux de disparition des noyaux d^{235}\mathrm{U} :

D'après la loi de décroissance radioactive d'ordre 1 étudiée aux questions Q24 et Q25 :

La puissance thermique \mathcal{P} dégagée par l'ensemble de ces fissions s'écrit donc :

On en déduit le nombre N de noyaux d^{235}\mathrm{U} nécessaires pour maintenir cette puissance :

La masse m d^{235}\mathrm{U} correspondante est liée à la quantité de matière par m = n \, \mathcal{M}_{^{235}\mathrm{U}} = \frac{N}{\mathcal{N}_A}\mathcal{M}_{^{235}\mathrm{U}}, d'où l'expression littérale :

Application numérique :

• \mathcal{P} = 2\text{ kW} = 2 \cdot 10^3\text{ W}
• T_{1/2,\mathrm{moy}} \sim 1 \cdot 10^1\text{ s}
• \mathcal{M}_{^{235}\mathrm{U}} = 235{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 0{,}2350\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• \mathscr{E} = 3{,}2 \cdot 10^{-11}\text{ J}
• \mathcal{N}_A = 6{,}02 \cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1}

Considérons le fluide caloporteur décrivant un cycle de transformations entre la source chaude à température T_C et la source froide à température T_F.

• Le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide sur un cycle (\Delta U = 0) s'écrit :

  W + Q_C + Q_F = 0 \implies -W = Q_C + Q_F

  où W est le travail algébriquement reçu par le fluide, et Q_C, Q_F sont les transferts thermiques reçus respectivement de la source chaude et de la source froide.

• Le second principe de la thermodynamique sur un cycle (\Delta S = 0) s'écrit :

  \frac{Q_C}{T_C} + \frac{Q_F}{T_F} + S_c = 0 \quad \text{avec} \quad S_c \geqslant 0

Le fonctionnement étant moteur, le fluide reçoit de l'énergie thermique de la source chaude (Q_C > 0) et fournit du travail mécanique au milieu extérieur (travail utile -W > 0). Le rendement thermique est défini par :

D'après le second principe :

Comme Q_C > 0, il vient :

Le rendement maximal correspond au cas d'un cycle réversible (S_c = 0), appelé rendement de Carnot :

Application numérique : Avec T_C = 573\text{ K} et T_F = 287\text{ K} :

Le rendement réel de la centrale est donné par \eta = 0{,}600\,\eta_C :

Dans une machine thermique fonctionnant en moteur (centrale thermique motrice), le fluide caloporteur décrit un cycle au cours duquel :

• il reçoit une puissance thermique de la source chaude : \mathscr{P}_{\text{th, C}} > 0 ;
• il cède une puissance mécanique au milieu extérieur (turbine couplée à l'alternateur).

Puisque \mathscr{P} désigne la puissance mécanique algébriquement reçue par le fluide, celle-ci est négative (\mathscr{P} < 0). La puissance mécanique utile fournie à l'extérieur s'écrit donc :

Par définition thermodynamique, le rendement \eta d'un moteur thermique est le rapport de la puissance utile fournie sur la puissance thermique coûteuse reçue de la source chaude :

On en déduit l'expression de la puissance thermique reçue de la source chaude :

D'après le document 1, la centrale de Cattenom est constituée de 4 réacteurs à eau pressurisée délivrant chacun une puissance électrique nominale de 1\,300\text{ MWe}, soit une puissance électrique totale installée :

En assimilant la puissance électrique fournie à la puissance mécanique utile du cycle (-\mathscr{P} = \mathcal{P}_e), le bilan énergétique global du fluide en régime stationnaire s'écrit :

Le rendement thermodynamique s'écrit \eta = \frac{\mathcal{P}_e}{\mathscr{P}_{\mathrm{th, C}}}, d'où :

Avec \eta \approx 29{,}9\,\% (d'après Q27) :

Si l'intégralité de cette puissance thermique était cédée à l'eau de la Moselle, de débit massique D_{m,\text{Moselle}} = \varrho_e D_V, le premier principe pour un système ouvert à capacité thermique massique c_e constante donnerait :

On en déduit l'expression de l'élévation de température :

Application numérique avec les données : \varrho_e = 1{,}00 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, D_V = 3{,}3 \cdot 10^2\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} et c_e = 4{,}18 \cdot 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} :

Remarque : si l'on effectue le calcul avec la puissance moyenne réelle produite en 2020 (31{,}18\text{ TWh} sur l'année, soit \mathcal{P}_{e,\mathrm{moy}} \approx 3{,}56\text{ GW}), on trouve \Delta T \approx 6\text{ K}.

Considérons le volume de contrôle délimité par la pompe en régime stationnaire. Le premier principe pour un système ouvert en écoulement permanent s'écrit, en grandeurs massiques :

où :

• l'évolution est adiabatique à l'intérieur de la pompe, soit q = 0 ;
• les variations d'énergie cinétique macroscopique et d'énergie potentielle de pesanteur entre l'entrée et la sortie sont négligeables devant les variations d'enthalpie : \Delta e_c \approx 0 et \Delta e_p \approx 0.

On en déduit que le travail massique utile reçu par le fluide est égal à la variation d'enthalpie massique :

L'eau liquide est modélisée par une phase condensée idéale, incompressible et indilatable de masse volumique \varrho_e et de capacité thermique massique c_e. L'identité thermodynamique fondamentale pour l'enthalpie s'écrit :

Par intégration entre l'état d'entrée (T_e, P_e) et l'état de sortie (T_s, P_s) :

La puissance mécanique \mathscr{P}_m que la pompe doit fournir au fluide s'exprime donc par :

Calculons séparément les deux contributions massiques :

• Contribution thermique :

  c_e (T_s - T_e) = 4,18 \cdot 10^3 \times (76 - 33) = 1,797 \cdot 10^5\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}

• Contribution mécanique (travail de transvasement) :

  \frac{P_s - P_e}{\varrho_e} = \frac{(70 - 18) \cdot 10^5}{1,00 \cdot 10^3} = 5,2 \cdot 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}

La variation d'enthalpie massique vaut :

D'où la puissance mécanique totale fournie au fluide :

Par définition, le rendement de la pompe s'écrit :

où \mathscr{P}_m est la puissance mécanique reçue par le fluide et \mathcal{P}_{\text{élec}} la puissance électrique consommée. On en déduit :

Selon l'expression retenue à la question précédente (Q30) :

• À partir du bilan enthalpique complet (\mathscr{P}_m \approx 1{,}18 \cdot 10^8\text{ W}) :

  \mathcal{P}_{\text{élec}} = \frac{1{,}18 \cdot 10^8}{0{,}60} \approx 1{,}97 \cdot 10^8\text{ W} = 197\text{ MW}

  Soit, avec deux chiffres significatifs :

  \boxed{\mathcal{P}_{\text{élec}} \approx 2{,}0 \cdot 10^2\text{ MW}}

• À partir de la puissance purement hydraulique (\mathscr{P}_{\mathrm{hydr}} = D_m \frac{P_s - P_e}{\varrho_e} \approx 3{,}33 \cdot 10^6\text{ W}) :

  \mathcal{P}_{\text{élec}} = \frac{3{,}33 \cdot 10^6}{0{,}60} \approx 5{,}55 \cdot 10^6\text{ W}

  Soit :

  \boxed{\mathcal{P}_{\text{élec}} \approx 5{,}6\text{ MW}}

Dans l'étude précédente, la pression imposée en sortie de pompe a été fixée à P_s = 70\text{ bar}. Or, pour que l'eau atteigne le générateur de vapeur à cette pression, la pompe doit en réalité délivrer une pression de refoulement plus élevée afin de compenser deux phénomènes :

• Les pertes de charge (régulières et singulières) : lors de l'écoulement de l'eau liquide à fort débit dans les canalisations, les frottements visqueux le long des parois ainsi que les singularités géométriques (coudes, vannes, rétrécissements) dissipent de l'énergie mécanique sous forme thermique, entraînant une chute de pression \Delta P_{\text{pertes}} > 0.
• Le dénivelé vertical (gravité) : les générateurs de vapeur sont situés à une altitude supérieure à celle des pompes d'alimentation, ce qui nécessite de vaincre une différence de pression hydrostatique \varrho_e g \Delta z > 0.

Ainsi, la pression effective en sortie immédiate de la pompe doit vérifier :

La surpression réelle P_{s} - P_e à fournir étant plus grande, le travail utile et donc les puissances mécanique et électrique ont été sous-estimés. Le phénomène principal négligé ici est donc l'existence des pertes de charge le long du circuit hydraulique.

La loi phénoménologique de Fourier relie le vecteur densité volumique de flux thermique (ou vecteur densité de courant thermique) \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} au gradient du champ de température T dans un milieu isotrope :

Dans le cadre de l'écoulement unidimensionnel selon l'axe (Oz) modélisé dans ce problème, elle s'écrit :

Les grandeurs physiques intervenant sont :

• \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} : le vecteur densité de flux thermique, exprimé en watt par mètre carré (\mathrm{W\cdot m^{-2}}) ;
• \lambda_a : la conductivité thermique du milieu (ici l'argile), exprimée en watt par mètre et par kelvin (\mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}) ;
• \vec{\operatorname{grad}}\,T : le gradient de température, exprimé en kelvin par mètre (\mathrm{K\cdot m^{-1}}).

Contenu physique de la loi :

• Transport diffusif linéaire : C'est une loi constitutive linéaire qui décrit le transfert d'énergie thermique par conduction à l'échelle macroscopique, sans déplacement macroscopique de matière, sous l'hypothèse de l'équilibre thermodynamique local.
• Sens du transfert et irréversibilité : Le signe « - » traduit le fait que la chaleur diffuse spontanément des zones chaudes vers les zones froides, c'est-à-dire dans le sens opposé au gradient de température (\vec{\jmath}_{\mathrm{th}}\cdot\vec{\operatorname{grad}}\,T \leqslant 0). Cela est imposé par le deuxième principe de la thermodynamique (processus irréversible de relaxation thermique avec création d'entropie).

Considérons le système fermé constitué de la tranche d'argile comprise entre les cotes z et z + \mathrm{d}z, de section droite transverse S (perpendiculaire à l'axe \vec{u}_z), entre les dates t et t + \mathrm{d}t.

Le volume de cette tranche est \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}z et sa masse est :

L'argile étant un solide incompressible et indéformable au repos, aucun travail mécanique n'est échangé (\delta W = 0) et il n'y a pas de source interne de chaleur dans l'argile. La variation d'énergie interne s'écrit, en introduisant la capacité thermique massique c_a :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à cette tranche entre t et t+\mathrm{d}t :

où \delta Q est la chaleur algébriquement reçue par conduction thermique à travers les deux faces transverses de cote z et z+\mathrm{d}z :

avec \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = j_{\mathrm{th}}\,\vec{u}_z. L'égalité des deux expressions donne :

D'après la loi de Fourier (établie à la question Q33) et compte tenu de l'uniformité de \lambda_a :

On aboutit ainsi à l'équation de la diffusion thermique unidimensionnelle :

Par identification avec l'équation (5), le coefficient de diffusivité thermique de l'argile s'exprime par :

Unité de D_a : L'équation de diffusion donne la dimension de la diffusivité : [D_a] = \frac{[z]^2}{[t]} = \mathrm{L}^2 \cdot \mathrm{T}^{-1}. L'unité du système international est donc :

Simplification dans le cas stationnaire : En régime stationnaire (ou permanent), la température ne dépend plus explicitement du temps, de sorte que \frac{\partial T}{\partial t} = 0. La dérivée spatiale devient droite et l'équation se simplifie en :

1. Condition en z = -L :

• D'après la loi de Fourier (établie à la question Q33), la composante selon \vec{u}_z de la densité de flux thermique s'écrit :

  j_{\mathrm{th}, z} = -\lambda_a \frac{\partial T}{\partial z}

• Les N colis radioactifs dégagent au total une puissance thermique \mathcal{P}_{\text{tot}} = N \mathcal{P}_0, répartie sur la surface S. L'épaisseur de cette zone étant négligeable, le milieu environnant est géométriquement symétrique vers le haut (z > -L) et vers le bas (z < -L). Par symétrie, la puissance est évacuée à parts égales de chaque côté :

  \Phi_{\text{haut}} = \frac{1}{2} N \mathcal{P}_0

• Le flux thermique surfacique dirigé vers les z croissants à l'entrée de la couche d'argile (z = -L) est donc :

  j_{\mathrm{th}, z}(z = -L^+) = \frac{\Phi_{\text{haut}}}{S} = \frac{N \mathcal{P}_0}{2S}

  En égalant avec l'expression de Fourier, on retrouve bien :

  \boxed{\left.\frac{\partial T}{\partial z}\right|_{z=-L} = -\frac{N \cdot \mathcal{P}_0}{2\lambda_a \cdot S}}

  Il s'agit d'une condition aux limites de Neumann traduisant la continuité du flux thermique imposé par la source de chaleur radioactive.

2. Condition en z = 0 :

• En z = 0, la couche supérieure d'argile est à la surface du sol, au contact de l'atmosphère. L'air extérieur joue le rôle d'un thermostat à la température ambiante moyenne T_{\mathrm{ext}}.

• En supposant le contact thermique parfait (résistance convective d'interface négligée), la température de l'argile en surface est égale à la température extérieure :

  \boxed{T(z = 0, t) = T_{\mathrm{ext}}}

  Il s'agit d'une condition aux limites de Dirichlet (température imposée).

D'après la question Q34, en régime permanent et en l'absence de source volumique dans l'argile pour z \in ]-L, 0], la température ne dépend que de z et vérifie :

Par intégrations successives, la température présente un profil affine :

où A et B sont deux constantes réelles.

Les conditions aux limites fournies à la question Q35 permettent d'identifier ces constantes :

• D'après la condition de flux en z = -L :

  A = \left.\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\right|_{z=-L} = -\frac{N\,\mathcal{P}_0}{2\lambda_a\,S}

• D'après la condition en surface en z = 0 :

  T(0) = B = T_{\mathrm{ext}}

On en déduit l'expression du profil de température dans la couche d'argile pour z \in [-L, 0] :

En évaluant cette expression à la profondeur de stockage z = -L, on obtient :

Cette température maximale dépend de la surface d'enfouissement S, qui sera dimensionnée à la question suivante à partir de la valeur fournie T_{\mathrm{ext}} = 13^\circ\text{C}.

D'après l'expression du champ de température permanent obtenue à la question Q36 :

Le gradient spatial de température étant strictement négatif, la température est une fonction décroissante de z sur l'intervalle [-L, 0]. Elle atteint donc sa valeur maximale au fond de la couche d'argile, au niveau des colis en z = -L :

La condition de non-dégradation du confinement s'écrit T(-L) \le T_{\text{max}}, soit :

On en déduit l'expression de la surface minimale nécessaire :

Avec les données numériques suivantes :

• N = 3,6 \cdot 10^4
• \mathcal{P}_0 = 2,0\text{ kW} = 2,0 \cdot 10^3\text{ W}
• L = 5,0 \cdot 10^2\text{ m}
• \lambda_a = 1,5\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}
• T_{\text{max}} - T_{\text{ext}} = 100 - 13 = 87\text{ K} (ou ^\circ\text{C})

Le calcul donne :

En ne conservant que deux chiffres significatifs :

L'attente de plusieurs décennies (environ 30 ans) avant l'enfouissement s'explique par les raisons suivantes :

• Décroissance de la puissance thermique : La chaleur dégagée par les déchets vitrifiés provient principalement de la désintégration des produits de fission à vie courte et moyenne, en particulier le césium 137 (T_{1/2} \approx 30{,}1\text{ ans}) et le strontium 90 (T_{1/2} \approx 28{,}8\text{ ans}). Au bout de 30 ans (soit environ une période radioactive pour ces radionucléides majeurs), la puissance résiduelle \mathcal{P}(t) dégagée par colis a diminué de plus de moitié par rapport à sa valeur initiale \mathcal{P}_0.

• Réduction drastique de la surface d'enfouissement : D'après le résultat de la question Q37 :

  S \ge \frac{N\,\mathcal{P}\,L}{2\,\lambda_a\,(T_{\max} - T_{\mathrm{ext}})}

  La surface nécessaire S pour maintenir la température de l'argile sous le seuil critique T_{\max} = 100\,^\circ\mathrm{C} est directement proportionnelle à la puissance thermique \mathcal{P}. En réduisant \mathcal{P} d'au moins un facteur 2, la surface souterraine à excaver passe d'environ 140\text{ km}^2 à une valeur nettement plus raisonnable et techniquement envisageable, diminuant considérablement l'emprise, la complexité et le coût des galeries de stockage.

• Préservation des propriétés de confinement de l'argile : L'argile de la formation géologique possède une faible conductivité thermique (\lambda_a = 1{,}5\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}). Un flux thermique initial trop intense risquerait d'endommager sa structure minéralogique (déshydratation, fracturation thermique) et de compromettre son imperméabilité.
• Facilité de refroidissement en surface : Pendant ces premières décennies, l'évacuation de la chaleur est bien plus efficace en surface (dans des piscines de désactivation par convection liquide, puis en entreposage ventilé) qu'en profondeur où l'évacuation se fait uniquement par diffusion conductrice à travers la roche.

L'intervalle de temps [0, \Delta t] est découpé en une subdivision régulière de N_t sous-intervalles de pas h.

Les instants de discrétisation sont définis par :

Pour i = N_t, on atteint la borne supérieure de l'intervalle :

On en déduit l'expression du pas de discrétisation temporelle h :

D'après l'équation de la diffusion thermique unidimensionnelle établie à la question Q34 :

Par analyse aux ordres de grandeur, les opérateurs différentiels s'estiment par :

où L est l'épaisseur de la couche d'argile séparant les déchets de la surface. On en déduit l'estimation de la durée caractéristique de diffusion :

Calculons préalablement la diffusivité thermique D_a de l'argile :

Avec L = 5{,}0 \cdot 10^2\ \mathrm{m} :

En convertissant en années (1\ \text{an} \approx 365{,}25 \times 86\,400\ \text{s} \approx 3{,}16 \cdot 10^7\ \text{s}) :