Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 PSI 2025

1. Champ électrostatique d'un plan infini chargé

Considérons un plan infini confondu avec le plan (yOz), portant une densité surfacique de charge uniforme \sigma, immergé dans un milieu de permittivité diélectrique \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}.

• Par invariance par translation selon Oy et Oz, le champ électrostatique ne dépend que de l'abscisse x.
• Tout plan orthogonal à (yOz) passant par le point d'observation est un plan de symétrie de la distribution, donc \vec{E}_{\mathrm{p}}(x) = E_{\mathrm{p}}(x)\vec{u}_x.
• Le plan (yOz) est un plan de symétrie de la distribution, d'où la relation d'antisymétrie : E_{\mathrm{p}}(-x) = -E_{\mathrm{p}}(x).

On applique le théorème de Gauss à un cylindre de section droite \mathcal{S}, d'axe (Ox), s'étendant de -x à +x (avec x > 0) :

On en déduit :

2. Champ électrostatique entre les électrodes (-a < x < a)

Le système est constitué de quatre plans infinis parallèles d'abscisses respectives :

• x_1 = -a de densité +\sigma ;
• x_2 = -a+\delta de densité -\sigma' ;
• x_3 = a-\delta de densité +\sigma' ;
• x_4 = a de densité -\sigma.

D'après le principe de superposition, le champ total s'écrit \vec{E}(x) = \sum_{i=1}^4 \vec{E}_i(x) :

• Pour -a < x < -a+\delta : le point se situe à droite de x_1, et à gauche de x_2, x_3, x_4.

  \begin{aligned} \vec{E}(x) &= \left( +\frac{\sigma}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} - \frac{-\sigma'}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} - \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} - \frac{-\sigma}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} \right) \vec{u}_x = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} \vec{u}_x \end{aligned}

• Pour -a+\delta < x < a-\delta : le point se situe à droite de x_1 et x_2, et à gauche de x_3 et x_4.

  \begin{aligned} \vec{E}(x) &= \left( +\frac{\sigma}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} + \frac{-\sigma'}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} - \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} - \frac{-\sigma}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} \right) \vec{u}_x = \frac{\sigma - \sigma'}{\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} \vec{u}_x \end{aligned}

• Pour a-\delta < x < a : le point se situe à droite de x_1, x_2, x_3, et à gauche de x_4.

  \begin{aligned} \vec{E}(x) &= \left( +\frac{\sigma}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} + \frac{-\sigma'}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} - \frac{-\sigma}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} \right) \vec{u}_x = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} \vec{u}_x \end{aligned}

En résumé, le champ électrostatique est constant par morceaux :

D'après la figure 3, l'électrode en x = -a est au potentiel +U/2 et celle en x = a est au potentiel -U/2. La tension U entre les deux électrodes s'écrit donc :

Le potentiel électrostatique V(x) est relié au champ électrique par \vec{E} = -\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}\,\vec{u}_x, ce qui donne par intégration :

En utilisant l'expression par morceaux de E(x) établie à la question Q1 :

On obtient bien la relation attendue :

1. Justification de \sigma' = \sigma :

En régime indépendant du temps, le milieu électrolytique est à l'équilibre électrostatique. Les doubles couches électrochimiques adjacentes aux électrodes étant isolantes (absence de transfert de charges aux interfaces), aucun courant continu ne peut circuler : la densité de courant volumique dans la solution s'annule, \vec{\jmath} = \vec{0}.

D'après la loi d'Ohm locale, \vec{\jmath} = \gamma \vec{E}, le champ électrique dans le cœur de la solution (-a+\delta < x < a-\delta) doit donc être nul :

2. Expression de la capacité C_0 :

En reportant \sigma' = \sigma dans la relation obtenue à la question Q2 :

La charge portée par l'électrode située en x = -a (à potentiel positif +U/2) vaut Q = \sigma S. La capacité C_0 du supercondensateur s'en déduit par définition :

3. Comparaison avec un condensateur classique à air :

Un condensateur plan de même géométrie (surface transverse S et distance inter-électrodes 2a) rempli d'air (\varepsilon_{\mathrm{r}} = 1) a pour capacité :

Le rapport des capacités s'écrit donc :

Dans la solution ionique située entre les deux couches limites (-a+\delta < x < a-\delta), le champ électrique s'écrit, d'après le résultat de la question Q1 :

D'après la loi d'Ohm locale, la conduction ionique est caractérisée par le vecteur densité de courant :

Considérons le plan chargé situé en x = a - \delta, de charge q'(t) = \sigma'(t)S :

• Le milieu pour x > a - \delta est une double couche isolante, de sorte qu'aucun ion ne traverse cette région : le courant sortant est nul.

• Le courant arrivant de l'électrolyte par la gauche (x < a - \delta) à travers la section S normale à \vec{u}_x vaut :

  i_{\text{entrant}}(t) = \vec{\jmath}(t)\cdot (S\vec{u}_x) = \gamma \frac{\sigma - \sigma'(t)}{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}}S.

Le bilan de charge pour ce plan entre les instants t et t + \mathrm{d}t s'écrit alors :

En divisant par \mathrm{d}t, on obtient immédiatement :

D'après la question Q4, comme q' = \sigma' S, la dérivée temporelle de la densité surfacique de charge s'écrit :

D'autre part, la relation établie à la question Q2 permet d'exprimer \sigma en fonction de la tension appliquée U et de \sigma' :

En reportant cette expression dans celle de \dfrac{\mathrm{d}\sigma'}{\mathrm{d}t}, il vient :

On obtient bien l'équation différentielle régissant l'évolution de \sigma'(t) :

Par identification avec la forme canonique \dfrac{\mathrm{d}\sigma'}{\mathrm{d}t} + \dfrac{\sigma'}{\tau} = \dfrac{\sigma'_{\infty}}{\tau}, on identifie le temps caractéristique \tau d'évolution de la double couche :

Dans le cadre de la modélisation du supercondensateur par l'association série d'une capacité C_0 et d'une résistance interne R_0, la constante de temps du circuit vaut :

En utilisant l'expression de la capacité C_0 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}S}{2\delta} déterminée à la question Q3 :

En convention récepteur pour le supercondensateur (figure 4), la loi des mailles s'écrit :

où u_C(t) est la tension aux bornes de la capacité C_0. La tension u_C(t) est une variable d'état, donc continue en tout instant :

1. Détermination de la résistance interne R_0 :

À t = 0, le courant passe instantanément de 0 à I = -33\text{ A} (courant de décharge). La discontinuité de tension observée vaut :

Soit, en valeurs numériques :

Le même saut de tension est observé à t = T = 14{,}5\text{ s} lors de l'interruption du courant :

On obtient ainsi :

2. Détermination de la capacité C_0 :

Sur l'intervalle ]0, T[, le courant de décharge est rigoureusement constant : I(t) = -I_0 = -33\text{ A}. La relation caractéristique du condensateur I = C_0 \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} donne :

Comme R_0 I est constant sur cet intervalle, la tension U(t) varie à la même vitesse que u_C(t) :

Par intégration de l'intensité sur la durée T :

Application numérique :

La tension nominale d'une cellule lue sur la figure 5 vaut par ailleurs V_{\mathrm{N}} = 3{,}00\text{ V}.

1. Hypothèses simplificatrices :

• Les frottements (résistance au roulement, traînée aérodynamique) sont négligés ; la montée s'effectue à vitesse constante (énergie cinétique constante).
• Les rendements du moteur, du convertisseur et de la transmission mécanique sont pris égaux à 1.

• La masse additionnelle du pack de supercondensateurs est supposée négligeable devant la masse de l'ensemble vélo + cycliste :

  M_{\mathrm{tot}} \simeq M_{\mathrm{vélo}} + M_{\mathrm{cycliste}} = 20 + 80 = 100\text{ kg}.

2. Énergie requise pour le dénivelé : Le travail nécessaire pour élever la masse totale d'un dénivelé h = 60\text{ m} correspond à la variation d'énergie potentielle de pesanteur :

Le taux d'assistance est défini par :

L'énergie totale fournie étant égale au travail gravitationnel :

Remarque : si le niveau d'assistance de 50\,\% était interprété comme la part du pack dans l'énergie totale fournie, l'énergie requise serait E_{\mathrm{pack}} = 0{,}5\,\Delta E_{\mathrm{p}} \simeq 29{,}4\text{ kJ}.

3. Énergie utile stockée par un supercondensateur : D'après l'énoncé, chaque cellule élémentaire est exploitée entre sa tension nominale V_{\mathrm{N}} = 3{,}00\text{ V} et une tension minimale fixée à la moitié de la valeur nominale, V_{\min} = V_{\mathrm{N}} / 2 = 1{,}50\text{ V}. Avec C_0 = 330\text{ F}, l'énergie extractible par cellule vaut :

Le nombre minimal de condensateurs N pour satisfaire le besoin énergétique est donc :

4. Assemblage et vérification des contraintes électriques :

• Contrainte de tension : La partie I.4 précise que la tension V_{\mathrm{e}} aux bornes du pack évolue entre 27\text{ V} et 54\text{ V}. En mettant n_s cellules en série :

  V_{\mathrm{e},\max} = n_s V_{\mathrm{N}} = 54\text{ V} \implies n_s = \frac{54}{3{,}00} = 18\text{ cellules en série}.

  La tension minimale du pack est alors n_s V_{\min} = 18 \times 1{,}50 = 27\text{ V}, ce qui coïncide exactement avec la plage spécifiée à la section I.4.

• Contrainte de courant et de puissance : Le moteur requiert une puissance de P = 250\text{ W}. Le courant maximal débité par le pack intervient pour la tension la plus basse (V_{\mathrm{e},\min} = 27\text{ V}) :

  I_{\mathrm{pack},\max} = \frac{P}{V_{\mathrm{e},\min}} = \frac{250}{27} \simeq 9{,}3\text{ A}.

  Cette intensité est très inférieure au courant maximal admissible par cellule, I_{\max} = 33\text{ A} (Figure 7). Il n'est donc pas nécessaire de placer plusieurs branches en parallèle (n_p = 1).

Conclusion : Le pack comprend N = 18 supercondensateurs montés uniquement en série (18\text{S}1\text{P}). La masse correspondante est de 18 \times 70\text{ g} = 1{,}26\text{ kg}, ce qui valide a posteriori l'hypothèse de masse négligeable.

Le convertisseur fonctionne en régime périodique établi. Les composants réactifs (bobines et condensateurs) ne consomment en moyenne aucune puissance active sur une période, et les interrupteurs sont considérés comme parfaits. Le rendement du hacheur est donc unitaire :

La tension de sortie V_{\mathrm{s}} et le courant de sortie I_{\mathrm{s}} étant considérés constants, la puissance moyenne fournie à la charge s'écrit :

La tension d'entrée V_{\mathrm{e}} imposée par le pack de supercondensateurs étant également supposée constante, la puissance moyenne absorbée en entrée s'écrit :

On en déduit l'expression de la valeur moyenne du courant d'entrée :

Cette valeur moyenne est maximale lorsque la tension d'entrée V_{\mathrm{e}} atteint sa valeur minimale V_{\mathrm{e},\min} = 27\text{ V} :

Application numérique : Avec V_{\mathrm{s}} = 36\text{ V}, I_{\mathrm{s}} = 10\text{ A} et V_{\mathrm{e},\min} = 27\text{ V} :

Pour une bobine idéale d'inductance L, la relation tension-courant en convention récepteur s'écrit :

En régime périodique établi de période T = \frac{1}{f}, le courant traversant chaque bobine est une fonction périodique du temps, de sorte que i_L(T) = i_L(0). La valeur moyenne de la tension sur une période vaut :

Cette propriété s'applique directement aux deux bobines L_1 et L_2 du convertisseur :

D'après le schéma de la figure 8, appliquons la loi des mailles le long du contour fermé comprenant la source d'entrée V_e, l'inductance L_1, la capacité C_1, l'inductance L_2 et la ligne de masse inférieure :

soit :

Par linéarité de l'opération moyenne temporelle, et sachant que la tension d'entrée V_e est supposée constante (\langle V_e \rangle = V_e) :

Comme \langle V_{L_1} \rangle = 0 et \langle V_{L_2} \rangle = 0, on en déduit :

D'après la figure 8, la flèche de tension V_{L_2} est orientée du bas (masse, à 0\text{ V}) vers le nœud situé entre C_1, L_2 et K_2, que l'on note N. Ainsi, le potentiel de ce nœud s'écrit directement :

De plus, la tension aux bornes du condensateur de couplage C_1 étant fléchée vers la gauche (du nœud N vers le nœud intermédiaire entre L_1 et K_1, noté M), on a :

Étudions les deux phases de fonctionnement au cours d'une période T :

• Intervalle [0, \alpha T] : K_1 est fermé et K_2 est ouvert.

  L'interrupteur K_1 étant fermé et supposé idéal, le nœud M est relié à la masse : V_M(t) = 0\text{ V}. On en déduit :

  V_N(t) = V_M(t) - V_{C_1}(t) \simeq -V_{\mathrm{e}}.

  La tension aux bornes de la bobine L_2 vaut donc :

  V_{L_2}(t) = -V_{\mathrm{e}}.

• Intervalle [\alpha T, T] : K_1 est ouvert et K_2 est fermé.

  L'interrupteur K_2 étant fermé et idéal, le nœud N est directement connecté à la borne positive de sortie, portée au potentiel V_{\mathrm{s}} :

  V_{L_2}(t) = V_N(t) = +V_{\mathrm{s}}.

En résumé, sur une période T, la tension aux bornes de la bobine L_2 s'écrit :

Le chronogramme correspondant est tracé ci-dessous sur une période :

D'après la question Q10, la tension instantanée aux bornes de l'inductance L_2 s'écrit :

La valeur moyenne de cette tension sur une période T vaut donc :

En régime périodique établi, la valeur moyenne de la tension aux bornes d'une inductance est nulle (\langle V_{L_2} \rangle = 0, question Q9), ce qui conduit directement à :

On en déduit le gain statique du convertisseur :

Intérêts du convertisseur SEPIC :

• Caractère élévateur/abaisseur (Buck-Boost) sans inversion de polarité : La fonction de transfert montre que :

  • pour \alpha < 0{,}5, \dfrac{V_{\mathrm{s}}}{V_{\mathrm{e}}} < 1 (fonctionnement abaisseur) ;
  • pour \alpha > 0{,}5, \dfrac{V_{\mathrm{s}}}{V_{\mathrm{e}}} > 1 (fonctionnement élévateur).

  Dans le vélo hybride, la tension d'entrée varie entre 27\text{ V} et 54\text{ V} alors que la tension de sortie requise est constante à V_{\mathrm{s}} = 36\text{ V}. Le convertisseur doit donc impérativement pouvoir abaisser la tension quand le pack est pleinement chargé (V_{\mathrm{e}} > 36\text{ V}) et l'élever lorsqu'il est déchargé (V_{\mathrm{e}} < 36\text{ V}). De plus, contrairement au hacheur Buck-Boost classique, le SEPIC conserve la même polarité entre l'entrée et la sortie (masse commune).

• Courant d'entrée continu : La présence de l'inductance L_1 directement en série avec la source permet de lisser le courant prélevé sur le pack de supercondensateurs, limitant l'échauffement par effet Joule et le rayonnement électromagnétique.

D'après la question précédente, le gain idéal du convertisseur SEPIC s'écrit :

La tension de sortie étant régulée à V_{\mathrm{s}} = 36\text{ V} :

• Pour la tension d'entrée maximale V_{\mathrm{e},\max} = 54\text{ V} :

  \alpha_{\min} = \frac{36}{54 + 36} = \frac{36}{90} = 0{,}40

• Pour la tension d'entrée minimale V_{\mathrm{e},\min} = 27\text{ V} :

  \alpha_{\max} = \frac{36}{27 + 36} = \frac{36}{63} = \frac{4}{7} \simeq 0{,}57

Commentaires :

• Lorsque le pack se décharge, V_{\mathrm{e}} diminue, ce qui nécessite d'augmenter le rapport cyclique \alpha pour maintenir la tension de sortie constante à 36\text{ V}.
• Pour V_{\mathrm{e}} = 54\text{ V} > V_{\mathrm{s}}, on a \alpha < 0{,}5 : le convertisseur fonctionne en abaisseur (dévolteur).
• Pour V_{\mathrm{e}} = 27\text{ V} < V_{\mathrm{s}}, on a \alpha > 0{,}5 : le convertisseur fonctionne en élévateur (survolteur).
• La plage de variation de \alpha, comprise entre 0{,}40 et 0{,}57, se situe bien en deçà du maximum du gain réel visible sur la figure 9 (qui culmine vers \alpha \approx 0{,}85). Dans cette zone, l'influence de la résistance parasite R_L reste modérée et le rendement demeure élevé.

Cas d'une décharge totale des supercondensateurs (V_{\mathrm{e}} \to 0) : Si l'on laissait les supercondensateurs se décharger complètement :

• Le maintien de V_{\mathrm{s}} = 36\text{ V} exigerait un gain V_{\mathrm{s}}/V_{\mathrm{e}} \to +\infty, ce qui requerrait \alpha \to 1.
• Or, en présence de la résistance interne de la bobine (R_L \neq 0), le gain réel s'effondre pour \alpha > 0{,}85 et tend vers zéro quand \alpha \to 1 (figure 9). La régulation de tension deviendrait donc impossible.
• De plus, à puissance constante P = V_{\mathrm{s}}I_{\mathrm{s}}, le courant moyen d'entrée I_{\mathrm{e}} \approx P/V_{\mathrm{e}} divergerait, excédant largement le courant maximal admissible par les cellules (33\text{ A}) et les semi-conducteurs, provoquant un échauffement destructeur par effet Joule.

Pendant la phase t \in [0, \alpha T], l'interrupteur K_1 est fermé et K_2 est ouvert. La bobine L_1 est alors directement soumise à la tension d'entrée :

La dérivée temporelle de i_{\mathrm{e}}(t) étant constante et positive, le courant croît linéairement de sa valeur minimale à sa valeur maximale. L'excursion crête-à-crête (ondulation absolue) s'écrit :

D'après le bilan de puissance établi à la question Q8 (rendement supposé unitaire), la valeur moyenne du courant d'entrée vaut :

L'ondulation relative du courant d'entrée est donc :

La condition \frac{\Delta I_{\mathrm{e}}}{I_{\mathrm{e}}} \le 10\,\% = 0{,}10 impose :

Comparons les deux valeurs extrêmes de la plage de fonctionnement selon l'indication de l'énoncé :

• Pour V_{\mathrm{e}} = 54\text{ V} et \alpha = 0{,}4 :

  \alpha V_{\mathrm{e}}^2 = 0{,}4 \times 54^2 = 1166{,}4\text{ V}^2

• Pour V_{\mathrm{e}} = 27\text{ V} et \alpha = 0{,}6 :

  \alpha V_{\mathrm{e}}^2 = 0{,}6 \times 27^2 = 437{,}4\text{ V}^2

La contrainte la plus sévère est donc atteinte pour la tension d'entrée maximale V_{\mathrm{e}} = 54\text{ V}.

En appliquant numériquement avec f = 300\text{ kHz} = 3{,}00 \times 10^5\text{ Hz}, V_{\mathrm{s}} = 36\text{ V} et I_{\mathrm{s}} = 10\text{ A} :

D'après l'énoncé, sur l'intervalle [0, \alpha T], l'interrupteur K_2 est ouvert. Aucun courant ne provient alors du reste du convertisseur vers la cellule de sortie.

La loi des nœuds au niveau de l'électrode supérieure du condensateur C_2 s'écrit alors :

Le courant de sortie I_{\mathrm{s}} étant supposé constant, la tension aux bornes de C_2 décroît de façon linéaire :

L'excursion crête-à-crête de la tension de sortie au cours de cet intervalle de durée \alpha T vaut donc :

Pour V_{\mathrm{e}} = 36\text{ V} et V_{\mathrm{s}} = 36\text{ V}, la relation du gain établie à la question Q11 donne :

La contrainte d'ondulation relative s'écrit \frac{\Delta V_{\mathrm{s}}}{V_{\mathrm{s}}} \le 1\,\% = 0{,}01, soit :

La valeur minimale de la capacité est donc :

Application numérique avec \alpha = 0{,}5, I_{\mathrm{s}} = 10\text{ A}, f = 300\times 10^3\text{ Hz} et V_{\mathrm{s}} = 36\text{ V} :